1.5.2 矩形的判定 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

湘教版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件 1.5.2 矩形的判定 第1章 四边形 授课教师： Home . 班 级： 八年级（---）班 . 时 间： . 2026年4月7日 湘教版数学八年级下册1.5.2 矩形的判定 练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 本套练习题围绕矩形的三种判定方法（定义法、对角线法、三角直角法）设计，分层考查基础知识点、逻辑推理及应用能力，贴合课时重点，助力巩固所学知识，培养几何判定与推理能力。 一、基础选择题（每题3分，共15分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 2. 已知平行四边形ABCD中，对角线AC=BD，则平行四边形ABCD是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 无法确定 3. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，则四边形ABCD是矩形，其判定依据是（ ） A. 定义法 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 三个角是直角的四边形是矩形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 4. 下列条件中，不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ） A. AB∥CD，AD∥BC，∠A=90° B. AB=CD，AD=BC，AC=BD C. ∠A=∠B=∠C=∠D D. AB∥CD，AD=BC，∠A=90° 5. 已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OB，则平行四边形ABCD是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 等腰梯形 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 矩形的判定方法1（定义法）：有一个角是________的平行四边形是矩形。 2. 矩形的判定方法2：对角线________的平行四边形是矩形。 3. 矩形的判定方法3：有________个角是直角的四边形是矩形。 4. 如图，在平行四边形ABCD中，若∠ABC=90°，则平行四边形ABCD是________，依据是________。 5. 已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，OA=OC，OB=OD，则四边形ABCD是________。 三、解答题（共70分） 1. （10分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=90°，求证：平行四边形ABCD是矩形。 2. （15分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，求证：平行四边形ABCD是矩形。 3. （15分）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，求证：四边形ABCD是矩形。 4. （15分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OD，求证：平行四边形ABCD是矩形。 5. （15分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，延长AD至点E，使DE=AD，连接BE、CE。求证：四边形ABEC是矩形。 参考答案提示 一、选择题：1.A 2.B 3.C 4.D 5.B 二、填空题：1.直角；2.相等；3.三；4.矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形；5.矩形 三、解答题（略，重点考查矩形的三种判定方法的应用，证明过程需规范，贴合课时核心知识点，注重逻辑推理的严谨性） 说明：本套题重点考查矩形的三种判定方法及综合应用，贴合课时重难点，可用于课后巩固练习，培养几何判定、逻辑推理和综合应用能力。 2026年4月7日星期二6时37分43秒 2026年4月7日星期二6时37分45秒 思考 工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具(卷尺和量角器)，他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？ 这节课我们一起探讨矩形的判定吧. 有三个角是直角的四边形是矩形 类比平行四边形的定义是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法. 问题1 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？ 类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立. 矩形是特殊的平行四边形. 1 问题2 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？ 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形. 成立 问题3 至少有几个角是直角的四边形是矩形？ A B D C (有一个角是直角) A B D C (有二个角是直角) A B D C (有三个角是直角) 猜测：有三个角是直角的四边形是矩形. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝90°. 求证：四边形 ABCD 是矩形. 证明：由于∠A＝∠B＝∠C＝90°， 所以∠D＝360°－∠A－∠B－∠C＝90°. 因此AD∥BC，AB∥CD. 从而四边形 ABCD 是平行四边形. 又∠A＝90°， A B C D 证一证 由矩形的定义得， 四边形 ABCD 是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言描述： 在四边形 ABCD 中， ∵ ∠A = ∠B = ∠C = 90°， ∴四边形 ABCD 是矩形. A B C D 归纳总结 矩形的判定定理： 思考 一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？ 有三个角是直角的四边形是矩形. 例1 如图， □ ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 E，F，G，H，求证：四边形 EFGH 为矩形． 证明：在□ ABCD 中，AD∥BC， ∴∠DAB + ∠ABC = 180°. ∵AE 与 BG 分别为∠DAB、∠ABC 的平分线， F A B D C H E G ∴四边形 EFGH 是矩形． 同理可证∠AED = ∠EHG = 90°. ∴∠AFB = 90°. ∴∠GFE = 90°. ∴ ∠BAE + ∠ABF = ∠DAB+ ∠ABC = 90°. 例2 如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为 D，AN 是 △ABC 外角 ∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为 E，求证：四边形 ADCE 为矩形． ∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM. ＝ (∠BAC＋∠CAM) ＝ 90°. 证明：在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC. 又∵AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线， ∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE 又∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC ＝ ∠CEA ＝ 90°. ∴四边形 ADCE 为矩形． 1.在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的 4 位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是 （　　） A．测量对角线是否相等 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三个角是否都为直角 D 练一练 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想“对角线相等的四边形是矩形”，你觉得对吗？ 对角线相等的平行四边形是矩形 思考 你能证明这一猜想吗？ 我猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 不对，等腰梯形的对角线也相等. 不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分. 2 证明：由于 OA = OC，OB = OD， 所以四边形 ABCD 是平行四边形， 从而 AB = DC，AB∥DC. 又 AC = BD，BC = CB， 所以△ABC≌△DCB (边边边)，从而∠ABC =∠DCB. 又由 AB∥DC 得，∠ABC +∠DCB = 180°， 已知：如图，在□ABCD 中，AC， DB 是它的两条对角线， AC = DB. 求证：□ABCD 是矩形. A B C D 证一证 于是 ∠ABC = ×180° = 90°. 因此，平行四边形 ABCD 是矩形. O 矩形的判定定理： 对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言描述： 在平行四边形 ABCD 中， ∵AC = BD， ∴平行四边形 ABCD 是矩形. A B C D 知识要点 思考 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，那么窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？ 对角线相等的平行四边形是矩形. 　 例3 如图，在 　ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA = OD，∠OAD = 50°．求∠OAB 的度数． 　 A　 B　 C　 D　 O 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA = OC = AC， OB=OD= BD. 又∵OA = OD， ∴AC = BD. ∴四边形 ABCD 是矩形. ∴∠BAD = 90°. 又∵∠OAD = 50°， ∴∠OAB = 40°. 例3 如图，在□ABCD 中，它的两条对角线相交于点O. (1) 如果□ABCD 是矩形，试问：△OBC 是什么样的三角形？ 　 A　 B　 C　 D　 O 解：(1)因为□ABCD 是矩形， 所以 AC 与 DB 相等且互相平分， 于是 OB = DB = AC = OC， 所以△OBC 是等腰三角形. (2) 如果△OBC 是等腰三角形，且 OB = OC，那么□ABCD 是矩形吗？ 解：(2) 因为△OBC 是等腰三角形，且OB = OC， 所以 AC = 2OC = 2OB = BD. 因此，□ABCD 是矩形. 　 A　 B　 C　 D　 O 例4 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点O，E，F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 上的一点，且 AE＝BF＝CG＝DH. 求证：四边形 EFGH 是矩形. B C D E F G H O A 证明： ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC＝BD (矩形的对角线相等)， AO＝BO＝CO＝DO (矩形的对角线互相平分). ∵ AE＝BF＝CG＝DH， ∴ OE＝OF＝OG＝OH. ∴四边形 EFGH 是平行四边形. ∵EO＋OG＝FO＋OH，即 EG＝FH， ∴四边形 EFGH 是矩形. D 返回 1． [德阳中考]如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是(　　)  A．AB∥CD B．AB＝BC C．∠ABC＝∠ADC D．AC＝BD 中考考法 19 返回 D 2． 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形相框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4名同学拟定的方案，其中正确的是(　　) A．测量对角线是否互相平分 B．测量对角线是否相等 C．测量一组对角是否为直角 D．测量四边形的其中三个角是否都为直角 中考考法 20 C 返回 3． [临沂模拟]如图，在▱ABCD中，DE⊥BC于点E，用尺规在AD上作出点F，使得四边形BEDF为矩形，则下列说法正确的是(　　) 小洛：如图①，连接AC， BD交于点O，连接EO并延长，交AD于点F，连接BF. 小宇：如图②，在AD上截取DF＝BE，连接BF. A．小洛的作法正确 B．小宇的作法正确 C．两人作法都正确 D．两人作法都不正确 中考考法 21 4． 返回 如图，在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB，BC满足条件：____________时，四边形PEMF为矩形. 中考考法 22 5． 返回 24 如图，将矩形ABCD的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，则矩形ABCD的面积是________. 中考考法 23 6． 4 如图，∠BAC＝30°，点P是∠BAC的平分线上一点，PM∥AC交AB 于点M，PD⊥AC于点D，若PM＝8，则PD＝________. 中考考法 24 【点拨】 返回 中考考法 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形. 运用定理进行计算和证明 矩形的判定 定义 判定定理 AB＝BC 因为点P是∠BAC的平分线上一点，所以∠MAP＝∠PAD.因为PM∥AC，所以∠PAD＝∠APM.所以∠MAP＝∠APM.所以MA＝MP＝8.如图，过点M作ME⊥AD于E，所以∠MEA＝∠MED＝90°.所以易得四边形DEMP是矩形．所以PD＝ME.在Rt△AEM中，∠BAC＝30°， 所以ME＝MA＝×8＝4.所以PD＝4. $