专题07菱形复习讲义 (13大题型+题型突破+压轴专练+复习讲义)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题07菱形复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.吃透菱形定义，分清与平行四边形的区别 2.牢记性质：四边相等+对角线垂直，对称性记牢 3.掌握3种判定方法，不丢前提条件 4.熟记衍生结论：对角线平分一组对角，可用于角度计算 1.会用性质算边长、对角线，快速解题 2.规范书写推理，证明菱形判定不踩坑 3.搞定折叠、对角线夹角等期中高频模型 4.综合运用知识，应对中档+简单压轴题 1.基础题不丢分，选择填空秒搞定 2.中档题不踩坑，规范步骤拿满分 3.规避高频易错点，减少不必要失分 4.轻松应对压轴基础问，高效提分 题型01.利用菱形的性质求角度 题型02.利用菱形的性质求线段长 题型03.利用菱形的性质求面积 题型04.利用菱形的性质证明 题型05.菱形的判定与证明 题型06.由菱形的性质与判定求角度 题型07.由菱形的性质与判定求线段长 题型08.由菱形的性质与判定求面积 题型09.菱形与折叠问题 题型10.菱形与动点问题 题型11.菱形与最值问题 题型12.菱形的多结论判断问题 题型13.菱形的存在性问题 解答题5题 菱形专属身份卡 定义：一组邻边相等的平行四边形（平行四边形的 “边特殊款”） 家族地位：平行四边形→菱形→正方形（边特殊化进阶，与矩形 “角特殊化” 形成双子星） 双重属性：既是平行四边形（继承所有性质），又是菱形（独有边、对角线特性） 核心性质・四字口诀速记（菱形超能力） 项目 文字语言 几何语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 面积 底 × 高 或 对角线乘积的一半 S=底×高 S=ACBD 判定定理・三招定菱形（满足其一即可） 判定 方法 文字语言 几何语言 图示 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AB=AD ∴ 菱形 ABCD 四边相等 四条边相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AC⊥BD ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直平分 对角线垂直且平分的四边形是菱形 ∵ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD ∴ 菱形 ABCD 菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 特殊四边形对比表（一眼分清） 图形 边的特征 对角线特征 对称轴数量 平行四边形 对边平行且相等 互相平分 0 矩形 对边平行且相等 互相平分且相等 2（对边中点连线） 菱形 四边相等 互相垂直平分且平分对角 2（对角线） 正方形 四边相等 垂直平分且相等、平分对角 4 题型01.利用菱形的性质求角度 【典例】下列关于菱形的说法正确的是（ ） A．菱形的四个内角一定相等 B．菱形的对角线一定相等 C．菱形的四条边都相等 D．菱形的周长和面积一定相等 【跟踪专练1】中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，徐明家有一个菱形中国结装饰如图，测得，则的度数为______． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，对角线，交于点，，现以点为旋转中心，将所在的直线绕点逆时针旋转，旋转之后的直线与边，所在的直线分别交于点，，连接、，要使四边形是矩形，则的大小可以是（ ） A． B． C． D． 题型02.利用菱形的性质求线段长 【典例】已知菱形的周长是，一条较短的对角线的长是，则该菱形较小的内角是__________度 【跟踪专练1】如图，四边形是菱形，于，则等于（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知四边形是菱形，对角线交于点，，以点为圆心，的长为半径作圆弧交线段于点，，则菱形的周长是______． 题型03.利用菱形的性质求面积 【典例】已知菱形的两对角线长分别为和，则菱形的面积为（    ） A．8 B．12 C．24 D．48 【跟踪专练1】如图，在菱形中，对角线交于点O，，．则菱形的面积是______． 【跟踪专练2】如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C．48 D．96 题型04.利用菱形的性质证明 【典例】有一组邻边相等的平行四边形是____________ 菱形是特殊的____________，因此它具有平行四边形的所有性质，但它也有自己独特的性质． 【跟踪专练1】在菱形中，对角线相交于点，下列结论中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，连接． （1）________（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）若，菱形的面积为4，则的长为______． 题型05.菱形的判定与证明 【典例】下列图片中，能观察到菱形的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个菱形，只需添加的一个条件是______． 【跟踪专练2】的两边、的长是关于的方程的两个实数根．当为________时，四边形是菱形． 【跟踪专练3】如图，，是的对角线，过点作，交的延长线于点，则添加下列条件，不能使为菱形的是（   ） . A． B． C． D． 题型06.由菱形的性质与判定求角度 【典例】如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则______°． 【跟踪专练1】按如下步骤作四边形：（）画；（）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交于点；（）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（）连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，是的角平分线，交于，交于．且交于，则_____度． 题型07.由菱形的性质与判定求线段长. 【典例】如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，若，四边形的面积为，则的长为______． 【跟踪专练1】如图，在中，，若，则的周长为（   ） A．12 B．24 C．30 D．36 【跟踪专练2】以矩形对角线上两点，为对角线作菱形，点，分别落在矩形边，上．若，，则的长为________． 题型08.由菱形的性质与判定求面积 【典例】一个平行四边形的一条边长是，两条对角线的长分别是和，这个平行四边形的面积是______． 【跟踪专练1】如图，已知，分别以点 、 为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是（   ） A．12 B．24 C．30 D．48 【跟踪专练2】如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F；②分别以点F，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点G；③作射线，交边于点E，交于点O，连接．若，，则四边形的面积为_________． 题型09.菱形与折叠问题 【典例】如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为________． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，M，N分别是边，上任意一点，将菱形沿翻折，点A落在对角线上的点E处，下列结论．①；②若，则；③若M是的中点，则四边形是菱形；④若菱形边长为6，M是的中点，去掉点A落在对角线上的条件，则的最小值为．其中所有正确结论的序号是_____．    【跟踪专练2】如图，在菱形中，，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 题型10.菱形与动点问题 【典例】如图，矩形中，，，点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是1cm/s，设运动时间为（），若四边形是菱形，则的值为___________． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，是对角线上的动点，若，，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【跟踪专练2】如图，在菱形 中，、交于点，，，点为线段上的一个动点．过点分别作于点 ，作于点 ，则的值为（    ） A． B．5 C． D．6 题型11.菱形与最值问题 【典例】如图，菱形，点A、B、C、D均在坐标轴上，，点，点E是的中点，点P是上的一动点，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C． D． 【跟踪专练1】如图，菱形中，点为的中点，点为对角线上一个动点，连接、，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，，E、F分别为线段和线段上两动点，且满足，连接、，则的最小值为________． 题型12.菱形的多结论判断问题 【典例】如图，在菱形中，，与交于点O，E为延长线上一点，且，连接，分别交，于点F、G，连接、，则下列结论： ①； ②四边形是菱形； ③四边形与四边形面积相等． 其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B为x轴上一点，菱形的边为长2，， 点D是边上一动点 （不与点 O， B重合）， 点E在边上， 且，下列结论：①； ②的大小随点D的运动而变化；③直线 的解析式为 ④的最小值为 其中错误的有__________．（填写序号） 题型13.菱形的存在性问题 【典例】如图，在矩形中，，，点H在上，，E，G是矩形的边，上的动点，以E，H，G，F四点构造菱形．在点E、G运动变化过程中，点F到的距离为______；点F的运动轨迹（起点到终点）长度为______． 【跟踪专练1】如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的角平分线于点E，交的外角平分线于点F．   (1)求证：； (2)当点O运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论． (3)当点运动到何处，且当满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由． 【跟踪专练2】,如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别为，连接和，点P为线段上从左向右运动的点，以为边作菱形，其中点E落在x轴上． (1)则的长为_____，的度数为_____； (2)在点P运动过程中，是否能使得四边形为正方形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点P运动到使菱形的顶点F恰好在边上时，求出此时点F的坐标； (4)若要使得顶点F不落在四边形外，请写出菱形的对角线交点的运动路径长．（直接写出答案） 【解答题】 1．如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为． (1)求证：； (2)若，则的度数为__________． 2．如图，在菱形中，对角线和交于点O，分别过点B、C作，，与交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)当，时，求的长． 3．如下图，在菱形中，对角线、交于点，若，，则菱形的面积？ 4．如图，在菱形中，是的中点，，的延长线交于点，连接，． . (1)求证：； (2)连接，请判断与的位置关系，并说明理由； (3)当菱形满足______时，四边形是菱形． 5．如图，四边形中，,点在边上，四边形为平行四边形，，动点从点出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点运动，设点的运动时间为秒． (1)的长为___________，的长为___________； (2)连结，若将的面积分为两部分，求的值； (3)若为等腰三角形，求的值； (4)在点运动过程中，作点关于直线的对称点，当直线与边或边平行或共线时，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07菱形复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.吃透菱形定义，分清与平行四边形的区别 2.牢记性质：四边相等+对角线垂直，对称性记牢 3.掌握3种判定方法，不丢前提条件 4.熟记衍生结论：对角线平分一组对角，可用于角度计算 1.会用性质算边长、对角线，快速解题 2.规范书写推理，证明菱形判定不踩坑 3.搞定折叠、对角线夹角等期中高频模型 4.综合运用知识，应对中档+简单压轴题 1.基础题不丢分，选择填空秒搞定 2.中档题不踩坑，规范步骤拿满分 3.规避高频易错点，减少不必要失分 4.轻松应对压轴基础问，高效提分 题型01.利用菱形的性质求角度 题型02.利用菱形的性质求线段长 题型03.利用菱形的性质求面积 题型04.利用菱形的性质证明 题型05.菱形的判定与证明 题型06.由菱形的性质与判定求角度 题型07.由菱形的性质与判定求线段长 题型08.由菱形的性质与判定求面积 题型09.菱形与折叠问题 题型10.菱形与动点问题 题型11.菱形与最值问题 题型12.菱形的多结论判断问题 题型13.菱形的存在性问题 解答题5题 菱形专属身份卡 定义：一组邻边相等的平行四边形（平行四边形的 “边特殊款”） 家族地位：平行四边形→菱形→正方形（边特殊化进阶，与矩形 “角特殊化” 形成双子星） 双重属性：既是平行四边形（继承所有性质），又是菱形（独有边、对角线特性） 核心性质・四字口诀速记（菱形超能力） 项目 文字语言 几何语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 面积 底 × 高 或 对角线乘积的一半 S=底×高 S=ACBD 判定定理・三招定菱形（满足其一即可） 判定 方法 文字语言 几何语言 图示 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AB=AD ∴ 菱形 ABCD 四边相等 四条边相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AC⊥BD ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直平分 对角线垂直且平分的四边形是菱形 ∵ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD ∴ 菱形 ABCD 菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 特殊四边形对比表（一眼分清） 图形 边的特征 对角线特征 对称轴数量 平行四边形 对边平行且相等 互相平分 0 矩形 对边平行且相等 互相平分且相等 2（对边中点连线） 菱形 四边相等 互相垂直平分且平分对角 2（对角线） 正方形 四边相等 垂直平分且相等、平分对角 4 题型01.利用菱形的性质求角度 【典例】下列关于菱形的说法正确的是（ ） A．菱形的四个内角一定相等 B．菱形的对角线一定相等 C．菱形的四条边都相等 D．菱形的周长和面积一定相等 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质．菱形是四边相等的四边形，因此四条边一定相等；但内角不一定相等，对角线不一定相等，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、菱形的四个内角不一定相等，故该选项不符合题意； B、菱形的对角线不一定相等，故该选项不符合题意； C、菱形的四条边都相等，故该选项符合题意； D、菱形的周长和面积一定相等是不正确的，故该选项不符合题意； 故选：C 【跟踪专练1】中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，徐明家有一个菱形中国结装饰如图，测得，则的度数为______． 【答案】/70度 【分析】根据菱形的性质可得，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，对角线，交于点，，现以点为旋转中心，将所在的直线绕点逆时针旋转，旋转之后的直线与边，所在的直线分别交于点，，连接、，要使四边形是矩形，则的大小可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由菱形的对角线互相垂直知，由矩形的两条对角线互相平分且相等的性质、等边对等角推知，则，再由求解即可． 【详解】解：在菱形中，对角线，交于点， ，，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，即 题型02.利用菱形的性质求线段长 【典例】已知菱形的周长是，一条较短的对角线的长是，则该菱形较小的内角是__________度 【答案】60 【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 先根据菱形的周长求出边长，再根据较短对角线与边长相等，得出由对角线和两边组成的三角形是等边三角形，进而求解． 【详解】解：由题意知，菱形的边长为， 又∵较短的对角线也为， 如图，， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为：60． 【跟踪专练1】如图，四边形是菱形，于，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与交于点，根据菱形的性质可得，，，利用勾股定理求出的长，再根据菱形的面积公式即可求出的长． 【详解】解：设与交于点， 四边形是菱形，，， ，，， 在中，， ， ， ． 【跟踪专练2】如图，已知四边形是菱形，对角线交于点，，以点为圆心，的长为半径作圆弧交线段于点，，则菱形的周长是______． 【答案】24 【分析】由菱形的性质得，，，，再证明是等边三角形，得，然后求出，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵以点C为圆心，的长为半径作圆弧交线段于点E， ∴， ∴， ∴菱形的周长． 题型03.利用菱形的性质求面积 【典例】已知菱形的两对角线长分别为和，则菱形的面积为（    ） A．8 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【详解】∵菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，已知该菱形两对角线长分别为和， ∴菱形的面积． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，对角线交于点O，，．则菱形的面积是______． 【答案】 4 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， 在中，， ∴， ∴ ． 【跟踪专练2】如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C．48 D．96 【答案】C 【分析】由菱形的性质得，，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型04.利用菱形的性质证明 【典例】有一组邻边相等的平行四边形是____________ 菱形是特殊的____________，因此它具有平行四边形的所有性质，但它也有自己独特的性质． 【答案】 菱形 平行四边形 【解析】略 【跟踪专练1】在菱形中，对角线相交于点，下列结论中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，理解其性质是解题的关键． 根据菱形的性质解题即可． 【详解】解：∵ 四边形是菱形， ∴ ，，， ∴选项、、不合题意； 不一定成立（仅当菱形为正方形时对角线相等） ∴选项符合题意． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，连接． （1）________（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）若，菱形的面积为4，则的长为______． 【答案】 ＝ 【分析】（1）由菱形的性质得，，再由等腰三角形的性质得，然后由直角三角形斜边上的中线性质得，则，即可得出结论； （2）由菱形面积求出，再由勾股定理求出，然后由，即可得出答案． 【详解】（1）四边形是菱形， ，． ． ， ． ． ． ． 故答案为：； （2）四边形是菱形， ，，． ． ，即， ． ． 在中，由勾股定理，得． ，即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 题型05.菱形的判定与证明 【典例】下列图片中，能观察到菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形称为菱形．菱形的四条边相等，据此判定即可． 【详解】解：选项A中四边形不是平行四边形， 选项B中，四边形的四边相等，能观察到菱形，符合题意； 选项C中是矩形， 选项D中没有四边都相等的四边形． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个菱形，只需添加的一个条件是______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．先证四边形是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论． 【详解】解：需添加的一个条件是，理由如下： ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形ABCD是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练2】的两边、的长是关于的方程的两个实数根．当为________时，四边形是菱形． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系和平行四边形和菱形的性质．先根据菱形的性质得到，则根据根的判别式的意义得到，然后解关于m的方程即可解题． 【详解】解：由题可得：， 则方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，，是的对角线，过点作，交的延长线于点，则添加下列条件，不能使为菱形的是（   ） . A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据各选项条件，结合菱形判定依据，逐一分析能否判定平行四边形为菱形． 【详解】解：A、∵是平行四边形， ∴，． ∵， ∴，是平行四边形． ∴． ∵， ∴是菱形，不符合题意． B、∵， ∴． ∵， ∴只能说明是的角平分线，无法推出的邻边相等或对角线垂直，不能判定其为菱形，符合题意． C、，直接根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定是菱形，不符合题意． D、由三角形外角性质，， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴是菱形，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定定理、三角形外角性质，解题关键是准确区分 “能判定菱形的条件” 和 “不能判定菱形的条件”，熟练将角的关系转化为边的关系． 题型06.由菱形的性质与判定求角度 【典例】如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则______°． 【答案】25 【分析】根据作图，得到，得到菱形，根据菱形的性质解得即可． 本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据作图，得到， 故四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：25． 【跟踪专练1】按如下步骤作四边形：（）画；（）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交于点；（）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（）连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明四边形是菱形，再根据菱形的性质即可求得答案． 【详解】解：由作图可知，， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，是的角平分线，交于，交于．且交于，则_____度． 【答案】 【分析】先根据平行四边形的判定定理得出四边形为平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的性质得出，故可得出为菱形，根据菱形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图：   ，， 四边形为平行四边形， ，， 是的角平分线， ， ， 为菱形． ，即． 题型07.由菱形的性质与判定求线段长. 【典例】如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，若，四边形的面积为，则的长为______． 【答案】10 【分析】根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．本题考查了菱形的判定与性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半的性质，判定出四边形是菱形是解题的关键． 【详解】解：根据作图，， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， 解得． 故答案为：10． 【跟踪专练1】如图，在中，，若，则的周长为（   ） A．12 B．24 C．30 D．36 【答案】B 【分析】可证明是菱形，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴是菱形， ∴， ∴的周长． 【跟踪专练2】以矩形对角线上两点，为对角线作菱形，点，分别落在矩形边，上．若，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，连接，交于点，连接，先证明，进而推出四边形为菱形，在中，勾股定理求出的长，在中，勾股定理求出的长，进而求出的长，在中，勾股定理求出的长，在中，勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：连接，交于点，连接， ∵菱形， ∴，，，， ∴即： ∵矩形， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故答案为：． 题型08.由菱形的性质与判定求面积 【典例】一个平行四边形的一条边长是，两条对角线的长分别是和，这个平行四边形的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，菱形的判定和性质，利用平行四边形的性质和勾股定理的逆定理可得，即得平行四边形是菱形，再根据菱形的面积公式计算即可求解，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，平行四边形中，，，， 则，， ∵， ∴是直角三角形，，即， ∴平行四边形是菱形， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，已知，分别以点 、 为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是（   ） A．12 B．24 C．30 D．48 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 首先根据题意得到四边形是菱形，进而得到，，然后利用勾股定理得到，求出，最后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意可得，， ∴四边形 是菱形， ∴设 和 交于点O， ∴，， ∴ ∴ ∴四边形的面积． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F；②分别以点F，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点G；③作射线，交边于点E，交于点O，连接．若，，则四边形的面积为_________． 【答案】24． 【分析】根据作图可知AG是角平分线，根据等腰三角形的性质判断四边形AFEB是菱形，求出对角线长即可求面积． 【详解】解：由作图可知，AG平分∠BAF，AB=AF， ∴AG垂直平分BF，∠FAG=∠BAE， ∴EF=EB， ∵AD∥BE， ∴∠FAE=∠AEB， ∴∠BAE =∠AEB， ∴AB=BE， ∴AB=BE=EF=AF， ∴四边形ABEF是菱形， ∴BO=FO=4， ∴， AE=6， 菱形的面积为； 故答案为：24． 【点睛】本题考查了角平分线的作法、菱形的判定与性质、勾股定理和平行四边形的性质，解题关键是明确角平分线作法，证出四边形是菱形． 题型09.菱形与折叠问题 【典例】如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为________． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 连接，由菱形的性质及，得到为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，，，进而求出，由折叠的性质得到，再利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，，， ∴， ∵垂直平分， ∴平分， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，M，N分别是边，上任意一点，将菱形沿翻折，点A落在对角线上的点E处，下列结论．①；②若，则；③若M是的中点，则四边形是菱形；④若菱形边长为6，M是的中点，去掉点A落在对角线上的条件，则的最小值为．其中所有正确结论的序号是_____．    【答案】①②③ 【分析】本题利用菱形的性质和折叠的性质，结合相似三角形的判定定理和性质，以及点到直线的距离等知识进行解答．对于①，通过菱形的性质，折叠的性质及三角形内角和定理得到，再由证得；对于②，由①的结论结合三角形内角和定理求得的度数，最后利用折叠的性质即可判断；对于③，利用线段中点的性质，折叠的性质证得和是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，最后利用平行四边形邻边相等即可判断；对于④，通过折叠的性质可得点E的轨迹是以点M为圆心，为半径的圆上，当C，E，M三点共线时，取得最小值，通过构造辅助线，利用解含30度直角三角形的性质及勾股定理即可求得目标线段的长度进行判断． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由折叠可知，， ∴， 又∵， ∴， ∴，结论①正确； ∵， 由①可知，， 在中，， 由折叠可知，， ∴， ∴，结论②正确； ∵M是的中点， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 同理可得是等边三角形， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形，结论③正确；    ∵菱形边长为6，M是的中点， ∴， 由折叠可知，， ∴点E的轨迹是以点M为圆心，为半径的圆上， 当C，E，M三点共线时，取得最小值， 此时， 如图，过点M作交延长线于点F，    ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴，结论④错误， 综上，正确结论序号是①②③． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据菱形的性质，得到，折叠得到垂直平分，进而推出为等腰直角三角形，求出，再根据线段的比例和差关系，进行求解即可． 【详解】解：菱形中，， ， 由折叠可得，垂直平分， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 故选：D． 题型10.菱形与动点问题 【典例】如图，矩形中，，，点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是1cm/s，设运动时间为（），若四边形是菱形，则的值为___________． 【答案】 【分析】先得到四边形是平行四边形，则当时，四边形是菱形，然后表示出，再对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：由题意得，，则， ∵四边形是矩形 ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∵ ∴， 解得 ∴四边形是菱形，则的值为． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，是对角线上的动点，若，，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、利用轴对称求最短路径问题、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，关键是利用轴对称将折线段转化为直线段，再结合垂线段最短的性质确定最小值的位置，通过构造直角三角形求解线段长度． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴平分，，． 作点关于的对称点， ∵是的角平分线， ∴点落在上，连接，则由轴对称的性质得， ∴， ∴当点、、三点共线时，取得最小值为， 而当时，的长度为最小的线段长，即此时取得最小值． 过点作于点， ∵， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 由勾股定理得， ∴(舍去负根)， ∴，即的最小值为． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在菱形 中，、交于点，，，点为线段上的一个动点．过点分别作于点 ，作于点 ，则的值为（    ） A． B．5 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，解题关键是掌握菱形的性质．先利用菱形的对角线互相垂直平分求出菱形边长，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 题型11.菱形与最值问题 【典例】如图，菱形，点A、B、C、D均在坐标轴上，，点，点E是的中点，点P是上的一动点，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短解答即可． 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵菱形，点A、B、C、D均在坐标轴上，，点， ∴，，， ∴， ∴，是等边三角形， ∵点E是的中点， ∴， ∵点D与点B关于对称， 故连接，交于点， 当点P与点重合时，的值最小， 且最小值为的长， 由是等边三角形， 故， ∴， ∴， 故的最小值为4， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，菱形中，点为的中点，点为对角线上一个动点，连接、，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角函数，连接，与交于，由菱形的性质可得，进而可得，得到当且仅当最小，即 三点共线，且时，最大 ，此时，又根据点为边的中点，，得到，即可得到是等边三角形，，，利用三角函数可得，即可求出的最大值，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接，与交于， ∵菱形， ∴与互相垂直平分， ∴点、点关于对称， ∴， 又∵， ∴， 当且仅当最小，即 三点共线，且时，最大 ， 此时， ∵点为边的中点，， ∴， ∵ ， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，，E、F分别为线段和线段上两动点，且满足，连接、，则的最小值为________． 【答案】 【分析】过点C作，且，连接，设交于点O，由菱形的性质得到，则可证明，设，则，由勾股定理得，解方程可推出；证明，得到，则可推出当A、F、G三点共线时，有最小值，最小值为线段的长，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作，且，连接，设交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； ∵四边形是菱形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、F、G三点共线时，有最小值，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为． 题型12.菱形的多结论判断问题 【典例】如图，在菱形中，，与交于点O，E为延长线上一点，且，连接，分别交，于点F、G，连接、，则下列结论： ①； ②四边形是菱形； ③四边形与四边形面积相等． 其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】①由证明，得出，证出是的中位线，得出，①正确；②先证四边形是平行四边形，再证、是等边三角形，得，则四边形是菱形，②正确；③由菱形的性质可得，由中线的性质，即可得四边形与四边形面积相等，得出③正确． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是的中位线， ∴，故①正确； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴、是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形，故②正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形与四边形面积相等，故③正确； 故正确的结论有3个． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由菱形的性质及等边三角形的性质得到，由三角形的内角和为求出的值，得出，由直角三角形的性质得到，即可得到；在直角三角形中，，故与不全等，由三角形的面积公式即可判断． 【详解】解：菱形， 是等边三角形，是等边三角形， ， 分别是的中点， ，故①正确； ， ， 在和中， ， ， ，故②正确； 是直角三角形， ， 与不全等，故③错误； ， ， ，故④正确； 综上，正确的有3个． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B为x轴上一点，菱形的边为长2，， 点D是边上一动点 （不与点 O， B重合）， 点E在边上， 且，下列结论：①； ②的大小随点D的运动而变化；③直线 的解析式为 ④的最小值为 其中错误的有__________．（填写序号） 【答案】② 【分析】根据菱形的边长为，，可得为等边三角形，又，可证；由，可以证出为等边三角形，所以大小不变；求出，的坐标可以求出直线的解析式为；根据垂线段最短，当时有最小值． 【详解】解：∵菱形的边长为，， ∴，为等边三角形， ∴，，， 在和中 ， ∴；（故①正确） ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的大小随点的运动而是不变化的；（故②不正确） 如图，过点作轴于， ∴， ∵四边形是菱形，且边长为，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为；（故③正确） 根据垂线段最短， ∴当时，有最小值， ∵， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， 即的最小值为．（故④正确）． 故答案为：②． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，待定系数法确定一次函数的解析式，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短．解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 题型13.菱形的存在性问题 【典例】如图，在矩形中，，，点H在上，，E，G是矩形的边，上的动点，以E，H，G，F四点构造菱形．在点E、G运动变化过程中，点F到的距离为______；点F的运动轨迹（起点到终点）长度为______． 【答案】 3 【分析】如图，过作于，延长交于点，证明，可得，可得点F到的距离为，在线段上运动，记与的交点为，此时，且，可得，当重合时，如图，，当重合时，同理：，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，过作于，延长交于点， 而四边形是矩形； ∴，，，， ∴， ∵菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F到的距离为， ∴在线段上运动，记与的交点为，此时，且， ∴， 当重合时，如图， ， ∴，， 当重合时， 同理：， ∴， ∴， ∴点F的运动轨迹（起点到终点）长度为； 故答案为：3， 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，矩形的性质，菱形的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键. 【跟踪专练1】如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的角平分线于点E，交的外角平分线于点F．   (1)求证：； (2)当点O运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论． (3)当点运动到何处，且当满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)当点运动到的中点时，四边形是矩形；证明过程见解析 (3)当是直角三角形，且运动到的中点时，四边形是菱形；证明过程见解析 【分析】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到，，即可得证； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可； （3）先证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判断即可； 【详解】（1）证明：， ， 又平分， ， ， ， 同理可得：， ； （2）解：当点运动到的中点时，四边形是矩形； 证明如下：当点运动到的中点时，， ， 四边形是平行四边形， 由（1）可得， ， ，即， 四边形是矩形； （3）解：当是直角三角形，且运动到的中点时，四边形是菱形； 证明如下：当点运动到的中点时，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是菱形． 【跟踪专练2】,如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别为，连接和，点P为线段上从左向右运动的点，以为边作菱形，其中点E落在x轴上． (1)则的长为_____，的度数为_____； (2)在点P运动过程中，是否能使得四边形为正方形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点P运动到使菱形的顶点F恰好在边上时，求出此时点F的坐标； (4)若要使得顶点F不落在四边形外，请写出菱形的对角线交点的运动路径长．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）过点作于，证明是等腰直角三角形，即可得到答案； （2）由题意，根据正方形的性质，只要证明，即可得到答案； （3）过点作于，延长、交于点，证明，然后求出，即可得到答案； （4）过点作轴于，延长，交直线于，连接、，交于点，结合菱形的性质和勾股定理，得到点的坐标为；然后找出临界点，经过讨论分析，即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作于，如图： 由题意，点、、、坐标分别为， ，，，， ∴， ， 是等腰直角三角形， ，； （2）解：存在；理由如下： 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为； （3）解：如图，过点作于，延长、交于点，则四边形是矩形，此时； ∵四边形为菱形， ∴，， 又， ， ，， ， 又∵， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为； （4）解：如图，过点作轴于，延长，交直线于，连接、，交于点， 由（3）可知，， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， 点的坐标为， 的中点的坐标为； 点在直线上运动，点在直线上运动，且横坐标的值随的增大而增大； 当点在原点时，即，此时为； 当点在最右端时，即的值最大，此时点恰好在上，即； ， ， 点为； 点的最左端坐标为，最右端的坐标为； 点的运动路径长为：． 【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，通过构造垂线、利用等腰直角三角形与全等三角形，将菱形、正方形的性质转化为坐标计算．动点路径分析时，抓住中点坐标规律，结合临界位置求解，体现了“数形结合”与“化动为静”的解题思想． 【解答题】 1．如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为． (1)求证：； (2)若，则的度数为__________． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握菱形的性质是关键． （1）由菱形的性质可得，，结合，，可证明，则； （2）由三角形内角和定理可得，结合，则．根据菱形的邻角互补的性质可得，作差求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 2．如图，在菱形中，对角线和交于点O，分别过点B、C作，，与交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）先由平行四边形的定义证明四边形为平行四边形，然后再由菱形的性质得到，故四边形是矩形； （2）证出为等边三角形，得，则，由勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】（1）证明：， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形， ， 是的中点， ， 是等边三角形， ， ， 在中， ， ， 四边形是矩形， ， 在中， ， ， 【点睛】本题主要考查的是矩形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、 等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 3．如下图，在菱形中，对角线、交于点，若，，则菱形的面积？ 【答案】 【分析】根据菱形的性质易证是等边三角形，再利用勾股定理求出，则，最后根据菱形面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【详解】解：在菱形中，，， ，，，， 是等边三角形， ， ， 在中，， ， 菱形的面积=． 4．如图，在菱形中，是的中点，，的延长线交于点，连接，． . (1)求证：； (2)连接，请判断与的位置关系，并说明理由； (3)当菱形满足______时，四边形是菱形． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，求得，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，求得，得到，根据垂直的定义得到； （3）根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，求得，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明∶∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵是的中点， ∴， 在与中． ∴， ∴； （2）解：，理由： 如图， ∵四边形是菱形 ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：当菱形满足时，四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是菱形 ∴． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是菱形． 故答案为：． 5．如图，四边形中，,点在边上，四边形为平行四边形，，动点从点出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点运动，设点的运动时间为秒． (1)的长为___________，的长为___________； (2)连结，若将的面积分为两部分，求的值； (3)若为等腰三角形，求的值； (4)在点运动过程中，作点关于直线的对称点，当直线与边或边平行或共线时，直接写出的值． 【答案】(1)13，20 (2)5或 (3)或或 (4)5或 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得，再根据勾股定理求出，然后根据得出答案． （2）先表示出,，再分两种情况可得或，然后得出两个方程，求出解即可； （3）作，连接，根据平行四边形的性质得，再根据勾股定理求出，然后根据为等腰三角形，分三种情况，分别列出方程求出解即可； （4）当共线时，则，根据可得，即可求出；当时，连接，先根据“边边边”证明，再说明，进而得出，即可得出四边形是菱形，然后根据边长相等可得答案． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：13，20； （2）解：如图所示， 由题意，得, ∵， ∴． ∵将的面积分为两部分， 即或，且等高， ∴或， ∴或， ∴或， 解得或， ∴t的值为5或； （3）解：如图，过点E作，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵, ∴． 由（1）知由（2）知， ∴． ∵为等腰三角形， ∴分三种情况： 当时，则， 解得； 当时， ∴即则， 解得； 当时，， ∵， ∴， 在中，，即， 解得． 综上所述，当为等腰三角形，t的值为或或； （4）解：∵点B，C，D在同一条直线上，点M与点D关于直线对称， ∴如图所示，当共线时，则， 同理（3）可得， ∴， ∴； 如图，当时，连接， 由对称的性质得， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴点M在上，即四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形， ∴，即， 解得． 综上所述，当直线与边或边平行或共线时，t的值为5或． 【点睛】运用分类讨论的思想方法是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $