精品解析：浙江杭州市临平区树兰中学2025-2026学年下学期九年级学情自测数学试卷

2025-2026学年浙江省杭州市临平区树兰中学九年级（下）开学数学试卷 一.选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 2. 下列各实数中最小的是（　　） A. B. 0 C. D. 3. 如图，点A，B，C均在上，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，直线，直线分别与直线相交于点和点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 百货商场试销一批新款衬衫，一周内销售情况如表所示，商场经理想要了解哪种型号最畅销，那么他最关注的统计量是（ ） 型号（厘米） 38 39 40 41 42 43 数量（件） 23 31 35 48 29 8 A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 7. 已知直角三角形的一条直角边、斜边，则以为轴旋转一周，所得到的圆锥的底面积是（　　） A. 90πcm2 B. 209πcm2 C. 155πcm2 D. 8. 九章算术中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐满，请问客官，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了只船，大船每只坐人，小船每只坐人，个人，刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有只小船，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知某函数的函数值y和自变量x的部分对应值如表： x y b 则这个函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，以的斜边为边作正方形，点C在正方形外部，连结交于点F，连结．若的周长是6，的面积是，则正方形的面积是（　　） A. 5 B. C. 6 D. 二.填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11. __________． 12. 因式分解：___________． 13. 如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形．若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形有________个． 14. 如图，为的中线，为的中线，若的面积为30，，则点E到边的距离为____． 15. 已知实数x满足，则分式的值为_____________； 16. 如图，在矩形中，，F是的中点，E是边上的动点，与关于对称，点A的对称点为G，当点G落在的垂直平分线上时，的长是____；连结，，当点G恰好是的重心时，的长是_____． 三.解答题（共72分） 17. 计算：． 18. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 19. 如图，在中，是角平分线，． （1）求证：． （2）若，，且的面积为8，求的面积． 20. 某网站调查；2024年网民们关注的热点话题为：消费、教育、环保、反腐及其它共五类．根据抽样调查的相关数据绘制统计图表如下，根据信息解答下列问题： （1）本次共抽查______人，“反腐”的圆心角度______，关注教育的有______人； （2）某市约有2800万人，由上述数据估计该市关注“消费”的人数是多少？ （3）某部门有甲、乙、丙、丁四人关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，请用列表法或树状图法计算抽取的两人恰好是甲和乙的概率； 21. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，研究人员对某型号机器狗的最快移动速度和负重重量的数据进行了记录，得到部分数据如下表所示： 负重重量 30 20 15 12 10 最快移动速度 2 3 4 5 6 （1）请选择合适的函数模型，并求出关于的函数解析式． （2）若想要该型号的机器狗载重后的最快移动速度大于，求负重重量的取值范围． 22. 如图1，矩形是矩形以点为旋转中心，按顺时针方向旋转角度为所得的图形，其中．连接，，．已知，． （1）求的度数（用含的代数式表示）． （2）如图2，当经过点时，求的值． （3）如图3，当平分时，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，，在二次函数的图象上． （1）当时，求该函数图象的顶点坐标． （2）若，求的取值范围． （3）若，且当时，有最小值，求的值． 24. 如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦于点F，延长至点Q，连接，若恰与相切． （1）求证：； （2）若点P是上的一点，连接，， ①若，，求的值； ②当时，若，用含有k的代数式表示． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年浙江省杭州市临平区树兰中学九年级（下）开学数学试卷 一.选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】解：|﹣5|=5． 故选A． 2. 下列各实数中最小的是（　　） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】根据实数比较大小的方法，可得 ＜＜0＜|-2|， ∴各实数中最小的是． 故选C． 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 3. 如图，点A，B，C均在上，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；同底数幂的除法，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项，底数相同，指数也相同，合并同类项时，字母及指数不变，系数相加或相减，由此即可求解． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； 故选：B． 5. 如图，直线，直线分别与直线相交于点和点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理解答即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6. 百货商场试销一批新款衬衫，一周内销售情况如表所示，商场经理想要了解哪种型号最畅销，那么他最关注的统计量是（ ） 型号（厘米） 38 39 40 41 42 43 数量（件） 23 31 35 48 29 8 A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 【答案】D 【解析】 【分析】既然是对新款衬衫的型号销售情况作调查，那么应该关注那种型号销的最多，故值得关注的是众数． 【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故应最关心这组数据中的众数． 故选：D． 【点睛】此题主要考查统计量的选择，解题的关键是了解众数的意义，难度不大． 7. 已知直角三角形的一条直角边、斜边，则以为轴旋转一周，所得到的圆锥的底面积是（　　） A. 90πcm2 B. 209πcm2 C. 155πcm2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理求得底面半径，然后求得底面积即可． 【详解】解：∵直角三角形ABC的一条直角边、斜边， ∴， ∴底面积为， 故选：D． 【点睛】考查了圆锥的计算及勾股定理的知识，解题的关键是确定哪一条边是底面半径，难度不大． 8. 九章算术中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐满，请问客官，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了只船，大船每只坐人，小船每只坐人，个人，刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有只小船，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据小船数量表示大船数量，再根据总人数列方程． 【详解】解：设有x只小船，则大船有只． ∵小船每只坐4人，∴小船共坐4x人． ∵大船每只坐6人，∴大船共坐人． ∵总人数为38人， ∴． 故选D． 9. 已知某函数的函数值y和自变量x的部分对应值如表： x y b 则这个函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质，熟练掌握一次函数，反比例函数的图象和性质是解题的关键；利用表格中x的增加值和y的减小值的特点，即可判断选项． 【详解】解：根据表格可知，x的值每增加1，y的值就减少2，则可判断是一次函数，且y随x的增大而减小， 故选：． 10. 如图，以的斜边为边作正方形，点C在正方形外部，连结交于点F，连结．若的周长是6，的面积是，则正方形的面积是（　　） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、正方形性质、三角形和正方形面积公式，根据题意作出适合的辅助线是解题的关键． 过点C作，交的延长线于点G，作，交的延长线于点H，设则，利用等面积求出，进而利用割补法表示出，从而建立关于c的方程求解即可． 【详解】解：如图，过点C作，交的延长线于点G，作，交的延长线于点H． 已知的周长是6， 设 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 二.填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11. __________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查了立方根的定义，属于基础概念题，熟知立方根的概念是解题的关键； 根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式 【详解】解： 13. 如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形．若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形有________个． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据题意得出指针指向红色的概率是，再根据有12个等分区，结合概率公式即可求出答案． 【详解】解：（个）． 故涂上红色的小扇形有3个． 故答案为：3． 【点睛】此题考查了概率公式，掌握概率公式的求法即概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 14. 如图，为的中线，为的中线，若的面积为30，，则点E到边的距离为____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据三角形中线平分三角形面积得到，利用三角形的面积公式即可求出答案． 【详解】解：过E点作于H，如图， ∵为的中线， ∴ ∵为的中线， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴点E到边的距离为3． 15. 已知实数x满足，则分式的值为_____________； 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值； 由已知条件 ，可得 ，即 ．代入分式的分母可得 ．再化简分式即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为 ． 16. 如图，在矩形中，，F是的中点，E是边上的动点，与关于对称，点A的对称点为G，当点G落在的垂直平分线上时，的长是____；连结，，当点G恰好是的重心时，的长是_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】点F作，交于点H，交于点M，易得当点G在的垂直平分线上时有H，M，G，F四点共线，由勾股定理可得，证，求得，利用勾股定理求出即可；当点G是的重心时，令点G在的垂直平分线上，都，易证，利用中位线定理求出，进而得解． 【详解】解：如图：过点F作，交于点H，交于点M， ，，且， ∴四边形为矩形， ∴， ∵F是的中点，四边形为矩形， ∴， ∴ ∴H是的中点， ∴， ， ∴， ∴， M也是的中点， 当点G在的垂直平分线上时，有H，M，G，F四点共线． 与关于对称， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ①当点G落在的垂直平分线上时， ， ∵， ， ， 解得， ， ②当点G是的重心时，， 当点G落在的垂直平分线上时，如图 由①可知，， ，， ， 又为中点，， ， ， H，M分别是，的中点， ， ． 三.解答题（共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了负指数幂，立方根的计算，掌握负指数幂，立方根的计算方法是关键． 先算负指数幂，化简绝对值，立方根，再根据实数的计算即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示解集如下： 【解析】 【分析】先分别求解两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集，然后在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 19. 如图，在中，是角平分线，． （1）求证：． （2）若，，且的面积为8，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线， ∴． 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是利用角平分线和已知角相等证明三角形相似，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解面积． （1）要证明，需找到两组对应角相等．利用角平分线的性质得到，结合已知，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可证明． （2）由，根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方．先通过对应边成比例求出相似比，再结合的面积计算的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 20. 某网站调查；2024年网民们关注的热点话题为：消费、教育、环保、反腐及其它共五类．根据抽样调查的相关数据绘制统计图表如下，根据信息解答下列问题： （1）本次共抽查______人，“反腐”的圆心角度______，关注教育的有______人； （2）某市约有2800万人，由上述数据估计该市关注“消费”的人数是多少？ （3）某部门有甲、乙、丙、丁四人关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，请用列表法或树状图法计算抽取的两人恰好是甲和乙的概率； 【答案】（1）1400，，350 （2）840万 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，树状图求概率． （1）根据关注环保的人数是140人，所占的比例式是，即可求得总人数，关注“反腐”的人数占总人数的百分比乘以可得“反腐”的圆心角度，利用总人数乘以关注教育的比例求得关注教育的人数； （2）利用总人数乘以关注“消费”的百分比即可； （3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：调查的总人数是：（人）， “反腐”的圆心角度是：， 关注教育的人数是：（人）， 故答案为：1400，，350； 【小问2详解】 解：， 答：估计该市关注“消费”的人数是840万人； 【小问3详解】 解：画树形图得： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽取的两人恰好是甲和乙的有2种结果， 所以抽取的两人恰好是甲和乙的概率为． 21. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，研究人员对某型号机器狗的最快移动速度和负重重量的数据进行了记录，得到部分数据如下表所示： 负重重量 30 20 15 12 10 最快移动速度 2 3 4 5 6 （1）请选择合适的函数模型，并求出关于的函数解析式． （2）若想要该型号的机器狗载重后的最快移动速度大于，求负重重量的取值范围． 【答案】（1） （2）负重重量的取值范围是． 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）由数据可知，得到与成反比例，则关于的函数解析式，即可解答； （2）令，即，求出，再根据，得到，即可解答． 【小问1详解】 解：由数据可知， ∴与成反比例， ∴关于的函数解析式． 【小问2详解】 解：令，即， 解得， 又∵， ∴． 答：负重重量的取值范围是． 22. 如图1，矩形是矩形以点为旋转中心，按顺时针方向旋转角度为所得的图形，其中．连接，，．已知，． （1）求的度数（用含的代数式表示）． （2）如图2，当经过点时，求的值． （3）如图3，当平分时，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质和等腰三角形的性质并结合三角形内角和定理求解即可； （2）由矩形的性质得出，，，由勾股定理结合旋转的性质得出，求出，即可得解； （3）过点作，解直角三角形得出，由等腰三角形的性质得出平分，，进而可得，再解直角三角形得出的长，即可得解． 【小问1详解】 解：∵矩形是矩形以点为旋转中心，按顺时针方向旋转角度为所得的图形， ∴，， ∴为等腰三角形， 【小问2详解】 解：∵，，四边形为矩形， ∴，，， ∴， 由旋转的性质可得：， ∵经过点， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：过点作， ， 由旋转的性质可得：，，，， 在中，， 由（1）知，为等腰三角形， ∵， ∴平分，， ∵平分，， ∴ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、旋转的行驶在、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，，在二次函数的图象上． （1）当时，求该函数图象的顶点坐标． （2）若，求的取值范围． （3）若，且当时，有最小值，求的值． 【答案】（1）该函数图象的顶点坐标 （2） （3）的值是或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据的值，得到在二次函数图象上，化成顶点式，得到顶点坐标； （2）根据点坐标，表示出，代入到，得到结果； （3）根据题意，得到解析式，结合题意，求得值即可． 【小问1详解】 解：， ∴在二次函数图象上， ， 该函数图象的顶点坐标； 【小问2详解】 解：∵，在二次函数的图象上 ∴，， ， ∴ ， 【小问3详解】 解：， ， ， ， 该函数图象的对称轴为直线， 当时，该函数在处取到最小值， ， 解得，符合题意， 当时，该函数在处取到最小值， ， 解得，不合题意舍去， 当时，该函数在处取到最小值， ， 解得不合题意舍去， 综上所述，的值是或． 24. 如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦于点F，延长至点Q，连接，若恰与相切． （1）求证：； （2）若点P是上的一点，连接，， ①若，，求的值； ②当时，若，用含有k的代数式表示． 【答案】（1）见解析； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）如图，连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，根据全等三角形的性质得到，根据相似三角形的判定定理得到，； （2）①如图2，连接，由D是的中点，得到，求得，根据相似三角形的性质得到，设的半径为r，则，得到，根据勾股定理得到，根据三角函数的定义得到， ②如图，过点A作于点G，连接，设，则，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是的切线， ， 为的直径， ， ， ， 又， ； 【小问2详解】 解：①如图2，连接， 是的中点， ， ∴， ∵， ， ， ， 又， ， ， 设的半径为r，则， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， ， ， ， ， ， ②如图，过点A作于点G，连接， 设，，则， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握各知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $