精品解析： 吉林省长春市南关区东北师大附中净月实验学校2021-2022学年九年级上学期期初数学试卷

2021-2022学年吉林省长春市南关区东北师大附中净月实验学校九年级（上）期初数学试卷 一、选择题：（每小题3分，共24分） 1. 下列函数中，一定是二次函数是（　　） A. y=ax2+bx+c B. y=x（﹣x+1） C. y=（x﹣1）2﹣x2 D. y= 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、当a=0时，二次项系数等于0，不是二次函数，故选项错误； B、是二次函数，故选项正确； C、是一次函数，故选项错误； D、不是整式，不是二次函数，故选项错误； 故选B． 【点睛】考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 2. 抛物线y＝（x﹣5）2的顶点坐标是（　　） A. （0，﹣5） B. （﹣5，0） C. （0，5） D. （5，0） 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可得解． 【详解】解：抛物线y=（x-5）2的顶点坐标是（5，0）． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用顶点式解析式求顶点坐标，是基础题，需熟记． 3. 抛物线与轴的交点坐标是（ ） A. （0，2） B. （，0） C. （2，0） D. （0，） 【答案】D 【解析】 【分析】令利用函数解析式求得对应的的值即可求得答案． 【详解】解：∵令，则 ∴抛物线与轴的交点坐标是． 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数与坐标轴交点的特点是解答此题的关键． 4. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是( ) A. 开口向上 B. 对称轴是x=-3 C. 当x>-4 时，y随x的增大而减小 D. 顶点坐标为(-2，-3) 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的性质由a=-2得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为（-3，0），对称轴为直线x=-3，当x>-3时，y 随 x的增大而减小． 【详解】解：二次函数y=-2（x+3）2的图象开口向下，顶点坐标为（-3，0），对称轴为直线x=-3，当x>-3时，y随x的增大而减小， 故B正确，A、C、D不正确， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下． 5. 将函数的图象向下平移两个单位，以下错误的是（ ） A. 开口方向不变 B. 对称轴不变 C. 随的变化情况不变 D. 与轴的交点不变 【答案】D 【解析】 【分析】将函数的图象向下平移两个单位得到新解析式，根据二次函数的性质和函数与轴交点的求法，逐项分析判断即可 【详解】解：将的图象向下平移两个单位，得到新函数 二次函数开口方向由二次项系数决定，两个函数的二次项系数都是， 开口方向不变，A不符合题意； 原函数对称轴为，新函数对称轴也为， 对称轴不变，B不符合题意； 开口方向和对称轴都不变， 随的变化情况不变，C不符合题意； 原函数与轴的交点为，新函数与轴的交点为，两个交点不相同， 与轴的交点发生改变，D符合题意． 6. 如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解直角三角形，已知一条直角边和一个锐角，求斜边的长． 【详解】 ， ． 故选D． 【点睛】本题考查解直角三角形应用，掌握特殊锐角三角函数的值是解题关键． 7. 在边长为的正方形中，对角线与相交于点O，P是上一动点，过P作，分别交正方形的两条边于点E，F．设，的面积为y，当时，y与x之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正方形的性质和勾股定理求得AC=BD=2，再由面积公式可求y与x的函数关系，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC=BD=2，OB=OD=BD=1， ∵当1＜x＜2时，即P在OD上， ∵EF∥AC， ∴△DEF∽△DAC， ∴EF：AC=DP：OD， 即EF：2=（2-x）：1， ∴EF=4-2x， ∴y=EF•OP=×(4−2x)•(x−1)=-x2+3x-2． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，解答本题的关键是利用三角形的面积公式列出二次函数解析式解决问题． 8. 已知点A(1，1) 、B(3，1) 、C(4，2) 、D(2，2)， 若抛物线y=ax2(a>0)与四边形ABCD的边没有交点，则a的取值范围为（ ） A. < a< 1 B. < a< 1 C. a>l或0< a< D. a>1或0<a< 【答案】D 【解析】 【分析】把A（1，1），B(3，1)分别代入y＝ax2求得a＝1，a=，然后根据图象即可求得答案． 【详解】解：如图所示：把A（1，1）代入y＝ax2得，a＝1， 把B（3，1）代入y＝ax2得a＝， ∵抛物线的开口越小，|a|的绝对值越大， ∴抛物y＝ax2与四边形ABCD的边没有交点，则a的取值范围为：a>1或0<a< 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象开口大小与二次项系数绝对值的关系，数形结合是解题的关键． 二、填空题：（每题3分，共18分） 9. 若点在二次函数的图象上，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】将点代入，得到关于的一元一次方程，解方程即可． 【详解】点在二次函数上 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的特点，解题关键是掌握凡是函数图像上的点必满足解析式成立． 10. 二次函数的图象如图所示，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线开口向上可得k+1＞0，解出k的范围即可. 【详解】由题意得：k+1＞0，解得k＞﹣1. 故答案为k＞﹣1. 【点睛】本题主要考查二次函数图像与系数的关系. 11. 如果函数是关于x的二次函数，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据二次函数的定义可得二次项系数不为0，且x的最高次数为2，据此列方程与不等式求解即可得到k的值． 【详解】解：根据二次函数的定义，得， 解方程，解得或． 由得， 因此． 12. 若点（-2，）和（，）在函数的图象上，则__（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】> 【解析】 【分析】代入求出函数值，直接比较大小即可． 【详解】解：把x=-2代入得，， 把x=代入得，， ＞， 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了比较二次函数函数值大小，解题关键是代入自变量值，准确计算． 13. 如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿上长为时，它离地面的高度为，则坝高为__________． 【答案】2.7 【解析】 【分析】根据，可得，进而得出即可． 【详解】解：如图，过作于，则， ∴，即， 解得， 故答案为：2.7 【点睛】本题考查了相似三角形应用，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】点代入抛物线中求出解析式为，再设CD=2x，进而求得E点坐标为(x,4-2x)，代入中即可求解． 【详解】解：将点代入抛物线中，解得， ∴抛物线解析式为， 设CD、EF分别与轴交于点M和点N， 当四边形CDFE为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x， 此时E点坐标为(x,4-2x)，代入抛物线中， 得到：， 解得，(负值舍去)， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，属于基础题，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键． 三、解答题：（共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，5 【解析】 【分析】根据分式的运算法则化简，再代入数据即可求出答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 16. 某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由元降到了元．求平均每月降价的百分率． 【答案】 【解析】 【分析】本题可根据：，然后列出方程求解即可． 【详解】解：设平均降价x元，依题意得： 化简得： 解得： 或（舍去） 答：平均每月降价的百分率为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题；解题关键是列出方程并正确求解． 17. 已知抛物线经过点． （1）求a的值； （2）当时， ． 【答案】（1）3 （2）12 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可得函数解析式，再把代入解析式中求出此时的函数值即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线的解析式为， 当时，． 18. 如图，抛物线向右平移1个单位得到的抛物线，回答下列问题： （1）抛物线的解析式是 ，它的顶点坐标为 ，它的对称轴为直线 ． （2）阴影部分的面积 ． （3）若再将抛物线沿轴翻折得到抛物线，则抛物线的解析式为 ，开口方向 ，顶点坐标为 ． 【答案】（1），， （2）2 （3），向下， 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的移动规律左加右减可直接得出抛物线的解析式，再根据的解析式求出顶点坐标即可； （2）根据阴影部分的面积等于底高，列式计算即可； （3）根据关于轴对称的点的坐标特征得到点关于轴对称的点的坐标为，由于抛物线沿轴翻折时开口方向改变，所以可利用顶点式得到抛物线的解析式． 【小问1详解】 抛物线向右平移1个单位得到的抛物线， 抛物线的解析式是，顶点坐标为，对称轴是直线． 【小问2详解】 阴影部分的面积是：． 【小问3详解】 抛物线的顶点坐标为， 而点关于轴对称的点的坐标为， 所以抛物线的解析式为． ∴抛物线的解析式为，开口方向向下． 19. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点在边上，，连接交于点． （1）的值为 ． （2）求的长． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）由求解． （2）由菱形的性质可得，再由求解． 【小问1详解】 ，，， ，， ． 【小问2详解】 在菱形中，，， ， ， ， ， ， ． 20. 如图是由边长均为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中，画出点，使得四边形为平行四边形； （2）在图②中，在上找点，使得的面积是面积的一半； （3）在图③中，在上找点，使得． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3）作图见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的定义画出图形即可； （2）利用网格特征在线段上取一点，使得即可； （3）取格点，连接,，延长交于点，点即为所求． 【小问1详解】 如图①中，四边形即为所求； 【小问2详解】 如图②中，点即为所求； 【小问3详解】 如图③中，点即为所求． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，过点作轴于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2）6 【解析】 【分析】（1）因为一次函数与反比例函数交于点，将代入到一次函数解析式中，可以求得点坐标，从而求得，得到反比例函数解析式； （2）因为轴，所以，利用一次函数解析式可以求得它与轴交点的坐标，由，，三点坐标，可以求得和的长度，并且轴，所以，即可求解． 【详解】解：（1）∵点是直线与反比例函数交点， ∴点坐标满足一次函数解析式， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）∵轴， ∴，轴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为6 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，三角形的面积，同时要注意在平面直角坐标系中如何利用坐标表示水平线段和竖直线段． 22. 甲、乙两车分别从、两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到地，乙车立即以原速原路返回到地．甲、乙两车距地的路程与各自的行驶的时间之间的关系如图所示． （1）m＝ ； （2）请求出乙车距地的路程关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）当甲车到达地时，求乙车距地的路程． 【答案】（1）4 （2）关于的函数解析式为 （3）当甲车到达地时，乙车距地的路程为 【解析】 【分析】（1）根据两车相遇后乙车立即以原速原路返回到地，相遇时间是，则是相遇时间的2倍，即可求出的值； （2）根据乙车运动的图象，分和，用待定系数法求函数解析式即可； （3）由图象知甲到达地的时间是，代入中即可求出乙车距地的路程． 【小问1详解】 解：由图象可得：； 【小问2详解】 解：当时，设函数关于的函数解析式为， 因为图象经过， ， 解得：， 函数关于的函数解析式， 当时，设关于的函数解析式为， 图象经过，两点， ， 解得：， 关于的函数解析式为， 综上，关于的函数解析式为； 【小问3详解】 解：当时，， 当甲车到达地时，乙车距地的路程为． 23. 【问题原型】如图①，四边形ABDE、AGFC都是正方形，，连结CE、BG．求证：． 【发现结论】如图②，设图①中的直线CE与直线BG交于点H．求证：． 【结论应用】将图①中的正方形AGFC绕着点A顺时针旋转角度，在整个旋转过程中，当点E、C、G三点在同一条直线上时，若，，借助图①，直接写出BG的长． 【答案】【问题原型】见解析；【发现结论】见解析；【结论应用】或 【解析】 【分析】【问题原型】根据题意直接运用全等三角形的判定证明即可得出答案； 【发现结论】由题意结合全等三角形的性质得到∠AEC＝∠ABG，进而通过直角三角形的互余关系进行角的等量代换即可； 【结论应用】根据题意分EG在AE的右侧和EG在AE的左侧两种情况，进而利用全等三角形的判定与勾股定理进行分析计算即可. 【详解】解：【问题原型】 ∵四边形ABDE，AGFC都是正方形， ∴AE＝AB，AC＝AG，∠EAB＝∠CAG＝． ∴∠EAC+∠CAB＝∠GAB+∠CAB＝． ∴∠EAC＝∠BAG． ∴． ∴BG＝CE． 【发现结论】 如图，设EH与AB交于点O． ∵四边形ABDE是正方形， ∴∠EAB＝． ∴∠AEO+∠AOE＝． ∵， ∴∠AEC＝∠ABG． ∵∠BOH＝∠AOE， ∴∠OBH+∠BOH＝． ∴∠OHB＝． ∴EH⊥BG． 【结论应用】 当EG在AE的右侧时，如图： ∵，CG为正方形AGFC的对角线， ∴∠ACG=∠AGC＝,∠ACE=∠AGB＝, ∴∠EGB＝, ∵，， ∴，， 设， 则有，得到， 解得或（舍去）； 当EG在AE的左侧时，如图： ∵， ∴， ∴∠ACE=∠AGB＝,∠CGB＝， 设EG=n，同理可得n=, ∴, 综上，BG=或． 【点睛】本题考查全等三角形的旋转问题以及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及勾股定理与设参法的应用是解题的关键. 24. 如图，在中，，，，点P从点B出发沿线段以每秒个单位的速度向终点A运动，当点P不与A、B重合时，过点P作于点D，将线段绕着点P顺时针旋转得到线段，连接．设点P的运动时间为t秒． （1） ． （2）连接，当时，则t的值为 ． （3）连接，所在的直线与边边交于点E，当为轴对称图形时，求出t的值． （4）点N为的中点，当点N落在垂直平分线上时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2） （3）t的值为1或 （4）t的值为1或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求得结果； （2）解和，从而求得结果； （3）是等腰三角形：当时，是斜边的中线，作于F，可证明，从而得出，进一步求得结果；当时，作于F，作于G，解，求得和，解，根据列出方程，从而求得结果；情况不存在； （4）当N在的垂直平分线上时，作于R，可求得，进一步得出结果；当点N在的垂直平分线上时，连接，作，交的延长线于E，作，交于F，根据列出方程求得结果；当点N在的垂直平分线上时，点P在A点，不符合题意． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图1， ∵， ∴，． 在中， ． 在中， ． 在中，，，． 由得， ， ∴； 【小问3详解】 解：如图2，作于F， 为轴对称图形 ， ， 是等腰三角形 ,， . 是等腰三角形 ∵， ． ∵， ∴． ∵，． ∴． ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3， 当时， 作于F，作于G， ， ． ∴． ∵，， ∴． 在中，，， ∴， ，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 综上所述：或． 【小问4详解】 解：如图4， 当N在的垂直平分线上时， 作于R， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴； 如图5， 当N在的垂直平分线上时， 连接，作，交的延长线于E，作于点G，交于F， ∴． 在中，，． ∴． 在中，，， ∴． ∴． ∴； 当点N在的垂直平分线上时，点P在A点，不符合题意． 综上所述：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年吉林省长春市南关区东北师大附中净月实验学校九年级（上）期初数学试卷 一、选择题：（每小题3分，共24分） 1. 下列函数中，一定是二次函数是（　　） A. y=ax2+bx+c B. y=x（﹣x+1） C. y=（x﹣1）2﹣x2 D. y= 2. 抛物线y＝（x﹣5）2的顶点坐标是（　　） A. （0，﹣5） B. （﹣5，0） C. （0，5） D. （5，0） 3. 抛物线与轴的交点坐标是（ ） A. （0，2） B. （，0） C. （2，0） D. （0，） 4. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是( ) A. 开口向上 B. 对称轴是x=-3 C. 当x>-4 时，y随x的增大而减小 D. 顶点坐标为(-2，-3) 5. 将函数的图象向下平移两个单位，以下错误的是（ ） A. 开口方向不变 B. 对称轴不变 C. 随的变化情况不变 D. 与轴的交点不变 6. 如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（ ） A. B. C. D. 7. 在边长为的正方形中，对角线与相交于点O，P是上一动点，过P作，分别交正方形的两条边于点E，F．设，的面积为y，当时，y与x之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点A(1，1) 、B(3，1) 、C(4，2) 、D(2，2)， 若抛物线y=ax2(a>0)与四边形ABCD的边没有交点，则a的取值范围为（ ） A. < a< 1 B. < a< 1 C. a>l或0< a< D. a>1或0<a< 二、填空题：（每题3分，共18分） 9. 若点在二次函数的图象上，则______． 10. 二次函数的图象如图所示，则的取值范围为________． 11. 如果函数是关于x的二次函数，则________． 12. 若点（-2，）和（，）在函数的图象上，则__（填“＞”、“＜”或“＝”） 13. 如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿上长为时，它离地面的高度为，则坝高为__________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为_________． 三、解答题：（共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由元降到了元．求平均每月降价的百分率． 17. 已知抛物线经过点． （1）求a的值； （2）当时， ． 18. 如图，抛物线向右平移1个单位得到的抛物线，回答下列问题： （1）抛物线的解析式是 ，它的顶点坐标为 ，它的对称轴为直线 ． （2）阴影部分的面积 ． （3）若再将抛物线沿轴翻折得到抛物线，则抛物线的解析式为 ，开口方向 ，顶点坐标为 ． 19. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点在边上，，连接交于点． （1）的值为 ． （2）求的长． 20. 如图是由边长均为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中，画出点，使得四边形为平行四边形； （2）在图②中，在上找点，使得的面积是面积的一半； （3）在图③中，在上找点，使得． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，过点作轴于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 22. 甲、乙两车分别从、两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到地，乙车立即以原速原路返回到地．甲、乙两车距地的路程与各自的行驶的时间之间的关系如图所示． （1）m＝ ； （2）请求出乙车距地的路程关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）当甲车到达地时，求乙车距地的路程． 23. 【问题原型】如图①，四边形ABDE、AGFC都是正方形，，连结CE、BG．求证：． 【发现结论】如图②，设图①中的直线CE与直线BG交于点H．求证：． 【结论应用】将图①中的正方形AGFC绕着点A顺时针旋转角度，在整个旋转过程中，当点E、C、G三点在同一条直线上时，若，，借助图①，直接写出BG的长． 24. 如图，在中，，，，点P从点B出发沿线段以每秒个单位的速度向终点A运动，当点P不与A、B重合时，过点P作于点D，将线段绕着点P顺时针旋转得到线段，连接．设点P的运动时间为t秒． （1） ． （2）连接，当时，则t的值为 ． （3）连接，所在的直线与边边交于点E，当为轴对称图形时，求出t的值． （4）点N为的中点，当点N落在垂直平分线上时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $