精品解析：吉林省长春外国语学校2021-2022学年九年级上学期期初考试数学试题

2021-2022学年吉林省长春外国语学校九年级（上）期初数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数比小的是（ ） A. 0 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据有理数大小比较方法判断即可． 【详解】解：∵|-3|=3，|-2|=2，|-|=，而3＞2＞， ∴−3＜−2＜−＜0＜3， ∴比-2小的是-3． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 2. 2022年冬奥运即将在北京举行，北京也即将成为迄今为止唯一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的城市，据了解北京冬奥会的预算规模为15.6亿美元，政府补贴6%（9400万美元）．其中1 560 000 000用科学记数法表示为（　　） A. 1.56×109 B. 1.56×108 C. 15.6×108 D. 0.156×1010 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：1560000000用科学记数法表示为1.56×109． 故选：A． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方、同类项的定义以及合并同类项、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则．根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项；把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项；同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减逐项分析即可求解． 【详解】解：A、，原式计算正确，A选项符合题意； B、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，B选项不符合题意； C、，原式计算错误，C选项不符合题意； D、，原式计算错误，D选项不符合题意； 故选：A． 4. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为（ ） A. B. 16 C. D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，结合根的判别式可得到关于c的一元一次方程，求解即可得到结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根． ∴． 解得：． 5. 将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式折叠放在一起，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行的性质即可求解. 【详解】根据平行线的性质得到∠3=∠1=30°， ∴∠2=45°-∠3=15°. 以及等腰直角三角形的性质，故选B 【点睛】此题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟知两直线平行，内错角相等. 6. 我国古代名著九章算术中有一题：“今有凫起南海，七日至北海，雁起北海，九日至南海今凫雁俱起，问何日相逢？”意思是：野鸭从南海起飞到到北海需要7天；大雁从北海飞到南海需要9天野鸭和大雁同时分别从南海和北海出发，多少天相遇？设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过x天相遇，可列方程为( ) A. 9x+7x=1 B. 9x-7x=1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】由题意可得，， 故选：D． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 7. 已知，如图，在菱形ABCD中．（1）分别以C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；（2）作直线EF，且直线EF恰好经过点A，且与边CD交于点M；（3）连接BM．根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（ ） A. ∠ABC=60° B. 如果AB=2，那么BM=4 C. BC=2CM D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接AC，根据线段重直平分线的性质及菱形的性质即可判断A选项正确；根据线段垂直平分线的性质及菱形的性质求出∠BAM=90°，利用三角函数求出AM，即可利用勾股定理求出BM，由此判断B选项；根据线段垂直平分的性质和菱形的性质可得BC=2CM，由此判断C选项；利用同底等高的性质证明△ABM的面积=△ABC的面积=△ACD的面积，再利用线段垂直平分线的性质即可判断D选项． 【详解】如图，连接AC， 由题意知：EF垂直平分CD， ∴AC=CD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB=BC=CD， ∴AC=AD=CD=AB=BC， ∴△ABC和△ACD都是等边三角形， ∴∠BAC=∠CAD=∠ABC=60°，故A正确； ∵AM垂直平分CD， ∴∠CAM=∠DAM=30°， ∴∠BAM=90°， ∴S△ABM=S△ABC=S△ABD=2S△ADM，故D项正确； ∵AB=2， ∴AC=CD=2， ∴AM=AC·cos30°=2×=， ∴BM===，故B项错误； 由AM垂直平分CD可得CM=CD， 又∵BC=CD， ∴CM=BC，即BC=2CM，故C项正确； 故选：B． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，菱形的性质，三角函数，勾股定理，是一道综合题，掌握知识点是解题关键． 8. 如图，A是函数y＝−（x＜0）图象上的一点，B是y＝（k＞0，x＞0）图象上的一点，连结AB交y轴于点C，连结OA、OB．若AC＝BC，S△AOB＝4，则k的值为（　　） A. 4 B. 2 C. 2.5 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】过点作轴于点，过作轴于点，设，证明，进而根据已知条件求得，进而表示出的坐标，即求得． 【详解】如图，过点作轴于点，过作轴于点, 点A是函数y＝−（x＜0）图象上的一点， 设 ， B是y＝（k＞0，x＞0）图象上的一点， ． 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，设，通过构造全等三角形，进而表示出的坐标是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.请把答案填在题中横线上） 9. 分解因式_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可. 【详解】解：， 故答案为：． 10. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据二次根式除法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，熟练掌握除法法则是解答本题的关键． 11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是AD的中点．若AB=8，则EF=_____． 【答案】2 【解析】 【详解】解：在Rt△ABC中，∵AD=BD=4， ∴CD=AB=4， ∵AF=DF，AE=EC， ∴EF=CD=2， 故答案为2. 12. 说明命题“如果a、b、c是△ABC的三边，那么长为a﹣1、b﹣1、c﹣1的三条线段能构成三角形”是假命题的反例可以是a＝2，b＝2，c＝__． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】举例能使得两边之和小于或等于第三边即可得到反例． 【详解】当a＝2，b＝2，c＝3时，a﹣1＝1，b﹣1＝1，c﹣1＝2，此时：1+1＝2， 所以不能构成三角形， 故答案为：3（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了命题与定理及三角形的三边关系，举反例是判定命题为假命题的一个方法． 13. 如图，过点的直线与图中的四边形有不少于两个交点，其中、、、，则的值可以是__________（写出一个满足条件的值即可）． 【答案】如（－2≤即可） 【解析】 【分析】如下图，直线要想和四边形ABCD有2个交点，则临界点在点C和点A处或点C和点B处，通过计算可发现点A、点B和点N共线，只要k的取值范围在两个临界点之间即可． 【详解】如下图 当直线过点C时，则直线过点C(－4，1)，N(0，－1) 可求得直线解析式为：，即k= 当直线过点A时，则直线过点A(－2，3)，N(0，－1) 可求得直线解析式为：，即k= 当直线过点B时，发现和直线过点A时是重合的 ∴直线要想和四边形ABCD有2个交点，则－2≤＜ 故答案为：（－2≤＜即可） 【点睛】本题考查一次函数与图像交点问题，解题关键是找出临界点，求出k的取值范围． 14. 如图，在正方形中，边长为，为的中点，将沿直线翻折得到，延长分别交于点，则线段的长度为______． 【答案】2 【解析】 【分析】由折叠的性质得出，，，证明≌，由全等三角形的性质得出，设，则，，由勾股定理列出方程求出的值，即可得出答案． 【详解】解：连接， 四边形是正方形，M是AD的中点， ，，AM=DM=6÷2=3， 沿直线翻折得到， ，，， ， 在和中， ， ≌， ， 设，则，， ， ， 解得． ． 故答案为． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 先化简，再求值：，其中x＝2. 【答案】1 【解析】 【分析】先把分子、分母因式分解，再通分，然后把要求的式子进行化简，再代入进行计算即可． 【详解】解：原式 把x=2代入上式得：原式 【点睛】考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键. 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，然后合并即可． 【详解】解： ． 17. 将个完全相同的小球分别装在甲、乙两个不透明的口袋中，甲袋中有个球，分别标有数字；乙袋中有个球，分别标有从甲、乙两个口袋中各随机摸出一个球．用列表法或画树状图法，求摸出的两个球上数字之和为的概率． 【答案】 【解析】 【分析】依据题意先画出树状图，得出所有等可能的结果数和摸出的两个球上数字之和为的结果数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：画图如下： 共有种等可能的结果数，其中摸出的两个球上数字之和为的有种， 则摸出的两个球上数字之和为的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 18. 学校图书馆去年年底有图书万册，预计到明年年底增加到万册．求这两年的年平均增长率． 【答案】这两年的年平均增长率为 【解析】 【分析】设这两年的年平均增长率为，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设这两年的年平均增长率为， 根据题意列方程得， 即， 解得，（负值舍去）， 即：． 答：这两年的年平均增长率为． 【点睛】按照增长率下降率的模型，列方程．找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 19. 图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、、、、、均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求长写出画法． （1）在图①中以线段为边画一个直角△； （2）在图②中以线段为边画一个轴对称△，使其面积为5； （3）在图③中以线段为边画一个轴对称四边形，使其面积为6． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）是一个2×2的正方形对角线，再结合为直角边和斜边分类讨论； （2）,所以做一个以为直角边的等腰直角三角形即可； （3）可以作一个等腰梯形或者先作一个面积为3的三角形再翻折． 【详解】 （2） （3） 【点评】本题考查网格中的尺柜作图——作三角形和四边形.利用网格中线段长度可求结合网格作图特点是解题的关键. 20. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE∥AB，交AG于点E．求证：四边形ADCE是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用外角性质得出∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC，进而得到AE∥CD，即可求出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形ADCE是平行四边形，即可求出四边形ADCE是矩形． 【详解】证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∵AE是∠BAC的外角平分线， ∴∠FAE=∠EAC， ∵∠B+∠ACB=∠FAE+∠EAC， ∴∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC， ∴AE∥CD， 又∵DE∥AB， ∴四边形AEDB是平行四边形， ∴AE∥BD，AE=BD， ∵AD⊥BC，AB=AC， ∴BD=DC， ∴AE∥DC，AE=DC， 故四边形ADCE是平行四边形， 又∵∠ADC=90°， ∴平行四边形ADCE是矩形． 即四边形ADCE是矩形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质以及矩形的判定，灵活利用平行四边形的判定得出四边形AEDB是平行四边形是解题关键． 21. 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地，设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），甲车行驶的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示 （1）求甲车从A地到达B地的行驶时间； （2）求甲车返回时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）求乙车到达A地时甲车距A地的路程． 【答案】（1）2.5小时；（2）y=﹣100x+550；（3）175千米 【解析】 【分析】（1）根据题意列算式即可得到结论； （2）根据题意列方程组即可得到结论； （3）根据题意列算式即可得到结论． 【详解】解：（1）300÷（180÷1.5）=2.5（小时）． 答：甲车从A地到达B地的行驶时间是2.5小时； （2）设甲车返回时y与x之间的函数关系式为y=kx+b， ∴， 解得：， ∴甲车返回时y与x之间的函数关系式是y=﹣100x+550（2.5≤x≤5.5）； （3）300÷[（300﹣180）÷1.5]=3.75小时， 当x=3.75时，y=175千米． 答：乙车到达A地时甲车距A地的路程是175千米． 【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，一次函数与行程问题，解题的关键是正确读懂函数图象． 22. 有这样一个问题，探究方程的实数根的个数．轩轩想起了曾经解决的一个问题：通过函数图象探究方程的实数根个数，他想到了如下的方法：由于，将方程变形成，那么方程的根也可以看作是直线与双曲线交点的横坐标；这两个图象的交点个数即是方程的实数根的个数．他类比上述方法，借助函数图象的交点个数对方程的实数根的个数进行了探究．下面是轩轩的探究过程，请补充完成： （1） 方程的根（填“是”或“不是”） ； （2）方程的根可以看作是函数 与函数 的图象交点的横坐标； （3）在同一坐标系中画出（2）中两个函数的图象； （4）观察图象可得，方程的实数根的个数是 个． 【答案】（1）不是 （2）； （3）见解析 （4）0 【解析】 【分析】（1）将代入中，可知不是方程的根； （2）将原方程变形为，由此即可得出结论； （3）画出函数与函数的图象； （4）根据两函数图象交点的个数，找出方程解得个数． 【小问1详解】 解：当时，， ∴不是方程的根． 故答案为：不是． 【小问2详解】 解：∵方程可变形为， ∴方程的根可以看作是函数与函数的图象交点的横坐标． 故答案为：；． 【小问3详解】 解：画出两函数图象，如图所示． 【小问4详解】 解：观察图象可知，函数与函数的图象没有交点， ∴方程的实数根的个数是0个． 故答案为：0． 23. 教材呈现：表格是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容． 3．角平分线 【回忆】 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，如图，是的角平分线，P是上的任意一点，作，垂足分别为点D和点E，将沿对折，我们发现与完全重合，由此即有：角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图，是的平分线，点P是上的任意一点，，垂足分别为点D和点E．求证：．…… 请写出完整的证明过程 【分析】 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． （1）请根据教材中的分析，结合图1，写出“角的平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用：如图2，在四边形中，，点E在边上，平分，平分． （2）求证：； （3）若，，则的长为． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【解析】 【分析】.（1）由“”可证，可得； （2）如图2，过点E作于G，于F，于H，由角平分线的性质可得，由“”可证，可得； （3）通过证明，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图2，过点E作于G，于F，于H， ∵平分，平分，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， 同理可得：， ∴，即， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，在中，，，．点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点C运动，同时点M从点C出发以相同的速度沿运动，当点P到达终点时，点M也停止运动，以邻边作平行四边形．设平行四边形与重合部分的面积为S，点P的运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示的长； （2）当点N落在上时，求t的值； （3）求S与t之间的函数关系式； （4）当点N落在某边的中垂线上时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）或2或 【解析】 【分析】（1）当时，M在边上，得，当时，M在边上，得； （2）当点N落在上时，由，得，解得； （3）当时，，当时，设与交于D，由得，即得，，，当时，过M作于H，由，得，可得，故； （4）以C为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立直角坐标系，当N在上时，过N作于E，由已知可得：，当N在垂直平分线上时，N到B、C距离相等，可得，同理，当N在垂直平分线上时，N到A、C距离相等，得，当N在垂直平分线上时，N到A、B距离相等，得（舍去），当N在上时，同理可得． 【小问1详解】 解：当时，M在边上， ， ， 当时，M在边上， ， ； 综上所述，； 【小问2详解】 解：当点N落在上时，如图： 四边形是平行四边形， ， ， ， ，即， 解得； 【小问3详解】 解：（3）当时，如图： ， 当时，设与交于D，如图： ， ， ， ，即， ， ， 当时，过M作于H，如图： ， ， ， ， ，即， ， ， 综上所述，； 【小问4详解】 解：以C为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立直角坐标系，由已知可得：， ①当M在上时，过N作于E，如图： ， ， 当N在垂直平分线上时，N到B、C距离相等， ，解得， 同理，当N在垂直平分线上时，N到A、C距离相等， ，解得， 当N在垂直平分线上时，N到A、B距离相等， ，解得， 此时N不在上，故不符合题意，舍去； ②当M在上时，延长交y轴于Q，过N作于E，如图： ， ， ， ， ， ， 而， ，， ， 当N在垂直平分线上时，N到B、C距离相等， ， 解得（大于4，舍去）， 当N在垂直平分线上时，N到A、C距离相等， ， 解得（此时M不在上，舍去）， 当N在垂直平分线上时，N到A、B距离相等， ， 解得， 综上所述，t的值为或2或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年吉林省长春外国语学校九年级（上）期初数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数比小的是（ ） A. 0 B. C. 3 D. 2. 2022年冬奥运即将在北京举行，北京也即将成为迄今为止唯一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的城市，据了解北京冬奥会的预算规模为15.6亿美元，政府补贴6%（9400万美元）．其中1 560 000 000用科学记数法表示为（　　） A. 1.56×109 B. 1.56×108 C. 15.6×108 D. 0.156×1010 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为（ ） A. B. 16 C. D. 64 5. 将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式折叠放在一起，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代名著九章算术中有一题：“今有凫起南海，七日至北海，雁起北海，九日至南海今凫雁俱起，问何日相逢？”意思是：野鸭从南海起飞到到北海需要7天；大雁从北海飞到南海需要9天野鸭和大雁同时分别从南海和北海出发，多少天相遇？设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过x天相遇，可列方程为( ) A. 9x+7x=1 B. 9x-7x=1 C. D. 7. 已知，如图，在菱形ABCD中．（1）分别以C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；（2）作直线EF，且直线EF恰好经过点A，且与边CD交于点M；（3）连接BM．根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（ ） A. ∠ABC=60° B. 如果AB=2，那么BM=4 C. BC=2CM D. 8. 如图，A是函数y＝−（x＜0）图象上的一点，B是y＝（k＞0，x＞0）图象上的一点，连结AB交y轴于点C，连结OA、OB．若AC＝BC，S△AOB＝4，则k的值为（　　） A. 4 B. 2 C. 2.5 D. 5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.请把答案填在题中横线上） 9. 分解因式_______． 10. 计算：______． 11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是AD的中点．若AB=8，则EF=_____． 12. 说明命题“如果a、b、c是△ABC的三边，那么长为a﹣1、b﹣1、c﹣1的三条线段能构成三角形”是假命题的反例可以是a＝2，b＝2，c＝__． 13. 如图，过点的直线与图中的四边形有不少于两个交点，其中、、、，则的值可以是__________（写出一个满足条件的值即可）． 14. 如图，在正方形中，边长为，为的中点，将沿直线翻折得到，延长分别交于点，则线段的长度为______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 先化简，再求值：，其中x＝2. 16. 计算：． 17. 将个完全相同的小球分别装在甲、乙两个不透明的口袋中，甲袋中有个球，分别标有数字；乙袋中有个球，分别标有从甲、乙两个口袋中各随机摸出一个球．用列表法或画树状图法，求摸出的两个球上数字之和为的概率． 18. 学校图书馆去年年底有图书万册，预计到明年年底增加到万册．求这两年的年平均增长率． 19. 图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、、、、、均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求长写出画法． （1）在图①中以线段为边画一个直角△； （2）在图②中以线段为边画一个轴对称△，使其面积为5； （3）在图③中以线段为边画一个轴对称四边形，使其面积为6． 20. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE∥AB，交AG于点E．求证：四边形ADCE是矩形． 21. 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地，设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），甲车行驶的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示 （1）求甲车从A地到达B地的行驶时间； （2）求甲车返回时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）求乙车到达A地时甲车距A地的路程． 22. 有这样一个问题，探究方程的实数根的个数．轩轩想起了曾经解决的一个问题：通过函数图象探究方程的实数根个数，他想到了如下的方法：由于，将方程变形成，那么方程的根也可以看作是直线与双曲线交点的横坐标；这两个图象的交点个数即是方程的实数根的个数．他类比上述方法，借助函数图象的交点个数对方程的实数根的个数进行了探究．下面是轩轩的探究过程，请补充完成： （1） 方程的根（填“是”或“不是”） ； （2）方程的根可以看作是函数 与函数 的图象交点的横坐标； （3）在同一坐标系中画出（2）中两个函数的图象； （4）观察图象可得，方程的实数根的个数是 个． 23. 教材呈现：表格是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容． 3．角平分线 【回忆】 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，如图，是的角平分线，P是上的任意一点，作，垂足分别为点D和点E，将沿对折，我们发现与完全重合，由此即有：角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图，是的平分线，点P是上的任意一点，，垂足分别为点D和点E．求证：．…… 请写出完整的证明过程 【分析】 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． （1）请根据教材中的分析，结合图1，写出“角的平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用：如图2，在四边形中，，点E在边上，平分，平分． （2）求证：； （3）若，，则的长为． 24. 如图，在中，，，．点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点C运动，同时点M从点C出发以相同的速度沿运动，当点P到达终点时，点M也停止运动，以邻边作平行四边形．设平行四边形与重合部分的面积为S，点P的运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示的长； （2）当点N落在上时，求t的值； （3）求S与t之间的函数关系式； （4）当点N落在某边的中垂线上时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $