解答题第18、19题34分练 专攻练（4）函数与导数 -2026届高三数学三轮冲刺

高考数学解答题第18、19题 练透压轴题 思维无难题！ 必刷小卷4 解答题第18、19题 专攻练[4] 函数与导数 🎯题型一 函数单调性、极值点与零点不等式证明 1. （2026·陕西咸阳二模）已知函数，. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，试求出正整数的最小值，使存在唯一的极值点； （3）若在上有零点，求证：. 【解析】（1）当时，函数，其定义域为，求导得， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增. 当时，令，解得， 当时，，即在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，， 设，， 1°当时，， 易知，且时，，时，， 则在上单调递增，在上单调递减，故1为的极大值点， 而， ， 则存在，使，即应为的另一极值点，故时不成立； 2°当时，，则， ① 当时，，恒成立， 所以在上单调递减， 又，，所以在内存在唯一零点， 即在内存在唯一极值点； ② 当时，，所以，则， 故在上单调递减，无极值； ③ 当时，，则， 故在上单调递减，无极值.. 故符合要求. 综上，正整数的最小值为2，使存在唯一的极值点. （3）在上有零点，所以，即有实数根， 设在上的零点为，则，则点为直线上一点，所以表示点到原点的距离，显然，该距离不小于原点到直线的距离，即，即， 不妨设，，则， 所以函数在上单调递减，则， 即，又，则， 设，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即. 🎯题型二 切线方程、零点个数与导数不等式放缩 2. （2026·山东青岛第二中学一模）已知函数，为的导数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论零点的个数； （3）设为的零点，证明：当时，． 【解析】（1）当时，，则， 故，，曲线在点处的切线方程为． （2）因为，且，故零点的个数等价于函数在零点的个数． 当时，，没有零点． 当时，，令，则， 且当时，，单调递减，当时，，单调递增． 又，当时，，此时没有零点； 当时，，此时有一个零点． 若，则，又，，， 结合的单调性可知，在区间和各恰有一个零点， 即在区间存在一个零点，在区间存在一个零点． 综上，当时，没有零点；当时，有一个零点；当时，有两个零点． （3）（i）若，由（2）可知，在区间没有零点，且， 故在区间单调递增，，且此时． 因为，故． 设，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，故． 故当时，． （ii）若，由（2）可知，在区间存在一个零点， 即在存在唯一极大值点，故当时，． 由（2）可知，，且， 故当时，都有． 又因为，且在区间单调递增， 故存在唯一零点，且满足． 设， 则，． 由上可知，在区间单调递减，且， 故，此时也有． 综上，由（i），（ii）可知，当时，． 🎯题型三 切线求解、含参单调性与恒成立求参 3. （2026·江西吉安3月模拟） 已知函数. （1）若，求函数在处的切线方程； （2）若，，讨论的单调性； （3）若对任意的，恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）因为，所以， 所以定义域为，， 当时，，而，所以切线方程为； （2）当，时，， 因为，所以， 若，即时，，此时在上单调递增， 若，即时，令，得或， 令，得，所以在和上单调递增， 在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增； 当时，增区间为和，减区间为； （3）因为，对，恒成立，且， 故，即， 所以，对，恒成立，当时满足条件； 当时，，即； 当时，，即，所以， ，令得，，所以 ①当时，，， 则在上单调递增，当时，，不满足题意； ②当时，，令，则， 所以在上单调递增，当时，，不满足题意； ③当时，，令得， 所以在上单调递减，当时，，不满足题意； ④当时，，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以， 令，则， 因此，不满足题意； ⑤当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故，满足题意. 综上可知，的取值范围为. 🎯题型四 极值点判定、个数分析与不等式证明 4. （2026·河南焦作一模）已知函数． （1）证明：仅有一个极值点； （2）若有两个极值点，求的取值范围； （3）记的极值点为，若，对任意的恒成立，证明：． 【解析】（1）由，得， 因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递减， 又，，则存在，使得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则仅有一个极值点. （2）由，，得， 设，则， 当时，，则函数在上单调递减， 则最多只有1个根，不符合题意； 当时，令，得，令，得， 则函数上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，，时，， 要使有两个极值点，需使， 又，则得，即. 综上所述，的取值范围为. （3）由题意，对任意的恒成立， 即，设，则， 因为，由（2）知，函数在上单调递减， 则函数在上单调递减， 又，时，， 则存在，使得，即， 当时，，当时，， 所以函数上单调递增，在上单调递减， 则， 即，所以， 设，则，即，， 所以，设， 则， 令，得， 由（1）知该方程当且仅当，即时等号成立，即， 则有唯一零点，此时在上单调递减，在上单调递增， 所以， 则. 🎯题型五 单调区间、不等式证明与整数最值求解 5. （2026·安徽合肥市第八中学阶段检测）已知函数． （1）求的单调区间； （2）证明：时，； （3）若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数），求整数的最大值． 【解析】（1）函数的定义域是，， 当时，；当时，． 所以，的增区间为，减区间为. （2）要证时，，即证在上恒成立， 令，， ， 令，， 当时，，， 所以在上单调递减，所以， 则，所以在上单调递减， 所以，所以， 综上，时，； （3）不等式等价于不等式， 由可得：， 设，， 则， 设，函数的定义域是， ， 设，则， 令，则， 时，，在上为增函数， 时，，在上为减函数， ∴处取得极大值，而， ∴，函数在上为减函数． 于是当时，，当时，， ∴当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 故函数的增区间为，减区间为， 所以，所以，即 ∴，，于是在上为减函数， 故函数在上的最小值为， 所以，所以整数的最大值为． 🎯题型六 单调性分析、双零点范围与不等式证明 6. （2026·广东深圳第一次调研）已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若有两个零点. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【解析】（1）由于 令，则， 令，，在上单调递增； 令，，在上单调递减； 于是的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）（i）解法1 由于 若，，，于是在上单调递增，至多与轴只有一个交点，矛盾； 于是，令，则等价于， 易得，因为，则， 令，则在上单调递增，在上单调递减， 则， 因为即，，所以， 显然不符合题意，故，即， 令，， 则在上单调递增，且， 由于，所以， 由于，令，在上单调递增，则， 于是，， 由零点存在定理，存在使得， 当时，易证，则即， 由于， 取，且，则， 由零点存在定理，存在使得， 所以当时，在上有两个零点. 解法2 由于，， 若，，，于是在上单调递增，至多与轴只有一个交点，矛盾： 于是，令，，，则， 令，则， 由于，令，， 当时，，即，于是在上单调递增， 当时，，即，于是在上单调递减， 于是， 若，即， 由，则，可得，同解法1； 解法3 由于，， 若，，，于是在上单调递增，至多与轴只有一个交点，矛盾； 于是，设，， 若，则，在上单调递减，且， 不妨令，则， 于是取，则， 且在上连续，由零点存在定理，存在唯一，， 于是在单调递增，在单调递减，则存在唯一极大值点； 若，令，则，于是在上单调递增，在单调递减，由于，则，，且， 且在上连续，由零点存在定理，存在唯一，， 于是在单调递增，在单调递减，则存在唯一极大值点； 综上所述：若，有一个极大值点；， 于是， 若，则至多只有一个零点，矛盾； 若，由于，同解法1； 解法4 令，则，， 于是函数与函数的图象在上有两个交点， 由于， 设，，， 于是在上单调递减，且， 于是时，，，在上单调递增； 时，，，在上单调递增： 且，， 所以函数的图象如图所示，所以， （ii）根据（i）可知，， 其中，则， 下证：即证：. 设 ， 令，，于是在上单调递增，在上单调递减， 则，即证 🎯题型七 唯一极值点、双零点约束与参数范围 7. （2026·福建泉州质量检测）已知函数. （1）证明：有且只有一个极值点； （2）若恰有两个零点. （i）证明：； （ii）记的极值点为，若，求的取值范围. 【解析】（1）解法一：函数的定义域， 令，因为， 所以在单调递增，即在单调递增. 又. 所以存在唯一的实数，使得，即. 当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增； 故为的极小值点，即有唯一的极值点； 解法二：同法1得到在单调递增. 由于 ， ， 所以存在唯一的实数，使得，即， 当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增； 故为的唯一极值点. （2）（i）解法一：由（1），得. ①当时，至多一个零点，不合题意，舍去； ②当，即时， 由消去得，， 令， 因为，所以为减函数， 又因为，所以的解集为. 又在单调递增，所以. 又. 此时有两个不同的零点，即. 解法二：同法1得到 . 此时 又，则， 由零点存在性定理，存在，使得. 综上，可得. （ii）解法一：由于，所以可化为. 令， 则 ， 设，则，则， 则，即，从而. 令，所以在单调递增， 所以，所以， 即， 所以，所以在单调递增. 所以，故. 解法二：将代入整理得 令， 当时，因为，所以， 所以，显然成立； 当时，， 令，则. 显然在单调递增，所以. ①当，则， 此时在单调递增， 所以，即. 所以在单调递增，所以， 欲使，只需，即. 即时，符合题意. ②当时，则， 又， 若，则， 又在连续， 则存在，使得，这与矛盾； 若，则显然不恒成立 综上，实数的取值范围为. 解法三：将代入整理得 令 ①当时，. 又， 若，则， 又在的图象是连续不断的， 故存在，使得，这与矛盾； 若，则显然不恒成立 所以时，不恒成立. ②当，因为， 令 又， 因为，所以. 所以 所以在单调递增， 所以 综上，实数的取值范围为. 🎯题型八 不等式证明、极值点判定与双参不等式 8. （2026·河南洛阳一模）已知函数，． （1）证明：当时， （2）若是的极大值点，求的取值范围． （3）若，且，其中，证明：． 【解析】（1）因，则， 当时，，所以在上单调递减， 所以，故当时，． （2）的定义域为，则， 记，则，则． ①若，即，则 令，则，所以在上单调递增， 当时，此时，则，故上单调递增，不合题意； ②若，即，则必存在，使得当时，，则在上单调递增． 又，所以当时，，即在上单调递增，不合题意； ③若，即，同理可得，存在，使得当时，， 则在上单调递减．又，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以是的极大值点． 综上所述，的取值范围是． （3）由（1）知，当时，． 令，则，再令， 则．令，，则． 所以． 由，得． 要证，只需证． 因为在上单调递减，所以只需证． 令，则，令，则， 易知在上单调递减．又，， 所以存在，使得，则在上单调递增，在上单调递减． 又，且在上单调递增，故在上大于0. 而在 上单调递减，且，故存在唯一的，使得. 则在上单调递增，在上单调递减． 又，，所以恒成立， 所以，则，所以． 学科网（北京）股份有限公司 $高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 必刷小卷4解答题第18、19题专攻练[4]函数与导数 ©题型一 函数单调性、极值点与零点不等式证明 1. (2026·陕西减阳=濮)已知函数f)=sin(cy+lnr-ar,gx)=e-a-bsinx((a,,c∈R 1)当c=0时，讨论fx)的单调性： (2)当c=2 时，试求出正整数，的最小值，使f(x存在唯一的极值点： (3)若8x)在(0，+o)上有零点，求证： a+b2 2 规范答题 ©题型二“功线芳程、零点个数与导数不等式放缩 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 2. (2026·山东青岛第二中学一横)已知函数f(冈=ae+lmr-1,8(为冈的导数. (1)当a=e时，求曲线y=d在点f 处的切线方程； (2)讨论8x)零点的个数： (3) 设为的零点，证明：当0<x<1时，)<8() 规范答题 ©题型三“切线求解、含参单调性与恒成立求参··“·“· 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 3. (2026·江西吉安3月模拟)已知函数f(x)=l 1+x ax(a,beR). 1-x bx+1 (1)若a=1,求函数x) 在x=0处的切线方程： (2)若b=0,a>0,讨论八x)的单调性； (3) 若对任意的x∈(-，1，f(x)≥0恒成立，求b的取值范围 规范答题 : : : ©心题型四极值点判定、个数分析与不等式证明 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 4. (2026·河南焦作一模)已知函数 国=r-。,g=a÷.aeR (1)证明： f八仅有一个极值点： (2)若8x 有两个极值点，求a的取值范围： (3) 记f)的极值点为，若a<0,b∈R,对任意的r>0,g)≤ax+b 恒成立，证明： b-a≥xo 规范答题 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ ©心题型五 单调区间、不等式证明与整数最值求解 5.(2026·安徽合肥市第八中学阶段检测)已知函数/x=山(1+x)-x (1)求f八x的单调区间： fx)≤D (2)证明：x≥0时， 1+x 1 (3) 若不等式1+后8对任意的neN都成立（其中。起自袋时数的底数），求整数。的最大 值. 规范答题 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ ©题型六单调性分析、双零点范围与不等式证明 6.(2026·广东深圳第一次澜研)已知函数f()=lnx-a√x+1+4 1)当a=V3时，求)的单调区间： (2)若/) 有两个零点. (i)求a的取值范围： 2 f(x)< (ii)证明： Va2+1-1. 规范答题… 。。 高考数学解簦题第18、19题练透压轴题思维无难题！ ©题型七唯一极值点、双零点约束与参数范围 7.(2026·福建桌州质量检测)已知函数f(x)=e-lnr-ar-】 (1)证明： f)有且只有一个极值点： (2)若八x)恰有两个零点. a>e-1 （i)证明： (i）记(x的极值点为，若mx。-xo≤a,求m的取值范围。 规范答题 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ ⊙心题型八不等式证明、极值点判定与双参不等式 8.(2026·河南洛阳-一漠)已知函数f)= +cos-ax2-2x g()=2lx-x+1 m1-x (1)证明：当x>1时， 8(x<0. (2) 若x=0是(x的极大值点，求Q的取值范围。 (3)若a=0:且b+cos[ln1+]=f升sin9),其中0e0,孕，证明：b+2sin8<2an9 规范答题 、“