解答题第18、19题34分练 专攻练（7）创新交汇问题-2026届高三数学三轮冲刺

高考数学解答题第18、19题 练透压轴题 思维无难题！ 必刷小卷7 解答题第18、19题 专攻练[7] 创新交汇问题 🎯 题型一 几何与数列交汇 （冰锥情境下的通项、体积存在性与取整函数值域） 1.（2026·江西吉安质量检测，17分）严寒天气，贝加尔湖边冰洞内会形成梦幻的冰锥景观.如图，无数底面直径均为1的冰锥（几何体近似圆锥）紧密排列在同一水平线上，冰锥的所有顶点均落在直线上，从左到右，冰锥的顶点依次用表示，冰锥底部直径的端点依次用表示，设. (1)求数列的通项公式； (2)若与的夹角为，且最左边冰锥的高为1. （i）证明：在所有冰锥中任取两个，存在第三个冰锥的体积等于这两个冰锥的体积之和； （ii）令，符号表示不超过的最大整数，求的所有可能值.规范答题 🎯 题型二 解析几何与立体几何交汇 （抛物线翻折、二面角、距离与体积最值） 2. （2026·河北衡水中学第三次综合评价，17分）如图（1），已知抛物线的焦点为，准线为，过点的动直线与交于A，B两点（其中点A在第一象限），以AB为直径的圆与准线相切于点C，D为弦AB上任意一点，现将沿CD折成直二面角，如图（2）． （1）证明：； （2）当最小时， ①求，两点间的最小距离； ②当，两点间的距离最小时，在三棱锥内部放一圆柱，使圆柱底面在面BCD上，求圆柱体积的最大值． 规范答题 🎯 题型三 导数与数列交汇 （不等式恒成立、方程根放缩与等比数列存在性） 3. （2026·重庆第一中学3月测试，17分）已知函数. （1）若在定义域上恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程的根为， ①求证: ； ②判断数列中是否存在连续三项按某种顺序构成等比数列，并证明你的判断.规范答题 🎯 题型四 数列与三角函数交汇 （递推求值、常数存在性与取整求和） 4. （2026·四川成都二模，17分）在数列中，，设的前n项和为．记表示不超过x的最大整数． （1）求； （2）是否存在常数A，，使得？若存在，求A和的值；若不存在，请说明理由； （3）求．规范答题 🎯 题型五 概率、数列与二项式交汇 （骰子点数概率、复杂化简运算与裂项证明） 5. （2026·重庆市礼嘉中学高三下期第二次测试，17分） 抛掷一枚质地均匀的骰子次，，记为第次抛掷得到的点数，． （1）求的概率； （2）若前次点数之和为7的概率为，且，与互质，设 （ⅰ）求的值； （ⅱ）已知正项数列的前项和为，证明：．规范答题 🎯 题型六 解析几何与数列交汇 （椭圆光学反射、光路定值与等比数列证明） 6. （2026·辽宁盘锦大洼区一模，17分）已知椭圆C：，，，点在椭圆C上.由椭圆的光学性质得到：从焦点处发出的一束光线，射向椭圆C上的点，经椭圆反射后经过焦点；继续传播，射向椭圆C上的点，经椭圆反射后经过焦点；如此反复，设第次入射点为.规定：当为奇数时，记；当为偶数时，记；记，，即：，，，…，，，，…. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知椭圆：的方程还可以由椭圆第二定义（椭圆上的动点M满足，到一个定点的距离与到不通过这个定点的一条定直线的距离之比是一个常数，其中）得到.求证：为定值； （3）若，记，，求证：数列为等比数列，.规范答题 🎯 题型七 概率、立体几何与数列交汇 （正方体质点运动、对称递推与奇偶通项） 7. （2026·海南儋州市高三第一次教学质量诊断考试，17分）如图，已知一个质点每隔相等时长，按随机方向，等可能地沿着正方体的棱从1个顶点移动到另1个顶点．设一个质点从顶点出发，第次运动后，质点回到点的概率为． （1）求和； （2）设第次运动后，质点移动到点的概率分别为、、． ①证明：，； ②求．规范答题 🎯 题型八 导数、函数、平面几何与不等式交汇 （切线斜率、直线与圆、双交点范围与放缩证明） 8. （2026·东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学第一次联合模拟考试，17分）已知函数． （1）若函数过原点的切线为，求实数的值； （2）若函数的图象与相交于两个不同点，，记直线的斜率为． （i）当时，求实数取值范围； （ii）当时，证明：．规范答题 学科网（北京）股份有限公司 $高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题」 必刷小卷7解答题第18、19题专攻练[7] 创新交汇问题 ··题型一几何与数列交汇 (冰锥情境下的通项、体积存在性与取整函数值域) 1.(2026·江西吉安质量检测，17分)严寒天气，贝加尔湖边冰洞内会形成梦幻的冰锥景观.如图， 无数底面直径均为1的冰锥（几何体近似圆锥）紧密排列在同一水平线！上，冰锥的所有顶点均落在 直线☑上，从左到右，冰锥的顶点依次用A,i≥1，i∈N,)表示，冰锥底部直径的端点依次用 B,（j20,jeZ)表示，设an-1=AAn·B,Bn（n≥2，n∈N) A3 A A5 -lz (1)求数列an}的通项公式： π (2)若Z与马的夹角为二，且最左边冰锥的高为1. 4 ()证明：在所有冰锥中任取两个，存在第三个冰锥的体积等于这两个冰锥的体积之和； (ii)令a,=∠B4,8(i≥l,ieN,),符号引x表示不超过x的最大整数，求∑(-ana 的所有可能 值. 【解析】(1)如图， Bo B A512 由于圆锥的截面为等腰三角形，故AA,在B,B,上的投影数量为底面直径1， 则AAn在B,B,上的投影数量为n-1,而B,B=n-1,所以an1=AA·B,Bn=(n-1)(n-1)=(n-1), 即an=n2; (2)(1)设顶点为A的冰锥的高为h,任取两个相邻冰锥， 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题」 由4与马的夹角为可知h1-h=1,又h=1,故，=n, 所以第个冰维静体积一写 设任取第和第)个冰维，则体积和为+化=+小， 令p=i+j∈N,,故存在第三个冰锥的体积等于这两个冰锥的体积之和； Bi- B B A 义45 Ail 1 (ii)由(i)知么，=m,在等腰三角形AB,B中，an%=2=, 2 n 2n 2tan 2+ 4n1 1 所以tand,= 2 ^2n 1-tan2 21- 124n2-12n-12n+1, 2n -lana,=-1 111 1 11 当n为偶数时， 3+3+5 十…十 -1 i= 2n-12n+12n+1 1在≥2时递减，此1(1-引 由于2n+ B B Bit1 h Aiti 111 1 当n为奇数时， (-l川ama=-13+5+5 1 =-1- 2n-12n+12n+11 由于-1- 在时流此时1手小 2n+ 综上可知2-旷ma,音小(h-引 所以∑-'ana 的所有可能值为-2，-1. 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 口口题型二解析几何与立体几何交汇 (抛物线翻折、二面角、距离与体积最值) 2.(2026·河北衡水中学第三次综合评价，17分)如图（1)，己知抛物线E:x2=2y的焦点为F, 准线为，过点F的动直线m与E交于A,B两点（其中点A在第一象限），以AB为直径的圆与准线 I相切于点C,D为弦AB上任意一点，现将△ACB沿CD折成直二面角A'-CD-B,如图(2)· 图(1) 图(2) (1)证明：cos∠ACB=cos∠A'CD.Cos∠BCD: (2)当∠A'CB最小时， ①求A,B两点间的最小距离： ②当A,B两点间的距离最小时，在三棱锥A'-BCD内部放一圆柱，使圆柱底面在面BCD上，求圆柱 体积的最大值 【解析】(1)过A作A'O'⊥CD,垂足为O',过O'作OE⊥BC,垂足为E, B- 因为平面ACD⊥平面ABC,且平面A'CD∩平面ABC=CD,AOc平面ACD, 可得AO'⊥平面ABC, 由BCC平面ABC,可得AO'⊥BC, 且O'EAO'=O',O'E,A'O'c平面AOE,可得BC⊥平面AOE, 由A'Ec平面AOE,可得BC⊥A'E, 则cosZA'CB=CE C,cos∠A'CD=0'C A'C,cos∠BCD= CE 0'C 所以cos∠A'CB=cos∠A'CD·cos∠BCD 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ (2)因为以AB为直径的圆与准线I相切于点C,可知AC⊥BC, 则LA'CD=∠ACD=T-∠BCD, 由(1)可得：coS∠A'CB=coS∠A'CD·cos∠BCD=cos -∠BCD 3 cos∠BCD =sin∠BCD-cos∠BCD-sn2∠BcD 2, 当且仅当sin2LBCD=1,即∠BCD=元时，等号成立， 所以当∠BCD=元时，∠ACB最小， 4 ①因为AO⊥平面ABC,BO',CDC平面ABC,则A'O'⊥BO',A'O'⊥CD, 即AO'⊥CD, 在1△4C0中，则cO1=401=24C=40 在△BC0'中，由余弦定理可得B0=BC+C0P-2BCC0 cos LBC0', 则8o=Bc+54cf-2Bc94×9=lBc+34c-8cac 在Rt△A'BO中，则 oocf+4cP-c4c+lc=cF+l4c-lac-4c 在Rt△ABC中，则AB=BC+AC,可得A'B=AB-BCAC, 由题意可知： 准线1：y=- 2，直线的斜率存在，且直线m与抛物线必相交， 设直线m:y=kx+与，Ax,1),Bx2,2), 1 联立方程 y=+2.消去y可得x2-2-1=0: x2=2y 则x+x2=2k,x·x2=-1, 可得AB=V1+K2V4k2+4=2k2+, 当k=0时，AB取到最小值2，根据对称性可知BC=AC=√2， 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题」 可得AB=-AB-BCAC=2; 当k≠0时，则AB>2,且BC≠AC, 由整本不等式可得8GHHC<Bcf+4C_Aer。 4 4 4B=4B-BC-AC>4BP-14B=4B>2 综上所述：AB的最小值为2，当且仅当AB=2,|BC=AC时，等号成立， 所以A,B两点间的最小距离为√2； ②由(1)可知：当，B两点间的距离最小时，则AB=2,BC=AC=V2, 可知DAB中点，且D与O'重合， 因为BD=|CD=l,BC=√2， 设△BCD的内切圆半径为R, 由等面积法可得：×1x1-+1+V列R,解得R=2-5. 设圆柱的底面半径为r，高为h, 则-君可得=1-及1-2+)r 1 R 所以圆柱的体积V=2h=元2-(2+2)]。 令f=r-2+r20<r<2-,2.则f川=2r-32+2r2=r2-32+2)], 2 当0<<22时，f>0:当2-5<<2=5时，<0： 3 3 2 内单调递减， 则f(r≤f 2-2） 6-4V2 3 27 所以圆柱体积的最大值为6-4V2 27 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ ··题型三导数与数列交汇 (不等式恒成立、方程根放缩与等比数列存在性) 3.(2026·重庆第一中学3月测试，17分)已知函数f(x)=xlnx+x. (1)若f(x)≤mx2在定义域上恒成立，求实数m的取值范围； (2)若关于x的方程f(x)=nn∈N)的根为a, ①求证： ②判断数列{an}中是否存在连续三项按某种顺序构成等比数列，并证明你的判断. 【解析】(1)由fx)=xlnx+x≤mx2,x∈(0，+oo), 则血x+lsm对于x∈(0，+o恒成立， 1.x-(nx+ 设x=nx+,xe0,+,则f= x2 令h'(x)>0,得0<x<1,令'(x)<0,得x>1, 所以函数h(x在(0,1上单调递增，在(1，+o）上单调递减， 则h(x)mx=h()=1,即m之1， 所以实数m的取值范围为1，+0). (2)①由(1)知，当m=1时，xlnx+x≤x2,x∈(0，+o), 即nx≤x-1,x∈(0，+oo),当且仅当x=1时等号成立， 因为方程f(x=nn∈N的根为an,所以a,In a,+an=n,且a,>0, 则na,=”-1≤a,-1,即a≥n, a <1=2-可 ≤ 当n≥2时，a,VnVn+Vn-l 2 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 则1<1+2(2-+5-2++n-n-可)=2Wm-1, a 当n=1时，a,=1也满是，则1≤2Vn-1 i=l a, ②数列{a}中不存在连续三项按某种顺序构成等比数列，证明如下： 由f(x=xlnx+x,x∈(0，+oo),则f'(x=lnx+2, 当x≥1时，f'(x)=lnx+2>0,则函数f(x在[1，+o)上单调递增， 结合题意，方程f(x)=nn∈N有唯一的根为a,,即a,In a,+a,=n, Min an In a +an<a+In a+a=n+1, 则a,<an+l,即an<an1<an+2, 假设a,01,a+2成等比数列，则其公比9>1，且ana+2=a+1, 又na=-1,则ha-”+1-1,na2-n+2-1, a an+ an+2 所以”-1+”+2-1=2+1-1，则”++2_2n+, an an+2 （an+1 an an+2 an+ m0a+n+2到a=2n+a±，所以a,a+a+2a,=2n+1a a an+2 ai+l 则nan92+(n+2)an=2(n+1)an9，由于an≠0， 则ng2+n+2=2n+1)q,即ng2-2(n+1q+n+2=0, 则[g-(n+2](g-1=0,则g=+2, n n+1-1, 由ha,=”-1,na1= an an+l 两式相减得h型=na4-na,=+1_”-+少a,-0L=ng>0, a an+i an andn+ n+000,wg<"牛2，这”2盾， n 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 故数列{an}中不存在连续三项按某种顺序构成等比数列。 口口题型四数列与三角函数交汇 (递推求值、常数存在性与取整求和) 4.(2026四川成都二模，17分)在数列{an}中，a,=1,a+1=√an+2,设{an}的前n项和为S,.记 [x]表示不超过x的最大整数. (1)求[S[S],[S (2)是否存在常数A,0(A>0,0<0<2),使得a,=Ac0s”?若存在，求A和0的值：若不存在， 2 请说明理由； (3)求[2S,+1+[2S2+1+…+[2Sn+1. 【解析】(1)因为a,=1,所以S,=1,故[S]=1: 又a1=Van+2,故a,=5,S2=1+V5e(2,3),所以[S2]=2: 同理4=5+2=516,5.故，=1+5+6+2. √22 个6-2+5器4则62g21+9s4 以=1+5+65得=4 2 (2)假设存在常数A,使得an=Ac0s Acos”=1 2 则由(1)得 即 4 因为c0s9=2c0s20-1,可得}= 4 4=名1，僻得A=2(负值含去D一 故cos =}又0<9<元，则得9=，即0=2 ,故an=2c0 22 2 23 3 3×2-· 八3x20=0n1 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题」 所以存在A=2,0 2江满足题意 (3)当n=1时，S=1,所以[2S,+1=3. 当n≥2时，因为an<2,所以Sn<1+2(n-1)=2n-1,故2Sn+1<4n-1. 设商数f到=-smr0<x<引发f八到=l-coax>0. 所以八在0到上单调港游，故>f10=0,>smr0<x<引 3x2=223=2->2-4ja2 所以a,=2cos、元 则5，>1+2(n-1-4元 、元2 =12a-号+++2-若 、1 1 9 1-1 =2-川-医1-女<1， 所以5>2m--2n-小-2n3放2s,+1>4n-2a22。 综上，当n≥2时，4n-2<2Sn+1<4n-1,故[2Sn+1=4n-2. 令Tn=[2S+1+[2S2+1+…+[2Sn+1,则当n≥2时， 元=3+6+10++4n-2=3+0-[6+4m-2-2n2+1. 2 又因为T=3满足T=2n2+1,所以T,=2n2+1,n∈N. 口口题型五概率、数列与二项式交汇 (骰子点数概率、复杂化简运算与裂项证明) 5.(2026·重庆市礼嘉中学高三下期第二次测试，17分)抛掷一枚质地均匀的骰子n次，n∈N*, 记4为第i次抛掷得到的点数，i=1,2,…,n. 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ (1)求a1+a2=7的概率； t 1 (2)若前m次点数之和为7的概率为P,m=2,3…,7,且∑Pn=-。4,reN,【与r互质，设 2 r6 b=log t+logor 7 (i)求的值； 5-S=立c,ieN,E明：左1<9 2b (ii)已知正项数列{cn}的前n项和为Sn,C= c+141 【解析】(1)a1+a,=7即“前两次点数之和为7”，设为事件A, :样本空间2={(a,a2)川a,42∈{1,2,3,4,5,6}， .n(2)=6×6=36, .7=1+6=2+5=3+4, .A={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}, .n(A)=6, P(A)= m(A61 n(2)3661 1 即a1+a2=7的概率为 6 (2)(1)当m=2时，由)，B=, 6 m=3时，71+1+5+2+41+3+3=2+2+3，B=+0+=15×2} 63 当m47=1*11+4=11243=1+22+2.月=#4-20g 64 当m=5,7=1+1+1+1+3=1+1+12+2.乃-50-15x(8。 65 当m=6时.71111+128=总-6[6 当m=7,R=名（君