从位移、速度、力到向量学习指导讲义-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

从位移、速度、力到向量学习指导讲义 解读·素养要求 学科素养 要求 数学抽象 1.将位移、速度、力等物理量抽象为向量，用数学语言描述其大小和方向，形成数学模型；2.通过实例理解并掌握向量的有关概念，掌握向量的表示方法. 直观想象 1.通过几何图形（如箭头表示方向，线段的长度表示大小）或空间想象，直观理解向量的表示，如：将向量写成向量等形式来表示；2.会借助图形理解向量的夹角的概念，能在图形中识别向量的夹角 逻辑推理 1.学生需要通过教师指导发现知识结论，培养抽象概括能力和逻辑思维能力，例如：理解平行向量、相等向量、共线向量的含义及其相互关系，学会分析问题和解决问题；2.通过逻辑推理，分析向量运算的规律，例如推导力的合成公式或速度的分解原理,这些素养可帮助学生在物理和数学中培养抽象思维、空间想象和解决问题的能力. 数学运算 1.理解和掌握零向量、单位向量、平行向量(即共线向量)、相等向量、相反向量等概念；2.向量的模的概念及其运算，如比较向量模的大小，以及零向量、单位向量的运算，都是数学运算的具体体现；学生需要掌握向量的表示方法，用字母表示向量，并进行相关运算. 知识清单与梳理 向量的有关概念 1．向量概念：既有__大小__又有__方向__的量叫做向量，向量的大小叫做向量的__长度__(或称__模__)． 2．向量表示：(1)有向线段：具有方向和长度的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的直观表示： 3．零向量：__长度为0__的向量叫做零向量，其方向是__任意__的，零向量记作__0__. 4．单位向量：长度等于__1__个单位的向量． 5．平行向量：方向相同或__相反__的__非零__向量；平行向量又叫__共线__向量．规定：0与任一向量__平行__. 6．相等向量：长度__相等__且方向__相同__的向量． 7．相反向量：长度__相等__且方向__相反__的向量． 提炼重点，整合方法 考法一、向量在实际问题中的作图应用 例1. 如图，张芳同学从寝室点A出发，向西走了200 m后到达学校图书馆点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了100m后到达教室点C，最后向东走了200 m后到达学校食堂点D，发现点D在点B的正北方． (1)请在如图坐标系中作出向量，，，； (2)求向量的模． 【解析】 (1)根据题意可知，注意点A为坐标原点，点B 在坐标系中的坐标为(－200，0).因为点D在点B的正北方，点C在点D的正西方，所以BD⊥AB，BD⊥CD．又||＝100 m，||＝200 m，所以||＝300 m，即D(－200，300)，C(－400，300).作出，，，如图所示． (2)由题意可知，CD∥AB且CD＝AB＝200 m， 所以四边形ABCD是平行四边形， 则||＝||＝100 m． 【总结提升】1.本题主要考查动手作图能力和方位识别能力，考查的核心素养为逻辑推理、直观想象和数学运算等. 2.用有向线段表示向量的方法 (1)画图思路:在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向． (2)具体步骤 考法二 熟练运用向量的基本概念解题 例2.(1)(多选题)给出下列命题不正确的是( 　) A．单位向量都相等 B．若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形 C．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b D．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线 (2)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使＋＝0成立的是(　　) A．a⊥b B．a∥b C．a＝2b D．a＝－b 【解析】(1)ACD 选项A不正确，单位向量模都相等，但方向不一定相同；选项B是正确的，因为＝，所以||＝||且∥,又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；选项C是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是充要条件，而是必要不充分条件；选项D是错误的，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线；综上,故选ACD． (2)D 由＋＝0，即＝－，从选项入手只有a＝－b具有这样的结论；故选D． 【总结提升】(1)正确理解向量的基本概念是解决本题的关键，特别对相等向量、单位向量、零向量理解到位；通过举反例进行否定是行之有效的方法，有时要利用单位向量与向量相等的概念求解．(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(4)平行向量就是共线向量，二者是等价的；但相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．(5)非零向量a与的关系是：是a方向上的单位向量． 考法三 重视零向量与单位向量的应用 例3.(1)(多选)下列说法中正确的是( 　) A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量的长度都为0 C．单位向量方向相同 D．单位向量的长度都相等 (2)若a为任一非零向量，b的模为1，则下列各式中正确的是( 　) A．|a|≥|b| B．a∥b C．|a|>0 D．a⊥b 【解析】(1)BD．对于选项A,B，零向量的长度为0，方向是任意的，故A错误，B正确；对于选项C,D，单位向量是长度等于1个单位长度的向量，方向不一定相同，故C错误，D正确．综上，故选BD． (2)C |a|的大小不能确定，A错误；两个非零向量的方向不确定，B，D错误；非零向量的模是正实数，C正确．故选C. 【总结提升】理解零向量和单位向量应注意的问题:(1)零向量的方向是任意的，零向量的模为0；(2)单位向量的模都相等，平面内同一起点的单位向量有无数个，所有的终点构成一个单位圆． 考法四 确认几个重要向量基本关系的应用 例4.(多选)如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则(　　) A．与共线 B．与共线 C．与共线 D．与共线 【解析】BD 对于选项A，因为AB与AC不平行，且不在同一条直线上，所以与不共线，知A错误；对于选项B，因为D，E分别是AB，AC的中点，则DE∥BC，故与共线，知B正确；对于选项C，因为AB与AE不平行，且不在同一条直线上，所以与不共线，知C错误；对于选项D，因为D是AB的中点，所以AD＝BD，且与方向相反，所以与共线，知D正确．综上,故选BD． 例5.如图，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与方向相反的向量；(3)写出与的模相等的向量． 【解析】(1)由题意＝，＝. (2)由题意，与方向相反的向量为，. (3)由题意，与的模相等的向量为，，，，，，. 【总结提升】(1)重视下列几个向量基本关系的应用:平行向量(即共线向量)表示方向相同或相反的非零向量，若向量a与b平行，记作a∥b；相等向量：表示长度相等且方向相同的向量，若向量a与b相等，记作a＝b；相反向量：表示长度相等、方向相反的向量．若其中一个向量为a，则它的相反向量记作－a.(2)探求相等向量与共线向量的方法：寻找相等向量,先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向；寻找共线向量,先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再确定同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点、起点为终点的向量． 考法五 准确求出向量的夹角与向量的模 例6.一辆汽车从A出发向正西方向行驶100 km到达B点，然后改变方向向西偏北50°方向行驶200 km到达C点，又改变方向，向正东方向行驶100 km到达D点．D在A的西偏北______方向上，||＝________km. 【解析】50° 200 作出向量，，，如图所示．由题意，易知与方向相反，故与共线．又||＝||，所以在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，所以四边形ABCD为平行四边形，所以||＝||＝200 km.由图知向量的方向为西偏北50°.故第一个空填50°；第二个空填200. 例7.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°.求以下三个问题中两向量的夹角： (1)向量与的夹角；(2)向量与的夹角； (3)向量与的夹角为； 【解析】(1)向量与的夹角为∠ADB.由菱形的性质知，在△ABD中， ∠ADB＝＝＝50°；故向量与的夹角为50°. (2)由于∠DBC＝＝50°.延长DB至B′，使BB′＝BD(图略)，则＝，所以向量与的夹角即与的夹角，为180°－∠DBC＝180°－50°＝130°；故向量与的夹角为130°. (3)由于∠CAB＝＝40°，延长CA至A′，使AA′＝AC(图略)，则＝，所以向量与的夹角，即与的夹角为180°－∠CAB＝180°－40°＝140°；故向量与的夹角为140°． 【总结提升】(1)两个向量的夹角：已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，则θ＝∠AOB(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向． (2)垂直：当a与b的夹角是90°时，则称a与b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任一向量垂直，即对于任意的向量a，都有0⊥a.(3)求向量的夹角要注意两个特点：①方向性；②向量夹角的范围为[0，π]. 课题总结：1、已学习概念与知识：向量的概念及表示，向量的相关概念：零向量、单位向量、相等向量、共线向量(平行向量)、向量的夹角．2、须贯通落实：向量是既有大小又有方向的量，共线向量和平行向量是同一概念，都是指方向相同或相反的向量，与平面几何中的“共线”、“平行”是不同的，共线向量所在的直线可以平行或者重合．3、应注意规定：(1)零向量模为零，方向是任意的，不是没有方向；(2)所有的单位向量模都是1，方向未必相同；(3)求向量夹角时，两向量的起点(或终点)需移到同一点处． 素养提升训练题 1.如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点，可以写出向量的个数为________． 2．已知汽车以大小为120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以大小为45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列说法正确的是(　　) A．汽车的位移大于摩托车的位移 B．汽车的速度大于摩托车的速度 C．汽车走的路程大于摩托车走的路程 D．以上都不对 3.如图，在⊙O中，点A，B，C均为⊙O上的点，则向量，，是(　　) A．有相同起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等向量 4．在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，||＝2，则||＝(　　) A．1 B．2 C． D． 5.(多选)给出下列四个命题，其中正确的命题是(　　) A．若a≠b，则a与b可能是共线向量 B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 C．若a＝b，b＝c，则a＝c D．“a＝b”的充要条件是“|a|＝|b|且a∥b” 6．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，那么与的夹角为________． 7．如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且||＝. (1)画出所有的向量； (2)求||的最大值与最小值． 素养提升训练题答案与解析 1.12 由向量的几何表示知，可以写出的向量如下：，，，，，，，，，，，，共有12个．故填12. 2.C 速度和位移都是向量，向量不能比较大小，易知C正确，故选C． 3．B 对于选项A，根据题图，可得向量，，不是有相同起点的向量，知A错误；对于选项B，因为O是圆心，那么向量，，的模是一样的，知B正确；对于选项C，共线向量是方向相同或相反的非零向量，知C错误；对于选项D，相等向量指的是长度相等且方向相同的向量，知D错误．故选B. 4．A 如图，连接AC，由||＝||，得∠ABC＝∠OCB＝30°.因为C为半圆上一点，AB为直径，所以∠ACB＝90°，所以||＝||＝1.故选A． 5．ABC 若a≠b，可能存在这样的情况：两向量方向相同但长度不同，或两向量方向相反，此时它们仍为共线向量，知A正确；因为A，B，C，D是不共线的四点，＝，所以AB∥CD，AB＝CD，故四边形ABCD为平行四边形，若四边形ABCD为平行四边形，则＝，所以“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件，知B正确；根据向量相等的定义，由a＝b，b＝c可得a＝c，知C正确；当|a|＝|b|且a，b方向相反时，a≠b，所以“a＝b”是“|a|＝|b|且a∥b”的充分不必要条件，D错误．综上,故选ABC. 6.120° 与的夹角等于与的夹角，显然所求夹角为120°；故填120°. 7.解：(1)所有的向量，如图所示． (2)由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值＝； ②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值＝.所以||的最大值为，最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $