2.1 从位移、速度、力到向量（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

世五维课堂 数学s·必修第二册 第二章 平面向量及其应用 §1.从位移、速度、力到向量 课程标准 素养解读 1.理解向量的几何表示的意义和方法 2.理解零向量，单位向量及向量的模等概念 通过学习向量的有关概念及表示，重 3.理解零向量、相等向量及共线向量的概念 点培养学生的数学抽象、直观想象 4.掌握向量的夹角及其表示 素养 课前。预习学案 [情境引入] 2.两个向量能否比较大小？ 猫和老鼠 一只老鼠和一只猫相距16米，老鼠以每秒4 米的速度从B点向正东奔跑，猫以每秒7米的速 度从A点向正东追 3.有向线段就是向量吗？ 问题1.猫能否追上老鼠？ 2.若猫的速度记为v1,老鼠的速度记为2，那么 [知识点二]与向量有关的概念 v1和v2有什么关系？ 长度为0的向量称为零向量，记 零向量 作0.任何方向都可以作为零向 量的方向 [知识梳理] [知识点一] 向量的概念 单位向量 模等于1个单位长度的向量称 1.既有大小又有方向的量统称为向量， 为单位向量： 2.具有方向和长度的线段叫作有向线段.向量可 以用有向线段表示，若有向线段的起点为A, 长度相等且方向相同的向量，叫 终点为B,则该有向线段记作 ,也可以 相等向量 作相等向量.向量a与b相等， 用黑斜体小写字母a,b,c,…表示，书写则用a, 记作a=b. b,c,…表示 若两个非零向量的方向相同或 3.向量AB(或a)的大小，称为向量AB(或a)的 共线 相反，则称这两个向量为共线向 长度，也叫模，记作 (平行) 量或平行向量.a与b共线或平 行，记作a∥b.零向量与任一向 2思考1.向量定义中的“大小”与“方向”分别 向量 量共线 描述了向量的哪方面的特性？只描述其中一 个方面可以吗？ 若两个向量的长度相等、方向相 相反向量 反，则称它们互为相反向量.向 量a的相反向量记作-a. 54· 第二章平面向量及其应用 五维课堂坐 ?思考4.“向量平行”与“几何中的平行”一 [预习自测] 样吗？ 1.下列量中不是向量的是 A.位移 B重力 5.单位向量都相等吗？ C.速度 D.温度 2.下列各选项中，正确的是 A.|a=|b→a=b [知识点三]向量的夹角 B.|a|>|bl→a>b 1.定义：已知两个非零向量a B 和b,在平面内选一点O,作 C.a|=0→a=0 0A三a,0i=b,则0=00 D.|a=0→a=0 ∠AOB称为向量a与b的夹角. 3.下列说法错误的是 2.范围：0°≤0≤180°. 3.大小与向量共线、垂直的关系： A.向量AB与BA模相等 f0°台→a与b同向， B.两个相等向量若起点相同，则终点必相同 0=180°台→a与b反向， C.只有零向量的模等于0 90°台a与b垂直，记作a⊥b. 规定：零向量可与任一向量垂直. D.零向量没有方向 课堂。互动学案 ● 题型一 向量的有关概念 C.若a∥b,且b∥c,则a∥c [例1幻给出下列命题： D.若a≠b,则a与b不共线 ①若|a=|b,则a=b或a=-b: 题型三 向量的表宗 ②向量的模一定是正数； [例2]某次军事演习中，红方一支装甲分队为完 ③起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等 成对蓝军的穿插包围，先从A处出发向西迂 向量； 回了100km到达B地，然后又改变方向向北 ④向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四 偏西40°走了200km到达C地，最后又改变方 点必在同一直线上. 向，向东突进100km到达D处，完成了对蓝军 其中正确命题的序号是 的包围。 汇思路点拨]解答本题可从向量的定义、向 (1)作出向量AB,BC,CD: 量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐 (2)求出AD. 一判断真假. 汇思路点拨]作图时既要考虑向量的大小， 尝试解答] 又要考虑其方向及起点，为此可建立平面直 规律方法 角坐标系，在坐标系中作图求解。 向量有关概念的辨析问题，关键是理解有 关概念的意义.向量是既有大小又有方向 的量，向量的大小叫向量的长度或模.向量 的有关概念都是从方向和大小两个方面定 义的.仅从向量的大小考虑：长度为1个单 位的向量叫单位向量，长度为0的向量叫 零向量.仅从方向考虑：方向相同或相反的 向量叫平行或共线向量；从两方面考虑：方 向相同、大小相等的向量叫相等向量 ◇[变式训练] 1.下列说法正确的是 A.若a=b,则a∥b B.a>|bl,则a>b ·55· 世五维课堂 数学s)·必修第二册 规律方法 规律方法 (1)向量的画法：先确定向量的起点，再确 判断两个向量是否共线，关键是看方向是 定向量的方向，最后根据向量的长度确 否相同或相反，判断两个向量相等，既要使 定向量的终点. 方向相同，又要使长度相等 (2)向量的表示方法：向量的表示方法有几 ◇[变式训练] 何表示和字母表示，用几何研究向量运 3.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四 算，为用向量处理几何问题打下了基 边形 础，字母表示便于向量的运算 ⊙[变式训练] 2.如图以1×2方格中的格 点（各线段的交点）为起点 E D 和终点的向量中. (1)与AF相等的向量 (1)写出与向量ED相等的向量； 有 (2)若|AB|=3,求向量EC的模. (2)与AE共线的向量有 题型共线向量与相等向量 [例3]如图所示，O是正六边形 ABCDEF的中心，且OA=a. (1)与a的模相等的向量有多 少个？ (2)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？ 题型四 向量的夹角 (3)与a共线的向量有哪些？ [例4]△ABC为正三角形，设AB=a,BC=b, 汇思路点拨]借助图形的几何性质和向量 AC=c,则 相关概念进行判断. (1)向量a与c的夹角是多少？ (2)向量a与b的夹角是多少？ (3)向量b与c的夹角是多少？ 汇思路点拨]求向量的夹角，必须把两向量 平移到同一个起点. 规律方法 在作两个非零向量的夹角时，根据相等向 量和平行向量，把两向量平移到同一个起 点，这两个有共同起点的向量组成的角才 是两向量的夹角， ◇[变式训练] 4.正六边形ABCDEF的中心是点O,以这七个 点为起点或终点的向量中，与AB相等的向量 共有 个，与AB的模相等且夹角为60 的向量共有 个. ·56… 第二章平面向量及其应用 五维课堂 随堂。步步夯实 1.下列说法中正确的是 5.如图所示，在四边形ABCD A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小 中，AB=DC,N,M分别是 B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向 D 量可以比较大小 AD,BC上的点，且CN C.向量的大小与方向有关 =MA, D.向量的模可以比较大小 求证：DN=MB. 2.下列说法正确的是 A.AB∥CD表示AB所在的直线平行于CD所 在的直线 B.长度相等的向量叫做相等向量 C.零向量的长度等于0 D.共线向量是在一条直线上的向量 3.若AB|=|AD1且BA=CD,则四边形ABCD 的形状为 () A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形 4.已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC= @温馨提污 60°，则|BD= 学习至此，请完成配套训练 §2.从位移的合成到向量的加减法 2.1 向量的加法 课程标准 素养解读 1.理解并掌握向量加法的概念，了解加法的物理意义 通过学习向量的加法，重点培养学生 2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟 的数学抽象和逻辑推理、数学建模 练运用这两个法则作两个向量的加法运算 3.了解向量加法的交换律和结合律 素养 课前。预习学案 [情境引入] 2.运算法则 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个 人共提一个重物，夹角越大越费力；在单杠上做 已知两个不共线的向量 引体向上运动，两臂的夹角越小越省力. a,b,在平面内任取一点 (1) A,作有向线段AB=a, AD=b,再作平行于AD的 D a 四 边 有向线段BC=b,连接 6 a*b 问题 1.你能从数学的角度解释这种现象吗？ DC,则四边形ABCD为 Aa B 2.物理学中的两个位移的和体现了向量 法 的什么运算？ 平行四边形.向量AC叫作 [知识梳理] 向量a与b的和，表示为 [知识点一]向量加法的定义及运算法则 AC=a+b. 1.求定义 求 的运算，叫作向量的加法. ·57参考答案 当sina终边在第三象限时，取a终边上一点P(一l,一3) 0p=而，sina=-3,cosa=- 10 10,tan a =3. (2)①由1-2sinx≥0，根据正弦函数图象知：定义域 为{+音≤a≤2+号，e7 ②”-1长m≤2， .0≤1-2sinx≤3， .f(x)的值域为[0W5], 当x=2km+3西，k∈乙时，f()取得最大值. [例2]C[由已知得{3sinB-2iana+5=0, tan a-6sin B-1=0. 消去sinB,得tana=3, ,.sina=3cosa,代入sina十cos2a=1, 化药释i。=品期8=1严a为能角).门 变式训练 2.解：方程5x2-7x-6=0的两根为x=- 52=2, 由e是第三象限角，得sina=一子，剩cosa=一号， sim(-xeos(- ·tan(π-a) cos(受-a)sin(受+a】 sin(受-a小eos(受+ad ·tan'ac sin acos a -cos a(sin a),tan'a=tan'a=sin'a sin acos a cos'a 9 161 [例3][解](fu)的最小正周期为x,令2红+晋=受 kxk∈Z,则x=吾+经k∈Z,当k=2时-号=3. (②◆号+26a<2x+吾<经-2kkez 解得晋十6≤写+红kE五。 “f)的单调通减区间为[晋+kx,ξ十小，∈乙 当2z+否=0，即x=一危时，f八)承得最大值0：当2+ 若=一受，即1=-号时，f)取得最小值-3。 变式训练 3解析：1)令-受+kx<2江一号<受+k,∈Z 解得一音+告<<号+管67 )的单调递增区间为（是经登凭）E么故 选B. (2)令2x-若=k,k∈Z, 对x=音十受kez 12 f)的对称中心为（侣+经0）小∈ 令2x-百=受+x,ke7x=晋+经k∈Z ·2 五维课堂型 f)的对称轴方程为x=号+誓，kE乙 答案：(1)B (2(臣+经，0）水∈z)x=吾+，kez 到0到电干烟我和4 =+() 1 2 =-1,T=2×(管-若)- ∴w==2, ∴y=sn(2xtp）-1 当x=否时，2sin(2×若十9）-1=-2， 即sin(管+e）=1, 号十9=2×石十9=乏+2mm,n∈Z, ∴9=否+2mn∈Z,又9<， 故所求画数的解桥式为y=合n(2x+看）1. (2)把y=sinx的图象向左平移晋个单位，得到y si血(z十石）的图象，然后将得到的图象上点的纵坐标保持 不变，横坐标缩短为原来的合，得到y=si加(2x十晋）的图 象；再将得到的图象上点的横坐标保持不变，纵坐标变为原 未的宁，得到y=合如(2x+看）的图象，最后起函数y= 名m(x+吾)的因象向下平移1个单位，得到y 之sin(2z十晋）厂1的图象. 变式训练 4A[y=sin(ar十号x-晋)和画教y=cosa的图象重合， 可得号x-晋=号+2xk∈Z则w=6k+2.k∈72是。 的一个可能值.] 第二章平面向量及其应用 §1.从位移、速度、力到向量 课前预习学案情境引入 1.提示：能追上，因为它们的方向相同，猫的速率大于老鼠的 速率。 2.提示：v1和U2为共线向量 知识梳理知识点一 2.AB3.AB(或a) [思考] 1.提示：向量不仅有大小，而且有方向.大小是代数特征，方向 是几何特征，看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大 小和方向两个要素，二者缺一不可. 2.提示：不能.向量是既有大小又有方向的量，所以只能比较它 们模的大小， 3.提示：不是，向量是既有大小又有方向的量，而有向线段除了 有大小、方向外还有起点，所以二者是不同的，但是可以用有 向线段表示向量， 4.提示：不一样.向量平行与几何中的平行不同，向量平行包括 基线重合的情况，故也称向量共线。 5.提示：不一定，单位向量的长度都相等，但方向不一定相同， 故不一定相等 世五维课堂 预习自测 1.D2.C3.D 课堂互动学案 [例1][解析]①错误.由a=b仅说明a与b模相等，但 不能说明它们方向的关系， ②错误.0的模为零. ③正确.对于一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任 意移动的 ④错误.共线向量即平行向量，只要方向相同或相反即可，并不 要求两个向量AB,CD必须在同一直线上. [答案]③ 变式训练 1.A[由向量相等的定义知A正确；向量是有方向的量，不能比 较大小，故B错误；选项C中，当c=0时，a与c不平行，故C不 正确；选项D中，a≠b可以是a∥b但a与b的模不相等，故D 不正确.门 [例2][解](1)向量AB、BC,CD如图所示 C、D↑北100km 西官A 南 (2)由题意，易知AB与CD方向相反，故AB与CD共线， 又|AB=CD, .在四边形ABCD中，AB LCD. ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴.AD=BC,∴.AD=BC=200km. 变式训练 2.解析：1)与AF相等的向量有B正CD. (2)与AE共线的向量有EA、BD、DB. 答案：(1)BE、CD(2)EA、BD、DB L例3][解](1)与a的模相等的向量有23个. (2)与a的长度相等且方向相反的向量有OD,BC,AO,FE. (3)与a共线的向量有EF,BC,OD,FE,CB,DO,AO, DA,AD 变式训练 3.解：(I)四边形ABCD和ABDE都是平行四边形， ABLED,ABLDC,从而AB=ED,AB=DC, ∴.ED=DC,故与向量ED相等的向量是AB,DC. (2)'.AB=ED,AB=DC,..ED=DC. ED与DC方向相同，从而E、D、C三点共线. ..EC=ED+DCI=2ABI=6. [例4][解](1)向量a与c的夹角即∠BAC=60°. (2)如图，延长AB至点D,使BD A =AB,则BD=a,因为△ABC为等 边三角形，所以∠ABC=60°，则 B C ∠CBD=120°，故向量a与b的夹 c/120°b 角为120°. (3)延长AC至点E,使CE=AC, D E 则CE=c,延长BC至点F,使CF=BC,则CF=b.因为 △ABC为等边三角形，所以∠ECF=∠ACB=60°，故向量b 与c的夹角为60°. 变式训练 4.解析：如图，正六边形ABCDEF中， 点O为其中心，以这七个点为起，点 或终点的向量中，与AB相等的向量 有OC,FO,ED,共3个， A 与AB的模相等，且夹角为60°的向量 AO,OD,FE,BC,FA,EO,OB, DC,共8个. 答案：38 ·2g 数学s·必修第二册 随堂步步夯实 1D[不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A,B不 正确：向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与 方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大 小，故D正确.] 2.C[AB∥DC表示AB所在的直线平行于DC所在的直线，或 AB所在的直线与DC所在的直线重合；相等向量不仅要求长 度相等，还要求方向相同；共线向量也称为平行向量，它们可 以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向 量，所以A,B,D均错误，故选C.] 3.C[因为BA=CD,所以四边形ABCD为平行四边形， 又AB=AD,即邻边相等，所以四边形ABCD为菱形.] 4.2√3 5.证明：，AB=DC .AB=DC且AB∥DC, ∴四边形ABCD是平行四边形，.CB=DA, 又CN=MA, ∴.CV=MA,CN∥MA, ,.四边形CNAM是平行四边形， ..CM=NA,..CM=NA,CM//NA. .CB=DA,CM=NA, ∴.MB=DN. 又DN∥MB,∴.DN与MB的模相等且方向相同， ..DN=MB. §2.从位移的合成到向量的加减法 2.1向量的加法 课前预习学案情境引入 1.提示：这涉及到向量的合成问题.即向量的加法， 2.提示：体现了两个向量的加法运算. 知识梳理知识点一 1.两个向量和 2.0a [思考] 1.提示：两个向量相加，和向量还是一个向量，通过三角形法则 或平行四边形法则可得和向量，两个向量的模相加，其和是 一个实数，不是一个向量 知识点三 3.首尾相接 [思考] 2.提示：AB+CA+BC=AB+B元+CA=AC+CA=0,故结果 是0. 预习自测 1.C2.B3.√13 课堂互动学案 [例1][解](1)在平面内任取一点O,作OA=a,AB=b,再 作向量OB,则OB=a十b. B a+b b 0a A (2)在平面内任取一，点O,作OA=a,OB=b,再作平行OB的 AC=b,连接BC,则四边形OACB为平行四边形，OC=a +b. 0 z+b 28