第2章 1 从位移、速度、力到向量（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

本讲义聚焦平面向量的概念、表示、特殊向量（零向量、单位向量）、基本关系（相等向量、共线向量、相反向量）及夹角等核心知识点，从位移、速度等物理背景切入，通过有向线段建立几何表示，系统梳理向量关系，形成从具体到抽象的学习支架，为后续应用奠定基础。 资料以问题驱动（如对比位移与距离）提升数学抽象素养，通过坐标纸作图实践（如按方向和模长画向量）培养直观想象，结合辨析题（如多选判断向量关系）强化逻辑推理。课中例题解析与反思助力教师高效授课，课后自主检验与课堂小结帮助学生查漏补缺，兼顾教学与巩固需求。

第二章　平面向量及其应用 §1　从位移、速度、力到向量 学习目标 素养要求 1．了解向量的物理背景，理解零向量、单位向量的概念． 2．掌握向量的几何表示，理解相等向量、共线向量、向量夹角的含义． 1．通过学习向量的有关概念，重点提升数学抽象的核心素养． 2．会用有向线段表示向量，重点提升直观想象的核心素养． [自主梳理] 知识点一　有向线段向量的概念与表示 [问题1]　 在物理中，位移与距离是同一个概念吗？现实世界中有各种各样的量，如年龄、身高、体重、力、速度、面积、体积、温度等，怎样正确区分这些量呢？ 答：位移与距离不是同一个概念；这些量中有些只有大小，没有方向，但有些既有大小又有方向，因此应该从大小和方向两个方面对这些量进行区分． [问题2]　甲由A地向正北方向走了1 km，然后向正东方向又走了1 km，到达B地，问甲走的路程和位移各为多少？ 答：路程2 km，位移是向北偏东45°方向移动了 km. ►知识填空 1．有向线段的概念及表示 具有方向和长度的线段称为有向线段(如图).以A为起点，B为终点的有向线段，记作.线段AB的长度称为有向线段的长度，记作||. 2．向量的概念 (1)定义：既有__大小__又有__方向__的量统称为向量． (2)表示 (3)向量的模 向量a的大小记作|a|，称为向量的模． 3．零向量与单位向量 __长度为0__的向量称为零向量，记作0或 ，任何方向都可以作为零向量的__方向__．模等于__1个单位长度__的向量称为单位向量． 知识点二　向量的基本关系 ►知识填空 1．相等向量 是指它们的长度__相等__且方向__相同__．向量a与b相等，记作__a＝b__．若两条有向线段方向相同、长度相等，则它们表示的向量__相等__，代表相等向量的有向线段与起点位置__无关__． 2．共线向量 若两个非零向量a，b的方向__相同__或者__相反__，则称这两个向量为共线向量或平行向量，也称这两个向量共线或平行，记作__a∥b__． 3．相反向量 若两个向量的长度__相等__、方向__相反__，则称它们互为相反向量．相反向量是共线向量．若其中一个向量为a，则它的相反向量记作__－a__． 4．规定零向量与任一向量__共线__，即对于任意的向量a，都有__0∥a__．零向量的相反向量仍是__零向量__． 知识点三　向量的夹角 ►知识填空 向量的夹角 定义 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则__θ＝∠AOB(0°≤θ≤180°)__称为向量a与b的夹角 范围 __[0，π]__ 特殊 θ＝__0__ a与b同向 θ＝__π__ a与b反向 θ＝____ a与b垂直，记作__a⊥b__，规定__0__可与任一向量垂直 [自主检验] 1．如图在⊙O中，向量，，是(　　) A．有相同起点的向量 B．共线向量 C．模相等的向量 D．相等的向量 答案：C 2．已知向量a如图所示，下列说法不正确的是(　　) A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 答案：D 3．(多选)如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的是(　　) A．＝ B．∥ C．与共线 D．＝ 解析：选ABC　∵与方向相同，长度相等，∴A正确； ∵A，O，C三点在一条直线上， ∴∥，B正确； ∵AB∥DC，∴与共线，C正确； ∵与方向不同，∴二者不相等，D错误． 4．如图，以1 cm×3 cm方格纸中的格点为始点和终点的所有向量中，则以A为始点，可以写出__________个不同的向量．向量与的夹角等于__________． 答案：7　 题型一　向量的有关概念 [例1]　(多选)下列说法错误的是(　　) A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量都是相等的 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 解析：两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的模都是0，但方向不确定；若两个单位向量反向，则不相等，故B，C，D都错误，A正确． 答案：BCD [反思感悟] 对向量的有关概念的理解要全面、准确，要注意相等向量与共线向量(或平行向量)之间的区别和联系；零向量的长度为零，方向不确定，解题时一定要注意这一特殊向量． 下列说法中正确的是(　　) A．向量的模都是正实数 B．单位向量都是相等向量 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 解析：零向量的模为0，故A不正确；单位向量的方向可以是任意的，故B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确． 答案：C 题型二　向量的几何表示 [例2]　在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量： (1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°方向； (2)，使||＝4，点B在点A正东方向； (3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向． 解：如图中的，和. [反思感悟] 用有向线段表示向量的方法 (1)用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点． (2)必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量． 1．在本例条件下： (1)求向量与的夹角； (2)求向量与的夹角． 解析：(1)∵点A在点O北偏东45°方向， ∴与的夹角为45°. (2)∵C点在点B北偏东30°方向， ∴向量与的夹角为45°－30°＝15°. 2．一辆汽车从点A出发，向西行驶了100 km到达点B，然后改变方向，向西偏北50°的方向行驶了200 km到达点C，最后又改变了方向，向东行驶了100 km达到点D. (1)作出向量，，； (2)求||. 解析：(1)如图所示． (2)由题意知与方向相反， 所以与共线， 所以在四边形ABCD中，AB∥CD， 又因为||＝||， 所以四边形ABCD为平行四边形， 所以||＝||＝200(km). 题型三　相等向量与共线向量 [例3]　如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点． (1)写出与共线的向量； (2)写出模与的模相等的向量； (3)写出与相等的向量． 解：(1)因为E，F分别是AC，AB的中点， 所以EF∥BC，EF＝BC. 又因为D是BC的中点， 所以与共线的向量有，，，，，，. (2)模与的模相等的向量有，，，，. (3)与相等的向量有，. [反思感悟] 向量相等与向量共线的探求方法 (1)寻找向量相等：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线． (2)寻找向量共线：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量．注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量． 如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形． (1)图中所标出的向量与共线的有________； (2)图中所标出的向量与相等的有________； (3)图中所标出的向量与模相等的有____________； (4)向量与向量的夹角为________． 答案：(1)，　(2)　(3)，，，　(4)45° [课堂小结] 1．向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，所以向量能起到数形结合的桥梁作用． 2．向量共线与向量平行是一组等价的概念，两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量． 3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，零向量与任一向量都垂直．单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆． 学科网（北京）股份有限公司 $