贵州遵义市南白中学2025-2026学年第二学期第一次测试高三数学试卷

2025-2026学年第二学期第一次测试高三数学试卷 一．选择题单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y＝x对称，且z1＝﹣1+i（其中i为虚数单位），则复数（　　） A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i 2．已知向量，，则等于（　　） A．（1，3） B．（﹣1，﹣3） C．（5，5） D．（﹣5，﹣5） 3．命题p：，则它的否命题￢p为（　　） A． B． C． D． 4．中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等．如图为甲、乙两人在同一星期内每日步数的折线统计图，则下列结论中正确的是（　　） A．这一星期内乙的每日步数的中位数为12970 B．甲的每日步数星期三比星期二增加了1倍以上 C．这一星期内甲的每日步数的平均值大于乙 D．这一星期内甲的每日步数的极差小于乙 5．已知函数g（x）＝x7﹣Ax5+Bx3﹣Cx，若g（2）＝﹣1，则g（﹣2）＝（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 6．若θ是第一象限角，且，则tanθ＝（　　） A． B． C．2 D．﹣2 7．已知正三棱台ABC﹣A1B1C1的体积为，则AA1与平面ABC所成角的正切值为（　　） A．1 B． C． D．2 8．已知x＝0是函数f（x）＝x3﹣ax2+（a2+a）x﹣2的极小值点，则f（a+1）＝（　　） A．﹣2 B．0 C．﹣1 D．﹣1或﹣2 二．多选题多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（0＜ω＜10，0＜φ＜π）图象的一个对称中心是，点在f（x）的图象上，则（　　） A． B．直线是f（x）图象的一条对称轴 C．f（x）在上单调递减 D．是奇函数 10．已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，不过原点O且斜率为1的直线l与椭圆C交于P，Q两点，则下列结论正确的有（　　） A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C的长轴长为2 C．若A，B为左右顶点，则直线PA，PB斜率乘积为 D．△OPQ的面积的最大值为 11．设函数f（x）＝mlnx﹣x，g（x）x+a，则下列结论正确的是（　　） A．当m＝1时，f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣1 B．当时，g（x）有三个零点 C．若F（x）＝f（x）﹣g′（x）有两个极值点，则 D．若f（mx）≤ex﹣mx，则正实数m的取值范围为（0，e] 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在篮球比赛中，罚球命中一次得1分，不中得0分．若篮球运动员甲罚球命中的概率为0.73，则篮球运动员甲罚球一次得分X的均值是 　 　 ． 13．在数列{an}中，a1＝2，an+1＝an+4，若an＝2022，则n＝　 　 ． 14．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，正方体所有顶点都在平面α的同一侧，正方体的8个顶点到平面α的距离恰好为1，2，3，4，5，6，7，8，则正方体的棱长为　 　 ． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动．A处有一栋大楼，某学生选B，C两处作为测量点，测得BC的距离为50m，∠ABC＝45°，∠BCA＝105°，在C处测得大楼楼顶D的仰角α为75°． （1）求A，C两点间的距离； （2）求大楼的高度． 16．（15分）已知数列{an}的首项a1＝3，且满足an+1＝2an﹣1（n∈N*）． （1）求证：数列{an﹣1}为等比数列； （2）记bn＝log2（an﹣1），求数列的前n项和Sn，并证明． 17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2，AB＝BC＝1． （1）证明：PC⊥CD． （2）若PA＝AB，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值． 18．（17分）已知函数． （1）求函数y＝f1（x）在（0，f1（0））处的切线方程； （2）记函数的最小零点为an，证明： （i）﹣2＜a2＜0且f3（a2）＞0； （ii）． 19．（17分）已知双曲线E的离心率为2，左焦点为F，点A（2，0）在E上． （1）求E的方程． （2）过点F的直线l与E的左支交于M，N两点，直线AM，AN分别交直线x＝﹣1于点PQ，PQ的中点为R． （i）求证：RF⊥MN． （ii）记△MPR，△MRN，△NRQ的面积分别为S1，S2，S3，是否存在λ，使得S1+S3＝λS2恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 参考答案 一．单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A A C C C B A 二．多项选择题 题号 9 10 11 答案 ACD ACD ABD 三．填空题 12．0.73． 13．506． 14．． 四．解答题 15．解：（1）在△ABC中，∠BAC＝180°﹣105°﹣45°＝30°， 根据正弦定理可知：，则， 所以； （2）， 在△DCA中，因为DA⊥AC，则， 所以 ∴． 16．证明：（1）由， 得：， 又a1﹣1＝2，所以{an﹣1}是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1）知，，所以bn＝log2（an﹣1）＝n 所以， Sn＝b1+b2+b3+⋯+bn 当n∈N*时，单调递增，故． 17．解：（1）证明：连接AC， 因为AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2，AB＝BC＝1，所以，， 又AC2+CD2＝AD2，所以AC⊥CD， 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD， 因为PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC， 因为PC⊂平面PAC， 所以PC⊥CD． （2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），，， 设平面CDP的法向量为， 则，则， 取y＝1，则x＝1，z＝2， 所以平面PCD的一个法向量可以为， 显然是平面PAB的一个法向量． 设平面PAB与平面PCD的夹角为θ， 则， 所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为． 18．解：（1），则， ∴f1（0）＝1，f1'（0）＝0，则切线方程为y＝1； （2）（i）证明：由（1）知f1（x）≥f1（0）＝1， f2（x）＝ex，f′2（x）＝ex﹣x， 当x＜0时，f′2（x）＝ex﹣x＞0， 则f2（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增； 又，f2（0）＝1＞0， 则存在﹣2＜a2＜0，使得， 则； （ii）证明：由题知， 先证f2n﹣1（x）＞0恒成立，y＝f2n（x）单调递增且存在唯一零点﹣2n＜a2n＜0， 由（2）知，f1（x）＞0，y＝f2（x）单调递增且存在唯一零点﹣2＜a2＜0， 则，则y＝f4（x）单调 递增，f4（0）＝1，， 则存在唯一零点﹣4＜a4＜0，以此递推，……， ， 则y＝f2n（x）单调递增，又f2n（0）＝1，， 则存在唯一零点﹣2n＜a2n＜0，命题成立， ①因为， 又y＝f2n+2（x）单调递增，且f2n+2（a2n+2）＝0，所以a2n+2＜a2n， ②由上述讨论知，y＝f2n+1（x）在（﹣∞，a2n）单调递减，在（a2n，+∞）单调递增， 且f2n+1（0）＝1又x→→∞时，f2n+1（x）→+∞，则f2n+1（x）＝1存在另一零点a2n+1，且a2n+1＜a2n， 现证明若存在x1＜a2n＜x2，使得f2n+1（x1）＝f2n+1（x2），则x1+x2＞2a2n， 即证x2＞2a2n﹣x1，即证f2n+1（x1）＝f2n+1（x2）＞f2n+1（2a2n﹣x1）， 令h2n+1（x）＝f2n+1（x）﹣f2n+1（2a2n﹣x）（x＜a2n），hk（x）＝hk+1'（x），则h2n+1（a2n）＝0， h2n+1（x）＝h2n（x）＝f2n（x）+f2n（2a2n﹣x）， h2n（a2n）＝2f2n（a2n）＝0，h2n'（x）＝h2n﹣1（x）＝f2n﹣1（x）﹣f2n﹣1（2a2n﹣x）h2n﹣1（a2n）＝0， h2n﹣1'（x）＝h2n﹣2（x）＝f2n﹣2（x）+f2n﹣2（2a2n﹣x）， h2n﹣2（a2n）＝2f2n﹣2（a2n）＜2f2n﹣2（a2n﹣2）＝0， …… h3'（x）＝h2（x）＝f2（x）+f2（2a2n﹣x），h2（a2n）＝2f2（a2n）＜2f2（a2）＝0， h'2（x）＝h1（x）＝f1（x）﹣f1（2a2n﹣x）＝2（a2n﹣x）＞0， 反推可得到h1（x）＞0，h2（x）＜0，⋯，h2n+1（x）＞0， 命题得证．又f2n+1（a2n+1）＝f2n+1（0）＝1， 则a2n+1+0＞2a2n，即， 综上所述：． 19．解；（1）设E的半焦距为c（c＞0）， 因为A（2，0）在E上，所以a＝2， 因为E的离心率，即c＝2a＝4， 所以b2＝c2﹣a2＝12， 故E的方程为． （2）（i）证明：由E的方程知F（﹣4，0）， 设l：x＝my﹣4，M（x1，y1），N（x2，y2）， 由 得（3m2﹣1）y2﹣24my+36＝0， 因为l与E的左支交于两点，且E的渐近线方程为， 可得，即3m2﹣1＜0， 所以，， 直线AM的方程为， 令x＝﹣1，得， 所以， 同理得． 所以 ， 即R（﹣1，﹣3m）． 当m＝0时，直线MN与x轴垂直，R（﹣1，0）与F（﹣4，0）都在x轴上，满足RF⊥MN； 当m≠0时，有，，kRF•kMN＝﹣1，也满足RF⊥MN． 综上，RF⊥MN； （ii） ． ． 所以，即存在，符合条件． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/6 23:34:46；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $