专题02 轴对称重难点题型专训（3个知识点+14大题型+3拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题02 轴对称重难点题型专训 （3个知识点+14大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 轴对称图形的识别 题型二 成轴对称的两个图形的识别 题型三 作已知线段的垂直平分线 题型四 作垂线(尺规作图) 题型五 根据成轴对称图形的特征进行判断 题型六 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型七 作角平分线(尺规作图) 题型八 台球桌面上的轴对称问题 题型九 轴对称中的光线反射问题 题型十 折叠问题 题型十一 画对称轴 题型十二 画轴对称图形 题型十三 求对称轴条数 题型十四 镜面对称问题 拓展训练一 根据成轴对称性质求角度 拓展训练二 轴对称中折叠问题 拓展训练三 轴对称性质的规律问题 知识点一：两个图形成轴对称 1．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）下列两个电子数字成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴．根据定义逐一分析即可． 【详解】解：A、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； B、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； C、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； D、两个数字能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则两个数字成轴对称． 故选：D． 2．（24-25八年级下·江苏无锡·课前预习）把一个图形沿着_______折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形_______关于这条直线_________．这条直线叫做_________．折叠后重合的点叫对应点，也叫_______． 【答案】 某一条直线 成轴对称 成轴对称 对称轴 对称点 【解析】略 知识点二：两个图形成轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，由轴对称的性质不能得出非对应线段的关系．由轴对称的性质可以得到对应线段、对应点的连线与对称轴的位置关系，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，不能得出非对应线段的关系． 【详解】解：根据题意分析，由轴对称的性质可以得到：对应线段相等，即A选项成立；对应线段是平行，即C选项成立；对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，即D选项成立；与为非对应线段，无法得到与的关系， 故选：B． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·课后作业）如图，将一张纸对折后用针扎出一系列小孔，展开后得到成轴对称的两个图形，的对应线段是________，的对应角是________． 【答案】 【分析】此题考查了轴对称性质，根据轴对称性质求解即可． 【详解】根据题意得，的对应线段是，的对应角是． 故答案为：，． 知识点三：轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 3. 轴对称和轴对称图形的区别和联系： 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 轴对称和轴对称图形的性质 轴对称的性质： 垂直平分线：垂直并且评分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 1 由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同） 2 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。 3 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（ ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线，的交点不一定在上 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质解答即可，解题的关键是掌握轴对称的性质． 【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任意一点， ∴，垂直平分，与的面积相等，故B、C选项正确； ∴是等腰三角形，故A选项正确； 直线，关于直线对称，因此交点一定在上，故D选项错误； 故选：D． 2．（25-26七年级下·江苏扬州·周测）如图，与关于直线l对称．若，，则________，________． 【答案】 2cm 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握该性质是解题的关键； 根据轴对称的性质解题即可得出答案． 【详解】解：∵与关于直线l对称 ∴ 故答案为：2cm， ． 【经典例题一 轴对称图形的识别】 【例1】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）新能源汽车是我国经济发展的重要产业之一．下列新能源车标中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 【例2】（24-25七年级下·重庆南岸·期末）图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点均在格点上．请在给定的网格中，找一格点，使以点为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点的个数是_______个．    【答案】2 【分析】根据轴对称图形的定义，动手逐个判断即可求解． 【详解】解：如图所示，      即：满足条件的点的个数为2个， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是解题的关键． 1．（24-25八年级上·四川泸州·期末）“共圆冰雪梦，一起向未来．第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行．以下选取了四届冬奥会会标图案的一部分，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此 进行判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．是轴对称图形，故此选项符合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．（24-25八年级上·浙江温州·月考）为迎接即将到来的国庆节，市区广场上设置了一个呈轴对称图形的平面造型（如图所示），其正中间为一个半径为b的半圆，摆放花草，其余部分为展板区．已知米．米．则展板的面积为 _____，摆放花草造价为450元/平方米，展板造价为80元/平方米，那么制作整个造型的造价是（π取3）_____元． 【答案】 12平方米 3660 【分析】两头的扇形正好把中间的半圆补上，整个图形是一个长方形，据此列出代数式，把a，b的值代入求值即可；分别求出摆放花草部分造价，展板部分造价即可解决问题． 【详解】解：由题意：展板的面积＝（平方米）， 当米，米时，展板的面积＝12（平方米）． 制作整个造型的造价＝（元）． 故答案为：12平方米；3660． 【点睛】本题考查矩形的性质，轴对称图形，圆的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）判断下列图形是否是轴对称图形，如果是，请画出其中的一条对称轴． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)不是轴对称图形 (2)是轴对称图形，对称轴见解析（答案不唯一） (3)是轴对称图形，对称轴见解析（答案不唯一） (4)是轴对称图形，对称轴见解析（答案不唯一） 【分析】轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的图形能够互相重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线就是对称轴． 【详解】（1）解：该图形不是轴对称图形； （2）解：如图所示， （3）解：如图所示， （4）解：如图所示， 【经典例题二 成轴对称的两个图形的识别】 【例1】（25-26八年级上·山东德州·期末）下列两图形成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是两图形成轴对称的定义，解题关键是熟练掌握某两个图形沿着一条直线对折，能够完全重合，则称这两个图形关于这条直线形成轴对称． 根据两图形成轴对称的定义对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，两图形大小不相等，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，两图形大小不相等，形状不相同，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，两图形大小不相等，形状不相同，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，能找到直线使两图形完全重合，符合定义，符合题意． 故选：． 【例2】（25-26七年级下·江苏扬州·课后作业）窗格在中国建筑装饰文化史上蕴含着博大精深的文化韵味．在如图所示的窗格中，可以与图形①成轴对称的图形是______（填序号）．    【答案】②③④ 【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，根据轴对称的定义判断即可． 【详解】解：如图所示，图形①与图形②关于直线成轴对称，图形①与图形③关于直线成轴对称，图形①与图形④关于直线成轴对称．    故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合． 1．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）下列各图形中，从图形Ⅰ到图形Ⅱ一定不能通过轴对称得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查成轴对称的定义，解决本题的关键是要熟练掌握成轴对称的定义．把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么 就称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫作对称轴，翻折后能够重合的点叫作对称点．据此即可求解． 【详解】解：A、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意； B、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意； C、图形Ⅰ和图形Ⅱ不成轴对称，符合题意； D、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·山东青岛·单元测试）国际奥委会会旗上的图案由5个圆环组成．每两个圆环相交的部分叫做曲边四边形，如图所示，从左至右共有8个曲边四边形，分别给它们标上序号．观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与_______成轴对称．（请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上） 【答案】1，3，7 【分析】此题考查了成轴对称图形的识别，沿着一条直线折叠，如果两个图形能够完全重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称，据此进行解答即可． 【详解】解：观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与1，3，7成轴对称． 故答案为：1，3，7 3．（24-25七年级下·江苏扬州·课后作业）如图，和关于直线成轴对称，请写出对应角和对应线段． 【答案】对应角是和和和．对应线段是和和和 【分析】本题考查了成轴对称图形的定义，熟练掌握成轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后与另一个图形能够互相重合，那么这两个图形就叫做成轴对称图形，这条直线叫做对称轴，能够重合的角叫对应角，能够重合的线段叫对应线段． 【详解】解：对应角是和和和．对应线段是和和和． 【经典例题三 作已知线段的垂直平分线】 【例1】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·月考）已知中，，在上取一点，使，下列尺规作图的方法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查五类基本尺规作图-作垂直平分线，熟练掌握线段垂直平分线的作法是解决问题的关键． 根据题中要求，在上取一点，使得，根据，从而得到，即可得到本题的尺规作图是作线段的垂直平分线，结合选项即可得到答案． 【详解】解：在中，，在上取一点，使得， ， ，即作线段的垂直平分线， 故选：D． 【例2】（2025·云南保山·一模）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交边于点，连接，则的周长为______． 【答案】17 【分析】本题主要考查的是垂直平分线的运用，由题意可得为的垂直平分线，所以，进一步可以求出的周长． 【详解】解：∵在中，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，． ∴为的垂直平分线， ， 的周长为：． 故答案为：17． 1．（24-25八年级上·天津河西·期末）如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在(   ) A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 【答案】A 【分析】本题考查中垂线的性质．根据到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上，即可得出结果． 【详解】解：∵猫所在的位置到A、B、C三个点的距离相等， ∴猫应该蹲守在三边垂直平分线的交点处； 故选A． 2．（24-25八年级下·山东青岛·期中）风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2000多年的历史．如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为______． 【答案】2000 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，证明垂直平分，分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：∵，， ∴点在线段的中垂线上， ∴， 设交于点，则：， ∴制作这个风筝需要的布料至少为； 故答案为：2000． 3．（25-26七年级下·江苏无锡·月考）尺规作图： (1)作边的垂直平分线交于点，连接； (2)作边的垂直平分线交于点，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可； （2）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可． 【详解】（1）解：如图，点，即为所求； （2）解：如图，点，即为所求． 【经典例题四 作垂线(尺规作图)】 【例1】（25-26八年级上·贵州黔南·期末）观察图中尺规作图的痕迹，下列说法正确的是（    ） A．作已知线段的垂直平分线 B．作一个角等于已知角 C．经过直线外一点作已知直线的垂线 D．作一个角的平分线 【答案】C 【分析】此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键． 根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案． 【详解】由作图痕迹可知，该作法为过直线外一点作已知直线的垂线． 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是______（填序号）． 【答案】① 【分析】本题考查尺规作图相关知识，解题的关键是掌握角平分线和线段垂直平分线正确的尺规作图方法． 需要分别分析角平分线和线段垂直平分线的尺规作图是否正确． 【详解】对于①作一个角的角平分线：其尺规作图的基本步骤是先以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点；再分别以这两个交点为圆心，大于两交点距离一半的长度为半径画弧，两弧相交于一点；最后过角的顶点和这个交点作射线，这条射线就是角平分线．图①的作图痕迹符合角平分线的尺规作图步骤，所以①的作法正确； 对于②作一条线段的垂直平分线：正确的尺规作图步骤是分别以线段的两个端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，两弧分别在线段上下方各有一个交点，连接这两个交点所得直线才是线段的垂直平分线．图②中仅作出了过线段中点的垂线，但没有体现完整的尺规作图过程（没有体现以两端点为圆心画弧等操作），所以②的作法错误； 故答案为：①． 1．（25-26八年级上·吉林·期末）如图，在锐角中，，若甲乙两名同学分别用尺规作该三角形的高，作法如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都不对 D．甲、乙都对 【答案】D 【分析】本题考查了作一个角与已知角相等，作三角形的高，熟练掌握作图方法是解题关键； 分析两个作图方法，然后判断即可． 【详解】解：甲的作法：由作图痕迹可知， ， ， ， 即是上的高， 乙的作法由作图痕迹即为的高， 故两名同学作法都对； 故选：D． 2．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，已知线段．按下列步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点．观察图形，请写出图中线段之间的一个等量关系______． 【答案】 【分析】本题考查垂直平分线的尺规作图，根据作图的方法得垂直平分，即可得到答案． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，．尺规作图作出正方形，点在上，点分别在上．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】作的平分线交于点，作的垂直平分线分别交、于点、，连接、，四边形是正方形． 【详解】解：如下图所示， 作的平分线交于点， 作的垂直平分线分别交、于点、， 连接、， 根据线段的垂直平分线的性质可得：，， 是的平分线， ， ， 四边形是菱形， 又， 四边形是正方形． 【经典例题五 根据成轴对称图形的特征进行判断】 【例1】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在2×2的正方形网格中，网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，是一个格点三角形，图中与成轴对称的格点三角形共有（    ）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题主要考查利用轴对称来设计轴对称图形，直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案． 【详解】符合题意的三角形如图所示：    满足要求的图形有5个 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有_____个． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据正方形的四条对称轴分别找到与阴影三角形成轴对称的三角形，即可求解． 【详解】解：如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有个， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·江苏无锡·课后作业）如图，六边形ABCDEF关于直线l对称的图形是六边形．下列判断错误的是（   ） A． B． C．直线 D． 【答案】B 【分析】此题考查轴对称图形的性质，掌握关于某条直线对称的两个图形全等，对应点到对称轴的距离相等是解决问题的关键． 根据轴对称的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、点和对称点是点和，．故该选项说法正确，不符合题意； B、∵点、、、对称点是点、、和，，．故该选项说法错误，符合题意； C、∵点、对称点分别是点、，直线故该选项说法正确，不符合题意； D、∵点对称点是点，，故该选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26七年级下·江苏扬州·课后作业）跨语文学科 如图所示的都是某个汉字的一半，你能想象出它们的另一半并确定它们是什么字吗？它们依次是___________． 【答案】林、共、品、吉 【分析】本题侧重考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 根据轴对称图形的定义解答即可． 【详解】解：根据轴对称的性质知：图中的汉字依次为：林、共、品、吉. 故答案为：林、共、品、吉. 3．（25-26七年级下·江苏泰州·周测）如下图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，，，． (1)试写出EF，AD的长度． (2)求的度数． (3)连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？ 【答案】(1)， (2) (3)直线MN垂直平分线段BF 【分析】本题考查了轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）（2）（3）根据轴对称的性质即可得出相关信息． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称， ，， ，． （2）解：∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称， ， ∴． （3）解：∵对称轴垂直平分对应点的连线， ∴直线MN垂直平分线段BF． 【经典例题六 根据成轴对称图形的特征进行求解】 【例1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，与关于直线对称，下列所连线段中，能被直线垂直平分的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质；根据对称点所连线段被对称轴垂直平分，即可得到答案． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴对称点所连线段被对称轴垂直平分， ∴能被直线垂直平分的是， 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，，．则四边形的周长为___________． 【答案】18 【分析】根据轴对称图形的性质可得到的长度，即可计算四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，，， ∴， ∴四边形的周长为． 1．（25-26八年级上·福建南平·月考）如图，P是外一点，D，E分别是上的点，连接，点M，N在直线上，与关于对称，与关于对称．若，则线段的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5.5 D．6 【答案】D 【分析】本题需利用轴对称的性质，将所求线段转化为已知线段的和差形式，通过已知的、、长度来计算的长．关键是理解“关于某直线对称的两条线段相等”这一性质，进而推导各线段间的数量关系． 【详解】解：与关于对称， ； 同理，与关于对称， ． ∵，， ，． 点在直线上，且，， ． 点在直线上，且， ． 2．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，，点、分别在射线上，，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，______，的面积最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．分点在线段上，点的左侧和点的右侧，三种情况进行讨论，连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：当点在线段上，如图，连接，过点作交的延长线于，    ∵，且， ∴， ∵点关于对称的点为，点关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ∴的面积的最小值为， 当点在点的左侧时，如图：连接，过点作交的延长线于，      同理可得：， ∵点关于对称的点为，点关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ∴的面积的最小值为， 当点在点的右侧时，如图：连接，过点作交的延长线于，      同理可得：， 的面积的最小值为， 综上：，的面积的最小值为； 故答案为：90，． 3．（25-26八年级上·江西赣州·期末）与关于直线对称，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图中，作出直线． (2)在图中，是中点，在对称轴上作出一点，使得周长最小． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查作图一复杂作图，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （）根据轴对称的性质即可求解； （）根据轴对称的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求． 【经典例题七 作角平分线(尺规作图)】 【例1】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图——基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法；观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线、角平分线、垂线的性质，逐项判断即可. 【详解】解：A、作图痕迹可知，D为中点，不能确定，故A不符合题意； B、作图痕迹可知，D在的平分线上，能确定，故B符合题意； C、作图痕迹可知，是边上的高，不能确定，故C不符合题意； D、作图痕迹可知，D在的垂直平分线上，不能确定，故D不符合题意. 故选：B. 【例2】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图是用尺规作已知角的平分线的示意图，则的依据是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据尺规作图痕迹可得，两个三角形对应边相等，进而可得答案． 【详解】解：由图可知， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图是作的平分线的两种方案，对于两种方案的判断正确的是（   ） 甲方案 将两个完全一样的三角板长直角边放在边和上、移动三角板，使短直角边的锐角顶点重合在一点，记为点P，作射线． 乙方案 用刻度尺在和上分别取，再用刻度尺量取的长，取其中点，记为点P，作射线． A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都不对 D．甲、乙都对 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的判定，熟练掌握其判定定理是解题的关键． 根据角平分线的判定定理解题即可． 【详解】解：甲方案：由图可知，点到的两边距离相等， ∴平分； 乙方案：由图可知，在和中， ∴≌， ∴， ∴平分； ∴甲、乙都对． 故选：D ． 2．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）如图，直线，点E，F分别在直线，上，连接，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点H，画射线交于点C，若，则的度数为______ 【答案】/40度 【分析】由作图可得平分，再根据角平分线的定义以及平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可得，平分， ∴， ∵， ∴． 3．（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，某通信公司计划在虚线范围内建造一个“5G”基站，使得到两条公路，的距离相等且到两个村庄，的距离也相等，请在图中标出点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】根据题意，用尺规作图的方法作的角平分线和的垂直平分线，交点即为点． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 理由：由图可知是的平分线，是的垂直平分线， 是的平分线， 到两条公路，的距离相等， 是的垂直平分线， ，即到两个村庄，的距离相等， 的角平分线和的垂直平分线的交点即为点． 【经典例题八 台球桌面上的轴对称问题】 【例1】（25-26七年级下·北京·开学考试）平面直角坐标系中，一张长方形台球桌的顶点分别为，，，，台球从球桌上的某一点出发，沿平行于或的直线方向运动，碰到边缘会发生镜面反射，台球从以下哪个点出发，在反弹不超过3次的情况下无法到达原点？（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用台球反射的性质画图，逐一验证各选项，判断反弹不超过3次时能否到达原点． 【详解】解：A．如图，点反弹不超过3次的情况下无法到达原点； B．如图，点反弹不超过3次的情况下能到达原点； C．如图，点反弹不超过3次的情况下能到达原点； D．如图，点反弹不超过3次的情况下能到达原点； 【例2】（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 __点． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 【详解】解：如图， 可以瞄准点击球． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点， ∵， ∴弹性小球第次落脚点为图中的点， 故选：． 2．（24-25八年级上·广西南宁·期中）四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小时，的度数为__________． 【答案】 【分析】作A关于BC和CD的对称点A′、A′′，连接A′A′′，交BC于M，交CD于N，则A′A′′即ΔAMN为的周长最小值，推出∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）即可解决． 【详解】如图，作A关于BC和CD的对称点，连接，交BC于M，交CD于N，则即为的周长最小值， ， ， ∴∠A′+∠A″=70°， ∵BA=BA′，MB⊥AB， ∴MA=MA′，同理：NA=NA″， ∴∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD， ∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″， ∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=140°. 故答案为140° 【点睛】本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键． 3．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，长方形台球桌上有两个球E，F．（保留作图痕迹，工具不限） (1)请你设计一条路径，使得球F撞击台球桌边反射后，撞到球E； (2)请你设计一条路径，使得球F连续撞击台球桌边、反射后，撞到球E． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查轴对称，解题的关键是学会利用轴对称解决问题，属于中考常考题型． （1）作点F关于直线的对称点，连接交于P，连接，点P即为所求； （2）作点F关于直线的对称点，点E关于的对称点，连接交于M，交于N，连接，，点M，N即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，路径是． （2）解：如图2中，路径是． 【经典例题九 轴对称中的光线反射问题】 【例1】（24-25七年级下·河北保定·月考）如图，设和是镜面平行相对且间距为的两面镜子，把一个小球A放在和之间，小球在镜中的像为，在镜是中的像为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是镜面反射的性质即轴对称的性质；解决本题的关键，是理解实物与像关于镜面对称．那么到镜面的距离就相等．如图所示，经过反射后，，，则，即可求解． 【详解】解：如图所示， 经过反射后，，， ∴． 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，，是两个互相垂直的平面镜，，入射光线经过两次反射后，得到反射光线，若，则________． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据题意可得：，，，从而可得，进而可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·山西朔州·月考）如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了判断反射光线． 根据入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角判断即可． 【详解】∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角， ∴其反射光线为， 故选：C． 2．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为________． 【答案】/64度 【分析】本题主要考查轴对称，平行线的性质的应用，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质推出，由光的反射定律得到，求出，由直角三角形的性质求出，即可求出的度数． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由光的反射定律得到：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·江苏扬州·课后作业）茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的，），桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 【答案】见解析 【分析】本题意思是在上找一点D，在上找一点E，使的周长最小．如果设点C关于的对称点是M，关于的对称点是N，当点D、E在上时，的周长为，此时周长最小． 【详解】.解：①分别作点C关于OA、OB的对称点是M、N，②连接MN，分别交OA于D，OB于E． 则C→D→E→C为所求的行走路线． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，灵活运用对称性的基本性质是解题关键． 【经典例题十 折叠问题】 【例1】（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图，把一张长方形的纸片沿着折叠，点、分别落在、的位置，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠的性质可得，根据平角的定义和已知条件可列方程求出，据此可得答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【例2】（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，在等宽纸带ABCD中，．将该纸带沿折叠后，点C，D分别落在，的位置．若，则________． 【答案】112 【分析】根据折叠性质得到，根据求出，进而得到﹒根据求出，即可求出﹒ 【详解】解：由折叠可得﹒ ∵， ∴， ∴﹒ ∵， ∴， ∴﹒ 1．（2026·湖北·模拟预测）如图折叠一张长方形纸片，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据平行线的性质求出，然后根据折叠的性质得到的度数. 【详解】解：根据折叠得出，， ， ， ， ， ． 2．（25-26七年级下·上海闵行·月考）如图，直角三角形中，，，，为边上一点，为直线上一点，将图形沿翻折，得到点的对应点（位于上方），如果有一边平行于边，那么___________°． 【答案】或或 【分析】分五种情况讨论，根据平行线的性质以及折叠的性质求解即可． 【详解】解：当，点在线段上时，如图： ∴ ∴由折叠可得； 当，点在线段延长线上时，如图 同理可求； 当，点在线段上时，过点作交于点， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴由折叠可得， ∴ ∵ ∴ ∴由折叠可得； 当，点在线段延长线上时，过点作交延长线于点， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴由折叠可得， ∴ ∵ ∴ ∴由折叠可得； 当时，如图： ∴， ∴有一边平行于边，那么或或． 3．（24-25七年级下·河南焦作·期中）根据题意解答下列问题 (1)如图1，将一张长方形纸条折叠，已知，则______． (2)如图2，将图1中的长方形继续折叠使得，求的度数． (3)如图3，将图1中的长方形继续折叠使得落在射线上，试说明． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据折叠的性质和平角的定义计算即可； （2）根据平行线的性质得到，，进而得到； （3）根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，，可知，即可证明． 【详解】（1）解：如图， 根据折叠的性质可知， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ （3）解：∵， ∴， 根据折叠的性质可知，， ∴， ∴． 【经典例题十一 画对称轴】 【例1】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图是一个轴对称图形，对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，能使图形完全重合的直线叫做该图形的对称轴，据此即可解题． 【详解】解：由图知，该图形的对称轴是直线． 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·四川眉山·期末）下列图形中的五边形都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有________个． 【答案】4 【分析】此题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．直接利用轴对称图形的性质画出对称轴得出答案． 【详解】解：如图所示：直线即为各图形的对称轴． 故轴对称图形有4个． 故答案为：4． 1．（24-25七年级下·江苏扬州·课后作业）下列选项中，直线是四边形的对称轴的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质和轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，直线两旁两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念求解即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，直线不是该图形的对称轴，本选项不符合题意． B、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、该图形是轴对称图形，直线是该图形的对称轴，本选项符合题意． D、该图形是轴对称图形，直线不是该图形的对称轴，本选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·课后作业）如图所示的图形都可以看成是轴对称图形，其中只有1条对称轴的是______；只有2条对称轴的是______；只有4条对称轴的是______．（填序号） 【答案】 ①②⑩ ③④⑤⑥⑧⑨ ⑦ 【分析】本题主要考查了轴对称图形对称轴的判断，根据定义逐项判断即可．将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形称为轴对称图形． 【详解】解：因为图①有1条对称轴，图②有1条对称轴，图③有2条对称轴，图④有2条对称轴，图⑤有2条对称轴，图⑥有2条对称轴，图⑦有4条对称轴，图⑧有2条对称轴，图⑨2条对称轴，图⑩有1条对称轴． 所以只有1条对称轴的是①②⑩；只有2条对称轴的是③④⑤⑥⑧⑨；只有4条对称轴的是⑦． 故答案为：①②⑩；③④⑤⑥⑧⑨；⑦． 3．（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，和关于直线对称，和关于直线对称． (1)画出直线； (2)直线与相交于点O，试探究与直线所夹锐角的数量关系． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的性质，是解题的关键： （1）连接，画出线段的垂直平分线即可； （2）根据角的和差关系和轴对称图形的性质，进行推导即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：连接， 则， ∵和关于直线对称，和关于直线对称， ∴， ∴， ∴． 【经典例题十二 画轴对称图形】 【例1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上（网格线之间的交点称为格点），这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形共有（   ）个（注：与重合的不计） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】本题考查作网格中的对称图形，利用对称性作出图形即可得到答案． 按照题意，在网格中作出与成轴对称的格点三角形即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 在网格中与成轴对称的格点三角形共有个， 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．可以画出与成轴对称、每个顶点都在格点上，且位置不同的三角形有________个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形画出满足题意的三角形，再统计即可解答． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可以画出与成轴对称的三角形如下： 即可以画5个． 故答案为：5． 1．（24-25七年级上·西藏·开学考试）（1）以虚线为对称轴，画出图形①的轴对称图形④． （2）将图形①绕点按顺时针方向旋转，画出旋转后的图形⑤． （3）把图形②按缩小，画出缩小后的图形⑥． （4）缩小后的图形⑥与原图形②的面积之比是______． （5）图形③中，直角三角形的斜边是圆的直径，点是圆心，，若每个小方格的边长为1厘米，则点在点的（偏）（    ）方向（    ）厘米处． 【答案】（1）（2）（3）画图见解析；（4）；（5）60，2 【分析】本题考查了轴对称、旋转、缩放变换以及方向与距离的确定，解题的关键是掌握图形变换的基本操作和利用网格进行准确作图与计算． （1）轴对称图形：找出图形①各关键点关于直线AB的对称点，然后连接； （2）旋转图形：以点为中心，将图形①各点顺时针旋转后连接； （3）缩小图形：将图形②各边长度按缩小，保持形状不变； （4）面积比：图形缩小后，面积比是相似比的平方； （5）方向与距离：由和为直径，可知三角形是等边三角形，从而确定角度和距离． 【详解】解：（1）轴对称图形④如图所示： （2）旋转后的图形⑤如图所示： （3）缩小后的图形⑥如图所示； （4）解：原图形②是直角三角形，直角边分别为3和，面积为． 缩小后图形⑥的面积为． 缩小后的图形⑥与原图形②的面积之比是． 故答案为：． （5）解：∵是圆的直径，点是圆心， ∴是半径． ∵， ∴， ∴三角形是等边三角形， ∴， 每个小方格的边长为厘米，占据两个小方格， ∴厘米，故厘米． ∴点在点的北偏东方向厘米处． 故答案为：60；． 2．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线对称，请在试卷上补全字母，并写出这个单词所指的物品是___． 【答案】书，图见解析 【分析】本题考查了轴对称图形，解题的关键是根据轴对称的性质作出图形． 根据轴对称图形的性质画出图形即可解答． 【详解】解：如图， 这个单词所指的物品是书． 故答案为：书． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，请按下列要求画图． (1)画出关于x轴的对称图形． (2)将先向右平移7个单位长度后再向下平移3个单位长度得到，画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作轴对称图形，平移作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，找出，再依次连接，得，即可作答． （2）根据平移的性质，找出，再依次连接，得，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示． 【经典例题十三 求对称轴条数】 【例1】（25-26七年级下·重庆·月考）下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此结合图形找到四个图形的所有对称轴即可得到答案． 【详解】解：A选项中的图形有1条对称轴，B选项中的图形有5条对称轴，C选项中的图形有1条对称轴，D选项中的图形有3条对称轴， ∴对称轴条数最多的是B选项中的图形． 【例2】 （25-26七年级下·江苏扬州·课后作业）“圆形方孔钱”是中国古钱币的突出代表，图①是一种“圆形方孔钱”，图②是其轮廓图．已知古钱币的轮廓图是轴对称图形，则它的对称轴条数为_________．    【答案】4 【分析】根据轴对称图形的定义，分析图②的特征，确定对称轴的数量即可． 此题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握相关概念是解决此题的关键． 【详解】解：如图所示，    故答案为：4． 1．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列图形中，对称轴最多的图形是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称图形，把一个图形沿着某条直线折叠，直线两边部分能够完全重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线是对称轴．据此判断每个图形的对称轴，即可解答． 【详解】解：等腰三角形有1条对称轴； 正方形有4条对称轴； C选项中三个圆组成的图形有3条对称轴； 圆有无数条对称轴． 综上分析可知：对称轴最多的图形是圆． 故选：D． 2．（2025七年级下·江苏扬州·专题练习）观察下列图形，请把符合要求的图形的标号填在相应的横线上． 没有对称轴的图形是________． 有一条对称轴的图形是________． 有两条对称轴的图形是________． 有三条对称轴的图形是________． 有三条以上对称轴的图形是________． 【答案】 （1）、（6） （2）、（5） （4） （3） （7）、（8） 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，直线两边的部分能够重合，则这个图形是轴对称图形，这条直线叫对称轴，据此求解即可． 【详解】解：没有对称轴的图形是（1）、（6）， 有一条对称轴的图形是（2）、（5）， 有两条对称轴的图形是（4）， 有三条对称轴的图形是（3）， 有三条以上对称轴的图形是（7）、（8）， 故答案为：（1）、（6）；（2）、（5）；（4）；（3）；（7）、（8）． 3．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图1，棋盘上已经摆放好了3个棋子，如图2所示，再添加一个棋子后，这4个棋子恰好构成一个轴对称图形，直线m为对称轴． (1)请仿照图2，用新方法在图3的棋盘格点上添加1个棋子，使4个棋子构成一个轴对称图形，并画出对称轴 (2)这样的添加方法共有_______种（含图2方法）． 【答案】(1)图见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键； （1）直接利用轴对称图形的性质得出对称轴位置； （2）直接利用轴对称图形的性质求解． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：这样的添加方法共有4种，如下图： 【经典例题十四 镜面对称问题】 【例1】（25-26八年级上·河南许昌·期中）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质，解题的关键是正确将镜像号码进行水平翻转并转换对应字符．把镜子中的号码水平翻转（左右镜像），同时转换每个字符的镜像对应，得到实际号码． 【详解】 解：镜面对称为水平翻转（左右镜像），将镜子里的号码进行水平翻转后，字符的镜像对应为，即组合得到实际号码为3265． 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）从镜子里看到的时间如图所示，则实际时间是________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称及性质，平面镜成像，关键在于利用“像与物体关于镜面对称（左右相反）”这一特性，通过将镜子中的像进行左右翻转来确定实际时间．平面镜成像时，像与物体关于镜面对称，即像和物体左右相反，要得到实际时间，需将镜子中看到的电子钟像进行左右翻转，从而确定实际显示的时间． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为． 故答案为：． 1．（2025八年级上·江苏·专题练习）有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（　　） A．200个 B．400个 C．1000个 D．2000个 【答案】A 【分析】根据有5个数字的“数字对称”牌照，第一个数与第五个数相同，第二个数与第四个数相同分析，分以8开头和以9开头两类，只考虑第二个数和第三个数，即可求解； 【详解】解：根据题意，若以8开头，则第五个也是8，只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有种情况． 同样地，以9开头只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有种情况，所以最多可制作200个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查生活中的轴对称现象，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 2．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）河对岸的大楼上镶嵌的钟面在河水中的倒影如图所示，则实际时间是_________． 【答案】3时35分 【分析】本题考查轴对称，掌握轴对称的性质是解题的关键. 大楼上镶嵌的钟与它在河水中的倒影成轴对称，图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好上下相反，据此作答即可. 【详解】解：∵大楼上镶嵌的钟与它在河水中的倒影成轴对称， 如图， 图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好上下相反， ∴实际时间是，即3时35分. 故答案为：3时35分. 3．（2025七年级下·江苏扬州·专题练习）某一车牌号码在路面水坑中的倒影为，请猜测该车的车牌号．晓华猜测该车的车牌号为M80608．请问晓华的猜测正确吗？如果不正确，请写出正确的车牌号． 【答案】不正确，M80908 【分析】此题主要考查了镜面对称，易得所求的牌照与看到的牌照关于水平的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】解：晓华的猜测不正确．如图所示． 故该车的车牌号应是M80908． 【拓展训练一 根据成轴对称性质求角度】 【例1】（24-25七年级下·福建漳州·月考）下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，符合题意； C．是轴对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不符合题意． 故选B． 【例2】（24-25八年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图——复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质和尺规作图，点P到点A，点B的距离相等，可知点P在线段的垂直平分线上，据此可得答案． 【详解】解：点P到点A，点B的距离相等， 点P在线段的垂直平分线上， 故选：A． 1．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质；根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解；轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 【详解】解：与关于直线对称， ，，，故A、C、D选项正确， 不一定成立，故B选项错误， 所以，不一定正确的是B． 故选：B． 2．（24-25七年级下·山西晋中·期末）在制作万花筒活动中，小刚发现：如图，把一个正方形图片P放在张角为的（用两面平面镜制作而成）中间，可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质，解答即可． 【详解】解：根据题意得：一次反射成像有2个，即， 两次反射成像有2个，即， 三次反射成像有1个，即， 如图， 即可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是6个． 故选：C 3．（25-26八年级上·天津和平·期中）如图，在一张长方形纸板上找一点P，使点P到的距离相等，且到点C，D的距离也相等，则下列作法错误的有（   ）个． （1）    （2）（3）（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图，利用角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质得到点P为的平分线与的垂直平分线的交点，然后对各选项进行判断． 【详解】解：∵点P到的距离相等，且到点C，D的距离也相等， ∴点P为的平分线与的垂直平分线的交点． ∴没有符合题意的作图， 故选：D． 【拓展训练二 轴对称中折叠问题】 【例1】（24-25八年级下·甘肃张掖·期中）△ABC中，DE是AC的垂直平分线，DE交AC于点E，交BC于点D，AE＝3，△ABD周长为13，那么△ABC的周长为_____． 【答案】19 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝CD，然后求出△ABD的周长＝AB＋BC，再根据三角形的周长公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图， ∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3， ∴AD＝CD，AE＝CE＝3， ∴AC＝6， ∵△ABD周长为13， ∴AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝13， ∴△ABC的周长为：AB+BC+AC＝13+6＝19． 故答案为：19． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出△ABD的周长＝AB＋BC是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，存在着很多这种图形变换（如图①）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图②）的对应点所具有的性质是_____________． 【答案】对应点到对称轴的距离相等 【分析】由已知条件，根据轴对称的性质和平移的基本性质可得答案． 【详解】解：两个对应三角形的对应点所具有的性质是对应点到对称轴的距离相等． 故答案为：对应点到对称轴的距离相等． 【点睛】本题主要考查了轴对称及平移的性质，正确把握对应点之间关系是解题的关键． 1．（25-26七年级上·湖北武汉·周测）如图，小华将小球放在两平行镜和之间，其球心为点A，点A在平面镜中的像为，在平面镜中的像为．已知点到的距离为，到的距离为，则________． 【答案】 【分析】本题考查的是镜面反射的性质．根据经过反射后，，得出，即可求解． 【详解】解：经过反射后，， 故， 根据题意可得，， 故，， ∴． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·山东临沂·期中）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示的作图痕迹如下，其中，射线为的平分线的有_____． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查角平分线的性质和证明，选择适当条件证明三角形全等进而证明是解题关键． ①由图可知，，，，据此证明即可． ②由图可知，，垂直平分，据此证明即可． ③由图可知，，，，依次证明， ，即可． ④由图可知，，，据此证明即可． 【详解】解：①有图可知， ， ， ， 射线是的角平分线； ②由图可知， ，， ， ， ， 射线是的角平分线； ③由图可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 射线是的角平分线； ④由图可知， ， ， ， ， ， ， 射线是的角平分线． 故答案为：①②③④． 3．（2026七年级上·江苏泰州·专题练习）将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，B，D两点折叠后的对应点分别为、两点． 若，， 则的度数为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了折叠的性质，根据折叠的性质可得，，则可推出，进而可求出，再证明即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 由折叠得，， ， ， ， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【拓展训练三 轴对称性质的规律问题】 【例1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）尺规作图，不写作法，保留作图痕迹： (1)画出的边上的高，垂足为． (2)在三角形内找出一点使其到三角形三边的距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图作三角形的高和作角平分线、角平分线的性质，熟练掌握尺规作图的基本方法和角平分线的性质是解题的关键． （1）先以点为圆心，适当长度为半径画弧，交（或其延长线）于两点．接着分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点．最后过点与该交点作直线，交（或其延长线）于点．线段即为边上的高． （2）到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，因此作任意两个内角的角平分线，其交点即为点． 【详解】（1）解： 如图，线段即为所求； （2）解：如图，点即为所求． 【例2】（25-26七年级下·江苏南京·课后作业）如图，和关于直线MN对称，BC和DE的交点F在直线MN上． (1)若，，求EF的长． (2)连接BD和EC，判断BD和EC的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)6 (2)   见解析 【分析】本题考查轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质得出，进而可得出结论； （2）根据轴对称的性质可得出，，据此得出结论． 【详解】（1）解：和关于直线对称，，， ， ． （2）解：． 理由如下：由题意知，， ． 1．（24-25八年级下·江苏扬州·课前预习）在一张半透明的纸的左边画上一个三角形，把这张纸对折后描图，打开这张纸，就能得到相应的另外一个三角形．如图所示： （1）这两个三角形有什么关系？ （2）这条折痕和这两个三角形有什么关系？ （3）图中的点A和点D之间的连线和折痕有什么关系？ 【答案】（1）这两个三角形的形状、大小完全相同；（2）两个三角形关于折痕成轴对称；（3）两点的连线，被折痕垂直平分 【解析】略 2．（25-26七年级上·吉林·期末）活动探究：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图，若，则 ． (2)折叠长方形纸片，，均是折痕，点落在点，点落在点，连接． 如图，当点在上时，，则 ． 请你判断与的数量关系，并计算说明理由． 如图，当点在的内部时，连接，若，，直接写出的度数是 ． 【答案】(1)； (2)；，理由见解析；． 【分析】此题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，从图形中找出角之间的关系是解本题的关键． （）由折叠得出，即可得出结论； （）由折叠得出，，再由点落在上，得出，即可得出结论； 同的方法求出，，即可得出结论． 【详解】（1）解：由折叠性质可知，， 故答案为：； （2）解：，理由， 由折叠性质可知，，， ∵， ∴， 当时，， 故答案为：； 由折叠知，，， ∵，， ∴，， ∴，即的度数为， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·江苏南通·期末）综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的综合应用，平角的意义，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据两直线平行，内错角相等得出，再根据已知条件得出，根据内错角相等，两直线平行即可判断； （2）先根据两直线平行，同旁内角互补得出，再根据平角的意义及角的和差得出，最后根据三角形内角和定理求解即可； （3）先求出，再根据平角的意义及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）理由：如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：． （2）如图 ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即． （3）如图， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 当时， ∴ 解得： A基础训练 1．（2025·河南漯河·一模）如图，设计的字母“”是一个轴对称图形，设计线条之间互相平行．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，轴对称图形的性质，延长至，由题意得，，进而根据平行线的性质解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：延长至， 由题意得，，， ∴，， ∴， 即， 故选：． 2．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，中，，点在边上．分别作点关于，的对称点，连接，则的度数等于___________． 【答案】/112度 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 根据轴对称的性质得到，，再由角的和差计算求解即可． 【详解】解：∵点关于，的对称点， ∴，， ∵ ∴， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·江苏扬州·课后作业）如图，直线m是多边形的对称轴，其中，．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查的是轴对称的性质、多边形的内角和公式的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．依据轴对称图形的性质可求得、的度数，然后用五边形的内角和减去、、、的度数即可． 【详解】解：直线是多边形的对称轴， ，， ． 4．（24-25七年级下·新疆喀什·期中）如图，在和关于直线l对称，求的度数和的长度； 【答案】， 【分析】本题主要考查了两个图形成轴对称的性质：两个图形关于一条直线成轴对称，那么这两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，它们的形状相同，大小不变．据此即可求解． 【详解】解：∵和关于直线l对称， ∴，． 5．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，点P在的内部，点C和点P关于对称，点P关于对称点是D，连接交于M，交于N． (1)若，则________．； (2)若，求的度数； (3)若，则的周长为________； (4)点在射线的同侧，在射线上找一点G，使最小，则G与图中的________点重合，的最小等于图中线段________的长度． 【答案】(1) (2) (3)16 (4) 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据对称性得到，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）同法（1）即可得出结果； （3）根据对称性得到，进而得到的周长为线段的长即可； （4）根据对称性得到，进而得到，进而得到当三点共线时，的值最小，得到与点重合，最小等于图中线段的长即可． 【详解】（1）解：由对称性可知：， ∴， 即：； 故答案为：； （2）同（1）可知：； （3）由对称性可知：， ∴的周长； 故答案为16； （4）由对称性可知：， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， ∴当与点重合，最小等于图中线段的长； 故答案为：． B 提高训练 6．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，将长方形沿着翻折，点D对应点E，点C对应点F，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平角等于，周角等于，折叠的性质，理解图示，掌握角度的计算是关键． 根据平角等于得到，由折叠和周角的计算得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， 故选：D ． 7．（25-26七年级下·江苏扬州·月考）一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，点落在的内部．若，，则的度数是____________． 【答案】 【分析】通过折叠的性质得到，． 【详解】解：由折叠的性质可知，，． ，， ，， ． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，解决本题的关键是通过折叠性质找出角之间的关系． 8．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图的三角形纸片中，，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，求的周长． 【答案】7 【分析】由题意可得：，，即可求，则可求的周长． 本题考查折叠问题，熟练掌握折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 【详解】解：由折叠得， ∴，， ∴， ∴的周长 ． 9．（25-26八年级上·福建漳州·月考）如图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2． (1)若，则的度数为_____________； (2)在图2的基础上，再沿折叠成图3，则的度数为____________．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了邻补角，平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图，理清翻折前后重叠的角是解题的关键． （1）根据邻补角的定义解答即可； （2）根据两直线平行，同旁内角互补可得，然后得出图中度数；再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出图中，再根据翻折的性质可得，然后代入数据计算即可得解． 【详解】（1）解：，， ； 故答案为：； （2）长方形对边， ， 图中，， 长方形对边， ， 图中，， 由翻折的性质得，图中， 图中，， 图中，． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·河北张家口·期末）利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则________； (2)折叠长方形纸片，，均是折痕，点A落在点，点B落在点，连接． ①如图2，当点在上时判断与的关系，并说明理由； ②如图3，当点在的内部时，连接，若，，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；② 【分析】本题主要考查了折叠的性质，几何图形中角度的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握折叠的性质． （1）根据折叠的性质进行解答即可； （2）①由折叠得出，，根据点落在，得出，即，得出； ②由折叠得出，，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：根据折叠可知，， ∵， ∴； （2）解：①． 理由：由折叠知，，， ，， 点落在上， ， ， ； ②，， 由折叠知，，， ， 即的度数为． C 培优训练 11．（2025·山东威海·模拟预测）图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是(   ) A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】B 【分析】根据光反射定律可知，反射光线、入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角并且关于法线对称，由此推断出结果． 【详解】连接EF，延长入射光线交EF于一点N，过点N作EF的垂线NM，如图所示： 由图可得MN是法线，为入射角 因为入射角等于反射角，且关于MN对称 由此可得反射角为 所以光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是B 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称中光线反射的问题，根据反射角等于入射角，在图中找出反射角是解题的关键． 12．（24-25七年级下·江苏扬州·课后作业）如图所示的是一组按照某种规律摆放成的图案，则第2026个图案________轴对称图形（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【分析】本题考查了图形的变化规律以及轴对称图形，注意由特殊到一般的分析方法． 先作出前四个图形的对称轴，类推即可得出结论． 【详解】前4个图案的对称轴如图所示． 按此规律，摆放成的图案都是轴对称图形． 故第个图案是轴对称图形． 故答案为：是. 13．（24-25七年级下·江苏扬州·课后作业）如图，与关于直线l对称，对应线段和所在的直线相交吗？另外两组对应线段所在的直线相交吗？如果相交，交点与对称轴l有什么关系？如果不相交，这组对应线段所在直线与对称轴l有什么关系？再找几个成轴对称的图形观察一下，你能发现什么规律？ 【答案】对应线段和所在的直线相交，对应线段和所在的直线相交，交点都在对称轴l上；对应线段和所在的直线不相交，这组对应线段所在直线与对称轴l平行．规律：成轴对称的两个图形的对应线段所在直线的位置关系：平行或者相交，交点一定在对称轴上． 【分析】利用轴对称图形的性质可知：对应线段所在的直线相交于对称轴上一点，如果不相交，对应线段所在直线与对称轴l平行，由此得出答案即可． 【详解】对应线段和所在的直线相交，对应线段和所在的直线相交，交点都在对称轴l上；对应线段和所在的直线不相交，这组对应线段所在直线与对称轴l平行．规律：成轴对称的两个图形的对应线段所在直线的位置关系：平行或者相交，交点一定在对称轴上． 【点睛】此题考查了轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 14．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图①②③所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的． (1)如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？ (2)如图②，③所示图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ (3)请你推断，按此规律下去，第n个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ 【答案】(1)图案是轴对称图形，有4条对称轴 (2)图②是轴对称图形，都有2条对称轴；图③是轴对称图形，有2条对称轴 (3)第n个图案是轴对称图形，有2条对称轴 【分析】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】（1）图案是轴对称图形，有4条对称轴； （2）图②是轴对称图形，都有2条对称轴；图③是轴对称图形，有2条对称轴． （3）第n个图案是轴对称图形，有2条对称轴． 15．（24-25七年级下·山西晋中·期末）项目化学习：万花筒是一种通过光的反射产生对称图形的光学玩具．是1816年苏格兰物理学家大卫·布鲁斯特发明． 为了寻找万花筒成像完整的方法，项目化小组将两面镜的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”，通过实验探究“镜子门”张角的大小对成像完整的影响，发现了一些规律，请你协助他们完成下列数据的填写． 【实验一】如图（1）当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的2个小球． （1）【实验二】如图（2），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的______个小球． 项目化小组成员通过查阅资料，了解到其中的原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于角度问题这两个像是重合的． 如图（3），当镜子M，N形成的“镜子门”张角大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球S，小球S在平面镜中所成的像为，，像在镜面N里又成像同理在镜面M里又成像，由角度可以推算出，，是重合的． （2）【实验三】如图（4），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． （3）【实验四】当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． …… （4）【规律总结】当“镜子门”张角的大小为（且能被整除）时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______．（用含n的式子表示） 【答案】 （1）3 （2）5 （3）7 （4） 【分析】本题考查了折射的提醒，在于观察生活以及对物体成像的理解，较为抽象，比较难懂，解题关键在于熟悉知识体系， 根据两个平面镜互相成像，所成像与小球将角分成几个均等的区域，并呈放射状，出现的像与小球就在每个区域上面，然后分别解答即可. 【详解】解：（1）原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于角度问题这两个像是重合的． 故答案为：3. （2）由题可知，当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为5． 故答案为：5. （3）如图：可知当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为7． 故答案为：7. （4）两个平面镜互相成像，所成像与小球将角分成几个均等的区域，并呈放射状，出现的像与小球就在每个区域上面，故当“镜子门”张角的大小为（且能被360整除）时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为． 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 轴对称重难点题型专训 （3个知识点+14大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 轴对称图形的识别 题型二 成轴对称的两个图形的识别 题型三 作已知线段的垂直平分线 题型四 作垂线(尺规作图) 题型五 根据成轴对称图形的特征进行判断 题型六 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型七 作角平分线(尺规作图) 题型八 台球桌面上的轴对称问题 题型九 轴对称中的光线反射问题 题型十 折叠问题 题型十一 画对称轴 题型十二 画轴对称图形 题型十三 求对称轴条数 题型十四 镜面对称问题 拓展训练一 根据成轴对称性质求角度 拓展训练二 轴对称中折叠问题 拓展训练三 轴对称性质的规律问题 知识点一：两个图形成轴对称 1．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）下列两个电子数字成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏无锡·课前预习）把一个图形沿着_______折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形_______关于这条直线_________．这条直线叫做_________．折叠后重合的点叫对应点，也叫_______． 知识点二：两个图形成轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·课后作业）如图，将一张纸对折后用针扎出一系列小孔，展开后得到成轴对称的两个图形，的对应线段是________，的对应角是________． 知识点三：轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 3. 轴对称和轴对称图形的区别和联系： 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 轴对称和轴对称图形的性质 轴对称的性质： 垂直平分线：垂直并且评分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 1 由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同） 2 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。 3 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（ ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线，的交点不一定在上 2．（25-26七年级下·江苏扬州·周测）如图，与关于直线l对称．若，，则________，________． 【经典例题一 轴对称图形的识别】 【例1】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）新能源汽车是我国经济发展的重要产业之一．下列新能源车标中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·重庆南岸·期末）图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点均在格点上．请在给定的网格中，找一格点，使以点为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点的个数是_______个．    1．（24-25八年级上·四川泸州·期末）“共圆冰雪梦，一起向未来．第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行．以下选取了四届冬奥会会标图案的一部分，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江温州·月考）为迎接即将到来的国庆节，市区广场上设置了一个呈轴对称图形的平面造型（如图所示），其正中间为一个半径为b的半圆，摆放花草，其余部分为展板区．已知米．米．则展板的面积为 _____，摆放花草造价为450元/平方米，展板造价为80元/平方米，那么制作整个造型的造价是（π取3）_____元． 3．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）判断下列图形是否是轴对称图形，如果是，请画出其中的一条对称轴． (1) (2) (3) (4) 【经典例题二 成轴对称的两个图形的识别】 【例1】（25-26八年级上·山东德州·期末）下列两图形成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【例2】 （25-26七年级下·江苏扬州·课后作业）窗格在中国建筑装饰文化史上蕴含着博大精深的文化韵味．在如图所示的窗格中，可以与图形①成轴对称的图形是______（填序号）．    1．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）下列各图形中，从图形Ⅰ到图形Ⅱ一定不能通过轴对称得到的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东青岛·单元测试）国际奥委会会旗上的图案由5个圆环组成．每两个圆环相交的部分叫做曲边四边形，如图所示，从左至右共有8个曲边四边形，分别给它们标上序号．观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与_______成轴对称．（请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上） 3．（24-25七年级下·江苏扬州·课后作业）如图，和关于直线成轴对称，请写出对应角和对应线段． 【经典例题三 作已知线段的垂直平分线】 【例1】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·月考）已知中，，在上取一点，使，下列尺规作图的方法正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·云南保山·一模）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交边于点，连接，则的周长为______． 1．（24-25八年级上·天津河西·期末）如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在(   ) A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 2．（24-25八年级下·山东青岛·期中）风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2000多年的历史．如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为______． 3．（25-26七年级下·江苏无锡·月考）尺规作图： (1)作边的垂直平分线交于点，连接； (2)作边的垂直平分线交于点，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【经典例题四 作垂线(尺规作图)】 【例1】（25-26八年级上·贵州黔南·期末）观察图中尺规作图的痕迹，下列说法正确的是（    ） A．作已知线段的垂直平分线 B．作一个角等于已知角 C．经过直线外一点作已知直线的垂线 D．作一个角的平分线 【例2】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是______（填序号）． 1．（25-26八年级上·吉林·期末）如图，在锐角中，，若甲乙两名同学分别用尺规作该三角形的高，作法如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都不对 D．甲、乙都对 2．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，已知线段．按下列步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点．观察图形，请写出图中线段之间的一个等量关系______． 3．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，．尺规作图作出正方形，点在上，点分别在上．（不写作法，保留作图痕迹） 【经典例题五 根据成轴对称图形的特征进行判断】 【例1】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在2×2的正方形网格中，网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，是一个格点三角形，图中与成轴对称的格点三角形共有（    ）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【例2】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有_____个． 1．（25-26七年级下·江苏无锡·课后作业）如图，六边形ABCDEF关于直线l对称的图形是六边形．下列判断错误的是（   ） A． B． C．直线 D． 2．（25-26七年级下·江苏扬州·课后作业）跨语文学科 如图所示的都是某个汉字的一半，你能想象出它们的另一半并确定它们是什么字吗？它们依次是___________． 3．（25-26七年级下·江苏泰州·周测）如下图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，，，． (1)试写出EF，AD的长度． (2)求的度数． (3)连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？ 【经典例题六 根据成轴对称图形的特征进行求解】 【例1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，与关于直线对称，下列所连线段中，能被直线垂直平分的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，，．则四边形的周长为___________． 1．（25-26八年级上·福建南平·月考）如图，P是外一点，D，E分别是上的点，连接，点M，N在直线上，与关于对称，与关于对称．若，则线段的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5.5 D．6 2．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，，点、分别在射线上，，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，______，的面积最小值为______． 3．（25-26八年级上·江西赣州·期末）与关于直线对称，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图中，作出直线． (2)在图中，是中点，在对称轴上作出一点，使得周长最小． 【经典例题七 作角平分线(尺规作图)】 【例1】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图是用尺规作已知角的平分线的示意图，则的依据是______． 1．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图是作的平分线的两种方案，对于两种方案的判断正确的是（   ） 甲方案 将两个完全一样的三角板长直角边放在边和上、移动三角板，使短直角边的锐角顶点重合在一点，记为点P，作射线． 乙方案 用刻度尺在和上分别取，再用刻度尺量取的长，取其中点，记为点P，作射线． A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都不对 D．甲、乙都对 2．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）如图，直线，点E，F分别在直线，上，连接，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点H，画射线交于点C，若，则的度数为______ 3．（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，某通信公司计划在虚线范围内建造一个“5G”基站，使得到两条公路，的距离相等且到两个村庄，的距离也相等，请在图中标出点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【经典例题八 台球桌面上的轴对称问题】 【例1】（25-26七年级下·北京·开学考试）平面直角坐标系中，一张长方形台球桌的顶点分别为，，，，台球从球桌上的某一点出发，沿平行于或的直线方向运动，碰到边缘会发生镜面反射，台球从以下哪个点出发，在反弹不超过3次的情况下无法到达原点？（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 __点． 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广西南宁·期中）四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小时，的度数为__________． 3．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，长方形台球桌上有两个球E，F．（保留作图痕迹，工具不限） (1)请你设计一条路径，使得球F撞击台球桌边反射后，撞到球E； (2)请你设计一条路径，使得球F连续撞击台球桌边、反射后，撞到球E． 【经典例题九 轴对称中的光线反射问题】 【例1】（24-25七年级下·河北保定·月考）如图，设和是镜面平行相对且间距为的两面镜子，把一个小球A放在和之间，小球在镜中的像为，在镜是中的像为，则等于（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，，是两个互相垂直的平面镜，，入射光线经过两次反射后，得到反射光线，若，则________． 1．（25-26八年级上·山西朔州·月考）如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为________． 3．（24-25七年级下·江苏扬州·课后作业）茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的，），桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 【经典例题十 折叠问题】 【例1】（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图，把一张长方形的纸片沿着折叠，点、分别落在、的位置，且，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，在等宽纸带ABCD中，．将该纸带沿折叠后，点C，D分别落在，的位置．若，则________． 1．（2026·湖北·模拟预测）如图折叠一张长方形纸片，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·上海闵行·月考）如图，直角三角形中，，，，为边上一点，为直线上一点，将图形沿翻折，得到点的对应点（位于上方），如果有一边平行于边，那么___________°． 3．（24-25七年级下·河南焦作·期中）根据题意解答下列问题 (1)如图1，将一张长方形纸条折叠，已知，则______． (2)如图2，将图1中的长方形继续折叠使得，求的度数． (3)如图3，将图1中的长方形继续折叠使得落在射线上，试说明． 【经典例题十一 画对称轴】 【例1】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图是一个轴对称图形，对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·四川眉山·期末）下列图形中的五边形都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有________个． 1．（24-25七年级下·江苏扬州·课后作业）下列选项中，直线是四边形的对称轴的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·课后作业）如图所示的图形都可以看成是轴对称图形，其中只有1条对称轴的是______；只有2条对称轴的是______；只有4条对称轴的是______．（填序号） 3．（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，和关于直线对称，和关于直线对称． (1)画出直线； (2)直线与相交于点O，试探究与直线所夹锐角的数量关系． 【经典例题十二 画轴对称图形】 【例1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上（网格线之间的交点称为格点），这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形共有（   ）个（注：与重合的不计） A．7 B．9 C．11 D．13 【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．可以画出与成轴对称、每个顶点都在格点上，且位置不同的三角形有________个． 1．（24-25七年级上·西藏·开学考试）（1）以虚线为对称轴，画出图形①的轴对称图形④． （2）将图形①绕点按顺时针方向旋转，画出旋转后的图形⑤． （3）把图形②按缩小，画出缩小后的图形⑥． （4）缩小后的图形⑥与原图形②的面积之比是______． （5）图形③中，直角三角形的斜边是圆的直径，点是圆心，，若每个小方格的边长为1厘米，则点在点的（偏）（    ）方向（    ）厘米处． 2．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线对称，请在试卷上补全字母，并写出这个单词所指的物品是___． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，请按下列要求画图． (1)画出关于x轴的对称图形． (2)将先向右平移7个单位长度后再向下平移3个单位长度得到，画出． 【经典例题十三 求对称轴条数】 【例1】（25-26七年级下·重庆·月考）下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【例2】 （25-26七年级下·江苏扬州·课后作业）“圆形方孔钱”是中国古钱币的突出代表，图①是一种“圆形方孔钱”，图②是其轮廓图．已知古钱币的轮廓图是轴对称图形，则它的对称轴条数为_________．    1．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列图形中，对称轴最多的图形是（    ）． A． B． C． D． 2．（2025七年级下·江苏扬州·专题练习）观察下列图形，请把符合要求的图形的标号填在相应的横线上． 没有对称轴的图形是________． 有一条对称轴的图形是________． 有两条对称轴的图形是________． 有三条对称轴的图形是________． 有三条以上对称轴的图形是________． 3．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图1，棋盘上已经摆放好了3个棋子，如图2所示，再添加一个棋子后，这4个棋子恰好构成一个轴对称图形，直线m为对称轴． (1)请仿照图2，用新方法在图3的棋盘格点上添加1个棋子，使4个棋子构成一个轴对称图形，并画出对称轴 (2)这样的添加方法共有_______种（含图2方法）． 【经典例题十四 镜面对称问题】 【例1】（25-26八年级上·河南许昌·期中）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 【例2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）从镜子里看到的时间如图所示，则实际时间是________． 1．（2025八年级上·江苏·专题练习）有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（　　） A．200个 B．400个 C．1000个 D．2000个 2．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）河对岸的大楼上镶嵌的钟面在河水中的倒影如图所示，则实际时间是_________． 3．（2025七年级下·江苏扬州·专题练习）某一车牌号码在路面水坑中的倒影为，请猜测该车的车牌号．晓华猜测该车的车牌号为M80608．请问晓华的猜测正确吗？如果不正确，请写出正确的车牌号． 【拓展训练一 根据成轴对称性质求角度】 【例1】（24-25七年级下·福建漳州·月考）下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 1．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山西晋中·期末）在制作万花筒活动中，小刚发现：如图，把一个正方形图片P放在张角为的（用两面平面镜制作而成）中间，可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（25-26八年级上·天津和平·期中）如图，在一张长方形纸板上找一点P，使点P到的距离相等，且到点C，D的距离也相等，则下列作法错误的有（   ）个． （1）    （2）（3）（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【拓展训练二 轴对称中折叠问题】 【例1】（24-25八年级下·甘肃张掖·期中）△ABC中，DE是AC的垂直平分线，DE交AC于点E，交BC于点D，AE＝3，△ABD周长为13，那么△ABC的周长为_____． 【例2】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，存在着很多这种图形变换（如图①）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图②）的对应点所具有的性质是_____________． 1．（25-26七年级上·湖北武汉·周测）如图，小华将小球放在两平行镜和之间，其球心为点A，点A在平面镜中的像为，在平面镜中的像为．已知点到的距离为，到的距离为，则________． 2．（25-26八年级上·山东临沂·期中）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示的作图痕迹如下，其中，射线为的平分线的有_____． 3．（2026七年级上·江苏泰州·专题练习）将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，B，D两点折叠后的对应点分别为、两点． 若，， 则的度数为______． 【拓展训练三 轴对称性质的规律问题】 【例1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）尺规作图，不写作法，保留作图痕迹： (1)画出的边上的高，垂足为． (2)在三角形内找出一点使其到三角形三边的距离相等． 【例2】（25-26七年级下·江苏南京·课后作业）如图，和关于直线MN对称，BC和DE的交点F在直线MN上． (1)若，，求EF的长． (2)连接BD和EC，判断BD和EC的位置关系，并说明理由． 1．（24-25八年级下·江苏扬州·课前预习）在一张半透明的纸的左边画上一个三角形，把这张纸对折后描图，打开这张纸，就能得到相应的另外一个三角形．如图所示： （1）这两个三角形有什么关系？ （2）这条折痕和这两个三角形有什么关系？ （3）图中的点A和点D之间的连线和折痕有什么关系？ 2．（25-26七年级上·吉林·期末）活动探究：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图，若，则 ． (2)折叠长方形纸片，，均是折痕，点落在点，点落在点，连接． 如图，当点在上时，，则 ． 请你判断与的数量关系，并计算说明理由． 如图，当点在的内部时，连接，若，，直接写出的度数是 ． 3．（24-25七年级下·江苏南通·期末）综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． A基础训练 1．（2025·河南漯河·一模）如图，设计的字母“”是一个轴对称图形，设计线条之间互相平行．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，中，，点在边上．分别作点关于，的对称点，连接，则的度数等于___________． 3．（25-26七年级下·江苏扬州·课后作业）如图，直线m是多边形的对称轴，其中，．求的度数． 4．（24-25七年级下·新疆喀什·期中）如图，在和关于直线l对称，求的度数和的长度； 5．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，点P在的内部，点C和点P关于对称，点P关于对称点是D，连接交于M，交于N． (1)若，则________．； (2)若，求的度数； (3)若，则的周长为________； (4)点在射线的同侧，在射线上找一点G，使最小，则G与图中的________点重合，的最小等于图中线段________的长度． B 提高训练 6．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，将长方形沿着翻折，点D对应点E，点C对应点F，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·江苏扬州·月考）一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，点落在的内部．若，，则的度数是____________． 8．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图的三角形纸片中，，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，求的周长． 9．（25-26八年级上·福建漳州·月考）如图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2． (1)若，则的度数为_____________； (2)在图2的基础上，再沿折叠成图3，则的度数为____________．（用含的式子表示） 10．（25-26七年级上·河北张家口·期末）利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则________； (2)折叠长方形纸片，，均是折痕，点A落在点，点B落在点，连接． ①如图2，当点在上时判断与的关系，并说明理由； ②如图3，当点在的内部时，连接，若，，直接写出的度数． C 培优训练 11．（2025·山东威海·模拟预测）图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是(   ) A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 12．（24-25七年级下·江苏扬州·课后作业）如图所示的是一组按照某种规律摆放成的图案，则第2026个图案________轴对称图形（填“是”或“不是”）． 13．（24-25七年级下·江苏扬州·课后作业）如图，与关于直线l对称，对应线段和所在的直线相交吗？另外两组对应线段所在的直线相交吗？如果相交，交点与对称轴l有什么关系？如果不相交，这组对应线段所在直线与对称轴l有什么关系？再找几个成轴对称的图形观察一下，你能发现什么规律？ 14．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图①②③所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的． (1)如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？ (2)如图②，③所示图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ (3)请你推断，按此规律下去，第n个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ 15．（24-25七年级下·山西晋中·期末）项目化学习：万花筒是一种通过光的反射产生对称图形的光学玩具．是1816年苏格兰物理学家大卫·布鲁斯特发明． 为了寻找万花筒成像完整的方法，项目化小组将两面镜的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”，通过实验探究“镜子门”张角的大小对成像完整的影响，发现了一些规律，请你协助他们完成下列数据的填写． 【实验一】如图（1）当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的2个小球． （1）【实验二】如图（2），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的______个小球． 项目化小组成员通过查阅资料，了解到其中的原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于角度问题这两个像是重合的． 如图（3），当镜子M，N形成的“镜子门”张角大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球S，小球S在平面镜中所成的像为，，像在镜面N里又成像同理在镜面M里又成像，由角度可以推算出，，是重合的． （2）【实验三】如图（4），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． （3）【实验四】当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． …… （4）【规律总结】当“镜子门”张角的大小为（且能被整除）时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______．（用含n的式子表示） 学科网（北京）股份有限公司 $