专题：平面直角坐标系中的面积问题专题训练 2025-2026学年人教版数学七年级下册

专题平面直角坐标系中图形的面积 姓名： 班级： 类型1直接利用面积公式求面积：如果三角形的一边 在坐标轴上（或平行于坐标轴），直接利用公式计算即可。 B(bb,) C(c.c,) C(c.c,) A(a,a)∠ B(bb,) D A(a,a,) 图1 图2 1.如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别为(2,4)， (6,2),(2,0),则三角形ABC的面积为 6 5 3 123456 -12.345x 第1题图 第2题图 2.如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A(4,2), B(4,6),C(-1,3),则三角形ABC的面积为 类型2利用割补法求面积：若三角形的任意边都不与 坐标轴平行则可以通过“割、补”的形式将其转化为规 格三角形。 图2 3.平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，己知 点A的坐标是(-4,3). 试卷第1页 (1)点B的坐标为（一，），点C的坐标为( , (2)求△ABC的面积是 4.如图，四边形ABCO在平面直角坐标系中，A,B,C 三点的坐标分别为A(2,-4),B(4,-3),C(5,0),则四边 形ABCO的面积为() A 1O1 23 6 2 3 19 B. 25 A. C.11 类型3已知图形的面积，求点的坐标 5.已知：在平面直角坐标系中，A(0,1),B(2,0),C(4,3) 在x轴上有一点P,使得△ABP的面积等于5，求点P 的坐标. A B/ 012345678x 共4页 6如图所示，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分 7.在如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐 别为A(a,0),B(b,0),且a,b满足a+2+(b-4)2=0, 标分别为A(2,0),B(3m+8,0),C(1,2),点A、B在原 点C的坐标为(0,3). 点两侧，且AB=6,连接OC. (1)求的值： (1)求a,b的值及S4Bc: 1 (②若点M在x轴上，且SwS4,试求点M的 (②在y轴上是否存在一点M,使得Sw=写c?若 3 存在，求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明 坐标. 理由 yk C(0,3) B B 试卷第2页，共4页 8.如图①，在平面直角坐标系中，三角形ABC的项点 9.如图，在平面直角坐标系中，A,B坐标分别为 A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，点C的坐标 A(0,4)八B(b,a),且a,b满足：Va-3+b-5=0,现同 为(2,2)，点A到y轴的距离等于点C到x轴的距离， 时将点A,B分别向下平移3个单位，再向左平移1个单 AB⊥BC. 位，分别得到点A,B的对应点C,D,连接AC,BD,AB. A D x (1)a=, b=,四边形ABDC的面积： 图① 图② (2)点P是线段BD上的一个动点，连接PA,PO,当点P (1)求三角形ABC的面积： 在BD上移动时（不与B,D重合），∠BAP+∠DOP 的值 ∠APO (2)如图②，过点B作AC的平行线交y轴于点M,作 是否发生变化，并说明理由； ∠CAB和∠OMB的平分线相交于点N,求证： (3)已知点M在y轴上，连接MB、MD,若△MBD的面 ∠AM-5ABc 积与四边形ABDC的面积相等，直接写出点M的坐标， (3)若点P(%n)是第二象限内一点，SA4c=20，求 2n-m的值. 试卷第3页，共4页 10.如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点 为A(a,0),B(b,3),C(5,0),且满足(a+b)+√b-3=0, 线段AB交y轴于点D. D 图1 图2 (1)求点A、B的坐标： 2)点D坐标为0,2： 试在y轴上找一点P,使 S△Ap=。S△ABc,求出点P的坐标； 2 (3)问题探究：如图2，点E是y轴负半轴上一动点（点E 不与点O重合)，过点E作EF∥AB,分别作∠CAB, ∠OEF的平分线交于点M,试问在点E的运动过程中， ∠AMB的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若 不变，请求出∠AMB的度数. 试卷第4页， 共4页专题平面直角坐标系中图形的面积 姓名： 班级： 类型1直接利用面积公式求面积：如果三角形的一边 在坐标轴上（或平行于坐标轴），直接利用公式计算即可。 B(b,b C(cc,) C(c.c,) A(a,a,)∠ B(bb,) A(a,a,)} 图1 图2 1.如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别为(2,4)， (6,2),(2,0),则三角形ABC的面积为8 6 5 123456 -.12.3A53x 第1题图 第2题图 2.如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A(4,2), B(4,6,C(-1,3),则三角形ABC的面积为10 类型2利用割补法求面积：若三角形的任意边都不与 坐标轴平行则可以通过“割、补”的形式将其转化为规 格三角形。 图1 图2 3.平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，己知 点A的坐标是(-4,3). 试卷第1 B (1)点B的坐标为(，)，点C的坐标为( (2)求△ABC的面积是 【答案】(1)3,0：-2,5 (2)10 【分析】此题主要考查了坐标与图形，割补法求三角形 面积： (1)根据坐标系写出答案即可： (2)利用长方形面积减去周围三个直角三角形的面积 可得△ABC的面积. 【详解】(1)点B的坐标为(3,0)，点C的坐标为(-2,5)： 故答案为：3,0：-2,5： (2)△ABC的面积是： 7×5-1x3×7-1x2×2-1x5x5=35-10.5-2-12.5=10 2 2 故答案为：10， 4.如图，四边形ABCO在平面直角坐标系中，A,B,C 三点的坐标分别为A(2,-4),B(4,-3),C(5,0),则四边 形ABCO的面积为() 01 2 34 6x B -4 A. 19 25 2 B. C.11 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形的性质，求不规则图形的 面积，关键是转化成特殊的图形再求解。用长方形面积 减去三个三角形和一个小正方形的面积，即可求出四边 ,共8页 形ABCO的面积. 【详解】解：，·A(2,-4),B(4,-3),C(5,0), ∴.四边形ABCO的面积 =5×4- 42-21-3111- 2 类型3已知图形的面积，求点的坐标 5.己知：在平面直角坐标系中，A(0,1),B(2,0),C(4,3). 在x轴上有一点P,使得△ABP的面积等于5，求点P 的坐标. 4 3 2 A B/ 012345678x 【答案】点P的坐标为10,0)或(-6,0) 【分析】设点P的坐标为(x,0),于是得到BP=x-2, 然后依据三角形的面积公式求解即可， 【详解】.点P的坐标为(x,O),则BPx-2. :△ABP与△ABC的面积相等， xk1x-24. 1 解得：x=10或x=-6. 所以点P的坐标为10,0)或(-6,0). 6如图所示，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分 别为A(a,0),B(b,0),且a,b满足a+2+(b-4)2=0, 点C的坐标为(0,3). y C(0,3) B (1)求a,b的值及S4c: 试卷第2 (因洁点M在x轴上，且Sax专5，试术点M的 坐标。 【答案】(1)a1=-2,b=4,S4Bc=9 (2)点M的坐标为(0,0)或(-4,0) 【分析】(1)由a+2+(b-4)=0,结合绝对值、完全 平方的性质即可得出a,b的值，再结合三角形的面积 公式即可求出S。4c的值： (2)设出点M的坐标，找出线段AM的长度，根据三 角形的面积公式结合S.a专Sc,即可得出4M的 值，从而得出点M的坐标. 【详解】(1)解：a+2+(b-4)2=0, ..a+2=0,b-4=0, ∴.a=-2,b=4, .点A(-2,0),点B(4,0), 又点C(0,3), ∴.AB=-2-4=6,C0=3, &SA4c三AB.C0=12x6×3=9月 (2)解：设点M的坐标为(x,0),则 AM=r-（←2=+2， 又：Sa-专3a， x4M.oc=9=3. 3 ∴.x+2×3=6, ∴.x+2=2,即x+2=±2，解得：x=0或x=-4, .点M的坐标为(0,0)或(-4,0). 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质、完全平方的性 质以及三角形的面积公式，解题的关键是：(1)根据绝 对值、算术平方根的非负性求出a,b的值：(2)根据 页，共8页 三角形的面积公式得出关于x含绝对值符号的一元一次 方程.解决该题型题目时，根据绝对值、算术平方根的 非负性求出点的坐标是关键 7.在如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐 标分别为A(2,0),B(3+8,0),C(1,2),点A、B在原 点两侧，且AB=6,连接OC. B A (1)求的值； =Se?若 (2)在y轴上是否存在一点M,使得Sa=S 存在，求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明 理由. 【答案】(1)m=-4 (2)存在；点M的坐标为(0,4)或(0，-4) 【分析】(1)由A、B的坐标，根据AB=6,列出关于 m的方程，解方程： (2)过C作CH⊥AB于H,CG⊥y轴于G,由C的 坐标得到CH=2,CG=1,先求出S4c=6,得到 Scaw=2,设M的坐标是(0，b),根据三角形面积公式 得出分×1=2，求出6=4，即可得到M的坐标 【详解】(1)解：，A(2,0),B(3+8,0),点A、B在 原点两侧，且AB=6, ∴.2-(3m+8)=6, .m=-4: (2)解：过C作CH⊥AB于H,CG⊥y轴于G,如图 所示： 试卷第3 ℃的坐标是(1,2)， B .CH=2,CG=1, :.S.ABC= L AB.CH= 2 ×6×2=6, 2 .5.c2 1 设M的坐标是(0，b), ∴Saa=bcG=xx1=2 2 .b=±4， .M的坐标是(0,4)或(0，-4). 【点睛】注意纵轴上两点间的距离为这两个点纵坐标之 差的绝对值， 8.如图①，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点 A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，点C的坐标 为(2,2)，点A到y轴的距离等于点C到x轴的距离， AB⊥BC」 图① 图② (I)求三角形ABC的面积： (2)如图②，过点B作AC的平行线交y轴于点M,作 ∠CAB和∠OMB的平分线相交于点N,求证： ∠ANM=1∠ABC (3)若点P(mn)是第二象限内一点，S△4c=20,求 2n-m的值. ,共8页 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)22 【分析】本题主要考查了坐标与图形、三角形的面积、 平行线的判定与性质等知识点，掌握数形结合思想成为 解题的关键。 (1)先确定点B的坐标为(2,0)，进而确定点A的坐标 为(-2,0)，即AB=4,然后根据三角形的面积公式即可 解答； (2)如图①，过点N作NQ∥AC,易得Ng∥BM: 根据平行线的性质及等量代换可得 ∠OMB+∠BAC=90°，再根据角平分线的性质及等量代 换可得∠ANMM=45°，再说明∠ABC=90°即可证明结论； (3)如图②，连接BP,则 8e=S2+8c-Se}x4B4+号Bcu-2斗 ，,再根据题意可得m<0,n>0、S△Ae=20,然后代入 取绝对值整理即可解答。 【详解】(1)解：：C(2,2),AB⊥BC, .BC=2, ∴点B的坐标为(2,0)， ,点A到y轴的距离等于点C到x轴的距离， ∴.点A的坐标为(-2,0)， AB=4, 5e分4w2=4 (2)解：如图①，过点N作NQ∥AC, ,AC∥BM, .NQ∥BM, ∴.∠NAC=∠ANg,∠BMN=∠QNMM, BM∥AC, ∴.∠BAC=∠ABM, 试卷第4 ,∠OMB+∠OBM=90°， ∴.∠OMB+∠BAC=90°， :AN,MN分别平分∠CAB,∠OMB, &∠CaN-RAG∠Bar=;∠Om. ·.∠CAV+∠BMN=(∠BAC+∠OMB)=45, ∴.∠ANM=∠ANO+∠MNQ=∠CAN+∠BMN=45°， :AB⊥BC, ∴.∠ABC=90°， :AM-号Ac. (3)解：如图②，连接BP, S.e=Ss+Se-SAe=号×ABxM+×BC×m-2-4 2 2 :点P(%n)是第二象限内一点，S△4Pc=20, .∴.<0，n>0, ∴.20=二×4×n+二×2×(2-m)-4,整理得：2n-m=22. 2 2 A B B M 图① 图② 9.如图，在平面直角坐标系中，A,B坐标分别为 A(0,a)、B(b,a),且a,b满足：√a-3+b-5=0,现同 时将点A,B分别向下平移3个单位，再向左平移1个单 位，分别得到点A,B的对应点C,D,连接AC,BD,AB. A ,共8页 (1)a=,b=,四边形ABDC的面积： (2)点P是线段BD上的一个动点，连接PA,PO,当点P 在BD上移动时（不与B,D重合，∠BAP+∠DOP的值 ∠APO 是否发生变化，并说明理由： (3)已知点M在y轴上，连接MB、MD,若△MBD的面 积与四边形ABDC的面积相等，直接写出点M的坐标. 【答案】(1)3：5：15： (2)不发生变化；理由见详解： (3)(0,18)或(0，-42) 【分析】(1)由√a-3+b-5=0,根据非负数的性质 得a=3,b=5,则A(0,3),B(5,3),由平移得C(-1,0), D(4,0),且四边形ABDC是平行四边形，即可求得四边 形ABDC的面积为15： (2)由AB∥CD及三角形内角和定理可推导出 ∠BAP+∠DOP=180°-（∠PAO+∠POA)=∠APO,所以 ∠BAP+∠DoP-1,可知∠BAP+∠D0P的值不发生变化： ∠APO ∠APO (3)设点M的坐标为(O,m),分三种情况，一是点M 在直线AB的上方，则SBD=SABDO+SMB-SMOD=15; 二是点M在x轴的下方，且点D在△MAB的外部，则 SBD=SABDO+SOD-S4B=15；三是点M在x轴的 下方，且点D在△MAB的内部，则 SBD=S,M-SApo-SMoD=15,分别列方程求出符合 题意的m的值即可. 【详解】(1)解：，√a-3+b-5=0, ∴.a=3,b=5, .A(03),B(5,3), 点A,B分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位， 分别得到点A,B的对应点C,D, 试卷第5 .C(-1,0),D(4,0), ∴.S4BcD=CD.OA=5×3=15; (2)解：不发生变化，理由：如图1， A B CO D 图1 AB∥CD, ∴.∠BAP+∠DOP+∠PAO+∠POA=180°， ∴.∠BAP+∠DOP=180°-（∠PAO+∠POA), .∠APO=180°-（∠PAO+∠POA, .∴.∠BAP+∠DOP=∠APO, BAP+∠DOp =1, ∠APO ∠BAP+∠DOP的值不发生变化： ∠APO (3)解：设点M的坐标为(0，m), 庙(1)得SBc5x3=15,S0e三，×1x3=号 327 ∴.S4BDo=15- 2-2 如图2，点M在直线AB的上方， M B D衣 图2 'S.MBD SABDO+S.MAB-S.MOD =15, 271 召+行*50m-3)5×4m=15. 解得m=18; 如图3，点M在x轴的下方，且点D在△MAB的外部， ,共8页 V外 M 图3 S.MD=SADO+S.MOD-S.MB=15, x4x(四56m)=15, :.2* 27,1 ∴.解得=18，不符合题意，舍去， 如图4，点M在x轴的下方，且点D在△MAB的内部， O D M图4 S.MBD =S.MAR -SABDO-S.MOD=15, 1 x53=m-22x4×m叫）=15 2 解得=-42， 综上所述，点M的坐标为(0,18)或(0，-42). 【点睛】运用数形结合与分类讨论数学思想解题. 10.如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点 为A(a,0),B(b,3),C(5,0),且满足(a+b)2+√b-3=0, 线段AB交y轴于点D. 试卷第6 0 图1 图2 (I)求点A、B的坐标： (②点D坐标为0引，试在y箱上找一点P,使 SABP= ，求让点：的坠标。 (3)问题探究：如图2，点E是y轴负半轴上一动点（点E 不与点O重合)，过点E作EF∥AB,分别作∠CAB, ∠OEF的平分线交于点M,试问在点E的运动过程中， ∠AMB的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若 不变，请求出∠AMB的度数， 【答案】(1)A(-3,0),B(3,3) @点的单标为）或Q (3)不变，45° 【分析】(1)根据平方和算术平方根的非负性，即可求 解； (2)先过点B作BG⊥AC垂足为G,过点B作BH⊥y 轴，求出SAABC=12,S△BP=6,设点P(0,n),然后分 类讨论：①当点P在点D的上方时，分别求出S△4p, S,则S,=S,+Sa3L号，从而列出方程 3n-9=6,求解即可；②当点P在点D的下方时，分别 2 求出SAAn,SBD,则SauB=SADp+SADp-2 -3n, 从而列出方程}3=6，求解即可： (3)过点M作MN∥AB,根据平行线基本事实的推论 和平行线的性质，易得∠BAM=∠AMN, ∠MBF=∠EMN,∠ADB=∠OEF,从而 ∠AME=∠BAM+∠MEF,再根据三角形的三个角的和 万，共8页 为180°，易得∠CAB+∠OEF=90°，最后根据角平分线 的定义，等量代换即可求出∠ME=45°. 【详解】(1)解：(a+b)2+√b-3=0, a+b=0,b-3=0, a=-3,b=3, A(-3,0),B(3,3): (2)解：过点B作BG⊥AC,垂足为G,过点B作 BH⊥y轴，垂足为H, A(-3,0),B(3,3),C(5,0), ∴AC=5-(-3)=8,BG=3, SMC=ACBG=5×8×3=12, 2 SAA即=2 SAABG 1 :S△4BP= ×12=6, 2 设点P(0,m), 3 当点P在点D的上方时，即n>,如图0， D 图① 由图可知，SABp=SADP+SDP, 83,p0》P0小，BH1y辑 :OA=3,BH=3,DP=n 2 :.S.ADP= A.DP- 3(3) 2 ”-2 S=S4ae+Son= 引引如引 试卷第7页 SA4BP=6, 9 ∴.3n- 7 2 6,解得n= 7 3 当点P在点D的下方时，即n< ,如图2. B D 图② 由图可知，SABP=SAAP+SBDP, 3 B(3,3),D0, 2 P(O,),BH⊥y轴， .OA=3,BH=3,DP=3 -n, .S.ADP 2O4-DP-3 2(2n, LBH.DP= SBP=6, 别=6 1 解得n= 综上可知， 点P的坐标为 (3)解：不变，∠AMB=45°，理由如下： B D M N.- 图2 如图2，过点M作N∥AB, 共8页 .∴.∠BAM=∠AN, EF∥AB,MNI∥AB, NI‖EF, ∴.∠MEF=∠EMN, :∠AME=∠AMN+∠EMN, .∴.∠AME=∠BAM+∠MEF, :EF∥AB, ∴.ADE=∠OEF, x轴Ly轴，即∠AOD=90°， ∴.∠CAB+∠ADE=180°-∠AOD=90°， ∴.∠CAB+∠OEF=90°， :AM平分∠CAB,EM平分∠OEF, BAM-CAB.MEF-O8F 2 21 ∴在点E的运动过程中，∠AMB的度数不发生变化，且 ∠AE=45°. 试卷第8页， 共8页 专题 平面直角坐标系中图形的面积 姓名：_______ 班级：_______ 类型1 直接利用面积公式求面积：如果三角形的一边在坐标轴上(或平行于坐标轴)，直接利用公式计算即可。 1. 如图，三角形三个顶点的坐标分别为，，，则三角形的面积为 ． 第1题图 第2题图 2.如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A(4,2)，B(4,6)，C(-1,3),则三角形ABC的面积为 . 类型2 利用割补法求面积：若三角形的任意边都不与坐标轴平行则可以通过“割、补”的形式将其转化为规格三角形。 3．平面直角坐标系中，的位置如图所示，已知点的坐标是．． (1)点的坐标为（ ， ），点的坐标为（ ， ）． (2)求的面积是 4．如图，四边形在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为，，，则四边形的面积为（    ） A． B． C．11 D．17 类型3 已知图形的面积，求点的坐标 5．已知：在平面直角坐标系中，，，． 在x轴上有一点P，使得的面积等于5，求点P的坐标． 6.如图所示，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足，点的坐标为． (1)求，的值及； (2)若点在轴上，且，试求点的坐标． 7．在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点A、B在原点两侧，且，连接． (1)求m的值； (2)在y轴上是否存在一点M，使得？若存在，求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图①，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，点C的坐标为，点A到y轴的距离等于点C到x轴的距离，． (1)求三角形的面积； (2)如图②，过点B作的平行线交y轴于点M，作和的平分线相交于点N，求证： (3)若点是第二象限内一点，，求的值． 9.如图，在平面直角坐标系中，坐标分别为，且满足：，现同时将点分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点的对应点，连接，． (1)_____，_____，四边形的面积_____； (2)点是线段上的一个动点，连接，当点在上移动时（不与重合），的值是否发生变化，并说明理由； (3)已知点在轴上，连接、，若的面积与四边形的面积相等，直接写出点的坐标． 10．如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足，线段交轴于点． (1)求点、的坐标； (2)点坐标为，试在轴上找一点，使，求出点的坐标； (3)问题探究：如图2，点是轴负半轴上一动点（点不与点重合），过点作，分别作，的平分线交于点，试问在点的运动过程中，的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 平面直角坐标系中图形的面积 姓名：_______ 班级：_______ 类型1 直接利用面积公式求面积：如果三角形的一边在坐标轴上(或平行于坐标轴)，直接利用公式计算即可。 1. 如图，三角形三个顶点的坐标分别为，，，则三角形的面积为___8_____． 第1题图 第2题图 2.如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A(4,2)，B(4,6)，C(-1,3),则三角形ABC的面积为 10 . 类型2 利用割补法求面积：若三角形的任意边都不与坐标轴平行则可以通过“割、补”的形式将其转化为规格三角形。 3．平面直角坐标系中，的位置如图所示，已知点的坐标是．． (1)点的坐标为（ ， ），点的坐标为（ ， ）． (2)求的面积是 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了坐标与图形，割补法求三角形面积； （1）根据坐标系写出答案即可； （2）利用长方形面积减去周围三个直角三角形的面积可得的面积． 【详解】（1）点B的坐标为，点C的坐标为； 故答案为：； （2）的面积是：故答案为：10． 4．如图，四边形在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为，，，则四边形的面积为（    ） A． B． C．11 D．17 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形的性质，求不规则图形的面积，关键是转化成特殊的图形再求解．用长方形面积减去三个三角形和一个小正方形的面积，即可求出四边形的面积． 【详解】解：∵，，， ∴四边形的面积． 类型3 已知图形的面积，求点的坐标 5．已知：在平面直角坐标系中，，，． 在x轴上有一点P，使得的面积等于5，求点P的坐标． 【答案】点P的坐标为或 【分析】设点的坐标为，于是得到，然后依据三角形的面积公式求解即可． 【详解】．点P的坐标为，则． 与的面积相等， ． 解得：或． 所以点P的坐标为或． 6.如图所示，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足，点的坐标为． (1)求，的值及； (2)若点在轴上，且，试求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)点的坐标为或 【分析】（1）由，结合绝对值、完全平方的性质即可得出，的值，再结合三角形的面积公式即可求出的值； （2）设出点的坐标，找出线段的长度，根据三角形的面积公式结合，即可得出的值，从而得出点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴点，点， 又∵点， ∴，， ∴； （2）解：设点M的坐标为，则， 又∵， ∴， ∴， ∴，即，解得：或， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质、完全平方的性质以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）根据绝对值、算术平方根的非负性求出，的值：（2）根据三角形的面积公式得出关于含绝对值符号的一元一次方程．解决该题型题目时，根据绝对值、算术平方根的非负性求出点的坐标是关键． 7．在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点A、B在原点两侧，且，连接． (1)求m的值； (2)在y轴上是否存在一点M，使得？若存在，求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；点M的坐标为或 【分析】（1）由A、B的坐标，根据，列出关于m的方程，解方程； （2）过C作于H，轴于G，由C的坐标得到，，先求出，得到，设M的坐标是，根据三角形面积公式得出，求出，即可得到M的坐标． 【详解】（1）解：∵，，点A、B在原点两侧，且， ， ； （2）解：过C作于H，轴于G，如图所示： 的坐标是， ，， ， ， 设M的坐标是， ， ， 的坐标是或． 【点睛】注意纵轴上两点间的距离为这两个点纵坐标之差的绝对值． 8．如图①，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，点C的坐标为，点A到y轴的距离等于点C到x轴的距离，． (1)求三角形的面积； (2)如图②，过点B作的平行线交y轴于点M，作和的平分线相交于点N，求证： (3)若点是第二象限内一点，，求的值． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)22 【分析】本题主要考查了坐标与图形、三角形的面积、平行线的判定与性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）先确定点B的坐标为，进而确定点A的坐标为，即，然后根据三角形的面积公式即可解答； （2）如图①，过点N作，易得；根据平行线的性质及等量代换 可得，再根据角平分线的性质及等量代换可得，再说明即可证明结论； （3）如图②，连接，则，再根据题意可得、，然后代入取绝对值整理即可解答． 【详解】（1）解：， ， ∴点B的坐标为， ∵点A到y轴的距离等于点C到x轴的距离， ∴点A的坐标为， ∴， ∴． （2）解：如图①，过点N作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：如图②，连接， ， ∵点是第二象限内一点，， ∴， ∴，整理得：． 9. 如图，在平面直角坐标系中，坐标分别为，且满足：，现同时将点分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点的对应点，连接，． (1)_____，_____，四边形的面积_____； (2)点是线段上的一个动点，连接，当点在上移动时（不与重合），的值是否发生变化，并说明理由； (3)已知点在轴上，连接、，若的面积与四边形的面积相等，直接写出点的坐标． 【答案】(1)3；5；15； (2)不发生变化；理由见详解； (3)或 【分析】（1）由，根据非负数的性质得，，则，，由平移得，，且四边形是平行四边形，即可求得四边形的面积为15； （2）由及三角形内角和定理可推导出，所以，可知的值不发生变化； （3）设点M的坐标为，分三种情况，一是点M在直线的上方，则；二是点M在x轴的下方，且点D在的外部，则；三是点M在x轴的下方，且点D在的内部，则，分别列方程求出符合题意的m的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 点分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点的对应点， ∴，， ∴； （2）解：不发生变化， 理由：如图1， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值不发生变化； （3）解：设点M的坐标为， 由（1）得，， ∴， 如图2，点M在直线的上方， ∵， ∴， 解得； 如图3，点M在x轴的下方，且点D在的外部， ∵， ∴， ∴解得，不符合题意，舍去， 如图4，点M在x轴的下方，且点D在的内部， ∵， ∴， 解得， 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】运用数形结合与分类讨论数学思想解题． 10．如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足，线段交轴于点． (1)求点、的坐标； (2)点坐标为，试在轴上找一点，使，求出点的坐标； (3)问题探究：如图2，点是轴负半轴上一动点（点不与点重合），过点作，分别作，的平分线交于点，试问在点的运动过程中，的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出的度数． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 (3)不变， 【分析】（1）根据平方和算术平方根的非负性，即可求解； （2）先过点作垂足为，过点作轴，求出，，设点，然后分类讨论：①当点在点的上方时，分别求出，，则，从而列出方程，求解即可；②当点在点的下方时，分别求出，，则，从而列出方程，求解即可； （3）过点作，根据平行线基本事实的推论和平行线的性质，易得，，，从而，再根据三角形的三个角的和为，易得，最后根据角平分线的定义，等量代换即可求出． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，； （2）解：过点作，垂足为，过点作轴，垂足为， ，，， ，， ， ， 设点， 当点在点的上方时，即，如图①， 由图可知，， ，，，轴， ，，， ，， ， ， ，解得， ； 当点在点的下方时，即，如图②， 由图可知，， ，，，轴， ，，， ，， ， ， ，解得， ， 综上可知，点的坐标为或； （3）解：不变，，理由如下： 如图2，过点作， ， ，， ， ， ， ， ， ， 轴轴，即， ， ， 平分，平分， ， ， 在点的运动过程中，的度数不发生变化，且． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $