计数原理单元综合测试-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选修第三册

计数原理单元综合 一、单选题 1.若展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数为（） A. B. C. D. 2.在的展开式中，的系数为（　　） A.﹣40 B.40 C.﹣80 D.80 3.从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同的安排方法有（ ） A.种 B.种 C.种 D.种 4.的值是（） A. B.1 C.0 D.22024 5.年春节档共有》、《熊出没·重启未来》及《蛟龙行动》．为了家庭中的大人和孩子观影便利，该影城对第、周影片播放顺序做出如下要求：《哪吒之魔童闹海》不排第一场，《熊出没·重启未来》不排最后一场，《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》必须连续安排，则不同的安排方式有（） A.种 B.种 C.10种 D.种 6.用0．1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A.24个 B.26个 C.30个 D.42个 7.如图所示，用4种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂1种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，而且4种不同的颜色要全部用完，则不同的涂色方法共有(　　) A.144种 B.216种 C.264种 D.360种 8.某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，其中甲、乙因属同一学科，不能安排在同一所学校，则不同的安排方法种数为(　　) A.18 B.24 C.30 D.36 9.已知C3n＋C3n－1＋C3n－2＋…＋C3＋C＝212，则n＝(　　) A.8 B.6 C.4 D.2 10.2025年春节期间，有，，，，五部电影上映，小罗准备和另外3名同学去随机观看这五部电影中的某一部电影，则小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影的概率为（） A. B. C. D. 11.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ） A.20种 B.16种 C.12种 D.8种 12.若的展开式中存在常数项，则下列选项中的取值不可能是（） A. B. C. D. 13.将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有(　　) A.480种 B.240种 C.960种 D.720 种 14.安排A，B，C，D，E，F共6名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，则安排方法共有(　　) A.30种 B.40种 C.42种 D.48种 15.C＋C＋C＋C＋…＋C的值为(　　) A.C B.C C.C D.C 二、多选题 16.已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则下列说法正确的是(　　) A.n＝10 B.展开式中的常数项为45 C.x5的系数为210 D.展开式中的有理项有5项 17.若则（） A. B. C. D. 18.在的展开式中，下列说法正确的是（） A.不存在常数项 B.二项式系数和为1 C.第4项和第5项二项式系数最大 D.所有项的系数和为128 19.若，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D.. 三、填空题 20.如图所示，现用种颜色标注个区域，相邻区域颜色不相同，则共有                   种涂色方式． 21.的展开式中的系数是                   （结果用数字表示）． 22.将小明，小红等5人分成A，B，C三组，要求小明与小红一组，且每组至少有一人，则不同的分法总数为            . 23.甲、乙、丙、丁等6名大学生被分配到三个单位实习，每个单位分配2人，甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位，则不同的分配方案共有            种.（用数字作答） 四、解答题 24.某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加研讨会． (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ (2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？ (3)甲、乙2人至少有1人参加，有多少种选法？ (4)医疗队中至少有1名内科医生和1名外科医生，有多少种选法？ 25.已知A＝{x|1<log2 x<3，x∈N*}，B＝{x||x－6|<3，x∈N*}．试问： (1)从集合A和B中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？ (2)从A∪B中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，这样的三位数有多少个？ 26.（1）已知，计算：； （2）解方程：． 27.若展开式前三项的二项式系数之和为22． (1)求展开式中二项式系数最大的项及所有二项式系数和； (2)求展开式中的常数项． 28.已知展开式的各二项式系数和为512，且． （1）求；（结果保留指数幂形式） （2）求的值； （3）求证：能被6整除． 一、单选题 1.B 2.C 3.B 4.A 5.A 6.C 7.B 8.C 9.B 10.C 11.B 12.C 13.A 14.C 15.D 二、多选题 16.ABC 17.CD 18.AC 19.AD 三、填空题 20. 21.210 22.36 23.60 四、解答题 24.解　(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C＝816种选法． (2)只需从其他18人中选5人即可，共有C＝8 568种选法． (3)分两类：甲、乙中有1人参加；甲、乙都参加．则共有CC＋C＝6 936种选法． (4)方法一　(直接法)至少有1名内科医生和1名外科医生的选法可分4类： 1内4外；2内3外；3内2外；4内1外． 所以共有CC＋CC＋CC＋CC＝14 656种选法． 方法二　(间接法)从无限制条件的选法总数中减去5名都是内科医生和5名都是外科医生的选法种数所得的结果即为所求， 即共有C－(C＋C)＝14 656种选法． 25.解　A＝{3,4,5,6,7}，B＝{4,5,6,7,8}． (1)A中元素作为横坐标，B中元素作为纵坐标，有5×5＝25(个)；B中元素作为横坐标，A中元素作为纵坐标，有5×5＝25(个)． 又两集合中有4个相同元素，故有4×4＝16(个)重复了两次，所以共有25＋25－16＝34个不同的点． (2)A∪B＝{3,4,5,6,7,8}，则这样的三位数共有C＝20(个)． 26.解：⑴由,得或; 当时,（舍去）, 故, 解得. 由,,, 故. ⑵由,,代入 得. 因为且,,约去得, 即, 展开得, 解得或（舍去）, 故. 27.解：（1）由，得，即，解得（舍去负根）． 因为，所以展开式共有7项，二项式系数最大项为第4项，对应． 由通项公式， 代入得：． 所有二项式系数之和为． （2）通项可化为． 令，得． 故常数项为． 28.（1）解：因为二项式展开式的各二项式系数和为， 已知展开式的各二项式系数和为，即， 所以. 则. 令，可得. 令，可得. 所以. （2）解：令， 则， 那么可化为. 所以. （3）证明：. 则. 整理可得，其中每一项都含有因数或者可以转化为含有因数的形式， 所以每一项都能被整除，即能被整除. 第1页 共8页 学科网（北京）股份有限公司 $