第六章 计数原理单元测试卷-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

<计数原理> 单元检测 一、单选题 1．若，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知的展开式中的系数为12，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 3．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（   ） A．70 B．66 C．62 D．58 4．苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 5．运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（   ） A．72 B．96 C．114 D．124 6.某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．216 B．360 C．432 D．672 7．已知等比数列的前项和为，其中为展开式中的常数项，且，则的最小值为（    ） A．5 B． C．10 D．不存在 8．定义“摆动数列”如下：存在正整数t，满足，且存在正整数s，满足．已知“摆动数列”共4项，若，则这样的数列共有（    ） A．52个 B．54个 C．56个 D．60个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．从含有3件次品的20件产品中，任意抽出5件进行检验（    ） A．抽出的产品都是合格品的抽法种数为 B．抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法种数为 C．抽出的产品中至少有2件是次品的抽法种数为 D．抽出的产品中至多有2件是次品的抽法种数为 10．已知的展开式中共有7项，则（   ） A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为1 C．二项式系数最大的项为第4项 D．有理项共4项 11．下列说法正确的是（    ） A．4个不同的小球，放入个不同的盒中，共有种不同的放法 B．4个不同的小球，放入个不同的盒中，不能有空盒，共有种不同的放法 C．6个相同的小球，放入个不同的盒中，不能有空盒，共有种不同的放法 D．6个相同的小球，放入个不同的盒中，共有种不同的放法 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．多项式的展开式中项的系数为 ． 13.某高中高一举行演讲比赛，共有10名学生参加，其中一班有3名，二班有2名，其他班有5名，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3名学生恰好被排在一起（指演讲序号相连）的概率是 ． 14．装修师傅要用红、黄、绿三种颜色的地砖铺设一条长10格的走廊，地砖宽度与走廊宽度相同，每块红色地砖长1格，每块黄色地砖长2格，每块绿色地砖长3格，地砖只能整块铺设，且3种颜色都要使用，相同颜色的地砖不作区分．已知装修师傅共使用了6块地砖，恰好铺满这条走廊，若要求相邻2块地砖的颜色不同，则共有 种不同的铺设方法． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知， (1)求； (2)求； (3)求． 16．用数字组成没有重复数字的数（结果用数字作答）. (1)求可组成多少个四位数； (2)求可组成多少个偶数互不相邻的六位数； (3)将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一排，求第个数. 17.在二项式的展开式中，所有项的系数之和为． (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中所有项的系数绝对值的和； (3)求展开式中系数最大的项 18．(17分)21世纪汽车博览会在上海举行，某车展商制作了30个汽车模型，其外观分红色和蓝色，内饰分橙色和米色，具体数量如下表所示： 红色外观 蓝色外观 橙色内饰 12 8 米色内饰 6 4 (1)若小明从这30个模型中随机抽取一个，记事件为小明“抽到红色外观”的模型，事件为小明抽到“橙色内饰”的模型.分别计算，并判断事件和事件是否独立？ (2)车展公司举行抽奖活动，从30个模型中随机抽取两个，并假设： ①抽取的模型按颜色分为三类：外观和内饰都相同；外观和内饰都不同；仅外观相同或仅内饰相同． ②按抽取结果的可能性确定中奖金额，可能性越小，奖金越高； ③抽奖活动奖金分：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元. 小张抽奖一次，抽到外观和内饰都不同，请问他能获得多少金额？ (3)参观者喜欢外观是蓝色，内饰是橙色的汽车模型，该车展商想多制作一些这样的汽车模型，其余模型数量不变，且设每位参观者可以随机抽取2个汽车模型.事件“首位参观者抽出的两个模型中，恰好有一个是红色外观，且恰好有一个是橙色内饰的汽车模型”发生概率小于．则车展商应该制作蓝色外观且橙色内饰的汽车模型至少要多少个？ 19.拿破仑排兵布阵是十分厉害的，有一次他让士兵站成一排，解散以后马上再重新站成一排，并要求这些士兵不能站在自己原来的位置上． (1)如果只有3个士兵，那么重新站成一排有多少种站法？4个呢？ (2)假设原来有n个士兵，解散以后不能站在自己原来位置上的站法为种，写出和之间的递推关系，并证明：数列是等比数列； (3)假设让站好的一排n个士兵解散后立即随机站成一排，记这些士兵都没有站到原位的概率为，证明：当n无穷大时，趋近于．（参考公式：）. 计数原理自测答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B D D D B C A B AD ACD ACD －360 10 15.（1）令，得，令，得， 所以．（5分） （2）因为展开式的通项为(且)，所以当为奇数时，项的系数为负数．所以，令，得，．（10分） （3）对两边同时求导，可得，令，可得．（15分） 16（1）四位数的千位不能为，从数字中选不重复的四位数个数， 千位从中选，有种选法，剩余三位从剩下的个数字中选个排列：总数：.（4分） （2）用组成无重复数字的六位数，且偶数互不相邻先排奇数，排列数：,三个奇数从左到右形成个空隙，个空隙中选个放入偶数（每个空隙一个偶数，保证偶数互不相邻）：若空隙未被选：只能选空隙，偶数全排列种，若空隙被选：空隙不能放，故从中选个放在空隙（种），剩余两个偶数放入另两个选中的空隙（种），包含空隙的空隙选择有种，每种对应种偶数排法，共种，偶数排法总数：，六位数总数：.（10分） （3）从小到大排列这些四位数，求第个数，千位为时：后三位从剩余个数中选个排列，有个（第个），千位为时：也有个（第个）， 第个在千位为中排第个，千位为时：百位为：个（第个）， 百位为：个（第个），第个是，第个是.(15分) 17.（1）所有项的系数之和可以通过令 来得到：， 根据题意：，解得：.二项式的展开式通项公式为 令指数 ，解得 ， 常数项系数为所以展开式中的常数项为 . （2）对于二项式 ，展开式的通项为：系数为 ，其绝对值为 ，所有项的系数绝对值的和为：构造二项式 ，其展开式为：代入 ，得： ，因此，.所以展开式中所有项的系数绝对值的和为 . （3）对于二项式 ，展开式的通项为： 系数为 ，由于负系数小于正系数，系数最大的项必为正系数， 因此只需考虑偶数 ，记 （ 为偶数），设展开式中系数最大的项的系数为（ 为偶数），则，即，化简得：， 整理得：，又因为 为偶数，所以只有满足上式， 所以最大值出现在 处。计算： 对应项为： 18．(17分) 【解析】（1）若小明抽到红色外观的模型，则分橙色内饰个，米色内饰个，则对应的概率， 若小明抽到橙色内饰，分红色外观个，蓝色外观个，则对应的概率． 抽到红色外观的模型同时是橙色内饰的有个，即， ，， 所以事件和事件独立．（5分） （2）依题意外观和内饰均为相同的概率， 外观和内饰都不同的概率， 仅外观相同或仅内饰相同的概率， 因为，即 所以一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都不同， 二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均相同， 三等奖为两个汽车模型仅外观相同或仅内饰相同． 所以抽到外观和内饰都不同的可以获得一等奖元，即小张能获得元奖金.（10分） （3）设车展商应该制作蓝色外观且橙色内饰的汽车模型个（且）， 记事件“首位参观者恰好抽到一个外观是红色的且恰好抽到一个橙色内饰的汽车模型”为事件， 则， 依题意，即，即，解得或（舍去）， 又，所以， 即车展商应该制作蓝色外观且橙色内饰的汽车模型至少要个.(17分) 19.【解析】（1）当有3个士兵时，重新站成一排有2种站法； 当有4个士兵时，假设先安排甲，有3种站法，若甲站到乙的位置，那就再安排乙，也有3种站法， 剩下的两个人都只有1种站法，由分步乘法计数原理可得有种站法． （2）易知，． 如果有个人，解散后都不站原来的位置可以分两个步骤： 第一步：先让其中一个士兵甲去选位置，有种选法； 第二步：重排其余个人，根据第一步，可以分为两类： 第一类：若甲站到乙的位置上，但乙没有站到甲的位置，这样的站法有种； 第二类：若甲站到乙的位置上，乙同时站到甲的位置，这样的站法有种． 所以，，又， 所以． 所以数列，是首项为1，公比为的等比数列 （3）由题意可知， 由（2）可得：，则． 对进行赋值，依次得：，，⋯， 将以上各式左右分别相加，得：，因， 则． 即得， 当无穷大时，，得证. 试卷第4页，共4页 答案第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $