湖南常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年 高二下学期3月阶段检测数学试题 一、单选题 1．已知复数z满足，则z的虚部是（    ） A． B． C． D． 2．已知数列为递减的等比数列，且，，则的公比为（    ） A． B． C． D． 3．六安一中高三教学楼共五层，甲、乙、丙、丁四人走进该教学楼2~5层的某一层楼上课，则满足且仅有一人上5楼上课，且甲不在2楼上课的所有可能的情况有（    ）种 A．27 B．81 C．54 D．108 4．点P到点的距离比它到直线l：的距离大4，则点P的轨迹是（    ） A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．以上都不对 5．已知，是双曲线的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的离心率为 A． B． C．2 D．3 6．如图所示，点在上，向量所在直线与相切于点，向量．若已知下列选项给出的量，则可以得到的选项是（    ）    ①   ②   ③半径   ④   ⑤ A．①④ B．①② C．③ D．⑤ 7．近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，已知臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，是自然对数的底数．按照此关系推算，当臭氧含量为初始含量的时，的值约为（   ）（参考数据：） A．305 B．483 C．717 D．879 8．已知函数（e是自然对数的底数）在定义域R上有三个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知曲线，则（   ） A．若，则曲线表示圆，且半径为 B．若，则曲线表示双曲线，且渐近线为 C．若，，则曲线表示两条直线 D．若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆 10．函数在区间上的极值点为（    ） A． B． C． D． 11．如图，已知正方体的棱长为2，点，在平面内，若，，则下述结论正确的是（    ） A．点的轨迹是一个圆 B．点的轨迹是一个圆 C．的最小值为 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题 12．若二项式 的展开式共有 6 项，则此展开式中含 的项的系数是_____. 13．设M，N，P是椭圆上的三个点，O为坐标原点，且四边形OMNP为正方形，则椭圆的离心率为______； 14．设函数，则满足的的值是___________． 四、解答题 15．已知函数. （1）求的最小正周期以及单调增区间； （2）在中，若，，求周长的取值范围. 16．已知数列的前项和为，且满足，公差不为0的等差数列中，，且是与的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 17．某投资公司拟投资开发某种新产品，市场评估能获得10万元～1000万元（包含10万元和1000万元）的投资收益．现公司准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于l万元，同时不超过投资收益的20%． (1)写出满足的条件． (2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：①；②．试分别分析这两个函数模型是否符合公司的要求． 18．已知椭圆过点，且离心率为． (1)求E的方程； (2)过作斜率之积为1的两条直线与，设交E于A，B两点，交E于C，D两点，的中点分别为M，N．探究：与的面积之比是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 19．已知定义在区间D上的函数，，若，，存在一个正实数M，满足，则称是的“M—陪伴函数”． (1)已知，判断函数是否为函数的“M—陪伴函数”，并说明理由；若是，求M的最小值． (2)证明：在同一给定闭区间上的函数是函数的“M—陪伴函数”． (3)已知，若函数是函数的“3—陪伴函数”，求实数m的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B D C D C B AC BC 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】通过复数的除法和分母有理化，结合，解得，再利用虚部为系数即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以的虚部为. 故选：B. 2．C 【分析】设出公比，由条件利用等比数列的基本量运算列出方程组，解之即得. 【详解】设等比数列的公比为， 则由，，得，解得或， 因为为递减数列，则. 故选：C. 3．B 【分析】以特殊元素甲为主体，根据分类计数原理，计算出所有可能的情况，求得结果. 【详解】甲在五楼有种情况， 甲不在五楼且不在二楼有种情况， 由分类加法计数原理知共有种不同的情况， 故选B. 【点睛】该题主要考查排列组合的有关知识，需要理解排列组合的概念，根据题目要求分情况计数，属于简单题目. 4．D 【分析】根据给定条件，按点在直线及左侧、右侧两种情况分类讨论，结合抛物线定义判断即得. 【详解】由点P到点的距离比它到直线的距离大4，知点P既可以在直线的左侧，也可以在直线的右侧， 当点P在直线及左侧时，点P到点的距离等于它到直线的距离， 则点P的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线在直线及左侧部分； 当点P在直线的右侧时，点P到点的距离等于它到直线的距离， 则点P的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线在直线的右侧部分， 所以点P的轨迹包含以上两部分，选项ABC错误，D正确. 故选：D 5．C 【解析】设点关于渐近线的对称点为点，该渐近线与交点为，由平面几何的性质可得为等边三角形，设，则有；又，可得，代入离心率即可得出结果. 【详解】设点关于渐近线的对称点为点，该渐近线与交点为，所以为线段的中垂线，故，所以为等边三角形， 设，则有；又，可得， 所以离心率. 故选:C 【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质以及渐近线和离心率，考查了学生逻辑推理与运算求解能力. 6．D 【分析】由相切得到，再由向量分解得到，从而. 【详解】由于向量所在直线与相切于点，故，得， 从而 因此若已知即可得到，D选项正确． 因为，由图可知为钝角， 所以，故其他选项均不能得到，ABC选项均错误． 故选：D. 7．C 【分析】根据题意列出方程，再应用指对数转换计算求解. 【详解】因为臭氧含量与时间（单位：年）的关系为， 所以当臭氧含量为初始含量的时，得， 计算得，化简得， 所以. 故选：C. 8．B 【分析】令可得：当时，；当时，，利用导数可求得的单调性和最值，结合的零点个数可构造不等式组求得结果. 【详解】当时，令，解得； 当时，令，即， 令，则， 则当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ， 因为函数在R上有三个零点，所以为的一个零点，且有两个不同的解， ，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 9．AC 【分析】根据方程表示的曲线确定参数的关系，然后由方程研究曲线的性质判断各选项. 【详解】选项A：若，则，表示圆，且半径为，故A正确； 选项B：若，，则，其渐近线为， 若，，则，其渐近线为，故B错误； 选项C：若，时，，即表示两条直线，故C正确； 选项D：当时，，表示焦点在轴上的椭圆，故D错误. 故选：AC. 10．BC 【分析】利用导数分析单调性可得. 【详解】， 令， 所以当时，，为单调递减函数； 当或时，，为单调递增函数， 所以当时取得极值. 故选：BC 11．ACD 【分析】选项A：由，得，分析得E的轨迹为圆； 选项B：由平面，而点在上，即的轨迹为线段，； 选项C：由E的轨迹为圆，的轨迹为线段，可分析得； 选项D：建立空间直角坐标系，用向量法求最值. 【详解】对于A:，即，所以，即点E为在面内，以为圆心、半径为1 的圆上；故A正确； 对于B: 正方体中，，又，且，所以平面，所以点F在上，即的轨迹为线段，故B错误； 对于C:在平面内， 到直线的距离为当点，落在上时，；故C正确； 对于D: 建立如图示的坐标系，则, 由B选项的证明过程可知：的轨迹为线段， 所以设，则，则， 而 设平面的法向量，则有 不妨令，则， 设与平面所成角为，则： 当时，有最大值，故D正确； 故选：ACD 12．10 【分析】由题可得，然后由二项展开式通项公式可得答案. 【详解】因二项式 的展开式共有 6 项，则， 则展开式第项满足：，令，则系数为. 故答案为： 13．/ 【分析】根据四边形OMNP为正方形，设出点的坐标，代入椭圆的方程中，再结合点的坐标特点，得到与的关系，最后结合的关系，求椭圆的解离心率即可. 【详解】 因为四边形OMNP为正方形，结合图形可知，可设， 则，则，的坐标为， 所以，所以， 所以椭圆的离心率. 故答案为：. 14．或. 【分析】利用解析式分段讨论即可求出 【详解】由题当时，，解得，符合题意； 当时，，解得，符合题意； 综上所述：可得的值是或. 故答案为：或. 15．（1）最小正周期为，单调增区间，；（2）. 【分析】（1）利用诱导公式、正弦的二倍角公式以及辅助角公式化简，再由正弦函数的性质即可求解； （2）先由求得角，再根据正弦定理求出外接圆的半径，结合将转化为关于角的函数，再利用三角函数的性质求范围即可求解. 【详解】（1） 所以的最小正周期为. 令，，解得：， 所以的单调增区间，. （2），因为，所以， 由正弦定理，， 所以，，， ， 因为，， 所以，所以， 所以周长. 16．(1)，； (2). 【分析】（1）利用与的关系求出；利用等比中项的定义求出，进而求出. （2）利用（1）的结论求出，再利用错位丰减法求和即得. 【详解】（1）数列的前项和为，，当时，， 两式相减得，即，由，得， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，； 由是与的等比中项，得，又，则， 整理得，又，解得，于是， 所以数列的通项公式分别为，. （2）由（1）知，， ， 于是， 两式相减得， 所以. 17．(1)时，①是增函数；②恒成立；③恒成立 (2)函数模型符合公司的要求 【分析】（1）根据题意，奖励方案描述的是函数的单调性和最值，从而运用数学语言描述出即可； （2）分别对两个函数模型研究它们的单调性和最值，判断是否符合（1）中的要求即可． 【详解】（1）解：由题意，公司对奖励方案的基本要求是：当时，①是增函数；②恒成立；③恒成立． （2）解：对于函数模型： 当时，是增函数，且，即恒成立， 若使函数在上恒成立，则在上恒成立． 又时，，所以在上不恒成立． 故该函数模型不符合公司的要求． 对于函数模型： 当时，是增函数，且，所以在上恒成立． 令，则， ∵当时，， ∴在上是减函数， ∴，即， ∴， ∴恒成立. 故该函数模型符合公司的要求． 综上，函数模型符合公司的要求. 18．(1) (2)为定值，定值为2，理由见解析 【分析】（1）由题意可得写出关于的等式，即可求出E的方程； （2）设直线与椭圆进行联立可得，同理可得可得到直线过定点，然后利用面积公式即可 【详解】（1）由题意可得，解得， 则E的方程 （2）与面积之比为定值，定值为2，理由如下： 设直线（）， 联立可得，， 则 所以 所以， 设，同理可得 所以， 所以直线即 所以恒过定点， 设点到直线的距离分别是 则 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19．(1)是，理由见解析，的最小值是 (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）根据陪伴函数定义计算得，则，则确定的最小值； （2）通过放缩得，再记，则，则得到，即证明原命题； （3）根据陪伴函数的定义得，通过合理变形并整体求导得，则故．再设新函数，通过多次求导和隐零点法即可得到其范围. 【详解】（1）假设是的＂—陪伴函数＂， 则， 即， 则． 因为且，所以，则， 因此，因此是的＂－䧄伴函数＂，且的最小值是． （2）已知， ， . 记，则． 记，则， 即， 因此是的＂M—陪伴函数＂， 即在同一给定闭区间上的函数是函数的＂M－陪伴函数＂． （3）由题知， 即，不妨假设， 则， 则，且， 所以函数单调递增，函数单调递减， 所以， 则．又， 所以， 故． 令，则， 令，易知在上单调递减， 则，所以， 则在上单调递减，则， 因此． 令，则． 令，易知在上单调递减，且， 则，即． 当时，，即，则在上单调递增； 当时，，即，则在上单调递减． 所以． 由，得，则， 因此． 又，所以， 即实数的取值范围为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $