考向五、六 平行四边形中的折叠与动点问题 特殊平行四边形-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（浙教版·新教材）

期末压轴题特训 考向五平行四边形中的折叠与动点问题 》“答案与解析”见P54 1.如图，将口ABCD沿对角线BD折叠，使点A5.新考法·探究题如图，等边三角形ABC的边 落在点E处.若∠1=56°，∠2=42°，则∠A 长为8cm,动点M从点B出发，沿B→A→ 的度数为 ( C→B的方向以3cm/s的速度运动，动点N A.108° B.109° 从点C出发，沿C→A→B→C的方向以 C.110° D.111 2cm/s的速度运动. (1)若动点M,N同时出发，经过 S, 两点第一次相遇. -----B (2)若动点M,N同时出发，且其中一点到达 2------A (第1题) (第2题) 终点时，另一点立即停止运动，则运动多长时 2.如图，在□ABCD中，点E在边BC上，以 间时，点A,M,N与△ABC的边上一点D AE为折痕，将△ABE向上翻折，点B正好 恰能构成一个平行四边形？并指出此时点D 落在CD上的点F处.若△FCE的周长为7， 的具体位置， △FDA的周长为21，则FD的长为() A.5 B.6 C.7 D.8 备用图 备用图 备用图 3.如图，有一张平行四边形纸片 (第5题) ABCD,AB=5,AD=7,将这张纸 片折叠，使得点B落在边AD上，点 B的对应点为B',折痕为EF.若点E在边 AB上，则B'D长的最小值为 A B→FM (第3题) (第4题) 4,如图，在四边形ABCD中，AD∥ BC,BC⊥CD于点C,AD=6cm BC=10cm,M是BC上一点，且答案讲解 BM=4cm,点E从点A出发以1cm/s的速 度沿AD向点D运动，同时点F从点B出发 以2cm/s的速度沿BC向点C运动，当其中 一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设 运动时间为ts,则当t的值为 时， 以A,M,E,F为顶点的四边形是平行四 边形. 113 拔尖特训·数学（浙教版）八年级下 考向六 特殊平行四边形 ♪“答案与解析”见P55 1.(2024·泸州模拟)如图，在正方形ABCD5.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于 中，E为边BA的延长线上一点，点F在边 点O,F是菱形ABCD的边DA的延长线上 BC上，且AE=CF,连结DF,EF.若 的一点，G是CF上的一点，且∠ACG= ∠CDF=a,则∠AEF等于 ∠AGC,∠GAF=∠GFA.若∠DBC=36°， A.90°-2a B.45°-a 则∠BCE= C.45°+a D.a D (第5题) 6.如图，在矩形ABCD中，AB=4, (第1题) (第2题) AD=3,点E,F分别在边AD,BC 2.如图，在矩形ABCD中，AB=6,E是AD上 上(，点E不与点A,D重合)且AF∥ 一点，且DE=2,CE的垂直平分线交CB的 CE,DP⊥AF于点P,交CE于点Q,BMI 延长线于点F,交CD于点H,连结EF交 CE于点M,交AF于点N.给出下列四个结 AB于点G.若G是AB的中点，则BC的 论：①AC=5;②四边形PQMN是矩形； 长是 ( ③DQ=CM;④AC平分四边形PQMN的 A.6 B.7 周长.其中，正确的是 (填序号). C.8 D.9 3.(2025·北京模拟)如图，在菱形ABCD中， 对角线AC,BD相交于点O,延长CB至点 E,使BE=CD,连结AE.给出下列结论： (第6题) ①AE=2OD;②∠EAC=90°；③四边形 7.在矩形ABCD中，M,N,P,Q分别为边 ADBE为菱形；④S四边形AEB0= 4S菱形AD. AB,BC,CD,DA上的点（均不与端点重 其中，正确的有 ( 合).对于任意矩形ABCD,给出下列四个结 A.1个B.2个C.3个D.4个 论：①存在无数个四边形MNPQ是平行四 边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形； ③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至 少存在一个四边形MNPQ是正方形.其中， 正确的是 (填序号) (第3题) (第4题) 4.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD 8.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交 相交于点O,E为BC上一点，CE=7,F为 于点O,点E,F在AC上，且OE=OF,连结 DE的中点.若△CEF的周长为32，则OF的 DE并延长至点M,使DE=ME,连结MB, 长为 MF,DF,BE. 114 期末压轴题特训 (1)当DF=MF时，求证：四边形EMBF是9.如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一 矩形 点，连结AE,以AE为边在AB右侧作正方 (2)当△DMF满足什么条件时，四边形 形AEFH,连结AF,交CD于点N,连结 EMBF是正方形？请说明理由 EN.过点F作FG⊥BC,交BC的延长线于 点G.求证： (1)BE=CG. (2)BE+DN=EN. (第8题) E (第9题) 115 拔尖特训·数学（浙教版）八年级下 10.如图，在矩形ABCD中，AB=6 11.如图①，在矩形纸片ABCD中 BC=8,E,F是对角线AC上的两 AB=3,AD=5.折叠纸片使点B 个动点，分别从点A,C同时出发 落在边AD上的点E处，折痕为 相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运 PQ,过点E作EF∥AB,交PQ于点F,连 动时间为t秒，其中0≤t≤10. 结BF. (1)若G,H分别是AD,BC的中点，则四 (I)求证：四边形BFEP为菱形 边形EGFH是怎样的四边形(，点E,F相遇 (2)当点E在边AD上移动时，折痕的端点 时除外)？ P,Q也随之移动 答： (直接填空，不用 ①当点Q与点C重合时（如图②），求菱形 说理). BFEP的边长. (2)在(1)的条件下，若四边形EGFH为矩 ②若限定点P,Q分别在边AB,BC上移 形，求t的值 动，求点E在边AD上移动的最大距离 (3)在(1)的条件下，若点G向点D运动， 点H向点B运动，且与点E,F以相同的速 度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t C(O 的值 ② (第11题) (第10题) 116时间为(12+6)÷2=9(s),点Q从点 C运动到点A用的时间为(6+12)÷ 1=18(s) 因为9<18， 所以点P先到达终点，此时点Q离终 点还有(6+12)-1×9=9(cm). (2)能 在点P从点B运动到点C的过程中 点Q在边CD上运动.设点P,Q的 运动时间为as,则BP=2acm,CQ a cm. 因为△APQ的面积为22cm2, 所以12X6-2a×6 2 (12-2a)Xa_(6-a)×1=22. 2 整理，得a2一6a+14=0. 因为该方程的根的判别式为（一6）2 4×1×14=-200, 所以此方程没有实数根」 在点P从点C运动到点D的过程中， 点Q在边DA上运动. 设点P,Q运动的时间为bs,则DP 12+6-2b=(18-2b)cm,AQ=12+ 6-b=(18-b)cm. 因为△APQ的面积为22cm, 所以2AQ·DP=2,即2(18 b)(18-2b)=22. 整理，得b2一27b+140=0,解得b1= 7,b2=20(不合题意，舍去). 综上所述，△APQ的面积能为22cm2, 点P,Q需运动7s. 考向四统计图表 与数据分析的综合 1.(1)1:8. (2)2:3. (3)不是. 理由：由题意，得七年级的优秀率为 20%十20%=40%，八年级的优秀率 为3出×100%=50%。 因为40%<50%， 所以本次活动中优秀率较高的是八 年级 由题意，得七年级的平均成绩为0× (1×7+10×50%×8+10×20%× 9+10×20%×10)=8.5(分)，八年级 的平均成绩为0 ×(1×6+2×7+ 2×8+3×9+2×10)=8.3(分) 因为8.5>8.3， 所以本次活动中平均成缋较高的是七 年级 所以本次活动中优秀率较高的年级并 不是平均成绩也较高！ 2.D甲组的达标率是号× 100%=60%, 乙组的达标率是三×100%=60%. (2)甲组成绩的平均数是专× (16.5+19.5+17+17+20)=18(秒)： 乙组成绩的平均数是号×(19+20+ 17+16+18)=18(秒). 甲组成绩的方差为S号=弓×[(165 18)2+(19.5-18)2+(17-18)2+ (17-18)2+(20-18)2]=2.1(秒2)： 乙组成绩的方差为S号=×[(19 18)2+(20-18)2+(17-18)2+ (16-18)+(18-18)2]=2(秒2). 因为2.1>2， 所以乙组的成绩相对稳定 (3)甲组和乙组成绩的平均数相同 达标率相同：甲组成绩的方差大于乙 组成缋的方差，说明乙组的成缋更稳 定：甲组成绩的中位数是17秒，乙组 成绩的中位数是18秒，由于用时越少 成绩越好，说明甲组的成缋较好.因此， 如果老师认为甲组的成缋好于乙组， 那么老师只能是从中位数来说明的. 考向五平行四边形中的 折叠与动点问题 1.C解析：因为四边形ABCD为平 行四边形，所以AB∥CD.所以 ∠ABE=∠1=56.根据折叠可知， ∠ABD=∠EBD,所以∠ABD= ∠ABE=X56=28,因为 ∠2=42°，所以∠A=180° 54 ∠ABD-∠2=110°. 2.C解析：因为四边形ABCD为平 行四边形，所以AD=BC,AB=DC. 由翻折，得BE=FE,AB=AF.因为 △FCE的周长为7，△FDA的周长为 21,所以CE+CF+EF=7,DF+ AD+AF=21.所以(CE+EF)+ (DF+CF)+AD+AF=(CE+ BE)+DC+AD+AB=BC+DC+ AD+AB=28,2(AD+AB)=28. 所以AD+AB=14,即AD+AF= 14.所以FD=21一14=7. 3.2解析：由折叠可知，BE=BE, BF=B'F.如图，当点E与点A重合 时，BD最短.因为AB=5,AD=7, 所以AB′=5.所以BD=AD AB'=7一5=2，即B'D长的最小值 为2. A(E) B'D B (第3题) 4.专或4解析：因为AD/BC,即 AEMF,所以当AE=FM时，以A, M,E,F为顶点的四边形是平行四边 形.由题意，得AE=tcm,BF=2tcm. 分两种情况讨论.①当点F在线段 BM(不含点M)上，即0≤t<2时， FM=(4一21)cm.所以t=4-2t,解 得1=手②当点F在线段CM上， 即2≤t≤5时，FM=(2t-4)cm.所 以t=21-4,解得t=4.综上所述，当 1的值为号或4时，以A,M,E,F为 顶，点的四边形是平行四边形 5.(1)16 5 解析：设经过ts两点第 一次相遇，则3t+2t=2×8,解得 16 t6 2)当点M,N运动号：或号时， A,M,N,D四点能构成平行四边形 设点M,N的运动时间为ts. 分4种情况讨论. ①当0≤1<号时，点M,N,D的位 置如图①所示 因为四边形AMDN为平行四边形， △ABC为等边三角形， 所以AM=DN,DN∥AB,∠B= ∠C=60° 所以∠NDC=∠B=60. 所以∠NDC=∠C. 所以ND=NC. 所以AM=CN. 所以BM+CN=BM+AM=AB= 8 cm. 由题意，得BM=3tcm,CN=2tcm, 所以31十21=8，解得t=亏： 8 因为ND=NC,∠C=60°， 所以△CDN是等边三角形， 所以CD=CN=2X5 16 此时点D在BC上，且CD= cm (饺D-)】 ②当号≤4时AM,N三点均在 AC上，点A,M,N,D不能构成平行 四边形 @当4长<号时，点M,N,D的位 置如图②所示」 因为四边形ANDM为平行四边形， 所以AN=DM,AN∥DM. 所以∠MDC=∠B=60° 所以∠MDC=∠C. 所以MD=MC. 所以MC=AN. 所以AM+AN=AM+MC=AC= 8 cm. 由题意，得AM=(3t-8)cm,AN= (2t-8)cm, 4 所以31-8十21-8=8，解得1=5 因为MD=MC,∠C=60°， 所以△MDC是等边三角形， 所以CD=MC=AN=2X5 24 一8= (cm), 此时点D在BC上，且CD=号cm (成D-器m)小 ①当5<1≤8时由题意，可得 BN=(16-2t)cm,BM=(24- 3t)cm. 当点A,M,N,D能构成平行四边形 时，由情况①③易知△BNM为等边 三角形. 所以BN=BM,即16-2t=24-3t, 解得t=8, 此时点M,N重合，不能构成平行四 边形 综上所述，当点M,N运动号s或 24 s时，A,M,V,D四点能构成平行 四边形，此时点D在BC上，且运动 s时.D=当5m(或BD= 8 告m),运动酷：时，CD= 5 cm (或BD=32cm 5 cm. D ② (第5题) 考向六特殊平行四边形 1.B解析：如图，连结ED,设AD 与EF交于点G.因为四边形ABCD 是正方形，所以∠ADC=∠BAD= ∠C=90°，AD=DC.所以∠DAE= 180°-∠BAD=180°-90°=90.在 △FCD和 △EAD 中， CD-AD, ∠C=∠DAE=90°，所以△FCD≌ CF=AE, △EAD.所以∠CDF=∠ADE=a, DF=DE.因为∠CDF+∠ADF= ∠ADE+∠ADF=90°，即∠EDF= 90°，所以∠EFD=∠FED=45°.所以 ∠AGE=∠FED+∠ADE=45°+a. 所以∠AEF=90°-∠AGE=90° 55 (45°+a)=45°-a. E (第1题) 2.A解析：如图，过点E作EP⊥ BC于点P.因为四边形ABCD是矩 形，所以AD∥BC,∠A=∠ABC= ∠BCD=∠D=90°，AB=CD=6.所 以四边形ABPE和四边形CDEP均 为矩形.又AB=6,DE=2,所以 CD=EP=6,DE=CP=2.因为G 是AB的中点，所以AG=GB= ?AB=3.又因为AD/∥BC,所☑ ∠AEG=∠BFG.又∠AGE= ∠BGF,所以△AEG≌△BFG.所以 AE=BF.因为FH垂直平分CE,所 以FC=FE.设BC=x,则BP=x一 2.又因为AE=BF=BP,所以BP= AE=BF=x一2.所以FP=BF十 BP=2x-4,EF FC=BF+BC= 2x-2.在Rt△EFP中，由勾股定理， 得EP2+FP2=EF2,所以62+ (2x-4)2=(2x-2)2,解得x=6.所 以BC=6. G R (第2题) 3.C解析：因为四边形ABCD是菱 形，所以AD=BC=CD,AD∥BC, BD=2DO.又因为BE=CD,所以 AD=BE.所以四边形ADBE是平行 四边形.所以AE=BD.所以AE= 2DO.故①正确.只有当BD=AD时， 四边形ADBE才为菱形.故③不正 确.因为四边形ADBE是平行四边 形，四边形ABCD是菱形，所以AE∥ BD,AC⊥BD.所以AE⊥AC.所以 ∠EAC=90°.故②正确.因为四边形 ADBE是平行四边形，四边形ABCD 是菱形，所以S△ABE=S△AD= 2S装=S装m:所 以S四边形AS0=S△AE十S△AO 是Swn故④正确：综上所述，① ②④正确，共3个 7 4.2 解析：因为在正方形ABCD 中，对角线AC与BD相交于点O,所 以BC=CD,∠BCD=90°，O是BD 的中点.因为F为DE的中点，所以 OF=2BE,CF=EF=DR.因为 △CEF的周长为32，CE=7,所以 CF+EF=25,即DF+EF=25,即 DE=25.在Rt△CDE中，CD= √DE-CE=√252-7=24，所 以BC=24.所以BE=BC-CE= 24-7=1.所以0F=E-号 5.18°解析：因为四边形ABCD是 菱形，所以AC⊥BD,AD∥CB.所以 ∠BOC=90°，∠BCE=∠GFA.所以 ∠ACB=90°-∠DBC=90°-36°= 54°.因为∠ACG=∠AGC,∠GAF= ∠GFA,所以∠ACG=∠AGC= ∠GAF+∠GFA=2∠GFA=2∠BCE. 所以∠ACB=∠ACG+∠BCE= 3∠BCE=54°.所以∠BCE=18. 6.①②④解析：因为四边形ABCD 是矩形，所以DC=AB=4,BC= AD=3,∠ADC=∠DCB=∠CBA= ∠BAD=90°.所以∠DCE十 ∠BCM=90°，AC=√AB2+BC √4+3=5.故①正确.因为AF∥ CE,DP⊥AF,BM⊥CE,所以易得 ∠CQP=∠QPN=∠NMQ=90°.所 以四边形PQMN是矩形.故②正确. 因为BM⊥CE,所以∠CBM十 ∠BCM=90°.所以∠DCQ=∠CBM. 若DQ=CM,则易证Rt△CQD≌ Rt△BMC,推出DC=BC,与已知条 件相矛盾.故③错误.因为∠ADP+ ∠PDC=90°，∠DCE+∠PDC= 90°，所以∠ADP=∠DCQ.由矩形 ABCD,可得AD=BC,AD∥BC.又 因为AF∥CE,所以四边形AECF是 平行四边形.所以∠DAP=∠BCM, 因为∠APD=∠CMB=90°，所以 △APD≌△CMB.所以AP=CM.如 图，设PQ,MN分别交AC于点J, K.因为AF∥CE,所以∠PAJ= ∠MCK.又因为∠APJ=∠CMK= 90°，所以△APJ≌△CMK,所以 PJ=MK.因为四边形PQMN是矩 形，所以PQ=MN,PN=QM.所以 AC平分四边形PQMN的周长.故④ 正确.综上所述，正确的是①②④. D Q B (第6题) 7.①②③解析：如图，连结AC,BD 交于点O,过点O作直线MP和QN, 分别交AB,CD,BC,AD于点M,P, N,Q,易证△OAQ≌△OCN, △OBM2△ODP,所以OA=OC, OB=OD.所以四边形MNPQ是平 行四边形.所以存在无数个四边形 MNPQ是平行四边形.故①正确.当 PM=QN时，四边形MNPQ是矩 形.所以存在无数个四边形MNPQ 是矩形.故②正确.当PM⊥QN时， 四边形MNPQ是菱形.所以存在无 数个四边形MNPQ是菱形.故③正 确.当四边形MNPQ是正方形时， MQ=QP,则易得△AMQ≌△DQP, 所以AM=QD,AQ=PD.因为易得 PD=BM,所以AQ+QD=PD+十 AM=BM+AM,即AD=AB.所以 四边形ABCD是正方形，与四边形 ABCD是任意矩形相矛盾.故④错 误.综上所述，正确的是①②③. 、0 B (第7题) 8.(1)因为四边形ABCD是平行四 边形， 所以OB=OD. 因为OE=OF, 56 所以四边形DEBF是平行四边形 所以DE∥FB,且DE=FB. 又因为DE=ME, 所以ME=BF. 因为点M在DE的延长线上， 所以MEBF. 所以四边形EMBF是平行四边形 因为四边形DEBF是平行四边形， 所以DF=EB. 因为DF=MF, 所以MF=EB. 所以四边形EMBF是矩形. (2)当△DMF满足DF=MF,且 ∠DFM=90时，四边形EMBF是正 方形 理由：由(1)可知，当DF=MF时，四 边形EMBF是矩形 在△DMF中，当∠DFM=90°时，因 为E是斜边DM的中点， 所以EF=DM=M, 即EF=EM. 所以四边形EMBF是正方形 所以当△DMF满足DF=MF,且 ∠DFM=90时，四边形EMBF是正 方形. 9.(1)因为四边形ABCD和四边形 AEFH均为正方形， 所以AE=EF,∠B=∠AEF=90°. 所以∠BAE+∠AEB=∠AEB+ ∠GEF=90°. 所以∠BAE=∠GEF. 因为FG⊥BC, 所以∠G=90° 在△ABE和△EGF中， ∠BAE=∠GEF, ∠B=∠G=90°， AE-EF. 所以△ABE≌△EGF. 所以AB=EG. 所以BC=EG. 所以BC-EC=EG一EC,即 BE=CG. (2)如图，延长EB至点M,使得 BM=DN,连结AM. 因为四边形ABCD是正方形， 所以AB=AD,∠ABC=∠D=90°. 所以∠ABM=180°一∠ABC= 180°-90°=90. 在△ABM和△ADN中， AB-AD, ∠ABM=∠ADN=90°， BM=DN, 所以△ABM≌△ADN. 所以AM=AN,∠MAB=∠NAD. 因为四边形AEFH是正方形， 所以∠NAE=45°. 所以∠BAE+∠NAD=∠BAE+ ∠MAB=∠MAE=45°. 所以∠MAE=∠NAE. 在△MAE和△NAE中， AM-AN, ∠MAE=∠NAE, AE-AE, 所以△MAE≌△NAE. 所以ME=NE. 因为ME=MB+BE 所以EN=MB+BE=DN+BE. 所以BE+DN=EN. H M B E (第9题) 10.(1)四边形EGFH是平行四 边形 (2)如图①②，连结GH. 因为四边形ABCD为矩形， 所以AD=BC,AD∥BC,∠B=90. 因为G是AD的中点，H是BC的 中点， 所以AG=AD,BH=BC 所以AG=BH, 所以四边形ABHG是平行四边形. 又因为∠B=90°， 所以四边形ABHG是矩形 所以GH=AB=6. 在Rt△ABC中，AC √AB2+BC=√62+82=10. ①如图①，当点E,F相遇前，四边形 EGFH是矩形时，EF=GH=6. 因为AE=CF=t, 所以EF=10-2t=6. 所以t=2. ②如图②，当点E,F相遇后，四边形 EGFH是矩形时，EF=GH=6. 因为AE=CF=t, 所以EF=t+t-10=2t一10=6. 所以t=8. 综上所述，若四边形EGFH为矩形， 则t的值为2或8. (3)如图③，设M,N分别是AD,BC 的中点，连结AH,CG,GH,AC与 GH交于点O. 根据题意，得MG=VH=t. 因为四边形ABCD是矩形， 所以AD∥BC,AD=BC=8,CD= AB=6. 因为M,N分别是AD,BC的中点， 所以AM=7AD,CN=2BC 所以AM=CN=4. 所以AM+MG=CN+NH,即 AG-CH 所以四边形AGCH是平行四边形 因为四边形EGFH为菱形， 所以GH⊥EF,即GH⊥AC 所以四边形AGCH为菱形， 所以AG=CG. 设AG=CG=x,则DG=8-x. 在Rt△CDG中，由勾股定理，得 CD2+DG2=CG2 即62+(8-x)2=x2,解得x=1 25 所以MG=AG-AM= 5-4 9 4 49 即=是 所以若四边形EGFH为菱形，则t的 9 值为4 ② 57 ③ (第10题) 11.(1)由折叠的性质，得BP=EP, BF=EF,∠BPF=∠EPF. 因为EF∥AB, 所以∠BPF=∠EFP 所以∠EPF=∠EFP. 所以EP=EF. 所以BP=EP=EF=BF 所以四边形BFEP为菱形 (2)①因为四边形ABCD为矩形， 所以BC=AD=5,CD=AB=3, ∠A=∠D=90°. 由折叠的性质，得CE=BC=5, BP=EP. 所以在Rt△CDE中，DE2=CE2 CD2=52-32=16, 即DE=4(负值舍去). 所以AE=AD-DE=5-4=1, AP=AB-BP=3-EP 在Rt△APE中，由勾股定得，得 EP2=AE2+AP2, 即EP=12十(3-EP)2,解得 EP= 5 所以菱形BFEP的边长为号， ②当点Q与点C重合时， 如题图②，点E离，点A最近，由①知， 此时AE=1. 当点P与点A重合时， 如图，点E离点A最远， 易得此时四边形ABQE为正方形. 所以AE=AB=3. 因为3-1=2， 所以，点E在边AD上移动的最大距 离为2. 4(P) B OFC (第11题)