考向三、四 一元二次方程与三角形、四边形的综合 统计图表与数据分析的综合-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（浙教版·新教材）

所以(x1一x2)2=1. 所以(x1十x2)2-4x1.x2=1,即b2 4c=1. 所以c=1 41 所以6+2x+1=6+26-1)+1= 28+6+日36+1≥0 考向三一元二次方程 与三角形、四边形的综合 1.A解析：解方程x2-5x=7(x 5),得x1=7,x2=5.当x=7时，因为 3十4=7，所以3,4,7不能组成三角 形.当x=5时，因为3+4>5，所以3， 4,5能组成三角形.所以该三角形的 周长为3+4+5=12 2.C解析：此方程的根的判别式为 a+b)2-4c·子=a+b)2-c2= (a+b+c)(a+b一c).因为a,b,c是 △ABC的三边长，所以a>0,b>0, c>0且c<a十b.所以a+b+c>0, a+b-c>0.所以(a+b+c)(a+b c)>0.所以方程有两个不相等的实数 根，又因为两根的和是-0十也<0，两 C 根的积是子->0，所以方程有两 个不相等的负实数根。 3.A解析：因为四边形ABCD是菱 形，所以AC⊥BD.所以∠AOB= 90°.在Rt△AOB中，由勾股定理，得 AO2+B02=5=25.由根与系数的 关系，可得AO+BO=-2m+1, AO·BO=m2+3.所以AO2+ BO2=(AO+BO)2-2AO.BO= (-2m十1)2-2(m2+3)=25.整理， 得m2一2m一15=0，解得m=一3或 m=5.由题意，得(2m-1)2-4(m2+ 3≥0，解得m≤一所以m=-3 4.B解析：因为四边形ABCD是正 方形，所以∠B=∠D=90°，CD= BC=AB=AD=1.设DG=m,则 GC=CD一DG=1一m.由折叠，得 △ADG2△AHG,F是BC的中点， 所以DG=GH=m,CF=BF= 号C=子，∠GA=∠D=0:因 为∠B=90°，所以AF +原-√P+(- =21 因为S正方形ACD=S△ABF十S△AG十 1 SAr+S△aF,所以1X1=2X1X +×1Xm+ 1×(1 1 W5-1 m)十。X号Xm.所以m= 2 因为x2+x-1=0的解为x=一2 怎所以该方程的正根为一，怡为 线段DG的长 5.7或8解析：因为等腰三角形 ABC的三边长分别是m,1,4,所以分 两种情况讨论：①当m≠n时，m=4 或n=4,所以将x=4代人原方程，得 42-6×4+a十1=0，解得a=7.此时 原方程为x2-6x十8=0，解得x1= 2,x2=4,即m=2,n=4或m=4, n=2.因为2十4=6>4，所以2,4,4 能组成三角形.所以a=7符合题意。 当m=n时，此方程的根的判别式为 (-6)2-4×1×(a+1)=0,解得a= 8.此时原方程为x2一6.x十9=0，解得 x1=x2=3,即m=1=3.因为3+3= 6>4,所以3,3,4能组成三角形.所以 a=8符合题意.综上所述，a的值为7 或8. 6.(1)因为该方程的根的判别式为 [-(2k+1)]2一4×1×(k2+k)= 4k2+4k+1一4k2一4k=1>0, 所以方程有两个不相等的实数根。 (2)解方程x2一(2k十1)x十k十k 0,得x1=k,x2=k+1. 因为△ABC的两边AB,AC的长是 这个方程的两个实数根， 所以分两种情况讨论：①当BC为直 角边时，依题意，得k2十52=(k+ 1)2,解得k=12. ②当BC为斜边时，依题意，得k十 (k十1)2=52，解得k1=3,k2=-4 (不合题意，舍去) 53 综上所述，k的值为12或3. 7.(1)因为四边形ABCD为菱形， 所以AB=AD, 因为关于x的一元二次方程x2十 (2m-1)x十m2=0的两个实数根 x1,x2是四边形ABCD相邻两边 的长， 所以此方程有两个相等的正实数根， 所以b2-4ac=(2m-1)2-4m2=0, x1十x2=1-2m>0,x1·x2=m2>0. 1 所以m=4 (2)由题意可知，AB,AD的长为关 于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0 的两个实数根， 所以AB+AD=1一2m,AB· AD=m. 所以AB2+AD2=(AB+AD)2 2AB·AD=(1-2m)2-2m2= 2m2-4m+1. 因为四边形ABCD为矩形， 所以∠A=90° 连结BD,则AB+AD2=BD2= (7)2=7. 所以2m2-4m+1=7. 整理，得m2一2m一3=0，解得m=3 或m=-1. 由题意，得此方程的根的判别式为 (2m-1)2-4X1×m2=1-4m≥0， 1 所以m≤4： 所以m=一1. 8.(1)答案不唯一，如当a=3,b=4, c=5时，“勾系一元二次方程”为 3x2+5√2x+4=0 (2)当x=-1时，有a一√2c+b=0, 即a+b=√2c 因为2a+2b+√2c=6√2，即2(a+ b)+√2c=6√2， 所以32c=6√2，解得c=2. 所以a2+b2=c2=4,a+b=2√2. 又因为(a+b)2=a2+b2+2ab, 所以ab=2. 1 所以S△A=2ab=1. 9.(1)点P从点B运动到点D用的 时间为(12+6)÷2=9(s),点Q从点 C运动到点A用的时间为(6+12)÷ 1=18(s) 因为9<18， 所以点P先到达终点，此时点Q离终 点还有(6+12)-1×9=9(cm). (2)能 在点P从点B运动到点C的过程中 点Q在边CD上运动.设点P,Q的 运动时间为as,则BP=2acm,CQ a cm. 因为△APQ的面积为22cm2, 所以12X6-2a×6 2 (12-2a)Xa_(6-a)×1=22. 2 整理，得a2一6a+14=0. 因为该方程的根的判别式为（一6）2 4×1×14=-200, 所以此方程没有实数根」 在点P从点C运动到点D的过程中， 点Q在边DA上运动. 设点P,Q运动的时间为bs,则DP 12+6-2b=(18-2b)cm,AQ=12+ 6-b=(18-b)cm. 因为△APQ的面积为22cm, 所以2AQ·DP=2,即2(18 b)(18-2b)=22. 整理，得b2一27b+140=0,解得b1= 7,b2=20(不合题意，舍去). 综上所述，△APQ的面积能为22cm2, 点P,Q需运动7s. 考向四统计图表 与数据分析的综合 1.(1)1:8. (2)2:3. (3)不是. 理由：由题意，得七年级的优秀率为 20%十20%=40%，八年级的优秀率 为3出×100%=50%。 因为40%<50%， 所以本次活动中优秀率较高的是八 年级 由题意，得七年级的平均成绩为0× (1×7+10×50%×8+10×20%× 9+10×20%×10)=8.5(分)，八年级 的平均成绩为0 ×(1×6+2×7+ 2×8+3×9+2×10)=8.3(分) 因为8.5>8.3， 所以本次活动中平均成缋较高的是七 年级 所以本次活动中优秀率较高的年级并 不是平均成绩也较高！ 2.D甲组的达标率是号× 100%=60%, 乙组的达标率是三×100%=60%. (2)甲组成绩的平均数是专× (16.5+19.5+17+17+20)=18(秒)： 乙组成绩的平均数是号×(19+20+ 17+16+18)=18(秒). 甲组成绩的方差为S号=弓×[(165 18)2+(19.5-18)2+(17-18)2+ (17-18)2+(20-18)2]=2.1(秒2)： 乙组成绩的方差为S号=×[(19 18)2+(20-18)2+(17-18)2+ (16-18)+(18-18)2]=2(秒2). 因为2.1>2， 所以乙组的成绩相对稳定 (3)甲组和乙组成绩的平均数相同 达标率相同：甲组成绩的方差大于乙 组成缋的方差，说明乙组的成缋更稳 定：甲组成绩的中位数是17秒，乙组 成绩的中位数是18秒，由于用时越少 成绩越好，说明甲组的成缋较好.因此， 如果老师认为甲组的成缋好于乙组， 那么老师只能是从中位数来说明的. 考向五平行四边形中的 折叠与动点问题 1.C解析：因为四边形ABCD为平 行四边形，所以AB∥CD.所以 ∠ABE=∠1=56.根据折叠可知， ∠ABD=∠EBD,所以∠ABD= ∠ABE=X56=28,因为 ∠2=42°，所以∠A=180° 54 ∠ABD-∠2=110°. 2.C解析：因为四边形ABCD为平 行四边形，所以AD=BC,AB=DC. 由翻折，得BE=FE,AB=AF.因为 △FCE的周长为7，△FDA的周长为 21,所以CE+CF+EF=7,DF+ AD+AF=21.所以(CE+EF)+ (DF+CF)+AD+AF=(CE+ BE)+DC+AD+AB=BC+DC+ AD+AB=28,2(AD+AB)=28. 所以AD+AB=14,即AD+AF= 14.所以FD=21一14=7. 3.2解析：由折叠可知，BE=BE, BF=B'F.如图，当点E与点A重合 时，BD最短.因为AB=5,AD=7, 所以AB′=5.所以BD=AD AB'=7一5=2，即B'D长的最小值 为2. A(E) B'D B (第3题) 4.专或4解析：因为AD/BC,即 AEMF,所以当AE=FM时，以A, M,E,F为顶点的四边形是平行四边 形.由题意，得AE=tcm,BF=2tcm. 分两种情况讨论.①当点F在线段 BM(不含点M)上，即0≤t<2时， FM=(4一21)cm.所以t=4-2t,解 得1=手②当点F在线段CM上， 即2≤t≤5时，FM=(2t-4)cm.所 以t=21-4,解得t=4.综上所述，当 1的值为号或4时，以A,M,E,F为 顶，点的四边形是平行四边形 5.(1)16 5 解析：设经过ts两点第 一次相遇，则3t+2t=2×8,解得 16 t6 2)当点M,N运动号：或号时， A,M,N,D四点能构成平行四边形 设点M,N的运动时间为ts. 分4种情况讨论.拔尖特训·数学（浙教版）八年级下 考向三一元二次方程与三角形 1.若三角形的两边长分别为3和4，第三边的长5. 是方程x2一5.x=7(x一5)的根，则此三角形 的周长为 () A.12 B.14 6 C.12或14 D.13或15 2.已知a,b,c是△ABC的三边长，那么方程 cx2+(a十b)z+=0的根的情况是（ A.没有实数根 B.有两个不相等的正实数根 C.有两个不相等的负实数根 D.有两个异号实数根 3.已知菱形ABCD的边长是5，对角线AC, BD相交于点O,且AO,BO的长分别是关于 x的方程x2+(2m一1)x+m2+3=0的根， 则m的值为 () A.-3 B.5 C.5或-3 D.-5或3 4.新考向·数学文化欧几里得在《几何 原本》中记载了用图解法解方程 x2十ax=b2的方法，类似地，我们 可以用折纸的方法求方程x2+x一1=0的 一个正根.如图，利用一张边长为1的正方形 纸片ABCD,先折出AD,BC的中点E,F, 再沿过点A的直线折叠使AD落在线段AF 上，点D的对应点为H,折痕为AG,点G在 边CD上，连结GF,则长度恰好是方程x2+ x一1=0的一个正根的为 () D (第4题) A.线段BF B.线段DG C.线段CG D.线段GF 110 四边形的综合 >“答案与解析”见P53 已知等腰三角形ABC的三边长分别是m,n, 4,且m,n是关于x的方程x2一6x十a+1= 0的两个根，则a的值为 (2025·绍兴段考)已知关于x的一 元二次方程x2-(2+1)x+k2+ k=0 (1)求证：方程有两个不相等的实数根， (2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方 程的两个实数根，第三边BC的长为5，当 △ABC是直角三角形时，求k的值. 已知关于x的一元二次方程x2+(2m一 1)x十m2=0有两个实数根x1,x2,且分别是 四边形ABCD相邻两边的长， (1)若四边形ABCD为菱形，求m的值 (2)若四边形ABCD为矩形，且该矩形的对 角线的长为√7，求m的值 8.新考向·数学文化如图，四边形ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图 形，a,b,c是Rt△ABC和Rt△BED 的三边长，易知AE=√2c,这时我们把关于 x的形如a.x2+√2cx+b=0的一元二次方 程称为“勾系一元二次方程” 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程” (2)若x=一1是“勾系一元二次方程”a.x2十 √2cx十b=0的一个根，且四边形ACDE的 周长是6√2，求△ABC的面积， 2c Bb D (第8题) 期末压轴题特训 9.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm, 点P从点B出发，沿线段BC,CD以2cm/s 的速度向终点D运动；同时，点Q从点C出 发，沿线段CD,DA以1cm/s的速度向终点 A运动(P,Q两点中，只要有一点到达终点， 则另一点立即停止运动) (1)哪一点先到达终点？此时另一点离终点 还有多远？ (2)在点P,Q的运动过程中，△APQ的面 积能否为22cm？若能，点P,Q需运动多 长时间？若不能，请说明理由 (第9题) 111 拔尖特训·数学（浙教版）八年级下 考向四 统计图表 1.端午节是我国的传统节日，民间有端午节吃 粽子的习俗.在端午节来临之际，某校七、八 年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生 的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位： 分)均为不低于6的整数.为了解这次活动的 效果，现从这两个年级中各随机抽取10名学 生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制成 如图所示的统计图和如下统计表（不完整）： 八年级10名学生的活动成绩统计表 成绩/分 7 8 10 人数 b 2 已知八年级10名学生的活动成绩的中位数 为8.5分 (1)样本中，七年级活动成绩为7分的学生 人数是 ,七年级活动成绩的众数为 分. (2)a= ,b= (3)若认定活动成绩不低于9分为“优秀”， 请判断本次活动中优秀率较高的年级是不是 平均成绩也较高，并说明理由， 七年级10名学生的活动成绩统计图 8分 7分 50% 10分 /9分0 206 (第1题) 112 与数据分析的综合 ，“答案与解析”见P54 2.某校对八年级一班的学生进行百米短跑测 验，已知女生的达标成绩为18秒，甲、乙两组 各5名女生的成绩统计图如图所示.请你根 据所给的信息，解决下列问题 (1)甲、乙两组的达标率分别是多少？ (2)请你计算甲、乙两组成绩的方差，并判断 哪个组的成绩相对稳定， (3)如果老师认为甲组的成绩好于乙组，那 么老师是从各组的平均数、中位数、达标率、 方差中的哪个量来说明的？ 21成绩/秒 21成绩/秒 0 19. 19 19 1 17 16.5 16 16- 15 15C 012345序 012345序号 甲组 乙组 (第2题)