第5章 专题特训九 利用特殊四边形的性质解决折叠问题-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（浙教版·新教材）

拔尖特训·数学（浙教版）八年级下 专题特训九 利用特殊四边形的 性质解决折叠问题 >“答案与解析”见P46 类型一矩形中的折叠问题 4.如图所示为一张矩形纸片ABCD, 1.如图，数学兴趣小组开展以下折纸活动： 点E在边AB上，将纸片沿CE折 (1)对折矩形纸片ABCD,使AD和BC重 叠，使点B落在对角线AC上，记为答案讲解 合，得到折痕EF,把纸片展平；(2)再一次折 点F. 叠纸片，使点A落在E℉上，并使折痕经过点 (1)若AB=4,BC=3,求AE的长 B,得到折痕BM,同时得到线段BN,则 (2)连结DF.若点D,F,E在同一条直线 ∠ABM的度数是 上，且DF=2,求AE的长 A.25°B.30° C.36° D.45 B C (第4题) E --C (第1题) (第2题) 2.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=8,BC= 17,E为边CD上一点，将矩形纸片ABCD 沿AE折叠，BC的对应边B'C'恰好经过点 D,则DE的长为 3.★如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与 点D重合，点A落在点P处，折痕为EF. (1)求证：△PDE≌△CDF. (2)若CD=4cm,EF=5cm,求BC的长. D B (第3题) 类型二菱形中的折叠问题 5.如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点D落在 点M处，折痕为AN,且AM经过点C.若此 时CM=CN,则∠D的度数为 () D (第5题) A.30°B.54°C.45°D.36 100 第5章特殊平行四边形 6.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于 类型三正方形中的折叠问题 点O,AC=6,BD=8,沿过点O的直线折叠 8.如图，在正方形纸片ABCD中，点M,N分 菱形，使点B落在点H处，点C落在点G 别是BC,AD上的点，将该正方形纸片沿直 处，EF是折痕.若HE=1.5,则CF的长为 线MN折叠，使点B落在CD的中点E处， 若AB=4,则△CEM的面积是 D B 0 C B----- M (第6题) (第8题) 7.如图，将菱形ABCD沿着EF,GH折叠后，9.如图，在正方形ABCD中，E是边 点B,D均落在对角线BD上的点M处.求 BC上一点，且BE=2,CE=4,将正 证：四边形AEMG是平行四边形 方形沿AE折叠，点B落在点F处 延长EF交DC于点G,连结AG,FC. (1)求∠EAG的度数. (2)判断CF与AG之间的位置关系，并说明 理由. (第7题) B- E (第9题) 101所以四边形BCFE不可能是菱形 E M/ D (第6题) 专题特训九利用特殊四边 形的性质解决折叠问题 1.B解析：如图，连结AN.由题意 得EF垂直平分AB,∠ABM= ∠NBM,所以AN=BN.由折叠的性 质，得AB=BN.所以AN=AB= BN.所以△ABN为等边三角形.所 以∠ABN=60°.所以∠ABM= ∠NBM=2∠ABN=30°. (第1题) 2￥ 解析：在矩形纸片ABCD中， BC=AD=17,AB=CD=8,B= ∠C=∠ADC=90°.因为矩形纸片 ABCD沿AE折叠，BC的对应边 BC'恰好经过点D,所以AB=AB' 8,BC=B'C'=17,CE=C'E,/B'= ∠B=90°，∠C'=∠C=90°.所以 B'D=√AD2-BA=√17-8= 15.所以C'D=B'C'-BD=17 15=2.因为CE=CE=CD-DE 8-DE,DE=C'D+CE,所以 DE-公+(8DEF解得DE-子 3.(1)因为四边形ABCD是矩形， 所以∠A=∠ADC=∠B=∠C= 90°，AB=CD. 由折叠的性质，得AB=PD,∠A= ∠P=90°，∠B=∠PDF=90°. 所以PD=CD,∠P=∠C= ∠PDF=∠ADC=90°. 所以∠PDF-∠EDF=∠ADC ∠EDF,即∠PDE=∠CDF. 在△PDE和△CDF中， l∠P=∠C, PD-=CD, ∠PDE=∠CDF, 所以△PDE≌△CDF (2)如图，过点E作EG⊥BC于点G, 则∠EGF=90°. 所以易得四边形CDEG为矩形 所以EG=CD=4cm. 在Rt△EGF中，由勾股定理，得 FG=√/52-42=3(cm). 设CF=xcm 由折叠的性质及(1)知，AE=PE, △PDE≌△CDF, 所以PE=CF=AE=xcm 因为易得四边形ABGE为矩形， 所以BG=AE=xcm. 所以由折叠的性质，得DF=BF= (x+3)cm. 在Rt△CDF中，由勾股定理，得 DF2=CD2+CF2,即(x+3)2=42+ x2,解得x=6 所以BG=CF= 6 cm. 所以BC=BG+GF+CF= 6 +3+ 716 6 -3(cm). B'- 第3题) 一方法归纳 解决矩形折叠问题的方法 (1)由折叠的性质知，折叠前 后的对应部分能够完全重合，且对 应线段相等、对应角相等 (2)这类问题往往可以通过折 叠的性质将对应线段或对应角转 换到同一个直角三角形中，利用勾 股定理来求解】 4.(1)因为四边形ABCD是矩形 所以∠B=90° 因为AB=4,BC=3, 所以在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC=√AB2+BC=√4+3=5. 由折叠知，FC=BC=3,∠EFC= ∠B=90°，BE=FE. 46 所以∠AFE=90°，AF=AC一FC= 5-3=2. 设AE=x,则FE=BE=4一x. 在Rt△AFE中，由勾股定理，得 AF2+FE2=AE2,即22+(4-x)2= x2,解得x=之 5 所以AE的长为号. (2)因为四边形ABCD为矩形， 所以AD=BC,DC∥AB. 所以∠DCE=∠BEC. 由折叠知，FC=BC,∠BEC=∠FEC, 所以FC=AD,∠DCE=∠FEC. 又因为点D,F,E在同一条直线上， 所以CD=DE. 因为∠EFC=∠B=90, 所以∠DFC=90°. 所以∠DFC=∠DAE=90°. 在Rt△CDF和Rt△DEA中， CD=DE, FC=AD, 所以Rt△CDF≌Rt△DEA. 所以FD=AE. 因为DF=2, 所以AE=2. 5.D解析：因为四边形ABCD为菱 形，所以AD=CD.所以∠ACD= ∠CAD.根据折叠的性质可知， ∠M=∠D.因为CM=CN,所以 ∠M=∠CNM.因为∠ACD= ∠M+∠CNM,所以∠ACD=2∠D. 所以∠ACD=∠CAD=2∠D.因为 ∠ACD+∠CAD+∠D=180°，所以 2∠D+2∠D+∠D=180°，即 5∠D=180°.所以∠D=36. 6.3.5解析：因为O为菱形ABCD 的对角线的交点，所以AB∥CD, (XC-AC-3.OB-OD-BD- 4,∠COD=90°.在Rt△COD中， CD=√OC2+OD2=/32+42=5. 因为AB∥CD,所以∠EBO= ∠FDO.在△OBE和△ODF中， ∠EBO=∠FDO, OB=OD, 所以△OBE≌ ∠BOE=∠DOF, △ODF.所以BE=DF.由折叠的性 质，得BE=HE=1.5.所以DF= BE=1.5.所以CF=CD-DF=3.5. 7.由折叠知，EM=EB, 所以∠EMB=∠EBM. 所以∠AEM=∠EMB+∠EBM= 2∠EBM. 因为四边形ABCD是菱形 所以AD∥BC,∠EBF=2∠EBM. 所以∠AEM=∠EBF. 所以EM∥BF」 又因为AGBF, 所以AG∥EM. 同理，可得AEMG 所以四边形AEMG是平行四边形. 8 ,解析：因为四边形ABCD是 正方形，所以AB=BC=CD=4, ∠C=90°.由折叠的性质知，BM= EM.设BM=EM=x,则CM=BC BM=4-x.因为E是CD的中点，所 以CE=2CD=2在R△CBM中， 由勾股定理，得CE2+CM=EM, 所以22+(4-x)2=x2,解得x=2 5 即CM=所以 3 所以4一x= △CEM的面积是2CM·CE=2 1 号×2-是 9.(1)因为四边形ABCD是正方形， 所以AB=AD,∠ABE=∠BAD= ∠ADG=90° 由折叠可知，AB=AF,∠ABE ∠AFE=90°，∠BAE=∠EAF. 所以∠AFG=∠ADG=90°，AF= AD. 在Rt△AGF和Rt△AGD中， AF=AD, AG-AG, 所以Rt△AGF≌Rt△AGD. 所以∠GAF=∠GAD. 所以∠EAG=∠EAF+∠GAF= 2C∠BAF+∠DAF)=2∠BAD=45 (2)CF∥AG. 理由：连结DF.设GD=x, 由(1)知，Rt△AGF2Rt△AGD, 所以GF=GD=x. 由题意知，EF=BE=2,CD=BC= BE+CE=2+4=6. 所以CG=CD一GD=6一x. 在Rt△ECG中，由勾股定理，得 EG2=EC2+CG2 所以(2+x)2=4+(6-x)2,解得 x=3. 所以GF=GD=3. 所以CG=3. 所以GF=GD=CG 所以∠GFC=∠GCF,∠GDF=∠GFD. 所以易得∠DFC=90° 所以CF⊥DF 由(1)知，AD=AF」 又因为GD=GF, 所以易得AG⊥DF 所以CF∥AG. 专题特训十利用特殊四边 形的性质解决动点问题 1.D解析：当△EAP与△PBQ全 等时，有两种情况.①当EA=PB时， △APE≌△BQP.因为AB=10cm, AE=6cm,所以BP=AE=6cm,则 AP=AB-BP=10-6=4(cm). 以BQ=AP=4cm.因为动，点P在线 段AB上，从点A出发以2cm/s的速 度向点B运动，所以点P和点Q的 运动时间为4÷2=2(s).所以0=4÷ 2=2.②当AP=BP时，△AEP≌ △BQP.因为AB=10cm,AE=6cm, 所以AP=BP= AB=56mB0 AE=6cm.因为5÷2=2.5(s),所以 250=6,解得e=片综上所述0的 值为2或5 .12 2.B解析：因为四边形ABCD是矩 形，所以AB=CD=4,∠ADC= ∠DAG=∠CBG=90°.因为E,F分 别是DG,CG的中点，所以EF= CD=号AB=2.AE=6D. BF=2GC.所以AE+BF+EF= 号(GD+6C)+2如图：作点D关 47 于AB的对称点H,连结HC交AB 于点G,连结DG',所以AH=AD= 2.所以DH=4.易得GD+GC的最 小值即为HC的长.在Rt△HDC中， HC=√D开+CD=√+平=42. 所以AE+BF+EF的最小值为号× 4√2+2=2√2+2. 0 (第2题) 32或号 解析：如图①，当 ∠OED=90时，因为四边形ABCD 为矩形，所以AO=DO.又∠OED= 90°，所以OE⊥AD.所以DE= AD=2,如图@，当∠B0D=90 时，取AD的中点G,连结OG.因为四 边形ABCD为矩形，AB=2,AD=4, G为AD的中点，所以∠BAD=90°， GD-7AD-2.0D-BD.,OA- OD.所以0G=专AB=1,BD= √AB2+AD=√22+4=2√5.所 以0D=专BD=5.因为0A=0D, G为AD的中点，所以OG⊥AD.设 EG=x,则在Rt△OGE中，OE= √BG+OG=√x2+1.在Rt△DOE 中，DE2=OE2+OD2,即(2+x)2= 1 x2+1+5,解得x=2.所以DE= OD+BG=2+日言综上所述者 △DOE为直角三角形，则DE的长为 2或2 ①