第5章 专题特训八 特殊四边形的性质与判定的灵活应用-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（浙教版·新教材）

拔尖特训·数学（浙教版）八年级下 专题特训)八 特殊四边形的性质与判定的 灵活应用 >“答案与解析”见P44 类型一矩形的性质与判定 类型二菱形的性质与判定 1.如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为 3.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若在 边向外作矩形BCDE,连结AE,AD,设 重合部分构成的四边形ABCD中，AB=3, △AED,△ABE,△ACD的面积分别为S, AC=2,则四边形ABCD的面积为 S1,S2.若要求出S一S1一S2的值，只需知道 A.△ABE的面积 B.△ACD的面积 (第3题) C.△ABC的面积 4.如图，在四边形ABCD中，E为边BC的中 D.矩形BCDE的面积 点，连结BD,交AE于点F,连结CF,AB= (第1题) 2.如图，在□ABCD中，点E,F分别在边BC, CD,AD=BC,AF=CF. AD上，BE=DF,AC=EF. (1)判断四边形ABCD的形状，并给出证明. (1)求证：四边形AECF是矩形 (2)已知三角形两条中线的交点叫作三角形 的重心，重心到顶点的距离与重心到该顶点 (2)若AE=BE,AB=√2，AE：EC=1:2, 对边中点的距离之比为2：1.请利用重心的 求BC的长 知识解决下面的问题：若AB=5,CF=3,求 四边形ABCD的面积. (第2题)》 E (第4题) 98 第5章特殊平行四边形 类型三正方形的性质与判定 类型四矩形、菱形、正方形的综合应用 5.★如图①，在正方形ABCD中，E,F,G,H分 6.新考法·探究题如图，在△ABC中 别为边AB,BC,CD,DA上的点，HA= O是边AC上一动点，过点O作直 EB=FC=GD,连结EG,FH交于点O. 线MN∥BC,设MN交∠ACB的 (1)连结EF,FG,GH,HE,得到如图② 平分线于点E,交∠ACD的平分线于点F, 所示的图形，试判断四边形EFGH的形状， 连结AE,AF,BE 并证明。 (1)探究OE与OF的数量关系，并说明 (2)先将正方形ABCD沿线段EG,HF剪 理由。 开，再把得到的四个四边形按如图③所示的 (2)当点O运动到何处，△ABC满足什么条 方式拼接成一个四边形.若正方形ABCD的 件时，四边形AECF是正方形？请说明 边长为3cm,HA=EB=FC=GD=1cm, 理由 则图③中涂色部分的面积为 cm2. (3)当点O在边AC上运动时，四边形 D BCFE可能是菱形吗？请说明理由， E B B ② (第6题) ③ (第5题) 99FC=号BC=E,AE=2AB=E. 所以DM=√2.所以AM=AD DM=√2.所以在Rt△MAE中， EM=√AM2+AE2= √(2)2+(2)2=2.因为G是CE 的中点，H是CM的中点，所以 GH-7EM-1. 10.(1)因为四边形ABCD是正 方形， 所以∠ADC=90. 因为GE⊥CD, 所以∠GEC=∠ADC=90°. 所以ADGE 所以∠DAG=∠EGH. (2)AH⊥EF 理由：连结CG,交EF于点O. 因为四边形ABCD是正方形， 所以∠ECF=90°，∠ADB ∠CDB=45°，AD=CD. 在△ADG和△CDG中， DG-DG. ∠ADG=∠CDG, AD-CD, 所以△ADG≌△CDG. 所以∠DAG=∠DCG 由(1)，得∠DAG=∠EGH, 所以∠EGH=∠DCG. 因为GE⊥CD,GF⊥BC, 所以∠GEC=∠GFC=90°=∠FCF 所以四边形ECFG为矩形， 所以F=CG,0E=号m,0C 2cc 所以OE=OC 所以∠OEC=∠OCE=∠EGH. 因为∠GC=90,即∠OC+∠GEH=90, 所以∠GH+∠GEH=90°，即∠GHE=90. 所以AH⊥EF 11.(1)FG-CE:FG//CE. 解析：设DE与CF交于点M.因为四 边形ABCD是正方形，所以BC=CD, ∠ABC=∠DCE=90°.在△CBF和 BF=CE, △DCE中，{∠CBF=∠DCE,所以 BC=CD, △CBF≌△DCE.所以∠BCF= ∠CDE,CF=DE.因为∠BCF+ ∠DCM=90°，所以∠CDE+ ∠DCM=90°.所以∠CMD=90°.所 以CF⊥DE.因为EG⊥DE,所以 EG∥CF.因为EG=DE,CF=DE, 所以EG=CF.所以四边形EGFC是 平行四边形.所以FG=CE,FGCE. (2)(1)中的结论仍然成立 如图，过点G作GH⊥CB,交CB的 延长线于点H. 因为四边形ABCD是正方形， 所以∠ABC=∠BCD=90°. 因为EG⊥DE, 所以∠GEH+∠DEC=90°」 因为GH⊥CB, 所以∠GHE=90° 所以∠GEH+∠HGE=90°. 所以∠DEC=∠HGE. 在△HGE和△CED中， ∠GHE=∠ECD=90°， ∠HGE=∠CED, EG-DE, 所以△HGE≌△CED. 所以GH=CE,HE=CD. 因为CE=BF, 所以GH=BF 因为∠GHE=∠ABC=90°， 所以GHBF. 所以四边形GHBF是平行四边形 所以FG=BH,FGCH」 所以FGCE. 因为四边形ABCD是正方形， 所以CD=BC. 所以HE=BC. 所以HE+EB=BC十EB, 即BH=CE. 所以FG=CE. (3)(1)中的结论仍然成立. 因为四边形ABCD是正方形 所以BC-CD,∠ABC=∠DCB=9O°. 所以∠CBF=∠DCE=90. 在△CBF和△DCE中， BF=CE, ∠CBF=∠DCE, BC=CD, 所以△CBF≌△DCE. 44 所以∠BCF=∠CDE,CF=DE. 因为EG=DE, 所以CF=EG. 因为DE⊥EG, 所以∠DEC+∠CEG=90. 因为∠CDE+∠DEC=90°， 所以∠CDE=∠CEG. 所以∠BCF=∠CEG 所以CFEG. 所以四边形CEGF是平行四边形 所以FGCE,FG=CE. (第11题) 专题特训八特殊四边形的 性质与判定的灵活应用 1.C解析：过点A作AH⊥DE于 点H,交BC于点F.因为四边形 BCDE是矩形，所以BC=DE,BE= CD,BE∥CD,∠EBF=∠BEH= 90°.因为AH⊥DE,所以∠EHF= 90°，所以四边形BFHE是矩形.所以 FH=BE=CD,BE∥FH∥CD.所以 △ABE的边BE上的高等于EH的 长，△ACD的边CD上的高等于DH 的长.所以S-S,-S,=3DE· 1 AH-2BE·EH-2CD·DH= 2DE·AH-是FH·E阴 2FH·DH=3DE·AH FH·(EH+DH)=专DE· AH-专FH·DE=DEAH FH)=专DEAF=专BC.AF S△AC.所以只需知道△ABC的面积 就可求出S-S,-S,的值. 2.(1)因为四边形ABCD是平行四 边形， 所以AD=BC,AD∥BC. 因为BE=DF, 所以AD一DF=BC一BE. 所以AF=EC. 所以四边形AECF是平行四边形 因为AC=EF, 所以四边形AECF是矩形 (2)因为四边形AECF是矩形， 所以∠AEC=∠AEB=90°. 因为AE=BE,AB2=(W2)2=2, 所以△ABE是等腰直角三角形， AE2+BE2=AB2=2. 所以2AE2=2BE2=2. 所以AE=BE=1. 因为AE:EC=1:2, 所以EC=2AE=2. 所以BC=BE+EC=1+2=3. 3.42解析：如图，连结BD,交AC 于点O,过点A分别作AE⊥CD于点 E,AF⊥BC于点F.因为两张纸条的 宽度相同，所以AE=AF.因为AB∥ CD,AD∥BC,所以四边形ABCD是 平行四边形.因为SaAD=CD· AE=BC·AF,AE=AF,所以CD= BC,所以四边形ABCD是菱形.所以 AO-7 AC-1,BD=2B0,AC BD.所以∠AOB=90°.所以BO= √AB2-AO=√32-1=2√2. 所以BD=2BO=4√2.所以四边形 ABCD的面积=7AC·BD=号 2X4√2=4√2 (第3题) 4.(1)四边形ABCD是菱形. 连结AC,交BD于点O. 因为AB=CD,AD=BC 所以四边形ABCD是平行四边形： 所以OA=OC. 在△OAF和△OCF中， OA=OC, AF=CF, OF=OF. 所以△OAF≌△OCF 所以∠AOF=∠COF. 因为∠AOP+∠COF=180°， 所以∠A0F=∠00F=2×180=90 所以AC⊥BD 所以四边形ABCD是菱形. (2)因为E为边BC的中点，O为AC 的中点， 所以点F为△ABC的重心 所以BF=2OF. 设OF=x,OA=y,则BF=2x, OB=3x,OC=y. 因为四边形ABCD是菱形， 所以AB=BC=5. 因为∠AOB=90, 所以OF2+OC2=CF2,OB2+ OC2=BC2 所以x2+y2=32①，(3.x)2+y2= 52②. 所以由②-①，得8.x2=16,解得x= √2（负值舍去） 把x=√2代人①，得2十y2=9,解得 y=√7（负值舍去）. 所以AC=2OA=2y=2√7，BD= 2OB=6.x=6√2 所以S国边彩AD=2AC·BD=之× 2√7×62=614」 5.(1)四边形EFGH是正方形 因为四边形ABCD是正方形， 所以∠A=∠B=∠C=∠D=90°， AB=BC=CD=DA」 又因为HA=EB=FC=GD, 所以AE=BF=CG=DH. 所以易证△AEH≌△BFE≌ △CGF≌△DHG. 所以EH=FE=GF=HG. 所以四边形EFGH是菱形 因为△AEH2△DHG, 所以∠AEH=∠DHG 因为∠AEH+∠AHE=90°， 所以∠DHG+∠AHE=90° 所以∠GHE=90°. 所以四边形EFGH是正方形 (2)1.解析：类比“赵爽弦图”，易知 涂色部分为正方形，且正方形的边长 为GC-G=(3-1)-1=1(cm), 所以涂色部分的面积为1cm. 45 方法归纳 正方形中的“十字架”模型 在正方形中，如果取对边上的 点连成的两条线段互相垂直，那么 这两条线段一定相等，这种结构称 为正方形中的“十字架”模型，该模 型的前提条件一定是取正方形对 边上的点.正方形中的“十字架”模 型与全等知识相结合，可以得出角 相等或线段相等的结论，为解题提 供有利的条件依据 6.(1)OE=OF 理由：因为CE,CF分别是∠ACB, ∠ACD的平分线， 所以∠ACE=∠ECB,∠OCF=∠DCF. 因为MN∥BC, 所以∠NEC=∠CB,∠OFC=∠DCF. 所以∠NEC=∠ACE,∠OFC=∠QCF. 所以OE=OC,OF=OC. 所以OE=OF. (2)当点O运动到AC的中点处， △ABC是直角三角形，其中∠ACB 为直角时，四边形AECF是正方形. 理由：当点O运动到AC的中点处时， OA=OC. 又因为OE=OF, 所以四边形AECF是平行四边形 由(1)，得C=OF 所以OA=0C=OE=OF. 所以AC=EF 所以四边形AECF是矩形. 因为MN∥BC,∠ACB=90°， 所以∠AOE=90. 所以AC⊥EF. 所以四边形AECF是正方形 (3)不可能。 理由：如图，连结BF,交CE于点G 因为CE平分∠ACB,CF平分∠ACD, 所以∠BP=)∠ACB+2∠ACD 2(ZACB+∠ACD)=90 若四边形BCFE是菱形， 则BF⊥EC. 所以∠FGC=90°. 因为在△GFC中，不可能存在两个角 为90°， 所以四边形BCFE不可能是菱形 E M/ D (第6题) 专题特训九利用特殊四边 形的性质解决折叠问题 1.B解析：如图，连结AN.由题意 得EF垂直平分AB,∠ABM= ∠NBM,所以AN=BN.由折叠的性 质，得AB=BN.所以AN=AB= BN.所以△ABN为等边三角形.所 以∠ABN=60°.所以∠ABM= ∠NBM=2∠ABN=30°. (第1题) 2￥ 解析：在矩形纸片ABCD中， BC=AD=17,AB=CD=8,B= ∠C=∠ADC=90°.因为矩形纸片 ABCD沿AE折叠，BC的对应边 BC'恰好经过点D,所以AB=AB' 8,BC=B'C'=17,CE=C'E,/B'= ∠B=90°，∠C'=∠C=90°.所以 B'D=√AD2-BA=√17-8= 15.所以C'D=B'C'-BD=17 15=2.因为CE=CE=CD-DE 8-DE,DE=C'D+CE,所以 DE-公+(8DEF解得DE-子 3.(1)因为四边形ABCD是矩形， 所以∠A=∠ADC=∠B=∠C= 90°，AB=CD. 由折叠的性质，得AB=PD,∠A= ∠P=90°，∠B=∠PDF=90°. 所以PD=CD,∠P=∠C= ∠PDF=∠ADC=90°. 所以∠PDF-∠EDF=∠ADC ∠EDF,即∠PDE=∠CDF. 在△PDE和△CDF中， l∠P=∠C, PD-=CD, ∠PDE=∠CDF, 所以△PDE≌△CDF (2)如图，过点E作EG⊥BC于点G, 则∠EGF=90°. 所以易得四边形CDEG为矩形 所以EG=CD=4cm. 在Rt△EGF中，由勾股定理，得 FG=√/52-42=3(cm). 设CF=xcm 由折叠的性质及(1)知，AE=PE, △PDE≌△CDF, 所以PE=CF=AE=xcm 因为易得四边形ABGE为矩形， 所以BG=AE=xcm. 所以由折叠的性质，得DF=BF= (x+3)cm. 在Rt△CDF中，由勾股定理，得 DF2=CD2+CF2,即(x+3)2=42+ x2,解得x=6 所以BG=CF= 6 cm. 所以BC=BG+GF+CF= 6 +3+ 716 6 -3(cm). B'- 第3题) 一方法归纳 解决矩形折叠问题的方法 (1)由折叠的性质知，折叠前 后的对应部分能够完全重合，且对 应线段相等、对应角相等 (2)这类问题往往可以通过折 叠的性质将对应线段或对应角转 换到同一个直角三角形中，利用勾 股定理来求解】 4.(1)因为四边形ABCD是矩形 所以∠B=90° 因为AB=4,BC=3, 所以在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC=√AB2+BC=√4+3=5. 由折叠知，FC=BC=3,∠EFC= ∠B=90°，BE=FE. 46 所以∠AFE=90°，AF=AC一FC= 5-3=2. 设AE=x,则FE=BE=4一x. 在Rt△AFE中，由勾股定理，得 AF2+FE2=AE2,即22+(4-x)2= x2,解得x=之 5 所以AE的长为号. (2)因为四边形ABCD为矩形， 所以AD=BC,DC∥AB. 所以∠DCE=∠BEC. 由折叠知，FC=BC,∠BEC=∠FEC, 所以FC=AD,∠DCE=∠FEC. 又因为点D,F,E在同一条直线上， 所以CD=DE. 因为∠EFC=∠B=90, 所以∠DFC=90°. 所以∠DFC=∠DAE=90°. 在Rt△CDF和Rt△DEA中， CD=DE, FC=AD, 所以Rt△CDF≌Rt△DEA. 所以FD=AE. 因为DF=2, 所以AE=2. 5.D解析：因为四边形ABCD为菱 形，所以AD=CD.所以∠ACD= ∠CAD.根据折叠的性质可知， ∠M=∠D.因为CM=CN,所以 ∠M=∠CNM.因为∠ACD= ∠M+∠CNM,所以∠ACD=2∠D. 所以∠ACD=∠CAD=2∠D.因为 ∠ACD+∠CAD+∠D=180°，所以 2∠D+2∠D+∠D=180°，即 5∠D=180°.所以∠D=36. 6.3.5解析：因为O为菱形ABCD 的对角线的交点，所以AB∥CD, (XC-AC-3.OB-OD-BD- 4,∠COD=90°.在Rt△COD中， CD=√OC2+OD2=/32+42=5. 因为AB∥CD,所以∠EBO= ∠FDO.在△OBE和△ODF中， ∠EBO=∠FDO, OB=OD, 所以△OBE≌ ∠BOE=∠DOF, △ODF.所以BE=DF.由折叠的性