第2章 专题特训三 一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（浙教版·新教材）

拔尖特训·数学（浙教版）八年级下 专题特训三 一元三 及根与 类型一运用根的判别式判断根的情况 1.数形结合思想若函数y=k.x十b(k≠0)的图 象如图所示，则关于x的一元二次方程x2十 bx+k一1=0的根的情况是 A.没有实数根 y=hx+b 2 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 (第1题) D.只有一个实数根 2.若1和一1有一个是关于x的方程x2+bx+ a=0的根，则关于x的一元二次方程(a十 1)x2+2bx+(a+1)=0根的情况是（) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 3.已知关于x的方程x2一(k+2)x+2k一 1=0. (1)求证：无论k取何实数，方程总有两个不 相等的实数根 (2)如果方程的一个根为x=3,求k的值及 方程的另一根」 32 次方程根的判别式 系数关系的应用“答案与解析”见3 类型二一元二次方程根的判别式和整数根 4.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)· x十m2=0有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围. (2)若该方程的两个根都是整数，写出一个 符合条件的m的值，并求此时方程的根. 类型三利用根的意义、根与系数的关系求 代数式的值 5.(2025·广安)已知方程x2-5x-24=0的两 根分别为a和b,则代数式a2一4a十b的值 为 6.整体思想若m,n是两个不相等的实数，且满 足m2-m=3,n2-n=3,求代数式2n2 mm+2m+2026的值. 类型四综合运用根的判别式、根与系数的 关系求字母的值 7.已知关于x的一元二次方程x2一(k一1)x k十2=0有两个实数根x1,x2.若(x1一x2十 2)(x1一x2一2)十2x1x2=一3，则k的值是 A.0或2 B.-2或2 C.-2 D.2 8.已知关于x的一元二次方程x2十mx十m一 2=0. (1)求证：无论m取何实数，此方程总有两个 不相等的实数根。 (2)设该方程的两个实数根为x1,x2.若 x十x2十m(x1+x2)=m2+1,求m的值. 类型五运用根的判别式、根与系数的关系求 最值 9.已知关于x的方程x2一2x+m一2=0有 两个实数根x1,x2.求： (1)m的取值范围. (2)3.x1十3x2一x1x2的最小值 第2章一元二次方程 类型六根的判别式、根与系数的关系与几何 知识的综合 10.(2025·杭州西湖期中)已知关于x的一元 二次方程x2-mx十4m2-1=0. (1)求证：不论实数m取何值，该方程一定 有两个不相等的实数根 (2)已知该方程的两根分别是一个直角三 角形的两条直角边的长，当这个直角三角形 的斜边长为√10时，求m的值， 11.已知关于x的一元二次方程x2一 2mx十n2=0,其中m,n分别是 等腰三角形的腰长和底边长！ (1)求证：这个方程有两个不相等的实 数根， (2)若方程的两个实数根的差的绝对值是 8,且等腰三角形的面积是16，求m,n的值 33所以实数：的取值范国是≤子 (2)不存在。 理由：假设存在实数k,使得x1x2 x号-x2≥0成立 因为x1,x2是原方程的两个实数根， 所以x1十x2=2k十1，x1x2=k2+2k. 由x1x2-x号-x号≥0，得3x1x2 (x1十x2)2≥0. 所以3(k2+2k)-(2k+1)2≥0. 整理，得(k-1)2≤0. 又(k-1)2≥0， 所以(k-1)2=0,即k=1. 又由a蜘6≤ 所以k=1不符合题意，即不存在实数 k,使得x1x2一x子-x≥0成立. 15.(1)x1=√2，x2=-2,x3=5 x4=一√5.解析：令y=x2,则有 y2-5y十6=0，解得y1=2,y2=3.当 y=2时，x2=2.所以x=士√2.当 y=3时，x2=3.所以x=土√5.所以 x1=√2，x2=-2,x3=V5,x4= -√5. (2)①当a2≠b2时，令a2=m, b2=2. 所以m≠n,则2m2-7m+1=0, 2n2-7n+1=0. 所以m,n是方程2x2-7x+1=0的 两个不相等的实数根 m十n=2’ 7 所以 1 mn=2: 此时a4+b=m2+n2=(m十n)2 2m=(号)-2x-号 ②当a2=b2(a=-b)时，易得a2= 62=7±④，此时a+b=2a= 4 2(a)2=45±74 4 综上所述。+6-行或5±7国 4 8)令0 =p,一n=q,则p2十p一 7=0,q2+q-7=0. 因为n>0, 所以≠一：即力≠。 所以p,q是方程x2+x一7=0的两个 不相等的实数根， 所以 p+g=-1, （pg=-7. 故1+m2=b2+g2=(b十g)2 2g=(-1)2-2×(-7)=15. 一方法归纳 解决构造新方程问题的一般方法 根据所给两个方程的整体结 构特征，将其转化为具有相同结构 的方程，从而构造新方程，并确定 这个新方程的两个根，再根据一元 二次方程根与系数的关系确定原 来两个方程的根之间的数量关系， 对待求代数式进行适当变形，进而 求得结果 专题特训三一元二次方程 根的判别式及根与系数 关系的应用 1.C解析：因为函数y=k.x十b(k≠ O)的图象经过第二、三、四象限， 所以k<0,b<0.所以b2>0,-4k> 0.所以b2-4(k-1)=b2-4k+4> 0.所以原方程有两个不相等的实 数根. 2.B解析：因为1和一1有一个是 关于x的方程x2+bx十a=0的根， 所以1+b十a=0或1-b十a=0.所 以-b=a+1或b=a+1,即b2= (a+1)2.所以(2b)2-4(a+1)2= 4[b2-(a+1)2]=0.所以关于x的 一元二次方程(a十1)x2+2bx十(a+ 1)=0有两个相等的实数根. 3.(1)由题意，得方程x一(k十 2)x+2k-1=0的根的判别式为 [-(k+2)]2-4×1×(2k-1)=k2- 4k+8=(k一2)2+4. 又因为无论k取何实数，总有（一 2)2≥0， 所以(k-2)2+4>0. 所以无论k取何实数，方程总有两个 不相等的实数根. (2)因为方程的一个根为x=3, 所以32一3(k+2)+2k一1=0，解得 13 k=2. 所以方程为x2-4x十3=0. 解得x1=1,x2=3. 所以方程的另一根为x=1. 4.(1)因为关于x的一元二次方程 x2+(2m十1)x十m2=0有两个不相 等的实数根， 所以(2m+1)2一4m2>0,解得m> (2)利用求根公式求出方程的根为 x=二2m-1±V4m+三 因为方程的两个根都为整数， 所以4m+1为平方数. 所以m的值不唯一，如当m的值为0 时，方程的根为x1=0,x2=一1. 5.29解析：因为方程x2-5x 24=0的两根分别为a,b,所以a+ b=5,a2-5a-24=0.所以a2-5a= 24.所以a2-4a+b=a2-5a+a+ b=24+5=29. 6.由题意，得m,n是方程x2一x 3=0的两个不相等的实数根， 所以m十n=1,mn=一3. 因为n2-n=3,即n2=n十3， 所以原式=2(n+3)一m+2m+ 2026=2(m+n)-mm+2032=2× 1-(-3)+2032=2+3+2032= 2037. 7.D解析：因为关于x的一元二次 方程x2一(k一1)x一k十2=0有两个 实数根x1,x2,所以x1十2=k一1， x1x2=-k十2.因为(x1一x2十2)· (x1一x2一2)+2x1x2=-3,即(x1十 x2)2-2x1x2-4=-3,所以(k 1)2+2k-4-4=-3,解得1=2， k2=一2.因为关于x的一元二次方程 x2一(k一1)x-k+2=0有两个实数 根，所以[一(k一1)]2一4×1×（一k+ 2)=k2十2k-7≥0.经检验，k=一2 不符合题意，k=2符合题意.所以 k=2. 8.(1)因为关于x的一元二次方程 x2十mx十m-2=0的根的判别式为 m2-4(m-2)=m2-4m+8=(m- 2)2+4>0, 所以无论取何实数，此方程总有两 个不相等的实数根」 (2)由根与系数的关系，得x1十 x2=一m,x1x2=m-2. 因为x号+x号+m(x1十x2)=m2+1, 所以(x1+x2)2-2x1x2十m(x1十 x2)=m2+1. 所以m2-2(m-2)-m2=m2+1. 整理，得m2十2m-3=0,解得m= -3或m=1. 9.(1)由题意，得（一2）2一4(m一 2)≥0，解得m≤3. 所以m的取值范围是m3. (2)由题意，得x1十x2=2,x1x2 m-2. 所以3x1+3x2-x1x2=6-(m- 2)=-m+8. 因为m≤3， 所以当m=3时，3x1十3.x2-x1x2取 得最小值，为一3十8=5. 10.(1)由题意，得关于x的一元二 次方程x2-mx十4m2-1=0的根 的判别式为(-m)2-4X1×(行m2 1=m2-m2+4=4>0, 所以不论实数m取何值，该方程一定 有两个不相等的实数根. (2)设方程的两个根为a,b. 由根与系数的关系，得a十b=m, ab=7m2-1 由题意，得a2十b2=10, 所以(a+b)2-2ab=10. 所以m2-2(子m2-1)=10 整理，得m2=16,解得m=4或m=一4 当m=-4时，a十b=-4<0,不合题 意，舍去 所以m=4. 11.(1)因为m,n是等腰三角形的腰 长和底边长， 所以2m>2,且m>0,n>0. 所以4m2>n2. 所以关于x的一元二次方程x2 2mx+是=0的根的判别式为 (-2my-4X1x=m-r>0 所以这个方程有两个不相等的实数根， (2)设x1,x2是方程的两个根。 由题意，得x1一x2=8, 所以(x1-x2)2=64. 所以(x1十x2)2-4x1x2=64. 由根与系数的关系，得x1十x2=2m, 1 x1x2=4n2, 所以(2m)2-4×子n2=64,即 Nm2-=4 设等腰三角形底边上的高为h. 由题意，易知=√m一子=4 1 因为S腰三韩=21·h=2n×4=16, 所以n=8. 所以4m2-4X】×82=64,解得m= 4 4√2，m2=一4√2（不合题意，舍去）. 所以m=4√2，n=8. 2.4一元二次方程的应用 第1课时销售及增长率问题 1.B2.D3.10 4.10解析：设销售单价降低x元， 根据题意，得(30-x)(20十2.x)= 800.整理，得x2-一20x十100=0，解得 x1=x2=10.所以当销售单价降低 10元时，该商店销售这种商品每天的 利润为800元. 5.(1)设乙种商品每件进价的年平 均下降率为x 根据题意，得125(1一x)2=80,解得x1= 0.2=20%,x2=1.8(不合题意，舍去. 答：乙种商品每件进价的年平均下降 率为20%. (2)设购进y件甲种商品，则购进 (100一y)件乙种商品 根据题意，得(125一25×2)y+ 80(100-y)≤7800，解得y≥40. 所以y的最小值为40. 答：最少购进40件甲种商品. 14 方法归纳 增长率（或下降率）问题的规律 (1)增长率问题：设某数为a, 平均增长率为x,则一次增长后的 值为a(1十x),两次增长后的值为 a(1十x)2,以此类推，n次增长后 的值为a(1+x)”. (2)下降率问题：设某数为a, 平均下降率为x,则一次下降后的 值为a(1一x),两次下降后的值为 a(1一x)2,以此类推，次下降后 的值为a(1一x)”. 6.C解析：因为当每顶帐篷的利润 为200元时，平均每天可售出60顶， 单价每降10元，平均每天可多售出 4顶，所以(200一x)元表示每顶帐篷 的利润.(60+后×4)顶表示平均每 天售出帐篷的数量，所以x元表示帐 篷单价降低的钱。 7.C解析：设第一年的利润率是x, 则第一年的利润是500x万元，第二年 的投人资金为(500+500x)万元，第二年 的利润率为x+8%,利润为112万元， 所以可得方程(500+500x)(x+ 8%)=112,解得x=0.12=12%或 x=一1.2（负值舍去）.所以第一年的 利润率为12%. 8.6解析：设该产品是第x档次产 品，则每天的产量为[95-5(x一1)]件， 每件的利润是[6+2(x一1)]元.由题 意，得[6+2(x-1)][95-5(x 1)]=1120.整理，得x2一18.x+72= 0,解得x1=6,x2=12(不合题意，舍 去).所以该产品是第6档次产品. 9.10%解析：设该产品每件的生产 成本平均每个季度降低的百分率为 x.由题意，得625×(1一20%)×(1+ 6%)-500(1-x)2=625-500,解得 x1=1.9(不合题意，舍去)，x2= 0.1=10%.所以当该产品每件的生产 成本平均每个季度降低的百分率是 10%时，才能使半年后的销售利润不变 10.(1)设游客数量从假期第一天到 第三天的日平均增长率为x. 根据题意，得5000(1十x)2=7200, 解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（负