第2章 专题特训二 用恰当的方法解一元二次方程-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（浙教版·新教材）

11.(1)由题意，得m≠0，且 [-(2m-3)]2-4m(m-1)≥0，解得 m≤骨且m≠0， 所以m的取值范围是m≤号且 m≠0. (2)由(1)知，m的取值范围内最大的 负整数为一1， 所以此时方程可整理为x2一5.x+ 2=0. 所以a=1,b=-5,c=2. 所以b2-4ac=25-4×1×2= 17>0. 所以x=5±7 2X1 所以x,=5+ 5-√17 -,℃2= 2 2 1 12.先解方程y+6y-49×7=0, 即y2+6y-7=0,解得y1=1, y2=-7. 所以方程49x2+6x-7=0的两个 一71 根是x1=49x=49=一7 13.(1)-8.x2+2x+1=0. (2)子互为倒数 由公式法可知，一元二次方程ax2十 bx十c=0的两根为x1= -b+√62-4ac 2a ,x2 一b-√Bc,其“友好方程” 2a cx2十bx十a=0的两根为x3= -b+√6-4ac 2c ,xb-Vb-4ac 所以x,·,=-b+Y0-4a. 2a -b-√6-4ac_b2-(b2-4ac） 2c Aac 4=1,x2·x3= -b-√62-4ac A -b+v62-4ac 62-(62-4ac) Aac 4ac一1. Aac 故原方程的两根与其“友好方程”的两 根分别互为倒数， (3)因为方程2026.x2+bx-1=0的 1 两根是x1=一1，x2=2026' 所以该方程的“友好方程”一x2十 bx十2026=0的两根为x3=一1， x4=2026,即方程x2-bx-2026=0 的两根为x=一1或x=2026. 因为(x一1)2一bx+b=2026,即(x 1)2-b(x-1)-2026=0, 所以将(x一1)看成一个整体，则可知 x-1=-1或x-1=2026 所以所求方程的根为x1=0,x2= 2027. 专题特训二用恰当的方法 解一元二次方程 1.C 2.1)原方程可变形为x2=号十5， 4 即x2=49 9 直接开平方，解得工了，=一子 (2)原方程可变形为(x一1)2=3， 直接开平方，得x一1=土√3 所以x1=3+1,x2=-3+1. 3.(1)方程的两边同时加上12，得 x2+24.x+122=9856+122,即(x十 12)2=10000,则x+12=100或x+ 12=-100,解得x1=88,x2=-112. (2)原方程可变形为x2一6x 8091=0. 移项，得x2一6.x=8091. 方程的两边同时加上3，得x2 6x+32=8091+32,即(x-3)2= 8100,则x一3=90或x一3=一90， 解得x1=93,x2=-87. 4.C解析：解方程2x2一2x一1=0， 得-告厘_15，所以原方程 2×2 2 的两根为x= 1+5或x=15 2 2 因为>，所以较大实数损 2 1因为1<<，所以2 1+5<3.所以1<1+5<号<2， 2 2 11 即1<x1<2. 5.原方程可变形为3x2一4x一2=0. 因为a=3,b=-4,c=-2, 所以b2-4ac=(-4)2-4×3× (一2)=40. 所以x=4生40 6 所以x,= +而，，=2=四 3 3 6.(1)将原方程移项，得(x一2)2 2x(x-2)=0. 将方程的左边分解因式，得(x一2 2x)(x一2)=0，即(-x一2)(x 2)=0,则-x-2=0或x-2=0,解 得x1=-2,x2=2. (2)将原方程移项，得2(x一4)2一 (x+4)(x-4)=0. 将方程的左边分解因式，得(x一4)· [2(x-4)-(x+4)]=0,即(x-4)· (x一12)=0，则.x一4=0或x一12= 0,解得x1=4,x2=12. 7.(1)将原方程去括号、移项，得 x2+2x-15=0. 将方程的左边分解因式，得(x一3)· (x+5)=0. 所以x-3=0或x+5=0. 所以x1=3,x2=-5. (2)将原方程去括号、移项，得2x2+ 2.x-1=0. 所以a=2,b=2,c=-1. 所以b2-4ac=22-4X2×(-1)= 12>0. 所以x= -2±√12_-1±5 2×2 2 所以x1= -1+5 -1-√3 2 2 8.(1)C. (2)因为9r-32-3+}r+ 2x=0,易知x≠0， 所以将3看成“未知数”，x看成“已知 数”，则原方程可整理为x·3 2+1)3+(+2)=0，则 a=x,b=-（x2+1),c= 4 2. 所以b2-4ac=[-(x2+1)]2-4x· 2+21 所以由公式法，可得3=兰或3= x2+2 当3=2时，解得x=6, 当3=十2时，解得x,=3-7, 2x x2=3+√7. 经检验，x1=3一√7，x2=3十√7都是 分式方程的解。 所以原方程的解为x1=3一√7，x2= 3+7,x3=6. 9.(1)①设x2=y,则原方程可转化 为y2一3y-4=0,解得y1=4, y2=-1. 当y=4时，x2=4,则x=士2：当 y=一1时，x2=一1，此方程无实数解。 所以原方程的解为x1=2,x2=一2. ②设√无=m(m≥0)，则原方程可转 化为2m2-5m+2=0,解得m1=2, m=7 当m=2时，√元=2，则x=4;当m= 2时匠=则x= 1 所以原方程的解为x1=4,x2=4 (2)因为(m+3n)(m+3n-2)= 2m+6n-4, 所以(m+3)(m+3-2)=2(m+ 3m-2). 设m十3n=t,则1(t-2)=2(t-2). 移项，得t(t一2)一2(t一2)=0. 将方程的左边分解因式，得(t一2)2=0， 所以t1=t2=2. 所以m十3=2. 所以4m+12-3=4(m+32)-3= 4×2-3=5. 2.3一元二次方程根 与系数的关系 1.D2.D3.C4.-35.-5 6.因为一元二次方程2x2一9x+3 0的两根为x,和x2, 所以十=号=是 (1)(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+ x2+1=x1x2+(x1+x2)+1= 3十 2 +1=7. 2 (2)x-x1x2十x号=x+2x1x2十 x-3x1x2=(x1十x2)2-3x1x2= (-x-到昌- 7.C解析：根据根与系数的关系，得 x1十x2=8①，x1x2=m②.把x1= 3.x2代人①，得3x2+x2=8,解得 x2=2.所以x1=3X2=6.把x1=6, x2=2代人②，得m=6×2=12. 8.B解析：设该方程为x2十bx十 c=0.由题意可知，一b=(一7)十 (-2)=-9,c=3×6=18,所以b= 9,c=18.所以原来的方程是x2+ 9x+18=0. 9.B解析：由题意可知，a十b=3, 6s1 2,所以a2+b2=(a+b)2 2ab=32-2×7=8.所以该直角三 角形的斜边长为√a+b=√8=2√2. 10.C解析：整理方程，得x2十x 2-p2=0,则根的判别式为12一4× 1×(-2-p2)=9+4p2>0,故该方 程有两个不相等的实数根x1,x2.因 为x1·x2=-2-2<0,所以x1x2 异号.所以该方程有一个正根，一个 负根 11.A解析：由根与系数的关系，得 x1十x2=k,x1·x2=k十3.所以 x号+x号=(x1+x2)2-2x1x2=k2 2(k+3)=k2一2k一6.又因为x+ x号=9，所以k2一2k一6=9，解得 k1=-3,k2=5.当k=-3时，一元二 次方程为x2+3.x=0.因为32一4× 1×0=9>0,所以方程有两个不相等 的实数根，符合题意.当飞=5时，一元 二次方程为x2一5.x+8=0.因为 (一5)2一4×8×1=一7<0，所以方程 没有实数根，不符合题意，舍去.所以 k的值为一3. 12 易错警示 忽视根与系数关系的应用条件 导致出现多解 一元二次方程有实数根是运 用根与系数关系的前提条件，即运 用一元二次方程根与系数的关系 解题时，必须保证原一元二次方程 根的判别式大于或等于0.本题容 易犯的错误是运用根与系数的关 系求得原方程未知字母的值后不 去验证根的判别式是否大于或等 于0，就会错误地得出k的值为一3 或5，即出现多解的错误，从而选择 错误答案C 12.一2解析：设关于y的方程y2十 my十n=0的两个根为y1,y2,方程 x2十x一1=0的两个根为x1,x2,则 y+y2=-m,yy2=n,x1+x2= 一1，x1x2=一1.因为关于y的一元 二次方程y2十my十1=0的两个根分 别是一元二次方程x2十x一1=0的 两个根的2倍，所以y1十y2=2x1十 2x2=2(x1+x2)=2X(-1)=-m, y1y2=2x1·2x2=4x1x2=4X (一1)=n.所以m=2,n=一4.所以 m+n=-2. 13.(1)设方程的两根分别为x1,x2 (x1>x2). x十x2=-1, 由题意，得 x1-x2=1, x1=0, 解得 x2=-1. 所以方程的两根为x1=0,x2=一1. 2)因为：8=0， 所以a-c=0,即a=c. 又因为，十2=-26 =-1, a十c 所以2b=a+c. 所以2b=2a=2c,即a=b=c. 所以△ABC为等边三角形. 14.(1)因为原方程有两个实数根， 所以[-(2k+1)]-4(k2+2k)≥0. 所以4k2+4k+1-4k2-8k≥0. 所以1一4≥0，解得<子拔尖特训·数学（浙教版）八年级下 专题特训二用恰当的方法解一元二次方程“答案与解析”见P1 类型一缺“一”选“开” 5.解方程：3.x2-4x=2. 1.下列方程中，不能用开平方法求解的是( A.x2-3=0 B.(x-1)2-4=0 C.x2+2=0 D.(x-1)2=(-2)2 2.解方程： 》-- 类型四缺“项”选“因” 6.解方程： (1)(2025·杭州滨江期末)(x一2)=2x(x一2). (2)4(x-1)2-12=0. (2)2(4-x)2=x2-16. 类型二遇“大”选“配” 3.解方程： (1)x2+24x=9856. 类型五先整理，再选择 7.用适当的方法解下列一元二次方程： (1)(x-1)(x+3)=12. (2)xr2-6)-2697=0. 3 (2)(x+2)2+(x-1)2=6. 类型三遇“小”选“公” 4.设x1为一元二次方程2x2一2x一1=0的较 大实数根，则下列结论中，正确的是() A.3<x1<4 B.2<x1<3 C.1<x1<2 D.0<x1<1 28 第2章一元二次方程 类型六阅读材料，获取方法 9.【提出问题】 8.阅读材料： 为解方程(x2-2)2-11(x2一2)+18=0，我 我们解决一个数学问题，从某一角 们可以将x2一2视为一个整体，然后可设 度用某种方法难以奏效时，不妨换 x2-2=y,于是原方程可转化为y2-11y+ 一个角度去观察思考，换一种方法 18=0,解得y1=2,y2=9. 去处理，从而使问题迎刃而解」 当y=2时，x2-2=2,即x2=4,则x=士2； 例如：解方程x3一2√2x2+2x一√2十1=0. 当y=9时，x2一2=9，即x2=11,则x= 这是一个高次方程，我们未学过其解法，难 土√11. 以求解.如果我们换一个角度（将“已知”和 所以原方程的解为x1=2,x2=一2，x3= “未知”互换)，即将√2看成“未知数”，而将x 一√11，x4=√11， 看成“已知数”，易知x≠0，那么原方程可整 以上解方程的方法就是换元法，通过换元达 理为x·(√2)2-(2x2+1)·√2+(x3+ 到了降次的目的，体现了转化的思想 1)=0,则a=x,b=一(2x2+1),c=x3+1. 【解决问题)】 所以b2-4ac=[-(2x2+1)]2-4x(.x3+ (1)运用上述换元法解方程： 1)=4x2-4x+1=(2x-1)2.所以由公式 ①x4-3x2-4=0. 法，可得2=x+1或2=-x十 ②2x-5√x+2=0. ,故原方 【延伸拓展】 程可转化为一个一元一次方程√2=x十1和 (2)已知实数m,n满足(m十3m)(m+31 一个一元二次方程x2一x十1=√2x,进而求 2)=2m+6n一4，求4m+121-3的值 得这个高次方程的解 (1)上述解题过程中，运用的数学思想方 法是 () A类比思想 B.函数思想 C.转化思想 D.整体思想 (2②)屏方程.9r--3+5+=0 29