第2章 一元二次方程 拔尖测评-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（浙教版·新教材）

3)=-a+6=2026+6=2032 19.(1)因为|a-√18|+(b 4√2)2+√c-√50=0， 所以a-√18=0，b-4√2=0，c √/50=0. 所以a=32,b=42,c=52. (2)能. 因为32+4w2=7√2>5√2，即a+ bc, 所以长度为a,b,c的三条线段能围成 三角形 该三角形的周长为3√2十4√2十 5√2=12W2. 20.(1)因为a=5+1,b=√5-1， 所以a+b=5+1+5-1=25, a-b=(W5+1)-(W5-1)=2. 所以a2-b2=(a+b)(a-b)= 2√5X2=4√5」 (2)因为a=√5+1，b=5-1, 所以a+b=√5+1+√5-1=25， ab=(√5+1)×(W5-1)=5-1=4. 所以a2-3ab+b2=(a2+2ab+ b2)-5ab=(a+b)2-5ab=(2√5)2- 20=0. 21.(1)根据题意，得a2+b2=12+ (W2)2=3, 所以两个正方形的面积之和为3. (2)由题意，易得∠ACD=45°， ∠GCF=45°， 所以∠ACF=∠ACD+∠GCF= 45°+45°=90° 由勾股定理，得AC2=m2十m2= 2m2=2X(5)2=10,CF2=n2十 n2=2n2=2×(5)2=6, 所以AF=√AC+CF=√10+6=4 所以AF的长为4. (3)根据题意，得a2十b2=2. 因为am-bm=√3，a1+bm=√5， 所以(am-bm)2=3①，(an+b)2= 5②. ①+②，得a2m2-2abm+b2n2+ a2n2+2abmn+b2m2=8. 整理，得(a2+b2)(m2+n2)=8. 所以m2+n2=4. 由(2)知，在Rt△ACF中，AF2= AC2+CF2=2m2+2n2=2(m2+ n2)=2×4=8, 所以AF=2√2. 第2章拔尖测评 一、1.D解析：A:由原方程，得 x2十x-1=0,常数项是-1.故A错 误B:由原方程，得2x2-x一24=0， 常数项是-24.故B错误.C:由原方 程，得2x2-3x十1=0，常数项是1. 故C错误.D:由原方程，得2x2一x 0,常数项是0.故D正确」 2.A解析：因为关于x的一元二次 方程a.x2+bx十5=0有一个根为 2026,令y=x+1,所以关于y的一 元二次方程ay2十y=一5有一个根 为2026，即x十1=2026，解得x= 2025.所以关于x的方程a(x+1)2+ b(x十1)=-5必有一个根为2025. 3.C解析：由x2-2x-99=0,得 x2-2x=99,则x2-2x+1=99+1, 即(x一1)2=100.故A正确，不符合题 意.由22-7t-4=0,得212-7t=4, 则-1=2，所以-1+8 2+号即(）广-器故B正确， 不符合题意.由x2+8x十9=0，得 x2+8x=一9，则x2+8x+16= 一9+16，即(x+4)2=7.故C错误， 符合题意.由3x2-4x-2=0,得 3江-4红=2则2-音=号，所以 x2-4 x+9 3 142十。，即 3 (-号》广=吕放D正确不符合 题意 4.D解析：解方程x2一7x+12=0, 得x1=3,x2=4.①当4是直角边的 长时，该直角三角形的面积是2× 59 3×4=6.②当4是斜边的长时，第三 边的长是√4一32=√7，该直角三角 形的面积是子×3×厅-3综上 所述，该直角三角形的面积是6或 3W7 2 5.A解析：解方程x2-2x-3=0, 得x=3或x=一1.当x1=3,x2= 一1时，x1·x号=3；当x1=一1，x2 3时，x1·x号=一9.综上所述，x1· x的值为3或-9. 6.B解析：由题意，得b2一4ac= 2-4(m-2)=12-4m≥0，解得 m3.又因为m为正整数，所以m= 1或2或3.当m=1时，原方程为 x2+2x一1=0，易知该方程的根不是 整数，不符合题意.当m=2时，原方 程为x2十2x=0,解得x1=0,x2= 一2，符合题意.当m=3时，原方程为 x2+2x+1=0,即(x+1)2=0,解得 x1=x2=一1，符合题意.所以m=2 或3.所以所有符合条件的正整数m 的和为2+3=5. 7.B解析：由题意，得b2一4ac= (2m)2-4(m2-m)≥0，解得m≥0. 因为关于x的一元二次方程x十 2mx十m2一m=0的两个实数根为 x1,x2,所以x1十x2=-21,x1x2= m2-m.又因为x1x2=2,所以m2一 m=2,即m2一m一2=0，解得m=2 或m=一1（不合题意，舍去）.所以 x1十x2=-4,x1x2=2.所以(x号十2)· (x2+2)=(x1x2)2+2(x1+x2)2 4x1x2+4=22+2×(-4)2-4×2+ 4=32. 8.D解析：设丁的一条直角边的长 为a.因为甲的面积十乙的面积=丙 的面积+丁的面积，所以2a十2a= 3×g+2,即4u=2+2a.整 1 1 理，得a2一8a十4=0，所以a= 8±V8-4X1X4_8±45=4士 2×1 2 2√3.因为丁的面积比丙的面积小，所 以a<2.所以a=4-2√3 9.B解析：因为4月用水平均每吨 3元，3>2.4，所以4月的用水量一定 超过了标准用水量.根据题意，得 2.4a+(8-a)×言a=3×8.整理，得 a2-11a+30=0,解得a1=5,2=6. 因为5月用水平均每吨2.4元，所以 5月的用水量一定未超过标准用水 量.所以a≥5.5.所以a=6. 10.B解析：由根与系数的关系，得 x1x2=mn=a2+b2十ab.因为a十 b=1,所以b=1-a.所以mm=a2+ (1-a)2+a(1-a)=a2-a+1= (。)”+号>0故①正确因为 x1+x2=m+n=2>0,x1x2=m> 0,所以m>0,n>0.故②正确.因为 原方程有两个根，所以方程的根的判 别式为4-4(a2+b2+ab)≥0，即4一 4(a2一a+1)≥0，所以a≥a2.故③错 误.因为a2+b2+ab=a2-a+1,所 以方程x2一2x+a2十b2+ab=0可 化为x2-2x十a2一a十1=0.所以 (x-1)2十a2-a=0.因为方程(x+ 1)2+a2-a=0可变形为[(x+2)- 1]2+a2一a=0,所以x+2=m或 x十2=n,解得x1=m-2,x2=n一2. 故④正确.综上所述，正确的是① ②④. 二、11.x2十x一6=0（答案不唯一） 解析：由题意，得方程可以为(x十3)· (x-2)=0,即x2+x一6=0. 12.3或一1解析：由题意，得(x 1)2十3=7.整理，得(x一1)2=4.开平 方，得x一1=士2，解得x1=3, x2=-1. 13.一1解析：因为关于x的一元二 次方程a-1Dr2+a-1Dx-号=0 有两个相等的实数根，所以根的判别 式为(a-1)2-4×(a-1)× (-7)=0,解得a,=1,a2=-1.又 因为a一1≠0，所以a≠1.所以 a=-1. 14.6解析：因为一元二次方程 2x2一4x-1=0的两根为m,n,所以 一4 2m2-4m=1,m+n=-2=2, m=二.所以3m2-4m+n2月 2m2-4m+m2+n2=1+(m+n)2 2m=1+2-2×(-7）=6 15.15解析：题图①中有1+1 1=1(个)“△”，题图②中有22+2 1=5(个)“△”，题图③中有32+3 1=11(个)“△”，题图④中有4+4一 1=19(个)“△”，，由此可得题图@ 中有(2+n一1)个“△”.所以可列方 程n2+1-1=239,解得1=15,2= 一16（不合题意，舍去）. 16.38%解析：设一月份的产值为 a,从三月份开始，每月的增长率为x. 由题意，得a(1-20%)(1+x)2= (1+15.2%)a,解得x1=0.2=20%, x2=一2.2（不合题意，舍去.所以五 月份与一月份相比，产值的增长率为 41+15.2%0)×1+206)-4×100%= 38.24%≈38%. 三、17.(1)原方程移项，得x(x十 5)-5(x+5)=0. 将方程的左边分解因式，得(x十5)· (x-5)=0, 则x+5=0或x一5=0，解得x1= -5,x2=5. (2)原方程去括号、移项，得2x2- 6x-3x+9-1=0. 整理，得2x2一9x+8=0. 因为b2一4ac=(-9)2-4×2×8= 17>0, 9±√17 所以x= 2×21 ,9四 所以，=9+反 4 18.①当x一1≥0，即x≥1时，原方 程化为x2一x=0,即x(x一1)=0，解 得x1=0(舍去)，x2=1. ②当x-1<0,即x<1时，原方程化 60 为x2+x一2=0，解得x1=1(舍去)， x2=-2. 综上所述，原方程的解是x=1或 x=-2. 19.(1)因为该方程的根的判别式为 [-(3k+1)]2-4(2k2+2k)=9k2+ 6k+1-8k2-8k=k2-2k+1=(k 1)2≥0， 所以无论k取何值，方程总有实数根 (2)①若a=6为底边长，则b,c为腰 长， 所以b=c. 由(1)，得该方程的根的判别式为 (k-1)2, 所以(k一1)2=0，解得k1=k2=1. 此时原方程为x2一4x十4=0，解得 x1=x2=2,即b=c=2, 因为2+2=4<6， 所以不能构成三角形 ②若a=6为腰长，则b,c中的一边 长为腰长 不妨设b=a=6. 将x=6代入方程，得62一6(3k+ 1)+2k2+2k=0. 整理，得2-8k十15=0，解得1=3， k2=5. 当k=3时，原方程为x2一10x+24= 0,解得x1=4,x2=6. 因为6+4=10>6， 所以能构成三角形 此时三角形的三边长为6,4,6，周长 为6+4+6=16. 当k=5时，原方程为x2-16x+60= 0,解得x1=6,x2=10. 因为6+6=12>10， 所以能构成三角形. 此时三角形的三边长为6,6,10，周长 为6+6+10=22. 综上所述，三角形的周长为16或22. 20.(1)因为关于x的一元二次方程 x2-(2m一1)x十m2=0有两个不相 等的实数根，且此方程的根的判别式 为[-(2m-1)]2-4m2=-4m+1, 所以-4m十1>0，解得m<4: 1 1 所以m的取值范围是m<4, (2)因为a,b是关于x的一元二次方 程x2-(2m-1).x十m2=0的两个不 相等的实数根， 所以a+b=2m-1,ab=m2. 因为(a+1)(b+1)=2ab-4,即ab+ (a+b)+1=2ab-4, 所以m2+(2m-1)+1=2m2-4. 整理，得m2一2m一4=0，解得m1= 1-√5，m2=1+√5： 又因为m<, 所以m的值为1-√5. 21.(1)因为AB=AC=13cm,BC= 10cm,AD⊥BC, 所以BD=CD=5cm,∠ADB=90°， 所以AD=V√AB2-BD=12cm. (2)由题意，得AP=tcm,PD= (12-t)cm. 因为在Rt△PDC中，PC=√29cm, CD=5 em,PC2=CD2+PD2, 所以29=52+(12-t)2,解得t1=10, t2=14(不合题意，舍去). 所以t的值为10. (3)存在。 因为BC=10cm,AD=12cm, 所以S△A=2BC·AD=60cm. ①当，点M在线段CD上，即O≤t≤ )时，PD=(12-t)cm,DM=(5 2t)cm. 17 因为S△P=120S△Ar, 所以26-2)12-)=20×60. 17 整理，得212-29t十43=0，解得t1= 29+√497 4 (不合题意，舍去)，t2= 29-√497 4 ②当点M在射线DB上，即号<1≤ 12时，PD=(12-t)cm,DM=(21- 5)cm. 17 因为S△Pm=120S△A, 1又X60. 所以号(21-5(12-)- 整理，得2t-29t+77=0,解得t1= 22=11. 综上所述，当1的值为29-√47或 17 或11时，SAPAD=2SaA 第3章拔尖测评 一、1.D解析：将这组数据从小到 大排列为2,3,5,5,5,6,9，出现次数 最多的数据是5，处在中间的数据是 5,所以众数为5，中位数为5. 2.D解析：(80×5+90×2+84×2+ 70×1)÷(5+2+2+1)=81.8(分)， 即该班四项综合得分为81.8分. 3.C解析：因为被墨汁遮盖的人数 为50一1一10一17一6=16，所以投中 3次的人数最多，是17.所以投中次数 的统计量中可以确定的是众数， 4.B解析：根据中位数的意义，若要 使50%使用该共享单车的用户只花 1元，只要知道中位数即可. 5.B解析：平均数受极端值的影响 较大，虽然有70%的家庭年收人不少 于3万元，但是有可能有些家庭年收 人非常低，导致平均数低于3万元.故 A错误.70%的家庭年收入不少于 3万元，说明有一半家庭年收入不少 于3万元，年收人的中位数不少于 3万元.故B正确.虽然70%的家庭年 收人不少于3万元，但是有可能3万 元以下的家庭中年收入相同的较多， 则家庭年收人的众数就少于3万元， 故C错误.由选项A,C的分析可知， D错误. 6.B解析：因为一组数据1，x,5,7 有唯一的众数，所以x可以为1或5 或7.又因为这组数据的中位数是6， 所以x只能为7.所以这组数据的平 均数是(1+5+7+7)÷4=5 7.B解析：该组数据中的3和5都 出现了3次，出现的次数最多，所以志 愿者服务时间的众数是3h和5h.故 61 A错误.志愿者服务时间的平均数是 (2×1+3×3+4×2+5×3+6×1)÷ 10=4(h).故B正确.将这10个数据 按从小到大的顺序排列，处在中间位 登的两个数的平均数为告-4。 即中位数是4h.故C错误.志愿者服 务时间的离差平方和是(2一4)十 (3-4)2×3+(4-4)2×2+(5 4)2×3+(6-4)2=14(h).故D 错误， 8.C解析：由题意，得这组数据为 11,9,8,6,6,共5个数据，平均数为 ×(11+9+8十6+6)=8，众数为 1 6.故选项A,B,D正确，不符合题意. 添加一个数据8后，平均数为8，方差 为÷×[1-=8)严+(9-8+2 (8-8)2+2×(6一8)2勹=3，方差发生 变化.故选项C不正确，符合题意 9.B解析：由箱线图，得这组数据的 下四分位数是4，上四分位数是15，中 位数为10.5.故A正确，不符合题意； B错误，符合题意：C正确，不符合题 意.由箱线图，得这组数据的最小值是 3,最大值是18，所以被墨水污染的数 据中有一个数是3，一个数是18.故D 正确，不符合题意. 10.B解析：①由题意，得中位数为 3,5出现两次，所以数据从小到大排 列可设为m,1,3,5,5,一定没有6，符 合题意.②中位数为3，最大值与最小 值的差为3，则数据从小到大排列为 1,m,3,n,4或2，m,3,7n,5或3,3,3， m,6,所以可能出现6，不符合题意 ③中位数为1，平均数为2，所以数据 从小到大排列为1,1,1，m,,且m+ n=7.所以可能出现6(m=1,n=6), 不符合题意.④平均数为3，方差为 2,则满足要求且含6的数据从小到大 排列为a,b,c,d,6.所以易得a+b+ c+d=9且(a-3)2+(b-3)2+(c 3)2+(d-3)2=1.因为a≤b≤c≤d, 显然不能同时满足，所以一定没有6，拔尖特训·数学（浙教版）八年级下 第2章拔尖测评 ◎满分：100分 ○时间：90分钟 姓名： 得分： 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列一元二次方程中，常数项为0的是 A.x2+x=1 B.2x2-x-12=12 C.2(x2-1)=3(x-1) D.2(x2+1)=x+2 2.若关于x的一元二次方程a.x2+bx十5=0有一个根为2026，则关于x的方程a(x十1)2+b(x十1)= 一5必有一个根为 () A.2025 B.2024 C.2023 D.2022 3.用配方法解下列方程时，配方错误的是 A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100 B22-71-4=0化为(-7)-船 C.x2+8.x+9=0化为(x+4)2=25 D3x-4女-2=0化为（号）-9 4.若直角三角形的两边长分别是方程x2一7x十12=0的两根，则该直角三角形的面积是 A.6 B.12 C12或 D6号 5.若x1,x2是方程x2一2x一3=0的两个实数根，则x1·x号的值为 A.3或-9 B.-3或9 C.3或-6 D.-3或6 6.已知关于x的一元二次方程x2十2x十m一2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则 所有符合条件的正整数m的和为 ) A.6 B.5 C.4 D.3 7.已知关于x的一元二次方程x2十2x十m2一m=0的两个实数根为x1,x2,且满足x1x2=2,则(x十 2)(x号十2)的值是 () A.8 B.32 C.8或32 D.16或40 8.如图所示的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积之和等 于丙、丁的面积之和.若丙的一条直角边的长为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一条直角边的长为 () 甲 丙 (第8题) A. R昌 C.2-√3 D.4-23 9.“水是生命之源”，为了提高市民的节约用水意识，市自来水公司调整了收费标准，规定每户每月标准用 水量为α吨，如果用户一个月用水不超过标准用水量，那么每吨水按2.4元收费；若超过了标准用水量， 则超过的部分按每吨号。元收费.某户家庭4月用水8吨，平均每吨水3元5月用水5.5吨，平均每吨 2.4元，则a的值是 () A.5 B.6 C.7 D.8 10.关于x的一元二次方程x2-一2.x十a2+b2十ab=0的两个根为x1=m,x2=n且a十b=1.有下列说法： ①m>0;②m>0,n>0;③a2≥a;④关于x的一元二次方程(x十1)2十a2-a=0的两个根为x1= m一2，x2=n一2.其中，正确的是 ( ) A.①②③ B.①②④ C.③④ D.①③④ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.构造一个一元二次方程，要求：①常数项是一6；②有一个根为2.这个一元二次方程可以是 (写出一个即可). 12.定义运算“☆”：对于任意实数a,b,都有a☆b=a2十b.如：2☆4=22十4=8.若(x-1)☆3=7，则实 数x的值是 13.若关于x的-元二次方程(a一1Dr2十(a一1x一号-=0有两个相等的实数根，则a=一 14.若一元二次方程2x2-4x一1=0的两根为m,n,则3m2-4m十n2的值为 15.将一些相同的“△”按如图所示的规律依次摆放，观察每个图形中的“△”的个数.若图@中有239个 “△”，则n的值是 △△△ △△ △△△△ △ △△△ △△△△ △△ △△△ △△△△ △△△ △△△ △△△△ ② ③ ④ (第15题) 16.某企业因生产转型，二月份产值比一月份下降了20%，转型成功后产值呈现良好上升势头，四月份比一 月份增长15.2%.若三、四、五月份的增长率相同，则五月份与一月份相比，产值的增长率约为 (精确到1%). 三、解答题（共52分） 17.(8分)解方程： (1)x(x+5)=5.x+25. (2)2x(x-3)-3(x-3)=1. 18.(8分)有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法 宝.阅读以下例题，并解答问题， 例：解方程x2-2x一3=0. 解：①当x≥0时，有x2-2x-3=0,解得x1=-1(舍去)，x2=3. ②当x<0时，有x2十2x-3=0,解得x1=1(舍去)，x2=-3. 综上所述，原方程的解是x=3或x=一3. 试解方程：x2-x-1一1=0. 19.(12分)已知关于x的方程x2-(3k+1)x十2k2十2k=0. (1)求证：无论k取何值，方程总有实数根 (2)若等腰三角形ABC的一边长α为6，另两边长b,c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长. 20.(12分)已知a,b是关于x的一元二次方程x2一(2m-1)x十m=0的两个不相等的实数根， (1)求m的取值范围. (2)若(a+1)(b+1)=2ab-4,求m的值. 21.(12分)如图①，在△ABC中，AB=AC=13cm,BC=10cm,AD⊥BC于点D.动点P从点A出发，以 1cm/s的速度在线段AD上向终点D运动，设动点P的运动时间为ts. (1)求AD的长. (2)当P,C两点之间的距离为w√29cm时，求t的值. (3)如图②，动点M从点C出发，以2cm/s的速度在射线CB上运动.点M与点P同时出发，且当点 P运动到瓷点D时点M他停止运动是否存在某-时刻，使得SD品S?若存在，诗求 出1的值；若不存在，请说明理由， B D M C ① ② (第21题)