第1章 二次根式 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（浙教版·新教材）

第3课时二次根式的实际应用 1.D2.D3.B4.(40+40W5) 5.因为CD⊥BD, 所以∠D=90°. 在Rt△CDA中，AD= √AC2-CD=√(203)2-302= 105(m). 在Rt△BCD中，BD= √BC2-CD=√602-302= 303(m). 所以AB=BD-AD=305-10√5 20√3(m). 所以A,B两个凉亭之间的距离为 203m. 6.B解析：根据题意，得AC= AC'=6 m,BC=3 m,B'C'= √34m.在Rt△ABC中， 因为∠ABC=90°，所以AB √AC2-BC=W/62-(3V2)2= 3√2(m).在Rt△AB'C中， 因为∠AB'C=90°，所以AB'= √AC2-BCT=√62-（√34）2 √2(m).所以BB′=AB-AB' 3√2-√2=2W2(m). 7.B解析：由题意知，小长方形的长 为（√2I一2）cm.因为题图中，左下方 阴影长方形的宽为4-2=2(cm),所 以左下方阴影长方形的周长为2× (√2I-2+2)=2√2I(cm).因为右 上方阴影长方形的长为2cm,宽为 4-(√2I-2)=(6-√2T)cm,所以 右上方阴影长方形的周长为2×(2+ 6-√/21)=(16-2√2)cm.所以题 图中两块阴影部分的周长之和为 2√2i+16-2√2I=16(cm). 8.10√95解析：如图，取点A正北 方向上一点D,过点B作EF∥AD.由 题意可知，∠CBF=30°，∠ABE= ∠DAB=60°.因为∠CBF+∠CBA+ ∠ABE=180°，所以∠CBA=180° ∠CBF-∠ABE=180°-30°-60° 90°.所以在Rt△ABC中，AC= √BC+AB2= √(20W5)2+(50√3)2=10√95(m). F B 正，东 (第8题) 9.过点C作CF⊥AB于点F. 易得CF=DE=30m,EF=CD= 10m. 由题意，0器号器号 所以AE=18m,BF=60m. 所以AB=AE+EF+BF=18+10+ 60=88(m) 在Rt△ADE中，AD=√AE2+DE= √182+30=6√34(m). 在Rt△BCF中，BC=√BF+CF= √602+302=305(m). 所以大坝横截面的面积为？×(10十 88)×30=1470(m2),周长为10+ 6√34+88+30√5=(98+6√34+ 30√5)m. 10.(1)因为2×(83+7√2)= (163+14W2)米， 所以长方形绿地ABCD的周长是 (16W3+14W2)米 (2)因为通道的面积为85×7√2 (√13+1)（√13-1）=56√6-(13 1)=(566-12)平方米， 所以购买地砖需要花费6×(56√6 12)=(336√-72)元. 第1章整合拔尖 [高频考点突破] 典例11≤x<5且x≠2解析：由 x-1≥0， 题意，得x-2≠0，解得1≤x<5且 5一x>0, x≠2. [变式]3解析：因为x-1≥0,1 x≥0，所以x=1.所以y=-1.所以 原式=√10-1=√=3. 典例27解析：因为m一n一5十 √2m+n-4=0,|m-n-5|≥0， 5 √2m+2-4≥0，所以m-1-5=0, 2m十n-4=0.所以m=3,=-2.所 以3m十=9-2=7. [变式]-3② 2 解析：因为 √a+4b-6+a2+4b2=4ab,所以 √a+4b-6+(a-2b)2=0.又因为 √a+4b-6≥0，(a-2b)2≥0，所以 a+4b-6=0, fa=2, 解得 a-2b=0, 所以原 b=1. 式=N2 -2纤= 2 -22= 32 2 典例3D解析：因为2,5，m是 某三角形的三边长，所以5一2<m 5+2,即3<m<7.所以m-3>0, m-7<0.所以√(m-3)2+ √(m-7)2=m-3+[-(m-7)]= m-3+7-m=4. [变式]a-b十3解析：由实数a,b 在数轴上对应点的位置可知，一1< a<0,1<b<2,所以a十1>0，b-2< 0.所以原式=a十1+b一2=a十 1-b+2=a-b+3. 典例48×102解析：把a=5× 10m/s2,s=0.64m代入公式0= √2as,得v=√2as= √2X5×10×0.64=8×102(m/s). [变式] 5元解析：把l=0,2m代 人关系式1=2√0，得1=2m× 0.2 W10 2xx22 165π(s). 典例5(1)原式=(65-25+ 3 4w5)÷2w5-285÷2-号 3 (2)原式=[（√2+1）2]8×(3 2√2)9=(3+22)8X(3-2√2)9= [(3+2√2)(3-2W2)]8×(3 2√2)=(9-8)8×(3-2√2)=1× (3-2W2)=3-2W2. [变式](1)原式=(23-3√2)× (25+3√2)=(25)2-(3√2)2= 12-18=-6. (2)原式=(5√2)2-(25)2-(5 2√10+2)=50-20-7+2√/10= 23+2√10 典例6(1)因为x=√5+√2，y 5-2, 所以x+y=(5+√2)+（√5 √2)=25，xy=(W3+√2)X(5 2)=3-2=1. (2)因为x+y=2W3,xy=1, 所以x2-xy+y2=(x+y)2-3.xy (23)2-3×1=12-3=9. [变式灯-6解折：原武=（合 )÷a+。-0= b (a+b)(a-2=-2(a十b).当a= b √3一2，b=5一3时，原式=一2× (√3-2+5-√3)=-2×3=-6. 典例7因为CB⊥AB,∠CAB=45°， 所以△ABC是等腰直角三角形 所以AB=BC=10m. 因为新坡面DC的坡比为1：√5， 所以% -3 所以BD=10√3m. 所以AD=BD-AB=10V3-10≈ 7.32(m). 因为3+7.32=10.32(m),10.32>10, 所以距离原坡面底部(，点A处)10m 的建筑物需要拆除 [变式](1)3√2.解析：根据题意， 得裁出的正方形纸片A的边长为 √18=3√2(cm) (2)根据题意，得裁出的正方形纸片 B的边长为√32=4√2(cm),则长方 形纸片的长为3√2+4√2=72(cm), 宽为4√2cm, 所以涂色部分的面积为7√2×4√2 (18+32)=56-50=6(cm). (3)不能裁出. 理由：面积均为25cm的两张正方形 纸片的边长均为√J25=5(cm),5+ 5=10(cm), 由(2)知，长方形纸片的长为7√2cm, 而10=√100,7√2=√98， 所以10>7√2 所以不能在长方形纸片上裁出面积均 为25cm的两张正方形纸片. [综合素能提升] 1.A解析：因为√a-2025有意义， 所以a一2025≥0.所以a≥2025.所 以2024-a<0.所以|2024-a|+十 Wa-2025=a-2024+√/a-2025 a.所以√a-2025=2024.所以a= 2024+2025.所以a-20242= 20242+2025-20242=2025. 2.C解析：因为m￥n=m(m n)+n(m+n),所以√2*√5= √2(W2-√5)+√5（√2+√5）=2- √10+√10+5=7. 3.C解析：因为x=5,3,所以 2 +1=5,1x+2=51x+3 2 2 ,所以原式-6.3×× 2 2 5+1×5+3_W5-3)(5+3)× 2 4 (√5-1)(5+1) =-1×1=-1. 4 4.45+3解析：根据题意，得a 2√5=0，a-b-1=0,c-4=0,所以 a=2W5,b=2W5-1,c=4.所以这个 三角形的周长为25+2√5-1+4= 4V5+3. 53E解析：瓜·（告+ 1)=ab.2+-ab ab (a+b)2-3ab.因为a=5+1,b= ab √5-1，所以a+b=25,ab=(√5+ 1)(√3-1)=2.所以原式= 25)2-3X2_12_6=32. √2 6.因为正方形①②的面积分别为4 6 和3， 所以正方形①的边长为2，正方形② 的边长为5. 所以正方形③的边长为2一√5. 所以阴影部分长方形的宽为2一√3， 长为5-(2-3)=25-2. 所以阴影部分的面积为(2√3一2)× (2-5)=45-6-4+25=65-10. 7.原式=(7+√5)(2√7-2√5) (3+18+6√6)=2(7+√5)（√7 √5)-(21+6√6)=2×2-21-6√6= -17-6√6 8.(1)6.解析：因为32与√2是关 于c的共和二次根式，所以c=3√2× 2=6. (2)因为a与5一√5是关于4的共和 二次根式， 所以a(√5一√3)=4. 4 所以a= 5-√3 4(√5+√3) =25+25 (√5-√3)(5+√3) (3)因为3+√3与6+√3m是关于12 的共和二次根式， 所以(3+√3)(6+√5m)=12. 所以6+5m=12 3+5 12(3-√3) =6-25. (3+3)(3-√5) 所以m=一2. 第2章一元二次方程 2.1一元二次方程和它的解 1.B2.A3.D4.B5.≠1 m-1-m5 6.(1)去括号，得x2-3十4x2 4x+1=0. 合并同类项，得5.x2-4x-2=0. 这个方程的二次项系数为5，一次项 系数为一4，常数项为一2. (2)原方程可化为4(x2一6x+9) 9(.x2+2.x+1). 去括号，得4x2-24x十36=9x2十 18x+9.第1章二次根式 第1章整合拔尖 “答案与解析”见P5 多知识体系构建 二次根式 概念 表示算术平方根的代数式 被开方数的要求，大于或等于0（即为非负数） (Wa)=a(a≥0)：Wa=|al= a(a≥0)， 性质1 -a(a<0) 二次根式的性质 性质2 Vab=√aXWb(a≥0，b≥0) a va -(a≥0，b>0) 最简二次根式 式 二次根式的 乘法法则 √a×Wb=wab(a≥0，b≥0) 运算 除法法则 亮-层a≥06>0 加减法法则首先把二次根式化为最简二次根式，然后把含有被开方数相同的项合并 注意点，二次根式的运算结果必须为最简二次根式或整式 二次根式的应用 9)高频考点突破 考点一二次根式有意义的条件 [变式](2025·杭州西湖段考)已知实数a,b 典例1(2025·义乌期中)若/一可+（x-2) 在数轴上对应点的位置如图所示，则化简 √5-x √(a+1)严+√(b-2)的结果是 有意义，则x的取值范围是 变式](2025·杭州上城段考)已知实数x,y满 足y=√x-I+√/1-x+x一2，则√10x+y= 考点四二次根式的化简 典例4射击时，子弹射出枪口时的速度可用公 考点二 二次根式的双重非负性 式v=√2as进行计算，其中a为子弹的加速度，s 典例2 若实数m,n满足|m一n一5|+ 为枪筒的长.如果a=5×10m/s2,s=0.64m,那 么子弹射出枪口时的速度用科学记数法表示为 √/2m+n-4=0,则3m十n m/s. 变式]已知实数a,b满足√a+4b-6+a2+ 变式]如图，一根细线上端固定， 4b=4ab,则 6 √Ja+6b的值为 下端系一小球，让小球来回自由摆 动，来回摆动一次所用时间t(单 考点三二次根式√a2的性质 位：s)与细线长度l(单位：m)之间满足关系t= 典例3已知2,5，m是某三角形的三边长，则 √(m-3)+√(m-7)的结果为 ( 2红品，当细线长度为Q,2m时，小球米回提动 A.2m-10B.10-2mC.10 D.4 一次所用的时间是 s(结果保留π). 15 拔尖特训·数学（浙教版）八年级下 考点五二次根式的运算 考点七二次根式的实际应用 典例5计算： 典例7新情境·日常生活如图所示为一座人行 a亚-2g+÷2 天桥的示意图，天桥的高度是10m,CB⊥AB, 坡面AC的倾斜角为45°.为了方便行人推车过 天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的 坡比为1：√3.若新坡面的底部（点D处）前需 留3宽的人行道，则距离原坡面底部（点A (2)(√2+1)16X(3-2√2)9. 处)10m的建筑物是否需要拆除（参考数据： √2≈1.414，√3≈1.732)？ CE 10m 回▣D1 A [变式]计算： (典例7图) (1)(2√5-√/18)（√12+3√2）. (2)(25+5√2)(5√2-2√5)-（√5-√2）2. [变式]新情境·日常生活现有两张同样大小的 长方形纸片，丽丽采用如图①所示的方式，在长 方形纸片上裁出两张面积分别为18cm和32cm 的正方形纸片A,B. 考点六与二次根式有关的化简求值 B 典例6(2025·杭州临平段考)已知x=√3+ 2,y=3-√2.求： ① ② (1)x+y和xy的值. (1)裁出的正方形纸片A的边长为 cm. (2)x2-xy+y2的值. (2)求图①中涂色部分的面积. (3)小明想采用如图②所示的方式，在长方形纸 片上裁出面积均为25cm的两张正方形纸片， 请你判断能否裁出，并说明理由. [变式]当a=8-2.6=5-8时.1-8十名) a6的值为 16 第1章二次根式 综合素能提升 1.(2025·绍兴诸暨期中)如果实数a满足7.计算：(W7+5)(√28-√20)-(W3+32)2. |2024-a|+√a-2025=a,那么a-20242 的值是 () A.2025 B.2024 C.2023 D.2022 2.对于任意的实数m,n,定义一种运算“￥”： m*n=m(m一n)+n(m十n),等式右侧为 通常的混合运算.√2√5的值为 ( A.5 B.6 C.7 D.8 3.设x=5,3,则代数式x红十1)z十2)· 8.(2025·杭州期中)定义：若两个二次根式a, 2 b满足a·b=c,且c是有理数，则称a与b (x+3)的值为 是关于c的共和二次根式 A.0 B.1 (1)若3√2与√2是关于c的共和二次根式， C.-1 D.2 则c= 4.若一个三角形的三边长分别是a,b,c,且 (2)若a与√5一√5是关于4的共和二次根 (a-25)2+√a-b-1+|c-4|=0,则这 式，求a的值 个三角形的周长为 (3)若3+√3与6+√3m是关于12的共和二 5.已知a=有+1,6=5-1，则va5.（号十 次根式，求m的值， 么-1)的值为 6.如图，一个长方形被分割成四部分，其中图形 ①②③都是正方形，且正方形①②的面积分 别为4和3，求图中阴影部分的面积. ③li☑ ① (第6题) 17