4.5 三角形的中位线-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（浙教版·新教材）

拔尖特训·数学（浙教版）八年级下 4.5 三角形的中位线 ●“答案与解析”见P33 山基础进阶 素能攀升 1.(2025·杭州段考)如图，小义同学想测量池 5.(2025·浙江期中)如图，在△ABC中，D,E 塘A,B两处之间的距离.他先在A,B外选 分别是AB,AC的中点，FD⊥AB交CB的 一点C,然后步测AC,BC的中点为D,E,测 延长线于点F.若AF=3,CF=7,则DE的 得DE=20m,则A,B之间的距离为( 长为 ( A.10mB.20mC.30mD.40m A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 E (第1题) (第2题) A<D B 2.(2024·广安)如图，在△ABC中，D,E分别 (第5题) (第6题) 是AC,BC的中点，若∠A=45°，∠CED= 6.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC, 70°，则∠C的度数为 ( AC=4,D,F分别是边AB,BC的中点， A.45°B.50° C.60°D.65 DE⊥AC于点E,连结DF,EF,则EF的 3.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于 长为 () 点O,E是边AB的中点.已知BC=10,则 A.2 B.3 OE的长为 C.2√2 D.√5 7.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，M,N 分别为线段BC,AB上的动点（含端点，但点 (第3题) M不与点B重合)，E,F分别为DM,MN的 4.如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的 中点.若AB=8,AD=6,则EF长的最大值 中点，连结DE并延长到点F,使EF=DE 为 连结CF.求证：四边形DBCF是平行四边形. NM N E (第7题) (第8题) 8.如图，△ABC的周长为24，点D,E (第4题) 都在边BC上，∠ABC的平分线垂 直于AE,垂足为M,∠ACB的平分 线垂直于AD,垂足为N,连结MN.若BC= 9,则MN的长为 9.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD 的中点，E,F分别是AB,CD的中点，连结 78 第4章平行四边形 EF,PE,PF.若∠ADB=95°，∠CBD=15°，思维拓展 ∠FEP=40°，PE=3,则AD+BC= 11.新考法·新定义题定义：如图①，点M,N把 线段AB分割成AM,MN和BN三段，若 以AM,MN,BN为边的三角形是一个直角 三角形，则称M,N是线段AB的勾股分 割点 (第9题) 10.如图，O是△ABC内一点，连结OB,OC,并 (1)已知M,N是线段AB的勾股分割点， 将AB,OB,OC,AC的中点D,E,F,G依 且BN>MN>AM.若AM=2,MN=3,求 次连结，得到四边形DEFG,M为EF的中 BN的长， 点，连结OM. (2)如图②，若F,M,N,G分别是AB, (1)求证：四边形DEFG是平行四边形 AD,AE,AC的中点，D,E是线段BC的勾 (2)若OM=3,∠OBC和∠OCB互余，求 股分割点，且EC>DE>BD,求证：M,N DG的长. 是线段FG的勾股分割点 Λ0/个 BE M F A M N B D ① (第10题) (第11题) 79因为四边形ABCD是平行四边形 所以AD=BC,∠MAF=∠NCE. 所以AD一DF=BC一BE,即AF= CE. 在△AMF与△CNE中， AM=CN, ∠MAF=∠NCE, AF-CE. 所以△AMF≌△CNE. 所以MF=NE. 又因为ME=NF, 所以四边形MENF是平行四边形. 所以EF与MN互相平分. M B (第8题) 4.5三角形的中位线 1.D2.D3.5 4.因为D,E分别是AB,AC的 中点， 所以DE是△ABC的中位线. 所以DEBC,BC=2DE. 因为EF=DE, 所以DF=2DE. 所以DF=BC. 所以四边形DBCF是平行四边形， 5.B解析：因为FD⊥AB,D是AB 的中点，所以DF是线段AB的垂直 平分线.所以BF=AF=3.所以BC= CF-BF=7-3=4.因为D,E分别 是AB,AC的中点，所以DE是△ABC 的中位线.所以DE=2BC=2 6.D解析：因为∠B=90°，AB BC,所以∠A=∠C=2(180° ∠B)=7×(180°-90)=45.设 AB=BC=x.因为AC=4,所以x2+ x2=4,解得x=2√2（负值舍去） 所以AB=2√2.因为D是AB的中 点，所以AD=2AB=E.因为 DE⊥AC,所以∠AED=90°.所以 ∠ADE=∠A=45°.所以易得DE= 1.因为D,F分别是边AB,BC的中 点，所以DF=AC=2,AC/DF,所 以∠EDF=∠AED=9O°.所以EF= √DE2+DFz=√2+2=√5. 7.5解析：连结BD,DN.在Rt△ABD 中，DB=√WAD2+AB=√62+82= 10.因为E,F分别为DM,MN的中 1 点，所以EF=2DN,由题意，易得当 点N与点B重合时，DN的长最大， 最大值为10.所以E℉长的最大值为 8.3解析：因为CN平分∠ACB, CN⊥AD,所以∠ACN=∠DCN, ∠CNA=∠CND=90°.在△CNA和 ∠ACN=∠DCN, △CND中，CN=CN, 所以 ∠CNA=∠CND, △CNA≌△CND.所以AN=DN, CA=CD.同理，可得AM=EM, BA=BE.所以N是AD的中点，M 是AE的中点所以MN=2ED.因 为△ABC的周长为24，所以CD+ BE=AC+AB=24-BC=24-9= 15.所以ED=CD+BE-BC=15- 9=6所以MN=ED=3 9.12解析：因为P是对角线BD的 中点，E,F分别是AB,CD的中点， 所以PF,PE分别为△BCD,△ABD 的中位线.所以PF∥BC,BC=2PF, PE∥AD,AD=2PE.所以∠FPD= ∠CBD=15°，∠DPE=180° ∠ADB=180°-95°=85°.所以 ∠FPE=∠FPD+∠DPE=15°+ 85°=100°.又因为∠FEP=40°，所以 ∠PFE=18O°-∠FPE-∠FEP= 180°-100°-40°=40°.所以∠PFE= ∠FEP.所以PF=PE.所以AD+ BC=2PE+2PF=4PE=4×3=12. 10.(1)因为D,G分别是AB,AC的 中点， 所以DG/EC,DG=2. 又因为E,F分别是OB,OC的中点， 所以EF/BC.EF=BC 33 所以DG∥EF,DG=EF】 所以四边形DEFG是平行四边形. (2)因为∠OBC和∠OCB互余， 所以∠OBC+∠OCB=90°. 所以∠BOC=90°. 因为M为EF的中点，OM=3, 所以EF=2OM=6. 由(1)知，DG=EF, 所以DG=6. 11.(1)因为M,N是线段AB的勾 股分割点，且BN>MN>AM,AM= 2,MN=3, 所以BN2=MN2+AM形=9+4=13. 所以BN=√13， (2)因为F,M,N,G分别是AB, AD,AE,AC的中点， 所以BD=2FM,DE=2MN,EC= 2NG,FM//BD,MN//DE,NG//EC. 所以F,M,N,G四点共线， 因为D,E是线段BC的勾股分割点， 且EC>DE>BD, 所以EC2=DE2+BD2」 所以4NG2=4MN2+4FM2 所以NG=MN2+FM. 所以M,N是线段FG的勾股分割，点. 专题特训七构造三角形的 中位线解决问题 1.B解析：如图，取BF的中点H, 连结DH,则BH=HF.因为AD是 △ABC的中线，所以BD=DC.所以 DH =2 1 FC,DH∥AC.所以 ∠HDE=∠FAE.因为E是AD的 中点，所以AE=DE.在△AEF和 ∠AEF=∠DEH, △DEH中，AE=DE, 所以 ∠FAE=∠HDE, △AEF≌△DEH.所以AF=DH.所 以AP=PC,即FC=2AF.因为 AC=4,所以AF+F℃=3AF=AC= 4.所以AF= 4 31 (第1题