4.2 平行四边形及其性质-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（浙教版·新教材）

拔尖特训·数学（浙教版）八年级下 4.2平行四边形及其性质 第1课时平行四边形的边、角性质 >“答案与解析”见P25 ☑基础进阶 6.(2025·杭州期末)如图，在□ABCD中，点 1.如图，在□ABCD中，若∠B=60°，AB E,F在对角线BD上，且BF=DE.求证： AE=CF. 5cm,则下列结论中，正确的是 ( A.∠A=60°，AD=5cm B.∠C=120°，CD=5cm C.∠D=60°，BC=5cm (第6题) D.∠A=120°，AD=5cm A D D (第1题) (第3题) 2.(2025·宁波慈溪期中)在□ABCD中，∠B十 ∠D=160°，则∠A的度数为 ) A.130 B.50° C.100° D.65° 3.(2025·绍兴嵊州期末)如图，在□ABCD中， AB=5,AD=7,∠DAB的平分线交BC于 点E,则CE的长为 A.2 B.3 幻素能攀升 C.4 D.5 7.如图，点A,B的坐标分别为(1,1)，（一2， 4.如图，在□ABCD中，AB=4,BC=5,AC的 一1)，四边形ACDB是平行四边形，点C的 坐标为(4,1)，则点D的坐标为 垂直平分线交AD于点E,连结CE,则 A.(1,-1) B.(2,1) △CDE的周长是 ( C.(2,-1) D.（-2,3) A.6 B.8 y C.9 D.10 C B B<0 D (第7题) (第8题) 8.如图，在□ABCD中，∠B=40°，AB=AC, (第4题) (第5题) 将△ADC沿对角线AC翻折得到△AFC, 5.(2025·宁波一模)如图，四边形BCDF是平 AF交BC于点E,则∠AEC的度数是() 行四边形，已知∠A=40°，∠ABF=30°，则 A.80° B.90° ∠CDE= C.100° D.110° 62 第4章平行四边形 9.如图，在□ABCD中，P是边CD上 粉思维拓展 一点，且AP,BP分别平分∠DAB 12.如图，在□ABCD中，CG⊥AB于 ∠CBA.若AD=2.5,AP=4,则 点G,∠ABF=45°，点F在CD □ABCD的面积是 () 上，BF交CG于点E,连结AE,且 24 8 A.6 B.12 D.5 AE⊥AD, (1)若BG=2,BC=√J29,求EF的长 (2)求证：CE+√2BE=AB. B (第9题) (第10题) 10.如图，在□ABCD中，点E在边BC上，且 (第12题) AE⊥BC于点E,DE平分∠CDA.若BE: EC=1:2,则∠BCD的度数为 11.★如图，在□ABCD中，AD=2AB,E为AD 的中点，CE的延长线与BA的延长线交于 点F,连结BE. (1)求证：FB=AD. (2)若∠DAF=70°，求∠EBC的度数. (第11题) 63 拔尖特训·数学（浙教版）八年级下 第2课时 平行线间的距离 “答案与解析”见P26 自基础进阶 5.如图，l1∥L2,AB∥CD,BC=2CF.若△CEF 1.(2025·金华东阳期末)如图，已知直线m∥ 的面积是5，求四边形ABCD的面积 n,则下列能表示直线m,n之间距离的是 (第5题) (第1题) A.线段AB的长B.线段AC的长 C.线段AD的长D.线段DE的长 2.如图，AB∥CD,P是直线AB上一动点，当 点P的位置发生变化时，△PCD的面积将 () A.变大 B.变小 C.不变 D.无法确定 素能攀升 6.如图，a∥b,AB∥CD,CE⊥b,FG⊥b,E,G 为垂足，则下列说法中，错误的是() (第2题) (第3题) A.AB=CD 3.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边 B.CE=FG 长都是1，则S四边形ABCD与S四边形BCDF之间的 C.A,B两点间的距离就是线段AB的长 大小关系是 D.直线a,b间的距离就是线段CD的长 A.SI边形ABCD=S四边形ECDF B.Sg边形ABCD<SI边形ECDP C.Sg边形ABCD=Sa边形BCDF十1 D.S四边形ABCD=S8边形BCDr十2 B 4.如图，AB∥DC,ED∥BC,AE∥BD,则图中 (第6题) (第7题) 与△ABD的面积相等的三角形（不包括7.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC, △ABD)有 个 △ABC的三个顶点分别在互相平行的三条 直线l1,l2,l3上.若l1与12之间的距离为2， L2与l3之间的距离为3，则AC的长为() A.2√17 B.5√2 (第4题) C.5 D.10 64 第4章平行四边形 8.若两条平行线a,b被第三条直线c所截得的 罚思维拓展 同旁内角的平分线的交点到直线c的距离是 11.如图，在☐ABCD中，AE平分 2cm,则a,b之间的距离是 cm. ∠BAD,交BC于点E,且AB= 9.如图，直线AE∥BD,点C在BD上.若 AE,AB的延长线与DE的延长 AE=5,BD=8,△ABD的面积为16，则 线交于点F,连结AC,CF.求证： △ACE的面积为 (1)△ABE是等边三角形 (2)△ABC≌△EAD. (3)S△ABE=S△CEF· B D (第9题) 10.如图，在□ABCD中，E,F分别是边AB, DC上的点，AF与DE相交于点P,BF与 CE相交于点Q.若S△APp=16cm, (第11题) S△ac=25cm2,求涂色部分的面积 D F (第10题) 65 拔尖特训·数学（浙教版）八年级下 第3课时 平行四边形的对角线性质 ◆“答案与解析”见P26 自基础进阶 幻素能攀升 1.(2025·杭州期中)如图，在□ABCD中，对角 5.如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于 线AC与BD相交于点O,则下列结论中，一 点O,∠BAC=90°，AC=6,BD=10,则CD 定正确的是 F 的长为 () A.AD=BD B.OA=OC A.√34 B.8 C.AB⊥BD D.∠BAC=∠DAC C.4 D.2 B (第1题) (第2题) (第5题) (第6题) 2.(2025·金华兰溪期末)如图，O是☐ABCD 6.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于 的对角线的交点，若△OAD的周长为50， 点O.若BD+AC=18cm,CD:DA=2:3, BD=32,AC=24,则BC的长为 ( △AOB的周长为13cm,则BC的长为() A.18B.20 C.22 D.26 A.6cm B.9 cm 3.如图，□ABCD的对角线 C.3cm D.12 cm AC与BD相交于点O, 7.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于 AE⊥BC,垂足为E.若 (第3题) 点O,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,则 AB=3,AO=2,BC=5,则 图中全等的三角形共有 () AE的长为 4.如图，四边形ABCD是平行四边形，E,F是 对角线AC上的两点，∠1=∠2.求证： AE=CF. (第7题) A.5对 B.6对 C.7对 D.8对 8.如图，在□ABCD中，对角线AC, (第4题) BD交于点O,且AC=8,BD=12, E,F分别为BO,CO上的点，且 BE=CF,连结AE,DF,则△ABE与△CDF 的面积之比为 () (第8题) A.3:2 B.2:3 C.1:1 D.4:3 66 第4章平行四边形 9.如图，O是口ABCD的对角线的交点，过点O的思维拓展 作OE⊥BD,交AD于点E,连结BE.若 12.★如图①，在□ABCD中，对角线 ∠DBC=20°，则∠EBD= AC,BD相交于点O,过点O的直 线EF分别交边AD,BC于点E, F,则易证OE=OF. (第9题) (1)如图②，在□ABCD中，对角线AC, 10.如图，在△ABC中，∠BAC=45°， BD相交于点O,过点O的直线EF分别交 AB=AC=8,P为边AB上一动 边BA,DC的延长线于点E,F,求证：OE= 点，以PA,PC为边作□PAQC,则 OF. 对角线PQ长的最小值为 (2)如图③，在(1)的条件下，连结DE,BF, 其他条件不变.若AB=2AE,△AOE的面 积为1，求四边形BEDF的面积 (第10题) 11.如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点 O,点E,F分别在CA,AC的延长线上，且 AF=CE.试判断BE与DF之间的数量关 系和位置关系，并说明理由， A一 (第11题) ③ (第12题) 67∠F,∠1+∠A+∠C+∠D=360, 所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E十 ∠F=360. (3)∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+ ∠F+∠G+∠H+∠M+∠N= 1080. (第13题) 4.2平行四边形及其性质 第1课时平行四边形的边、 角性质 1.B2.C3.A 4.C解析：因为四边形ABCD是平 行四边形，所以AD=BC=5,CD= AB=4.因为AC的垂直平分线交AD 于点E,所以AE=CE.所以△CDE 的周长为CE+DE+CD=AE十 DE+CD=AD+CD=5+4=9. 5.70 6.因为四边形ABCD是平行四边形， 所以ABCD,AB=CD 所以∠ABE=∠CDF. 因为BF=DE, 所以BF-EF=DE-EF,即BE=DF. 在△ABE和△CDF中， AB=CD, ∠ABE=∠CDF, BE=DF, 所以△ABE≌△CDF. 所以AE=CF 7.A 8.C解析：因为四边形ABCD为平 行四边形，所以AD∥BC.所以∠B+ ∠BAD=180°，∠DAC=∠ACB.因 为∠B=40°，AB=AC,所以∠B= ∠ACB=40°，∠BAD=140°.所以 ∠DAC=∠ACB=40°.由折叠的性 质可知，∠DAC=∠FAC=40°，所以 ∠AE℃=180°-（∠ACB+∠FAC)= 180°-(40°+40)=100°. 9.B解析：因为四边形ABCD是平 行四边形，所以CD∥AB,AD∥BC AB =DC,BC AD 2.5. 所以∠DPA=∠BAP,∠CPB ∠ABP,∠DAB+∠CBA=180°. 因为AP,BP分别平分∠DAB, ∠CBA,所以∠DAP=∠BAP= 合∠DAB,∠CBP=∠ABP= 号∠CBA.所以∠BAP+∠ABP 2(∠DAB+∠CBA)=9G, ∠DPA=∠DAP,∠CPB=∠CBP 所以∠APB=90°，PD=AD=2.5, PC=BC=2.5.所以AB=DC= 2.5+2.5=5.因为∠APB=90°， 所以BP=√AB2-AP=√5-4 3所以SaAm=号AP·BD=号 4X3=6.所以S▣AD=2S△ABP=2X 6=12. 10.120°解析：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB=CD,AD∥ BC,AB∥CD.所以∠ADE=∠CED, ∠B+∠BCD=180°.因为DE平分 ∠CDA,所以∠ADE=∠CDE.所以 ∠CED=∠CDE.所以CD=EC.所 以AB=EC.因为BE:EC=1:2, 所以BE:AB=1:2,即BE= 2AB.因为AE⊥BC,所以∠AEB= 90°.所以∠BAE=30°.所以∠B= 60°.所以∠BCD=120° 11.(1)因为E为AD的中点， 所以DE=AE=2AD, 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB/CD,AB=DC 所以∠EDC=∠EAF. 在△DEC和△AEF中， ∠DEC=∠AEF, DE-AE, N∠EDC=∠EAF, 所以△DEC≌△AEF. 所以DC=AF. 所以AB=AF. 所以FB=2AB. 因为AD=2AB, 25 所以FB=AD (2)因为四边形ABCD是平行四 边形， 所以DACB. 所以∠CBF=∠DAF=70°，∠AEB= ∠EBC. 因为AD=2AB,AD=2AE, 所以AE=AB. 所以∠AEB=∠ABE. 所以∠EBC=∠ABE= 2∠CBF=35. 方法归纳 利用平行四边形的性质 证明线段相等 (1)利用平行四边形的性质得 到对应边、对应角分别相等，进而得 到三角形全等，从而得到线段相等， (2)利用平行四边形的性质得 到平行关系，进而结合题中的条件 得到相等的角，从而利用“等角对 等边”的性质得到线段相等 12.(1)因为CG⊥AB, 所以∠AGC=∠CGB=90° 因为BG=2,BC=√29， 所以CG=√/BC2一BG2=5. 因为∠ABF=45°， 所以易得EG=BG=2. 所以CE=CG-EG=3. 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以ABCD. 所以∠GCD=∠BGC=90°， ∠EF℃=∠ABF=45° 所以易得CF=CE=3. 所以EF=√CF+CE=3√2】 (2)延长AE,交BC于点H. 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以BC∥AD. 所以∠AHB=∠HAD. 因为AE⊥AD, 所以∠AHB=∠HAD=90. 又因为∠CGB=90°， 所以∠GAE+∠ABH=∠GCB+ ∠ABH=90°. 所以∠GAE=∠GCB. 由(1)，得GB=GE. 在△BCG和△EAG中， ∠GCB=∠GAE, ∠CGB=∠AGE=90°， GB=GE, 所以△BCG≌△EAG 所以CG=AG. 所以AB=AG+BG=CG+BG= EG+CE+BG. 因为易得BG=EG=BE, 2 所以CE+√2BE=AB. 第2课时平行线间的距离 1.B2.C3.A4.2 5.因为l1∥L2,BC=2CF 所以设CF=x,l1与l2之间的距离 为h,则BC=2x. 因为△CEF的面积为5， 所以2CF·h=5,即2h=5, 所以zh=10. 因为ABCD,l12, 所以由“夹在两条平行线间的平行线 段相等”，得AD=BC=2x. 所以Sa年w=合ADh十号C· 1 h=BC·h=2.xh=2×10=20. 6.D解析：因为ab,AB∥CD,所 以根据“夹在两条平行线间的平行线 段相等”，可知AB=CD.故选项A正 确.因为ab,CE⊥b,FG⊥b,所以根 据“夹在两条平行线间的垂线段相 等”，可知CE=FG.故选项B正确。 A,B两，点间的距离就是线段AB的 长，故选项C正确.直线a,b间的距 离就是线段CE或FG的长，故选项D 错误 7.A解析：如图，过点A作AD⊥13 于点D,过点C作CE⊥l3于点E,则 ∠ADB=∠BEC=90°.由题意知， AD=3,CE=2+3=5.因为 ∠ABC=90,所以∠ABD十 ∠CBE=90°.又因为∠BAD十 ∠ABD=90°，所以∠BAD=∠CBE 在△ABD和△BCE中， '∠ADB=∠BEC, ∠BAD=∠CBE,所以△ABD≌ AB=BC, △BCE.所以AD=BE=3.在 Rt△BCE中，由勾股定理，得BC= √BE+CE=√34.所以AB= √34.在Rt△ABC中，由勾股定理， 得AC=√WAB2+BC2=217」 B E (第7题) 8.4解析：根据题意，作出图形如图 所示.由题意，得∠1=∠2，∠3=∠4， CE⊥c.过点C作CD⊥a于点D, CF⊥b于点F,则CD=CE=2cm, CF=CE=2cm.因为a仍，所以易得 D,C,F三点共线.所以DF=CF十 CD=4cm.所以a,b之间的距离是 4 cm. B (第8题) 9.10解析：过点A作AF⊥BD于 点F所以号BD·AP=号×8AP= 16.所以AF=4.因为AE∥BD,所以 AF的长度等于△ACE的边AE上的 高所以Sam=号AEX4=号× 5×4=10. 10.连结EF」 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以ABCD 所以△EFC的边FC上的高与 △BCF的边FC上的高相等. 所以S△FR=S△P· 所以S△FRc-S△CpQ=S△Br一S△cpQ, 即S△Fr0=S△a=25cm2. 同理，可得S△FFp=S△Ap=16cm. 所以S色=S△FFP十S△FQ=16+ 25=41(cm2). 11.(1)因为四边形ABCD是平行四 边形， 26 所以AD∥BC. 所以∠DAE=∠BEA. 又因为AE平分∠BAD, 所以∠BAE=∠DAE. 所以∠BAE=∠BEA. 所以AB=BE. 因为AB=AE, 所以AB=BE=AE 所以△ABE是等边三角形. (2)由(1)知，△ABE是等边三角形， 所以∠ABE=∠BEA=60°. 所以∠EAD=∠BEA=60° 所以∠ABC=∠EAD. 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以BC=AD. 在△ABC和△EAD中， AB=EA, ∠ABC=∠EAD, BC=AD, 所以△ABC≌△EAD. (3)因为四边形ABCD是平行四 边形， 所以ABCD,AB=CD. 所以△FCD与△ABC等底(AB=CD) 等高(AB与CD间的距离处处相等). 所以S△FCD=S△Ax. 又因为△AEC与△DEC同底等高， 所以S△Ar=S△D· 所以SAAC-S△A=S△FCD一 S△w,即S△AE=S△cFF. 第3课时平行四边形的 对角线性质 1.B 2.C解析：因为四边形ABCD是平 行四边形，对角线BD与AC交于点 O,BD=32,AC=24,所以AD=BC, OD=OB=BD=16,OA=OC= 2AC=12.因为△OAD的周长为 50,所以AD+OD+OA=50.所以 BC+16+12=50.所以BC=22. 3.号解析：因为四边形ABCD是 平行四边形，所以AC=2AO=2X 2=4.因为AB=3,AC=4,BC=5,所 以AB2+AC2=BC2.所以△ABC是 直角三角形，且∠BAC=90°.所以 Sm=AB·AC=号X3X4=6 因为AELRC,所以Sar=2BC· AE,即6=号×5A.所以AE=号 4.如图，连结BD,交AC于点O. 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以OA=OC,OB=OD. 又因为∠1=∠2，∠3=∠4， 所以△DOE≌△BOF. 所以OE=OF. 所以OA-OE=OC-OF,即 AE=CF」 B (第4题) 5.C解析：因为四边形ABCD是平 行四边形，所以BO=D0=2BD 5,AO-CO=AC=3,AB=CD. △ABO中，因为∠BAO=90°，所以 AB=√BO2-AO=4.所以CD=4. 6.A解析：因为四边形ABCD是平 行四边形，所以AB=CD,AD=BC, OA-(C-TAC.OB-OD-BD. 所以OA+OB=号(AC+BD) 2X18=9(cm.因为△A0B的周长 为13cm,所以AB=CD=13-9= 4(cm.又因为CD:DA=2:3,所以 BC=AD=6 cm. 7.C解析：由题意，得OA=OC, OB=OD,AB=CD,AD=BC,可证 得△ABD≌△CDB,△ABC≌ △CDA,△AOD≌△COB,△AOB≌ △COD.又由AE⊥BD,CF⊥BD,可 证得△AOE≌△COF,△ABE≌ △CDF,△ADE≌△CBF. 8.B解析：分别过点A,D作AM⊥ BD于点M,DN⊥AC于点N.因为 四边形ABCD是平行四边形，AC 8,BD=12,所以0A=0c-=4C- 4,OB=OD=专BD=6,所以 S△COD=S△A0D=S△AOn.所以7OC· DN=2OB·AM,即2X4DN 合X6AM.所以DN=号AM 1 因为BE=CF,SAAE=2BE·AM, S△p= 2CF·DN,所以 △ABE= ACDE AMAM」 2 31 所以△ABE与 △CDF的面积之比为2：3. 9.20°解析：因为O是□ABCD的 对角线的交点，所以OB=OD.因为 OE⊥BD,所以BE=DE.所以 ∠EBD=∠EDB.因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD∥BC.所以 ∠EDB=∠DBC=20°.所以 ∠EBD=20°」 10.42解析：设AC与PQ交于点 O.因为四边形PAQC是平行四边形， 所以A0=C0=号AC=4,PQ= 2OP.所以当OP最短时，PQ最短. 如图，过点O作OP'⊥AB于点P 因为∠BAC=45°，所以△AP'O是等 腰直角三角形.所以易得2OP'=16, 解得OP'=2√2（负值舍去）.所以PQ 长的最小值为2OP'=42 (第10题) 11.BE=DF,BE//DF. 理由：因为四边形ABCD是平行四 边形， 所以OA=OC,OB=OD. 因为AF=CE, 所以AF-OA=CE-OC,即OF= OE. 在△BEO和△DFO中， OB=OD. ∠BOE=∠DOF, OE=OF, 27 所以△BEO≌△DFO】 所以BE=DF,∠E=∠F. 所以BEDF. 12.(1)因为四边形ABCD是平行四 边形， 所以ABCD,OA=OC. 所以∠OAE=∠OCF,∠E=∠F. 在△AOE和△COF中， ∠E=∠F, ∠OAE=∠OCF, OA=OC, 所以△AOE≌△COF. 所以OE=OF (2)因为AB=2AE, 所以S△A0B=2S△AOE=2. 所以S△OE=3. 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以OB=OD. 所以S△OF=S△OE=3. 所以S△Rn=6. 由(1)知，△AOE2△COF, 所以SAF=S△Ao=1. 同理，可得S△m=6. 所以S国边无EF=12. 方法制归纳 过平行四边形对角线交点的 直线的特点 (1)过平行四边形对角线交点 的直线与平行四边形的对边所在 的直线相交所得到的新线段被平 行四边形对角线的交点平分. (2)过平行四边形对角线交点 的直线平分平行四边形的面积 4.3图形的旋转 第1课时旋转 1.D2.D 3.40°解析：因为CC'∥AB, ∠CAB=70°，所以∠C'CA= ∠CAB=70°.因为△ABC绕点A旋 转到△AB'C的位置，所以AC=AC, ∠BAB'=∠CAC'.所以∠ACC'= ∠AC'C=70°.所以∠CAC=40°.所 以∠BAB'=∠CAC'=40°.