3.3 离差平方和与方差-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（浙教版·新教材）

拔尖特训·数学（浙教版）八年级下 3.3 离差平方和与方差 第1课时 离差平方和与方差 >“答案与解析”见P19 ☑基础进阶 幻素能攀升 1.(2025·绍兴嵊州期中)甲、乙、丙三名男生进 5.为迎接体育测试，小强每天坚持练 行跳远测试，这三人10次跳远成绩的平均数 习引体向上，他记录了某一周每天 都是2.36m,方差分别是S=1.30m, 练习引体向上的个数，数据如下表： S2=1.15m,S=0.85m,则这三名男生 星 期 日 五 六 的跳远成绩中，最稳定的是 ( 个 数 12 13 12 A.甲 B.乙 其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强 C.丙 D.无法比较 已经计算出这组数据的唯一众数是13，平 2.学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习 均数是12，则这组数据的离差平方和是 小组五名同学一周的课外阅读时间（单位：h) 分别为4,5,5,6,10.这组数据的离差平方和 是 6.已知一组数据x1xx4x的方老是， 3.一组数据按从小到大的顺序排列为1,1,3， 则另一组数据3x1一2,3x2一2,3x3一2， x,4,6.若这组数据的中位数为3，则这组数 3x4一2,3x5一2的方差为 据的标准差是 7.已知A组数据如下：0,1，一2，一1 4.*为了研究甲、乙两种农作物的长势，分别抽 0,-1,3. 取了10株，测得高度（单位：cm)如下. (1)求A组数据的平均数， 甲：9,10,11,12,7,13,10,8,12,8； (2)从A组数据中选取5个数据，记这5个 乙：8,13,12,11,10,12,7,7,9,11. 数据为B组数据，要求B组数据满足下面两 (1)试比较两种农作物的平均高度. 个条件：①它的平均数与A组数据的平均数 (2)哪种农作物长得比较整齐？ 相等；②它的方差比A组数据的方差大.你 选取的B组数据是什么？请说明理由， 48 第3章数据分析初步 第2课时数据的分组 “答案与解析”见P20 山基础进阶 《幻素能攀升 1.将数据1,4,6,7,10,12,13分成前3个一组， 5.现有数据：4,6,8,12,14，将其分成 后4个一组，则这两组数据的组内离差平方 两组（每组至少1个数据，数据不重 和为 复)时，组内离差平方和的最小值为 A号+警+21号+n智+ 10,最优分组为{4,6,8}和{12,14}.若在原有 数据中添加一个整数x(x≠4,6,8,12,14，且 2.把数据2,8,10,4,12按大小顺序分成两组， x为1~25之间的整数)，使得新的6个数据 能使“组内离差平方和达到最小”的是() 按相同分组规则分组后，组内离差平方和的最 A{2},{4,8,10,12}B.{2,4},{8,10,12 小值仍为10，则x的值为 C.{2,4,8},{10,12}D.{2,4,8,10},{12} 6.在大数据分析中，数据的分组是重要的方法 3.将数据5,6,9,10,12,14,15分成前4个一 之一.虽然有多种方法可以对数据进行分组， 组，后3个一组，求这两组数据的组内离差平 但是使得“组内离差平方和最小”的方法是最 方和. 传统的，也是最合理的.下表是把1,2,3,4,5 这5个数据从小到大排列后进行了分组. 分组情况 组内离差组间离差 离差 第一组 第二组 数据 数据 平方和 平方和 平方和 1 2,3,4,5 10 1,2 3,4,5 b 10 1,2,3 4,5 d 10 4.某地一周的日平均风速分别为（单 1,2,3,4 5 5 5 10 位：m/s):3,5,6,8,10,12,14.为了 (1)求a,b的值. 分析风速对植被生长的影响，需要 (2)直接写出c,d的值 将这周的风速数据分成两组，该怎么分比较 (3)根据分组的情况，说明如何分组会比较 合理？ 合理 49乙门店总消费：500×50+200×30= 25000+6000=31000(元). 总消费金额：23500+31000=54500（元）】 总顾客数：400+300+500+200 1400(人). 所以人均消费金额为54500÷1400≈ 38.93(元) 5.A校参赛人数为2000×70% 1400, B校参赛人数为2500×65%=1625， C校参赛人数为1800×80%=1440. 所以该教育集团参赛学生的数学竞赛 的平均分为 1400×120+1625×115+1440×125≈ 1400+1625+1440 119.8(分). 6.歌曲A获得的总票数为12000× 82%+18000×86%+20000× 84%+15000×88%=55320: 歌曲B获得的总票数为12000× 78%+18000×80%+20000× 85%+15000×90%=54260: 歌曲C获得的总票数为12000× 88%+18000×90%+20000× 82%+15000×86%=56060: 总投票人数为12000+18000+ 20000+15000=65000. 歌曲A的得票率=55320 X100%≈ 65000 85.1%: 歌曲B的得票率=54260X100%≈ 65000 83.5%: 歌曲C的得票率=56060 X100%≈ 65000 86.2%. 因为歌曲A的得票率≈85.1%，歌曲C 的得票率≈86.2%，均超过85%，所以 歌曲A和歌曲C被评为“年度金曲”， 3.2中位数与众数 1.B2.C3.中位数4.98 5.(1)8:8.5. (2)所有同学打卡次数的平均数为 (7×6+8×9+9×6+14×3+15× 6)÷30=10. (3)打卡不少于9次的同学获得奖励. 理由：为了调动同学们锻炼的积极性， 打卡奖励标准可以定为所有同学打卡 次数的中位数. 因为共有30人，打卡9次以上（含9 次)的有15人，等于总人数的一半， 所以打卡不少于9次的同学获得奖励 (言之有理即可). 6.C解析：对于A选项，四名同学 身高的中位数是某两名同学身高的平 均数，而这个平均数不一定是其中一 名同学的身高.故A错误.对于B选 项，丁同学的身高不一定高于其他三 名同学的身高.故B错误.对于C选 项，丁同学的身高为1.65×4一1.63× 3=1.71(m).故C正确.对于D选项， 四名同学身高的众数不一定是1.65m 故D错误， 7.B解析：当a=9时，四个价格的 中位数是89=8.5（元/千克），众数 2 是9元/千克.故A错误.当a=8时， 四个价格的中位数是88=8（元/干 2 克)，众数是8元/千克.故B正确.当 a=7时，四个价格的中位数是生8 7.5(元/千克)，没有众数.故C错误。 当a=6时，四个价格的中位数是 6+8=7(元/千克)，众数是6元/千 2 克.故D错误 8.B解析：因为从小到大排列的一 组数据一1,1,2，x,6,8的中位数为 2.所以2告=2，解得1=2因为2出 现的次数最多，所以这组数据的众数 是2.因为这组数据为一1,1,2,2,6， 8,所以这组数据的平均数是（一1+ 1+2+2+6+8)÷6=3. 一方法归纳 根据中位数的意义求值 已知中位数求未知数的值时，一 般先把已知数据排序（本题中已经说 明这组数据从小到大排列)，再根据 题中中位数的值确定未知数的位置 (有时需要分类讨论)，最后根据中位 数的概念求出未知数的值.该组数据 确定后，众数和平均数不难得出. 9.21解析：设这5个整数从小到大 排列为x1,x2,cg,x4,x6·由题意，得 x3=4.因为唯一的众数是6，所以这 5个整数的和最大的情况为2,3,4,6， 19 6.因为2+3+4+6+6=21，所以这 5个整数的和最大可能是21 10.(1)根据题意，得甲箱内还剩 98-48=50(个)球. 因为乙箱内球的号码的中位数为40， 所以乙箱内号码小于40、大于40的 球各有48÷2=24（个），且40号球不 在其中 所以甲箱内球的号码小于40的球有 39一24=15（个），号码大于40的球有 50-1-15=34(个). 所以a=15,b=34. (2)甲箱内球的号码的中位数不能 为40. 理由：因为a=15,b=34, 所以甲箱内处于中间的两个球的号码 均大于40，即甲箱内球的号码的中位 数不能为40. 11.(1)由题图，得A型号电动汽车 的行驶里程的平均数为 190×3+195×4+200×5+205×6+210×2 3+4+5+6+2 200(km):众数为205km:中位数为 200+200=200(km). 2 (2)建议选择B型号电动汽车. 因为A型号电动汽车行驶里程的平 均数、中位数和众数均低于210km, 且只有10%的车辆能达到行程要求， 所以不建议选择A型号电动汽车， 因为B,C两种型号的电动汽车行驶 里程的平均数、中位数和众数都超过 210km,很大程度上可以避免行程中 充电耽误时间，且B型号电动汽车比 C型号电动汽车更经济实惠， 所以建议选择B型号电动汽车。 3.3离差平方和与方差 第1课时离差平方和与方差 1.C2.223.5 41)因为x甲=0×(9+10+11中 12+7+13+10+8+12+8)=10(cm), 1 x2=0×(8+13+12+11+10+ 12+7+7+9+11)=10(cm), 所以x甲=x乙，即两种农作物的平均 高度相同. (2)因为x甲=xz=10cm, S第=6×[(9-102+10-102+ (11-10)2+(12-10)2+(7-10)2+ (13-10)2+(10-10)2+(8-10)2+ (12-10)2+(8-10)2]=3.6(cm2), S号=6×[8-102+13-102+ (12-10)2+(11-10)2+(10-10)2+ (12-10)2+(7-10)2+(7-10)2+ (9-10)2+(11-10)2]=4.2(cm2), 所以S<S2. 所以甲种农作物长得比较整齐， 方法归纳 方差在数据分析中的作用 方差是用来描述一组数据中 每个数据与这组数据的平均数的 偏离程度的量，在实际生活中经常 用方差来判断数据的稳定性.方差 越大，波动越大，数据越不稳定：方 差越小，波动越小，数据越稳定 5.8解析：因为这组数据的平均数 是12，所以这组数据的和为12×7= 84.所以被墨汁覆盖的三天的个数的 和为84-(11+12+13+12)=36.因 为这组数据的唯一众数是13，所以被 墨汁覆盖的三个数为10,13,13.所以 这组数据的离差平方和是(11 12)2+(12-12)2+(10-12)2+ (13-12)2+(13-12)2+(13 12)2+(12-12)2=8. 6.3解析：设一组数据x1,x2,x3, x4,x6的平均数为x,则另一组数据 3x1一2,3.x2一2,3x3一2,3x4-2, 3.x6一2的平均数为3元-2.因为一组 数据的方差为S2-号[，-)2十 (x-)2++(,-7]= 所以另一组数据的方差为S? 3[(3,-2-3证+22+(3-2 3x+2)2+…+(3.x5-2-3x十 2)2]=3[9(x1-)2+9(m x)2+…+9(x6-0)2]=3×9=3. 7.1=号×0+1-2-1+0 1+3)=0. (2)答案不唯一，如选取的B组数据： 1,-2,-1,-1,3. 理由：由(1)知，=0，则S=子× [(0-0)2×2+(1-0)2+(-2 0P+(-1-0)×2+8-0)]=9 因为元=号×1-2-1-1+3)=0， 所以S%=5×[1-0y+(-2 0)2+(-1-0)2×2+(3-0)2]=° 所以xA=元B,S%<S. 所以选取的B组数据符合题意， 第2课时数据的分组 1.B2.B 3.第一组数据：5,6,9,10. 平均数元，=5+6+9十10-15 离差平方和D-(6-罗)+(6 2)‘+(9-)+(10-2) 空+++空=1 第二组数据：12,14,15. 平均数，=12+14十1541 3 3 离老平方和店=(2-智)+ (4-)°+(5-智)-5+日 1614 93 这两组数据的组内离差平方和D ㎡+D=17+兰g 4.可以按照“工作日（周一至周五）” 和“休息日（周六、周日）”分组，或者按 照“风速较低组”和“风速较高组”（以 中位数为界，中位数为8，故分组为3， 5,6,8和10,12,14).从分析对植被生 长影响的角度，按“风速区间（低风速、 高风速)”分组更能体现风速差异对植 被的影响，即低风速组：3,5,6,8：高风 速组：10,12,14. 5.13解析：原有最优分组验证：第 一组{4,6,8}的平均值=(4+6+8)÷ 3=6,离差平方和=(4一6)2+(6一 6)2+(8-6)2=4十0+4=8.第二组 {12,14}的平均值=(12+14)÷2= 20 13,离差平方和=(12-13)2+(14- 13)2=1+1=2.所以组内离差平方 和=8十2=10，符合题目设定.要保持 组内离差平方和不变，新增x需融入 某组且不增加该组离差平方和，若加 入{4,6,8}，需满足(x一6)2=0，所以 x=6(与原数重合，舍去.若加人 {12,14},需满足(x-13)2=0,所以 x=13(无重复，符合条件).验证：新 分组为{4,6,8}和{12,13,14}，第二组 的平均值仍为13，离差平方和=1+十 0十1=2，组内离差平方和仍为10.此 题可通过计算机验证其余的分组和不 同x的取值， 6.1)因为元，=12=1.5，， 2 3+4+5=4,D=(1-1.5)2+(2- 3 1.5)2=0.5,D=(3-4)2+(4 4)2+(5-4)2=2, 所以a=0.5+2=2.5 因为x=1+2+3+4+5 =3, 5 所以b=2×(1.5-3)2+3X(4 3)2=7.5. (2)c=2.5,d=7.5. (3)由分组的情况可知，把5个数据 分成{1,2}和{3,4,5}或{1,2,3}和{4， 5}两组的组内离差平方和最小，这样 的分组会比较合理 3.4四分位数与箱线图 第1课时四分位数 1.D2.18 3.将这16个数据由小到大排序： -5,-2,-2,-1,-1,-1,2,2,2,2, 3,3,3,5,5,5. 第8个数和第9个数的平均数即为中 位数， 2+2 所以mn=2 =2(℃). 中位数两边各有8个数，它们的中位 数分别是所有数据中的第4、第5个 数据的平均数和第12、第13个数据 的平均数， 所以12s= (-1)+(-1D=-1(℃)； 2 3+3=3(℃) 2 4.(1)健身次数在10~18之间的会