3.3离差平方和与方差同步训练2025-2026学年浙教版数学八年级下册

3.3 离差平方和与方差 同步训练 一、单选题 1．一组数据为5、3、7、2、4、3，则这组数据的中位数与方差分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（    ） A．使每组数据量相等 B．保证组间均值相等 C．减少计算复杂度 D．使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大 3．数据的平均数和离差平方和分别为（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 4．某班级将学生按性别分为两组，计算数学成绩的组间离差平方和．若组间离差平方和为，说明（    ） A．两组学生的数学成绩完全相同 B．两组学生的数学平均成绩相同 C．每组内部学生的成绩没有差异 D．男生成绩都高于女生成绩 5．高一某班有53人，老师对一次数学测试进行了统计分析．由于小王没有参加本次集体测试，因此计算其他52人的平均分为121分，方差．后来小王进行了补考，成绩为121分，关于该班成绩分析，下列说法正确的是（   ） A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小 C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变 6．学校举行秋季运动会，仪仗方队一组6名队员的身高（单位：）分别是：174，178，176，179，174，175，当一名身高为的队员下场休息，现在5名队员身高的平均数和离差平方和与原6名队员相比（    ） A．平均数变大，离差平方和变小 B．平均数不变，离差平方和不变 C．平均数不变，离差平方和变大 D．平均数变小，离差平方和变大 7．甲、乙两人各投掷10次实心球的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差，的描述正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 8．气雾栽培是一种新型的栽培方式，某实验室采用气雾栽培模式，在4个不同氧气浓度的培养室中分别放入10株上海青，记录其生长速度，并将结果记录如下表： 培养室 1号 2号 3号 4号 平均数 1.2 1.1 1.3 1.1 方差 1.8 0.5 0.4 1.8 根据表中数据，若要使上海青快速又稳定地生长，应选择（   ） A．1号培养室 B．2号培养室 C．3号培养室 D．4号培养室 9．数据7，9，11，13，15按组内离差平方和最小原则分两组（一组2个、一组3个），正确分组是（    ） A．{7，9}与{11，13，15} B．{7，11}与{9，13，15} C．{7，15}与{9，11，13} D．{11，15}与{7，9，13} 二、填空题 10．进入决赛的甲、乙两人10次射击平均成绩均为9环，且，，若判定成绩较为稳定的为冠军，则获得冠军的是______．（填“甲”或“乙”） 11．两个城市的春季（3-5月）日间平均气温都是，城市A的温度方差小；城市B的温度方差大（比如：今天暖如夏，过两天可能骤降到，然后又快速回升），喜欢稳定舒适的你，宜选择___城市生活．（填A、B） 12．若一组数据的方差为：，则该组数据的总和为___________． 13．下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差，要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学竞赛，应该选择_____． 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 97 97 98 98 方差 3.6 6.7 3.6 5.2 14．在甲、乙两个梨园随机各采摘5个香梨，称重绘图如下，则甲、乙两个梨园香梨单果重量较为均匀的是________（填“甲”或“乙”） 三、解答题 15．为进一步做好学校消防安全宣传教育工作，增强广大师生的消防安全意识，某校举办了消防知识竞赛，从参赛选手中随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩．结果如下（单位：分）：75，76，77，80，84，85，86，88，90，92． 将这些竞赛成绩数据分成三组： 第一组：75，76，77，80； 第二组：84，85，86； 第三组：88，90，92． 试计算上述分组情况下的组内离差平方和和组间离差平方和． 16．从“河南制造”向“河南智造”跨越，到“智能红利”惠及千万百姓，河南正迎来发展人工智能（）的重要机遇．河南某教育集团举办技术比赛．为了解各校区参赛效果，随机从甲乙两个校区各抽取35名学生参加比赛，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，数据（成绩）分成五组： ，，，，． 下面给出了部分信息：（任何一组的数据都不是完全相同） 信息一：甲校区成绩的频数分布直方图，如图所示； 信息二：甲校区成绩在的数据如下： （单位：分）88，85，88，92，88，88，90，88，88，86，88，88，91； 信息三：甲乙两个校区各抽取的35名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表： 校区 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲 82.6 m n 125.32 乙 82.6 89 88 78.56 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中_______，________； (2)补全频数分布直方图； (3)比赛成绩85分及以上记为优秀，甲校区有315名学生参加比赛，请估计甲校区成绩优秀学生的总人数； (4)综合以上信息，分析甲乙两个校区哪个校区技术掌握得更好？ 17．在观看了2025年国庆大阅兵后，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（用表示学生成绩，所有学生成绩均不低于60分，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：82，83，85，86，87，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 90 10.3 九年级 88 94 11.0 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的_________，_________，_________； (2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校八年级有800名，九年级有700名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 18．随着互联网技术的飞速发展，人工智能得到了越来越广泛的应用，人们越来越习惯借助各种人工智能产品来辅助工作、学习和生活．市场上也涌现出了如、豆包等各类人工智能产品．经过市场调研，小罗决定从，两个人工智能产品中选择一个进行使用．以下是小罗通过调查问卷的方式收集的10位用户对，两个人工智能产品的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．语言交互能力得分 ：5  6  6  8  8  8  8  9  9  10 ：6  6  6  6  7  8  9  9  10  10 b．数据分析能力得分（如下图） c．语言交互能力和数据分析能力得分统计表 统计量产品 语言交互能力得分 数据分析能力得分 平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差 8 8 7.0 7.7 7.5 6.9 7 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：______，______，______（填“＞”或“＜”）． (2)请求出产品语言交互能力得分的平均数； (3)通过以上数据分析，你认为小罗应该选择哪个人工智能产品，至少从两个角度说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 《3.3 离差平方和与方差 同步训练 2025-2026学年浙教版数学八年级下册》参考答案 1．D 【分析】根据中位数和方差的定义解题． 【详解】解：将这组数据从小到大排列：、、、、、， ∴中位数是； 平均数是， ∴方差是． 2．D 【分析】本题考查离差平方和的实际意义．根据离差平方和与数据差异的关联作答即可． 【详解】解：∵离差平方和用于衡量数据间的差异程度， ∴组内离差平方和最小，代表每组组内数据的差异尽可能小， 又∵总离差平方和固定时，组内离差平方和越小，组间离差平方和越大，即组间数据差异尽可能大， ∴该要求的目的是使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大． 故选：D． 3．C 【分析】本题考查平均数的定义和离差平方和的定义，首先根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数差的平方和，进而得出答案． 【详解】解：∵这组数据为，共个数据， ∴平均数为， ∴离差平方和为： ， ， ， ， ∴这组数据的平均数和离差平方和分别为和． 故选：． 4．B 【分析】本题考查组间离差平方和的统计意义，核心是明确该统计量与两组平均成绩的关联． 【详解】解：∵组间离差平方和为， ∴两组学生的数学平均成绩相同，故B选项正确，符合题意， A选项中“成绩完全相同”表述绝对，个体成绩可以不同，但均值相同，说法错误， C选项是组内离差平方和为的含义，不是组间离差平方和为的含义，说法错误，不符合题意， D选项与组间离差平方和无关联，不符合题意． 5．B 【分析】根据平均数，方差的定义计算即可判断结果． 【详解】解：∵小王的成绩和其他52人的平均分相同，都是121分， ∴该班53人的平均分为分，平均分不变； 该班53人的方差为 ， ∴方差变小． 6．B 【分析】本题主要考查了平均数和离差平方和，解题的关键是掌握以上两个公式． 先分别计算原6名队员与现5名队员身高的平均数，再计算两者的离差平方和，通过比较结果得出结论，用到平均数和离差平方和的定义和公式． 【详解】解：∵原6名队员身高总和为， ∴原平均数为； ∵去掉的队员后，5名队员身高总和为， ∴现平均数为； ∴平均数不变； ∵原离差平方和为 ； 现离差平方和为 ； ∴离差平方和不变； 综上，平均数不变，离差平方和不变， 故选：B． 7．C 【分析】本题主要考查了方差，正确理解方差与数据集中性的关系是关键．方差越小，数据越集中，据此可得答案． 【详解】解：由图可知，乙的成绩比甲的成绩更加的集中，所以． 故选：C． 8．C 【详解】解：∵要使上海青快速生长，需要选择平均生长速度更大的培养室，即平均数更大的培养室；要使上海青稳定生长，需要选择生长波动更小的培养室，即方差更小的培养室， 根据表格数据可知，四个培养室中，3号培养室的平均数最大，且方差最小，符合要求， ∴应选择3号培养室． 9．A 【分析】根据离差平方和的定义，分别计算各选项中两组离差平方和的总和，总和最小的分组即为符合要求的分组 【详解】解：选项A、∵组{7，9}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{11，13，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项B、∵ 组{7，11}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{9，13，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项C、∵组{7，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{9，11，13}的平均数为11， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项D、∵ 组{11，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{7，9，13}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为， ∵， ∴选项A的总离差平方和最小，符合组内离差平方和最小原则 10．乙 【分析】本题根据方差的意义判断成绩稳定性，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，比较甲乙两人方差大小即可得到结果． 【详解】已知甲乙两人射击平均成绩相同，，，， 根据方差的性质，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定， 因此乙的成绩更稳定，符合冠军判定要求． 11． A 【分析】根据方差的意义，方差是衡量一组数据波动程度的统计量，方差越小，数据的波动越小，数据越稳定．结合题意选择稳定的城市即可． 【详解】解：已知城市A的温度方差小，说明其春季日间平均气温波动小，更稳定舒适，所以宜选择城市A生活． 故答案为：A． 12．15 【分析】本题主要考查了方差的定义，根据方差公式的定义，先确定数据的个数和平均数，再用平均数乘以数据个数得到数据总和． 【详解】解：由方差的公式可知，该组数据的个数，平均数，根据平均数的定义，数据总和平均数数据个数，即． 故答案为：15． 13．丙 【分析】方差是反映一组数据波动大小的量，方差越大，数据的离散程度越差，稳定性越差，方差越小，数据的离散程度越小，稳定性越好，要选出成绩好且发挥稳定的同学，只需选出平均数较大且方差较小的同学即可． 【详解】解：比较四名同学的平均数可得，， 因此丙和丁的平均成绩更高，成绩更好， 比较丙和丁的方差可得，， 因此丙的方差更小，发挥更稳定， 所以要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学竞赛，应该选择丙． 14．甲 【分析】根据数据的离散程度求解即可． 【详解】解：根据题意，得甲的离散程度比乙的小，故甲梨园香梨单果重量较为均匀． 15．组内离差平方和：24；组间离差平方和： 【分析】先分别计算每组平均数，再计算三组的总平均数，根据组内离差平方和：每个数据与组内均值的差的平方之和，组间离差平方和：各组数据的个数乘以该组平均数与总平均数的差的平方，然后求和．即可解决问题． 【详解】， ， ， ． 因此组内离差平方和． 组间离差平方和． 16．(1)88，88； (2)见解析 (3)估计甲校区成绩优秀学生的总人数是189人 (4)见解析 【分析】（1）先根据总数据个数确定中位数是排序后第几个数据，再找到这个数据即是中位数；观察那个数据出现次数最多，即是众数． （2）先求出甲校区成绩在的人数，根据人数补全频数分布直方图即可； （3）用甲校区的总人数乘以抽取35名学生中成绩在85分及以上的学生占比即可解答； （4）对比两个学校成绩的平均数、众数、中位数、方差，分析哪个校区技术掌握得更好即可． 【详解】（1）解：∵总共有35个数据， ∴中位数是排序后第个数据， ∵前三组频数和为， ∴第18个数据落在组，是该组第个数据， ∵将该组数据排序后，第4个数据为88， ∴中位数； ∵88在甲校区成绩中出现次数最多， ∴众数． （2）解：甲校区成绩在的人数为（人）， 补全频数分布直方图： （3）解： （人）， 答：估计甲校区成绩优秀学生的总人数是189人； （4）解：因为两个校区成绩的平均数、众数均相等，乙校区成绩的中位数（89）高于甲校区（88），方差（78.56）小于甲校区（125.32），说明乙校区成绩整体更集中、更稳定，所以乙校区技术掌握得更好． 17．(1)，， (2)八年级学生的知识竞赛成绩更好，理由见解析； (3)估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有755人． 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据中位数、方差的意义求解即可； （3）八、九年级人数分别乘以对应年级样本中优秀人数所占比例，相加即可． 【详解】（1）解：根据数据，八年级20名学生的竞赛成绩中，93出现次数最多， 所以众数， 由题知，九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据有6个， 所以占，则， 根据扇形图可知，竞赛成绩在C、D占，共名学生， 又20名学生竞赛成绩的中位数为从小到大排列第10、11位的平均值， 所以中位数， 故答案为：93；87.5；30． （2）解：八年级学生的知识竞赛成绩更好， 理由：两个年级的平均数相同，八年级的中位数高于九年级，方差小于九年级． （3）解：根据数据，八年级学生知识竞赛成绩达到优秀占， 又八年级有800名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）； 九年级学生知识竞赛成绩达到优秀占， 又九年级有700名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）； （人）． 答：估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有755人． 18．(1)6，7.5， (2)7.7 (3)小罗应该选择，理由见解析 【分析】（1）根据中位数和众数的定义可求出、的值；根据方差越小，波动越小，方差越大，波动越大，结合折线统计图即可得到方差的大小关系； （2）先算出产品语言交互能力得分的和，再除以10计算平均数； （3）分别从语言交互能力得分、从数据分析能力得分的平均数、中位数与众数进行比较即可进行选择． 【详解】（1）解：的语言交互能力得分中，6分出现的次数最多， 的语言交互能力得分的众数为6分，即； 由数据分析能力得分的折线统计图得， 的数据分析能力得分按从低到高的顺序排列为：3，4，4，6，7，8，9，9，10，10， 的数据分析能力得分的中位数为分，即； 由数据分析能力得分的折线统计图知，的得分的波动程度大于的得分的波动程度，即； 故答案为：6，7.5，； （2）解：产品语言交互能力得分的平均数为：； （3）解：小罗应该选择， 理由如下：从语言交互能力得分来看，和的平均数一样，但是的中位数和众数均高于；从数据分析能力得分来看，的平均数高于，且的中位数也大于． 学科网（北京）股份有限公司 $