2.2 一元二次方程的解法-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（浙教版·新教材）

移项、合并同类项，得一5x2-42x+ 27=0. 这个方程的二次项系数为一5，一次项 系数为-42，常数项为27. 方法归纳 将一元二次方程化为 一般形式的步骤 (1)去分母、去括号： (2)移项、合并同类项； (3)各项系数化成除1外无其 他公约数的形式： 7.C解析：因为方程(k一3)x-1 x一2=0是关于x的一元二次方程， 使-3≠0，解得k=-3.把 所以k1-1=2, k=一3代人不等式kx一2k十6≤0， 得-3x十6十6≤0，解得x≥4. 易错警示 忽略一元二次方程二次项 系数不为0而导致错误 根据一元二次方程的概念求宇 母的值时，既要保证未知数的最高次 数为2，又要保证二次项系数不为0. 8.C解析：因为m是方程2x2一 5.x-8=0的一个根，所以2m2 5m-8=0.所以2m2-5m=8.所 以-4m2+10m+9=-2(2m2 5m)+9=-2×8+9=-7. 9.B解析：因为停车场内车道的宽 度为xm,所以停车位可合成长为 (40-x)m,宽为(22-x)m的长方 形.所以根据题意，得(40一x)(22 x)=520: 10.2解析：将原方程整理，得(m+ 3)x2-(2m+1)x十m=0.由题意，得 m+3-(2m+1)=0,解得m=2. 山.1或0或号或或一号 2 解析：由题意，得Q-b=1 2a+b=2, 或 (2a+b=1, a-b=2, 或 或 a-b=2 2a+b=2 a-b=0·或a-6=2:解得 2a+b=22a+b=0, 4 a=1,a=1, a3 或{ 或 或 b=0 b=-1 2 b=- 3 2 2 a= 3’ a= 3 或 所以a十b的 2 4 6= 6=- 3 3 值为1成0或号或成-号 12.由题意，得a一2≥0,2-a≥0，解 得a=2. 所以b=一1. 因为关于x的一元二次方程ax2十 bx+c=0(a≠0)的一个根是x=1, 所以a+b+c=0. 所以2-1十c=0,解得c=-1. 所以此一元二次方程为2x2一x一 1=0. 13.由题意，得(80一2x)(70一2x)= 3000. 化为一般形式为x2-75.x十650=0. 该方程是一元二次方程. 14.(1)-x2-4x-3=0. (2)由-5.x2-x=1,得-5.x2-x- 1=0. 因为关于x的方程5x2+(m一1)x一 n=0与-5.x2-x-1=0互为“对称 方程”， m-1=-1, 解得 m=0, 所以 (-+(-1)=0, =-1. 所以(m+n)2=(0-1)2=1. 15.由题意，得a2-2026a+1=0. 所以a≠0，a2=2026a-1,a2+1= 2026a. 所以a2-2025u+2026 a2+1 =2026a- 2026 1-2025a+2026a =a-1+ 1 Q2+1-1=20260-1=2026-1= a 2025 2.2一元二次方程的解法 第1课时因式分解法 1.A2.B3.C4.3 5.(1)将方程的左边分解因式，得 x(2x+3)=0. 所以x=0或2x十3=0，解得x1=0, 2 (2)移项、合并同类项，得3x2=12. 7 方程两边都除以3，得x2=4. 直接开平方，得x=士2，即x1=2, x2=-2. (3)将方程的左边分解因式，得x· (x十2-3)=0，即x(x-1)=0. 所以x=0或x一1=0，解得x1=0, x2=1. 6.A解析：由题意，得3.x(2x一1)+ 3(1一2x)=0.将方程的左边分解因 式，得3(2x一1)(x一1)=0.所以 2x-1=0或x-1=0,解得x=2或 x=1. 7.A解析：由2x(x一3)一12x+ 36=0,得2x(x-3)一12(x一3)=0. 所以(x一3)(2x一12)=0，得x一3= 0或2x-12=0,解得x1=3,x2=6. 若等腰三角形的三边长分别为3,3， 6,因为3十3=6，所以不能构成三角 形.若等腰三角形的三边长分别为3， 6,6,因为3+6>6，所以能构成三角 形，此时三角形的周长为3+6十 6=15. 8.D解析：因为x=2m是关于x 的方程3x2一2.x十7m=0的一个根， 所以3×(2m)2一2X2m+7m=0,即 12m2+3m=0,即3m(4m+1)=0,则 3m=0或4m+1=0,解得m1=0, 1 m2=-4 9.9 解析：因为单项式2， y-a+2与一2x2ya是同类项，所以 3a2-a+2=6a,即3a2-a=6a-2. 所以a(3a一1)=2(3a一1).移项，得 a(3a-1)-2(3a-1)=0,即(3a 1)(a-2)=0,则3a-1=0或a-2= 1 0,解得a1=3a,=2.又因为a为整 数，所以a=2.所以当a=2时，(a十 1)2=(2+1)2=9 1 10.2解析：因为关于x的一元二次 方程m.x2+5.x十m2-2m=0有一个 根为x=0,所以m2-2m=0且m≠ 0,解得m=2. 11.一3或4解析：由题意，得[(m+ 2)+(m-3)]-[(m+2)-(m 3)]=24,即(2m-1)2-52=24.所 以(2m-1+7)(2m-1-7)=0.所以 2m-1+7=0或2m一1-7=0，解得 m1=-3,m2=4. 12.(1)移项，得(3x-2)2-(5 4x)2=0. 将方程的左边分解因式，得(3.x一2十 5-4x)(3.x-2-5+4x)=0,即(3- x)(7x一7)=0，则3一x=0或7x 7=0,解得x1=3,x2=1. (2)化简方程，得x2-16=0. 将方程的左边分解因式，得(x十4)· (x一4)=0，则x+4=0或x一4=0， 解得x1=一4，x2=4. (3)移项、合并同类项，得5.x2+ 11.x=0. 将方程的左边分解因式，得x(5x十 11)=0,则x=0或5.x+11=0,解得 11 x1=0,x2= 5 (4)去括号、移项、合并同类项，得 x2-2√5x+5=0. 所以(x-√5)2=0，解得x1=x2=√5. 方法归纳 先观察特征整理方程，再选择 方法求解 解一元二次方程时，要先观察 方程的特征，再选择方法求解.对 于(1)，方程左右两边都是完全平 方的形式，可直接移项后利用平方 差公式分解因式求解：对于(2)(3) (4),要先通过去括号、移项、合并 同类项等过程将原方程化为一般 形式.若整理所得的方程缺少一次 项，则可用平方差公式分解因式后 求解；若缺少常数项，则可用提公 因式法分解因式后求解：若方程的 左边符合完全平方公式的特征，则 可用完全平方公式分解因式后 求解。 13.设小圆形场地的半径为xm. 依题意，得π(x十5)2=2元x2,即(x十 5)2=2x2, 所以(x+5+√2x)(.x+5-√2x)=0. 所以x+5十√2x=0或x+5- √2x=0,解得x1=-5√2十5，x2= 5W2+5. 因为-5√2+5<0， 所以x1应舍去. 所以x=5√2+5. 所以小圆形场地的半径为(5√2十5)m. 14.(1)①原式=(x-4)(x+3). ②原式=(2.x-7)(3.x+5). (2)①因为x2+15x一126=(x一 6)(x+21), 所以(.x一6)(.x+21)=0,即x一6=0 或x十21=0，解得x1=6,x2=-21. ②原方程可化为8.x2-10x十3=0. 因为8.x2-10x+3=(2x一1)(4x- 3), 所以(2x一1)(4x一3)=0，即2.x 1=0或4x-3=0,解得x=2, 4具 (3)因为x2-11x+30=x2+(一5 6)x+(-5)×(-6)=0, 所以(x一5)(x一6)=0，解得x1=5, x2=6. 因为△ABC的两边AB,AC的长分 别是一元二次方程x2-11x+30=0 的两个实数根，且BC=√6I,5+ 62=(√6I)2=61,即AB2+AC= BC2, 所以△ABC是直角三角形. 第2课时配方法(1) 1.C2.A3.D4.(1)x1= 23,x2=-25(2)x1=9, x2=-35.x=3 6.(1)方程的两边同时加上16，得 x2-8x+16=1+16,即(x-4)2=17, 则x-4=√17或x-4=一√17， 解得x1=4十√17，x2=4-√17. (2)移项，得x2十4x=1. 方程的两边同时加上4，得x2+4x+ 4=1+4,即(x+2)2=5,则x+2= √5或x+2=-√5，解得x1=√5-2， x2=-5-2. 8 (3)移项，得x2-6x=4. 方程的两边同时加上9，得x2一6.x十 9=4+9,即(x-3)2=13,则x-3= √13或x-3=-√3，解得x1=3+ √3，x2=3-√13 易错警示 配方时易出现的错误 (1)移项时忘记变号. (2)系数化为1时漏项， (3)方程两边没有同时加上一 次项系数一半的平方 7.A解析：方程5(x-2)2=8可化 为-2)=8，开平方，得x-2 +20 .所以，=2-2 5 5,x2= 2+2四.因为而5，即√0> 5 3,所以2> 5 >1.所以2 2<1,2+2①>3.所以方程 5 5 的两根中，一根小于1，另一根大于3. 8.B解析：由x2-6.x十q=0可以 配方成(x一)2=7，得x2-6.x十g= (x-p)2-7,所以x2-6x十g=2可 以写成(x一p)2-7=2,即(x p)2=9. 9.C解析：x2十6x十c=0,x2十 6x=-c,x2+6.x+9=一c+9,(x十 3)2=-c十9.因为(x+3)2=2c,所以 2c=一c十9，解得c=3. 10.一10解析：因为易知关于x的 一元二次方程a.x2=b(ab>0)的两个 根互为相反数，所以m十1十2m一4= 0,解得m=1.所以关于x的一元二 次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别 为2与-2.所以x2=。=4,所以原 a 式=2-3×6=2-3×4=-10. 11.x1=一8，x2=3解析：由题意， 易知关于x的一元二次方程a(x m十5)2+k=0的两个根分别比关于 x的一元二次方程a(x一m)2+k=0 的两个根小5.因为方程a(x一m)2十 k=0的根为x1=一3，x2=8,所以方 程a(x一m十5)2十k=0的根为x1= -8,x2=3. 12.当y1=y2时，x2+24x-3 18x+6. 化简，得x2+6x=9. 方程的两边同时加上9，得x2+6x十 9=18,即(x+3)2=18,则x+3= 3√2或x十3=-3√2，解得x1= -3+3√2，x2=-3-3√2. 所以当x=-3+3√2或-3-3√2时， y1=y2. 13.(1)⑤ (2)因为x2+2x-8n2=0, 所以x2+21.x=8n2 所以x2十2x十n2=812+n2. 所以(x十n)2=9n2. 所以x+n=士3n,解得x1=2, x2=4n. 14.(1)由题意，得4△3=42-32= 16-9=7. (2)由题意，得(x+2)△5=(x+ 2)2-52. 因为(x+2)△5=0， 所以(x+2)2-52=0,即(x+ 2)2=25, 所以x+2=士5，则x+2=5或x+ 2=-5. 所以x1=3,x2=-7. (3)因为3△(x-8)=0, 所以9-(x-8)2=0,解得x1=11, x2=5. 分两种情况讨论： ①当11是直角三角形的斜边长时， 第三边的长为√1一5=46： ②当11是直角三角形的一条直角边 的长时，第三边的长为√1+5= √/146 综上所述，第三边的长为4√6或 √146. 15.(1)5:2;-2;-8. (2)原方程可变形为[(x-1)-4]· [(.x-1)+4=6, 所以(x一1)2一42=6. 所以(x-1)2=6十42. 解得x1=1+√22，x2=1-√22. 第3课时配方法(2) 1.A2.D3.-6或64.1 5.(1)去分母，得x2+4x一4=0. 移项，得x2十4x=4. 方程的两边同时加上4，得x2+4x十 4=4+4,即(x+2)2=8,则x+2= 22或x十2=-2W2, 所以x1=-2十2W2,x2=-2-22. (2)方程的两边同时除以3，得x2 42 3x-3=0. 移项，得x2一4，=2 3x=3 方程的两边同时加上号，得一 +-+即() 4. √10 3 所以x,= 2+√10 3 (3)方程的两边同时除以一2，得 7 x2+2x-2=0. .7 移项，得x+2x2 方程的两边同时加上得+子十 、7 是2号(+-器则+ 2=9或x+4=-4' 4=41 所以x=2x2=一4 (4)方程的两边同时除以4，得x2 1 =3x. 移项，得x2-3x= 1 9 方程的两边同时加上4，得x +-+即(》- 则一四或x四 2” 所以=3+西.3-0 2x2= 2 9 6.C解析：方程2x2-bx十a=0的 两边同时除以2并移项，得x2 1=一？，方程的两边同时加上 b (),得-合x+() -号+()，即(x-)》 。因为解关于x的一元二次方 程2x2-br+au=0,得x-3= 2 士所以-冬解得6=6 7.B解析：由(x-c)2=4c2,可得 x-c=士2c,所以x一c=-2c或.x c=2c,解得x1=-c,x2=3c.因为 c<0,所以-c>0,3c<0.又因为方程 的一个根为x=1,所以一c=1,即 c=一1.所以原方程为[x一（一1）]2 4×(-1)2,化为一般形式，得x2+ 2x一3=0.方程的两边同时除以3，得 子2+号-1=0所以u=子6 1 号所以u-动=号-2=-1子 8号或-4 解析：因为代数式 2x2+7.x-1的值与代数式x2-19的 值互为相反数，所以2x2十7x一1= 一(x2-19).整理，得3.x2+7x-20= 0.移项，得3.x2+7x=20.方程的两边 同时除以3，得+子=婴配方， 得+子：+器-器 所以 (+名)°-器所以x+日=号或 一4所以当x=号或一4时，代数式 2x2+7x-1的值与代数式x2-19的 值互为相反数. 9.二解析：因为2x2+8x-32=0, 所以x2+4x-16=0.所以x2+4x十 4-4-16=0,即(x+2)2-20=0.所 以=2，g=一20.所以直线对应的函 数表达式为y=2x-20,此直线经过 第一、三、四象限，不经过第二象限 10.1解析：因为配方后为(x十 1)2=d,即x2+2x+1=d,即x2+ 2.x十1一d=0,所以原方程为a.x2十 2a.x+a-ad=0.所以b=2a. 一1. 所以2a 11.(1)整理，得x2-1 2x=2. 方程的两边同时加上。，得 2+品-+6即()-器 则}成= √/33 4 解得x,=1十3 4 4 (2)整理，得x2-2x=35. 方程的两边同时加上1，得x2一2x+ 1=35+1,即(x-1)2=36,则x-1=6 或x-1=-6,解得x1=7,x2=-5. 12.因为5x2=2(√15.x-1), 所以5x2-2W√15x=-2. 所以(W5x)2-25x·5=-2. 所以(5x)2一2√5x·√3+(3)2 -2+(5)2 所以(W5x-√5)2=1. 所以5x-√5=土1. 5+写a,=E5 所以西=压⑤ 55 13.(1)原式=3(x2-2x)+2= 3(x2-2x+1-1)+2=3(x 1)2-1. 因为3(x-1)2≥0， 所以3(x-1)2-1≥-1，且当x=1 时，3(x-1)2-1的值最小，为-1. (2)原式=-2(x2-2x)+8 -2(x2-2x+1-1)+8=-2(x 1)2+10. 因为(x-1)2≥0， 所以-2(x-1)2≤0. 所以-2(x-1)2+10≤10，且当x=1 时，一2(.x一1)2+10的值最大，为10. (3)(3.x3-2x2-4x+1)-(3x3+ 4x+10)=-2.x2-8.x-9=-2(x2+ 4x)-9=-2(x2+4x+4-4) 9=-2(x+2)2-1. 因为(x+2)2≥0， 所以-2(x+2)2≤0. 所以-2(x+2)2-1-10. 所以对于任意实数x,恒有3.x3 2.x2-4x+13.x3+4x+10. (4)x2+4y2+8x-8y+28=x2+ 8x+16-16+4y2-8y+4-4+28= (x+4)2+4(y-1)2+8. 因为(x+4)2+4(y-1)2≥0， 所以(x+4)2+4(y-1)2+8≥8>0. 所以无论x取何值，多项式x2十 4y2+8x-8y+28的值总是正的. 一方法归纳 用作差法比较两个代数式的大小 比较两个代数式A,B的大小 关系时，可运用作差法，求得A一B 的结果，若结果是二次代数式，则 可对其运用配方法化成(x十 m)2+(y+n)2+h或-(x+ m)2-(y+n)2-h(h≥0)的形式， 根据(.x十m)2和(y十n)2的非负 性，可确定A一B≥0或A一B0, 从而确定A≥B或AB, 第4课时公式法 1.D2.A3.A4.-3±5 2 6.(1)原方程可化为2.x2一x一6=0， 则a=2,b=-1,c=-6,b2-4ac= (-1)2-4×2×(-6)=49>0. 所以x=二（-1)±g 2×2 3 所以x1=2,x2=-2· (2)原方程可化为3x2-2x十1=0， 则a=3,b=-2,c=1,b2-4ac= (-2)2-4×3×1=-80. 所以原方程没有实数根 (3)原方程可化为2x2+8x一7=0， 则a=2,b=8,c=-7,b2-4ac= 82-4×2×(-7)=120>0. -8±√/120 所以x=- 2×2 所以x,= -4+√30 -4-w√/30 2 2 (4)原方程可化为y2+6y+9=0,则 10 a=1,b=6,c=9,b2-4ac=62-4× 1×9=0. 所以y=一6±6 2 =-3. 所以y1=y2=一3. 易错警示 公式法解一元二次方程的注意事项 (1)公式法是解一元二次方程 的万能方法，适合所有一元二次方 程，但使用该方法时，必须先把方 程化为一般形式。 (2)运用公式法解一元二次方 程，在确定a,b,c的值的时候，要 注意其符号，因其运算量较大，要 仔细计算. (3)当b2一4ac≥0时，一元二 次方程有实数根，当b2一4ac<0 时，一元二次方程没有实数根. 7.D解析：解方程x2十bx十c=0, 得工=二b士公c,则较小的根 m=二6-VB2-4c 所以b+ 2 √Jb2-4c=-2m. 8.D解析：根据题意，得(x十2) 5=(.x+2+1)2一(x+2)×5=0.整 理，得x2+x-1=0.因为b2-4ac= 5>0,所以x=- -1士W5 2 所以x1= -1+5 -1-5 2x2= 2 9.B解析：因为b2-4ac=[-(k+ 4)]-4(k+3)=k+8k+16-4k 12=k2+4k+4=(k十2)2≥0，所以无 论飞为何值，方程总有两个实数根.故 C错误.当k=一2时，b2-4ac=0,此 时方程有两个相等的实数根.故A,D 均错误，因为x=+4+2,所 2×1 以x1=k十3，x2=1.所以无论k为何 值，方程总有一个固定不变的实数根 1.故B正确， 10.一2解析：因为关于x的一元二 次方程x2十bx十c=0有两个相等的 实数根，所以根的判别式为b2一4c 0.所以b2=4c.所以b2-2(1+2c)= 4c-2-4c=-2. 11.(1)由题意，得m≠0，且 [-(2m-3)]2-4m(m-1)≥0，解得 m≤骨且m≠0， 所以m的取值范围是m≤号且 m≠0. (2)由(1)知，m的取值范围内最大的 负整数为一1， 所以此时方程可整理为x2一5.x+ 2=0. 所以a=1,b=-5,c=2. 所以b2-4ac=25-4×1×2= 17>0. 所以x=5±7 2X1 所以x,=5+ 5-√17 -,℃2= 2 2 1 12.先解方程y+6y-49×7=0, 即y2+6y-7=0,解得y1=1, y2=-7. 所以方程49x2+6x-7=0的两个 一71 根是x1=49x=49=一7 13.(1)-8.x2+2x+1=0. (2)子互为倒数 由公式法可知，一元二次方程ax2十 bx十c=0的两根为x1= -b+√62-4ac 2a ,x2 一b-√Bc,其“友好方程” 2a cx2十bx十a=0的两根为x3= -b+√6-4ac 2c ,xb-Vb-4ac 所以x,·,=-b+Y0-4a. 2a -b-√6-4ac_b2-(b2-4ac） 2c Aac 4=1,x2·x3= -b-√62-4ac A -b+v62-4ac 62-(62-4ac) Aac 4ac一1. Aac 故原方程的两根与其“友好方程”的两 根分别互为倒数， (3)因为方程2026.x2+bx-1=0的 1 两根是x1=一1，x2=2026' 所以该方程的“友好方程”一x2十 bx十2026=0的两根为x3=一1， x4=2026,即方程x2-bx-2026=0 的两根为x=一1或x=2026. 因为(x一1)2一bx+b=2026,即(x 1)2-b(x-1)-2026=0, 所以将(x一1)看成一个整体，则可知 x-1=-1或x-1=2026 所以所求方程的根为x1=0,x2= 2027. 专题特训二用恰当的方法 解一元二次方程 1.C 2.1)原方程可变形为x2=号十5， 4 即x2=49 9 直接开平方，解得工了，=一子 (2)原方程可变形为(x一1)2=3， 直接开平方，得x一1=土√3 所以x1=3+1,x2=-3+1. 3.(1)方程的两边同时加上12，得 x2+24.x+122=9856+122,即(x十 12)2=10000,则x+12=100或x+ 12=-100,解得x1=88,x2=-112. (2)原方程可变形为x2一6x 8091=0. 移项，得x2一6.x=8091. 方程的两边同时加上3，得x2 6x+32=8091+32,即(x-3)2= 8100,则x一3=90或x一3=一90， 解得x1=93,x2=-87. 4.C解析：解方程2x2一2x一1=0， 得-告厘_15，所以原方程 2×2 2 的两根为x= 1+5或x=15 2 2 因为>，所以较大实数损 2 1因为1<<，所以2 1+5<3.所以1<1+5<号<2， 2 2 11 即1<x1<2. 5.原方程可变形为3x2一4x一2=0. 因为a=3,b=-4,c=-2, 所以b2-4ac=(-4)2-4×3× (一2)=40. 所以x=4生40 6 所以x,= +而，，=2=四 3 3 6.(1)将原方程移项，得(x一2)2 2x(x-2)=0. 将方程的左边分解因式，得(x一2 2x)(x一2)=0，即(-x一2)(x 2)=0,则-x-2=0或x-2=0,解 得x1=-2,x2=2. (2)将原方程移项，得2(x一4)2一 (x+4)(x-4)=0. 将方程的左边分解因式，得(x一4)· [2(x-4)-(x+4)]=0,即(x-4)· (x一12)=0，则.x一4=0或x一12= 0,解得x1=4,x2=12. 7.(1)将原方程去括号、移项，得 x2+2x-15=0. 将方程的左边分解因式，得(x一3)· (x+5)=0. 所以x-3=0或x+5=0. 所以x1=3,x2=-5. (2)将原方程去括号、移项，得2x2+ 2.x-1=0. 所以a=2,b=2,c=-1. 所以b2-4ac=22-4X2×(-1)= 12>0. 所以x= -2±√12_-1±5 2×2 2 所以x1= -1+5 -1-√3 2 2 8.(1)C. (2)因为9r-32-3+}r+ 2x=0,易知x≠0， 所以将3看成“未知数”，x看成“已知 数”，则原方程可整理为x·3 2+1)3+(+2)=0，则 a=x,b=-（x2+1),c= 4 2.拔尖特训·数学（浙教版）八年级下 2.2一元二次方程的解法 第1课时因式分解法 “答案与解析”见P7 基础进阶 幻素能攀升 1.我们解一元二次方程2x2一8x=0时，可以运 6.若代数式3x(2x一1)和3(1一2x)的值互为 用因式分解法，将此方程化为2x(x一4)=0， 相反数，则x的值为 () 从而得到2x=0或x一4=0，进而得到原方 A1或号 取1发号 程的根为x1=0,x2=4.这种解法体现的数 学思想是 C.1或-2 D.1或2 A.转化思想 B.函数思想 7.若一个等腰三角形的两边长分别是方程 C.数形结合思想 D.公理化思想 2x(x一3)一12x十36=0的两根，则该等腰 ( 2.方程(x一2)2=2x(x一2)的根是 三角形的周长是 A.x1=2,x2=1 B.x1=2,x2=-2 A.15 B.16 C.x1=2,x2=0 D.x1=2,x2=-1 C.12 D.15或12 3.一元二次方程x(x十1)一x=1的根是( 8.已知x=2m是关于x的方程3x2-2x+ 7m=0的一个根，则m的值为 () A.x1=x2=-1 B.x1=x2=1 C.x1=1,x2=-1D.x1=x2=0 1 A.0 B.一4 4.若关于x的方程a.x2+bx十c=3的一个根与 1 元二次方程x2=x的较大根相同，则a十 C.4 D0或} b+c的值为 5.解下列方程： 9已知单项式ry与-2xya为整 (1)2x2+3x=0. 数)是同类项，则代数式(a+1)的值为 10.已知关于x的一元二次方程mx2+5.x+ m2-2m=0有一个根为x=0,则m= (2)2x2-3=-x2+9. 11.新考法·新定义题对于实数a,b,定义运算 “◎”如下：a◎b=(a十b)2一(a一b)2,等式 右侧为通常的混合运算.若(m十2)◎(m 3)=24,则m= (3)x(x+2)-3x=0. 12.*解下列方程： (1)(3x-2)2=(5-4x)2 20 第2章一元二次方程 (2)(x+3)(x-3)=7. 思维拓展 14.新考法·阅读理解由多项式的乘法法则知， 若(x十a)(x十b)=x2十x十q,则力=a十 b,q=ab;反过来，要将多项式x2十x十q 进行分解，关键是找到两个数a,b,使a十 b=p,ab=q.如对多项式x2一3x十2，有 (3)4x=5x2+15x. p=-3,q=2,a=-1,b=-2,此时 (-1)+(-2)=-3,(-1)×(-2)=2,故 x2-3x+2可分解为(x一1)(x-2),即 x2-3x十2=(x-1)(x-2). (1)运用上述方法分解因式： ①x2-x-12. (4)x(x-√5)=5x-5. ②6.x2-11x-35. (2)结合上述分解因式的方法，解下列 方程： ①x2+15.x-126=0. ②2x(4x-5)=-3. (3)已知△ABC的两边AB,AC的长分别 13.如图，把小圆形场地的半径增加5m后得到 是一元二次方程x2一11x十30=0的两个实 大圆形场地，场地的面积增加了一倍，求小 数根，且BC=√6I,试判断△ABC的形状 圆形场地的半径 (按角分). (第13题) 2 拔尖特训·数学（浙教版）八年级下 第2课时配方法(1) >“答案与解析”见P8 自基础进阶 幻素能攀升 1.下列方程中，能直接用开平方法解的是( 7.关于方程5(x一2)2=8的两个根，下列判断 A.3.x2-2x=0 B.x2-6.x+2=0 中正确的是 () C.(x-5)2=9 D.3.x2+10=-1 A一根小于1，另一根大于3 2.(2025·杭州上城期末)用配方法解方程 B.一根小于一2，另一根大于2 x2一4x一9=0时，原方程应变形为( C.两个根都小于0 A.(x-2)2=13 B.(x-2)=11 D.两个根都大于2 C.(x-4)2=11 D.(x-4)2=13 8.已知关于x的方程x2一6x+q=0可以配方 3.(2025·绍兴柯桥期末)已知一元二次方程 成(x一p)2=7的形式，则x2一6x十q=2可 x2-4x+m=0可配成(x一n)2=1,则m+ 以配方成 n的值为 ( A.(x-p)2=5 B.(x-p)2=9 A.-1B.1 C.-5D.5 C.(x-p+2)2=9D.(x-p+2)2=5 4.(1)方程2x2-24=0的解是 9.(2025·杭州西湖期中)若关于x的一元二次 (2)方程(x-3)2=36的解是 方程x2+6x+c=0配方后得到方程(x十 5.若x=-3是关于x的一元二次方程ax 3)=2c,则c的值为 () 9=0的一个根，则这个方程的另一个根是 A.-3B.0 C.3 D.9 10.若关于x的一元二次方程ax2=b(ab>0) 6.易错题用配方法解下列方程： 的两个根分别是m十1与2m一4，则式子 (1)x2-8x=1. 2a一30的值是 0 11.若关于x的一元二次方程a(x一m)2十k= 0(m,k均为常数)的根是x1=一3，x2=8, 则关于x的一元二次方程a(x一m十5)2十 (2)x2+4x-1=0. k=0的根是 12.已知y1=x2+24x-3,y2=18x十6，则当x 取何值时，y1=y2? (3)x2-6x-4=0. 22 第2章一元二次方程 13.有n个关于x的方程：x2十2x一8=0，x2+m思维拓展 2X2x-8X22=0,…,x2+2.x-8m2=0. 15.新考法·阅读理解小明在解一元二 小静同学解第一个方程x2+2x一8=0的 次方程时，发现有一种解法如下. 步骤如下：①x2+2x=8;②x2+2x+1= 解方程：x(x十4)=6. 8+1;③(x+1)2=9;④x+1=±3； 解：原方程可变形为[(x+2)一2][(x+ ⑤x=1±3；⑥x1=4,x2=-2. 2)+2]=6, (1)小静同学的解法是从步骤 开 所以(x+2)2-22=6. 始出现错误的（填序号） 所以(x+2)2=6+2. (2)用配方法解第n个方程x2十2mx 所以(x+2)2=10. 8m2=0(用含有n的式子表示方程的根). 解得x1=-2+√10，x2=-2-√10. 我们称小明的这种解法为“平均数法” (1)以下是小明用“平均数法”解方程(x十 3)(x+7)=5时写的解题过程， 解：原方程可变形为[(x+a)一b][(x+ a)+b]=5, 所以(x+a)2-b2=5. 所以(x+a)2=5+b2. 解得x1=c,x2=d(c>d) 上述过程中的a,b,c,d表示的数分别为 14.在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则 为a△b=a2一b,根据这个规则，解决下列 (2)请用“平均数法”解方程：(x一5)(x十 问题 3)=6. (1)求4△3的值 (2)当(x十2)△5=0时，求x的值 (3)已知一个直角三角形的两边长是方程 3△(x一8)=0的两个根，求第三边的长， 23 拔尖特训·数学（浙教版）八年级下 第3课时配方法(2) >“答案与解析”见P9 自基础进阶 (3)-2x2-7x+4=0. 1.(2025·金华婺城段考)用配方法解方程 2x2一x一1=0时，变形结果正确的是( A.(-)-8 B(-》- c(-)-将D(-)=8 （4)4x2-1=12x. 2.用配方法解方程，x2-x一2=0的步骤依次 如下：①x2-2x=4;②x2-2x+1=5; ③(x一1)2=5；④x=√5+1.开始出现错误 的步骤是 幻素能攀升 A.① B.② C.③ D.④ 6.小刚用配方法解关于x的一元二次方程 3.已知k为实数，若方程9x2一kx十1=0的左 边可以写成关于x的完全平方式的形式，则 2r十a=0得x-8士 2 ,则b的 k的值为 值为 () 4.用配方法解方程3x2一6.x十2=0时，将方 A.-6 B.-3 程变为(x一m)P=号的形式，则m的值为 C.6 D.3 7.用配方法解一元二次方程a.x2十bx十c=0 5.用配方法解下列方程： (a≠0，c<0)得到(x一c)=4c2,从而解得方 022+2x-2=0, 程的一个根为x=1,则a一3b的值为() A.-5 k-1号 c号 D.3 8.当x= 时，代数式2x2+7x一1的值 与代数式x2一19的值互为相反数. (2)3x2-4x-2=0. 9.若方程2x2十8x-32=0能配方成(x十 )十q=0的形式，则直线y=x十q不经 过第 象限 10.已知关于x的一元二次方程a.x2十bx十c 0(a,b,c是常数，a≠0)配方后为(x十1)2 d(d为常数)，则力 24 第2章一元二次方程 11.用配方法解下列方程： 劭思维拓展 (1)(x+1)(2x-3)=1. 13.★新考法·阅读理解阅读材料，并回 答问题 通过对实数的学习，我们知道 x≥0，由此可以得出(a士b)2的值为非负 数，如探求多项式2x2十8x一3的最小值 (2)x(2x+1)=5.x+70. 时，我们可以这样处理： 解：原式=2(x2+4x)-3=2(x2十2x·2十 22-22)-3=2(x+2)2-11. 因为2(x+2)2≥0， 所以2(x+2)2一11≥-11，且当x=-2 12.大家知道用配方法解一般形式的一元二次 时，2(x+2)2-11的值最小，为一11. 方程时，都要先把二次项系数化为1，再进 (1)求多项式3x2一6x+2的最小值，并写 行配方.小聪在解方程3x2-2√3x一1=0 出对应的x的值. 时，没有先把二次项系数化为1，而是用如 (2)求多项式8-2x2十4x的最大值 下方法解答 (3)对于任意实数x,试比较代数式3x3 解：因为3x2-2√3x-1=0, 2x2-4x+1与3.x3+4x+10的值的大小. 所以(3x)2-2√3x-1=0. (4)求证：无论x取何值，多项式x2十 所以(3x)2-2√3x=1. 4y2+8x一8y+28的值总是正的. 所以(3x)2-2√3x+1=1+1. 所以(5x一1)2=2. 所以W3x一1=土√2. 所以x,=5+6=尽6 3 3x2=3-3 请模仿小聪的解法解方程：5.x2=2(√15x一1). 25 拔尖特训·数学（浙教版）入八年级下 第4课时公式法 >“答案与解析”见P10 自基础进阶 (2)x(3.x-2)+1=0. 1.利用公式法解得一元二次方程3x2-11x 1=0的两根为x1=a,x2=b,且a>b,则a 的值为 ( (3)2(x+1)2=9-4x. A.-11+/109 B-11+133 6 6 C.11+109 (4)y(y+4)=-2(y-1)-11. 6 D 11+/133 6 2.(2025·杭州西湖期中)在用求根公式x -b士√B=4ac求一元二次方程ax+bx+十 幻素能攀升 2a 7.若关于x的方程x2+bx+c=0的较小的根 c=0的根时，小用正确地代入了a,b,c的 为x=m(m≠0)，则b+√b一4c的值为 值，得到x=3±√-3)-4×2×(-D ,则 () 2X2 她求解的一元二次方程是 A.m B.-m C.2m D.-2m A.2x2-3x-1=0B.2x2+4x-1=0 8.新考法·新定义题若在实数范围内定义一种 C.-x2-3x+2=0D.3.x2-2x+1=0 运算“￥”，使a￥b=(a十1)2一ab,等式右侧 3.(2025·扬州)关于一元二次方程x2-3x+ 为通常的混合运算，则方程(x十2)*5=0的 1=0的根的情况，下列结论中正确的是（ 根是 () A.有两个不相等的实数根 A.x1=x2=-2 B.有两个相等的实数根 B.x1=2,x2=3 C.没有实数根 C.x1=-1+3 2=二15 D.只有一个实数根 2 2 4.已知关于x的方程x2十3mx+m2=0的一 -1+√5 -1-√5 D.x1= 2 C2= 2 个根是x=1,则m= 9.(2025·浙江期中)已知关于x的方程x2 5.(2025·上海)如果一元二次方程2x2+x十 (k十4)x十k+3=0,则下列说法中，正确 m=0没有实数根，那么m的取值范围是 的是 A.无论k为何值，方程有两个不相等的实数根 6.易错题用公式法解下列方程： B.无论k为何值，方程总有一个固定不变的 (1)4x2-12=2x. 实数根 C.至少存在一个k的值，使得方程没有实数解 D.不存在k的值，使得方程有两个相等的实 数根 26 第2章一元二次方程 10.(2025·绍兴三模)若关于x的一元二次方 请按材料中所提供的方法解方程49x2+ 程x2+bx十c=0有两个相等的实数根，则 b2-2(1+2c)= 6- 11.已知关于x的一元二次方程mx2一(2n 3)x十(m一1)=0有两个实数根. (1)求m的取值范围. (2)若m为取值范围内最大的负整数，求此 时方程的根 思维拓展 13.新考法·新定义题定义：我们把关于 x的一元二次方程ax2+bx十c=0 与cx2+bx+a=0(ac≠0，a≠c 称为一对“友好方程”.如2x2一7x十3=0 的“友好方程”是3x2一7x十2=0 (1)写出一元二次方程x2+2x一8=0的 “友好方程”： 12.阅读材料： (2)已知一元二次方程x2+2x一8=0的两 关于x的一元二次方程a.x2十 根为x1=2,x2=一4，则它的“友好方程”的 bx十c=0(a≠0)的根是x= 两根为x3=2,x4= 根据以上结 一b士B=4ac,关于y的方程 2a 论，猜想a.x2+bx十c=0的两根x1,x2与 y+by十ac=0的根是y=-b士yB-4ac 其“友好方程”cx2十bx十a=0的两根x3, x4之间存在的一种特殊关系为 因此，要求方程a.x2十bx+c=0(a≠0)的 并证明你的结论， 根，只要求出方程y2十by十ac=0的根，再 (3)已知关于x的方程2026.x2+bx-1=0 除以a就可以了. 的两根是1=一12，=2026请利用(2)中 举例：解方程72x2+8x+ 60. 的结论，求出关于x的方程(x一1)2一bx十 解：先解方程y2+8y十72×日=0，得 b=2026的根. y1=一2，y2=-6, 所以方程722+8x+言 =0的两个根是 -2 6 1 1=72=72,即1=- 36x2 1 12 27