2.1 一元二次方程和它的解-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（浙教版·新教材）

(25+3√2)=(25)2-(3√2)2= 12-18=-6. (2)原式=(5√2)2-(25)2-(5 2√10+2)=50-20-7+2√/10= 23+2√10 典例6(1)因为x=√5+√2，y 5-2, 所以x+y=(5+√2)+（√5 √2)=25，xy=(W3+√2)X(5 2)=3-2=1. (2)因为x+y=2W3,xy=1, 所以x2-xy+y2=(x+y)2-3.xy (23)2-3×1=12-3=9. [变式灯-6解折：原武=（合 )÷a+。-0= b (a+b)(a-2=-2(a十b).当a= b √3一2，b=5一3时，原式=一2× (√3-2+5-√3)=-2×3=-6. 典例7因为CB⊥AB,∠CAB=45°， 所以△ABC是等腰直角三角形 所以AB=BC=10m. 因为新坡面DC的坡比为1：√5， 所以% -3 所以BD=10√3m. 所以AD=BD-AB=10V3-10≈ 7.32(m). 因为3+7.32=10.32(m),10.32>10, 所以距离原坡面底部(，点A处)10m 的建筑物需要拆除 [变式](1)3√2.解析：根据题意， 得裁出的正方形纸片A的边长为 √18=3√2(cm) (2)根据题意，得裁出的正方形纸片 B的边长为√32=4√2(cm),则长方 形纸片的长为3√2+4√2=72(cm), 宽为4√2cm, 所以涂色部分的面积为7√2×4√2 (18+32)=56-50=6(cm). (3)不能裁出. 理由：面积均为25cm的两张正方形 纸片的边长均为√J25=5(cm),5+ 5=10(cm), 由(2)知，长方形纸片的长为7√2cm, 而10=√100,7√2=√98， 所以10>7√2 所以不能在长方形纸片上裁出面积均 为25cm的两张正方形纸片. [综合素能提升] 1.A解析：因为√a-2025有意义， 所以a一2025≥0.所以a≥2025.所 以2024-a<0.所以|2024-a|+十 Wa-2025=a-2024+√/a-2025 a.所以√a-2025=2024.所以a= 2024+2025.所以a-20242= 20242+2025-20242=2025. 2.C解析：因为m￥n=m(m n)+n(m+n),所以√2*√5= √2(W2-√5)+√5（√2+√5）=2- √10+√10+5=7. 3.C解析：因为x=5,3,所以 2 +1=5,1x+2=51x+3 2 2 ,所以原式-6.3×× 2 2 5+1×5+3_W5-3)(5+3)× 2 4 (√5-1)(5+1) =-1×1=-1. 4 4.45+3解析：根据题意，得a 2√5=0，a-b-1=0,c-4=0,所以 a=2W5,b=2W5-1,c=4.所以这个 三角形的周长为25+2√5-1+4= 4V5+3. 53E解析：瓜·（告+ 1)=ab.2+-ab ab (a+b)2-3ab.因为a=5+1,b= ab √5-1，所以a+b=25,ab=(√5+ 1)(√3-1)=2.所以原式= 25)2-3X2_12_6=32. √2 6.因为正方形①②的面积分别为4 6 和3， 所以正方形①的边长为2，正方形② 的边长为5. 所以正方形③的边长为2一√5. 所以阴影部分长方形的宽为2一√3， 长为5-(2-3)=25-2. 所以阴影部分的面积为(2√3一2)× (2-5)=45-6-4+25=65-10. 7.原式=(7+√5)(2√7-2√5) (3+18+6√6)=2(7+√5)（√7 √5)-(21+6√6)=2×2-21-6√6= -17-6√6 8.(1)6.解析：因为32与√2是关 于c的共和二次根式，所以c=3√2× 2=6. (2)因为a与5一√5是关于4的共和 二次根式， 所以a(√5一√3)=4. 4 所以a= 5-√3 4(√5+√3) =25+25 (√5-√3)(5+√3) (3)因为3+√3与6+√3m是关于12 的共和二次根式， 所以(3+√3)(6+√5m)=12. 所以6+5m=12 3+5 12(3-√3) =6-25. (3+3)(3-√5) 所以m=一2. 第2章一元二次方程 2.1一元二次方程和它的解 1.B2.A3.D4.B5.≠1 m-1-m5 6.(1)去括号，得x2-3十4x2 4x+1=0. 合并同类项，得5.x2-4x-2=0. 这个方程的二次项系数为5，一次项 系数为一4，常数项为一2. (2)原方程可化为4(x2一6x+9) 9(.x2+2.x+1). 去括号，得4x2-24x十36=9x2十 18x+9. 移项、合并同类项，得一5x2-42x+ 27=0. 这个方程的二次项系数为一5，一次项 系数为-42，常数项为27. 方法归纳 将一元二次方程化为 一般形式的步骤 (1)去分母、去括号： (2)移项、合并同类项； (3)各项系数化成除1外无其 他公约数的形式： 7.C解析：因为方程(k一3)x-1 x一2=0是关于x的一元二次方程， 使-3≠0，解得k=-3.把 所以k1-1=2, k=一3代人不等式kx一2k十6≤0， 得-3x十6十6≤0，解得x≥4. 易错警示 忽略一元二次方程二次项 系数不为0而导致错误 根据一元二次方程的概念求宇 母的值时，既要保证未知数的最高次 数为2，又要保证二次项系数不为0. 8.C解析：因为m是方程2x2一 5.x-8=0的一个根，所以2m2 5m-8=0.所以2m2-5m=8.所 以-4m2+10m+9=-2(2m2 5m)+9=-2×8+9=-7. 9.B解析：因为停车场内车道的宽 度为xm,所以停车位可合成长为 (40-x)m,宽为(22-x)m的长方 形.所以根据题意，得(40一x)(22 x)=520: 10.2解析：将原方程整理，得(m+ 3)x2-(2m+1)x十m=0.由题意，得 m+3-(2m+1)=0,解得m=2. 山.1或0或号或或一号 2 解析：由题意，得Q-b=1 2a+b=2, 或 (2a+b=1, a-b=2, 或 或 a-b=2 2a+b=2 a-b=0·或a-6=2:解得 2a+b=22a+b=0, 4 a=1,a=1, a3 或{ 或 或 b=0 b=-1 2 b=- 3 2 2 a= 3’ a= 3 或 所以a十b的 2 4 6= 6=- 3 3 值为1成0或号或成-号 12.由题意，得a一2≥0,2-a≥0，解 得a=2. 所以b=一1. 因为关于x的一元二次方程ax2十 bx+c=0(a≠0)的一个根是x=1, 所以a+b+c=0. 所以2-1十c=0,解得c=-1. 所以此一元二次方程为2x2一x一 1=0. 13.由题意，得(80一2x)(70一2x)= 3000. 化为一般形式为x2-75.x十650=0. 该方程是一元二次方程. 14.(1)-x2-4x-3=0. (2)由-5.x2-x=1,得-5.x2-x- 1=0. 因为关于x的方程5x2+(m一1)x一 n=0与-5.x2-x-1=0互为“对称 方程”， m-1=-1, 解得 m=0, 所以 (-+(-1)=0, =-1. 所以(m+n)2=(0-1)2=1. 15.由题意，得a2-2026a+1=0. 所以a≠0，a2=2026a-1,a2+1= 2026a. 所以a2-2025u+2026 a2+1 =2026a- 2026 1-2025a+2026a =a-1+ 1 Q2+1-1=20260-1=2026-1= a 2025 2.2一元二次方程的解法 第1课时因式分解法 1.A2.B3.C4.3 5.(1)将方程的左边分解因式，得 x(2x+3)=0. 所以x=0或2x十3=0，解得x1=0, 2 (2)移项、合并同类项，得3x2=12. 7 方程两边都除以3，得x2=4. 直接开平方，得x=士2，即x1=2, x2=-2. (3)将方程的左边分解因式，得x· (x十2-3)=0，即x(x-1)=0. 所以x=0或x一1=0，解得x1=0, x2=1. 6.A解析：由题意，得3.x(2x一1)+ 3(1一2x)=0.将方程的左边分解因 式，得3(2x一1)(x一1)=0.所以 2x-1=0或x-1=0,解得x=2或 x=1. 7.A解析：由2x(x一3)一12x+ 36=0,得2x(x-3)一12(x一3)=0. 所以(x一3)(2x一12)=0，得x一3= 0或2x-12=0,解得x1=3,x2=6. 若等腰三角形的三边长分别为3,3， 6,因为3十3=6，所以不能构成三角 形.若等腰三角形的三边长分别为3， 6,6,因为3+6>6，所以能构成三角 形，此时三角形的周长为3+6十 6=15. 8.D解析：因为x=2m是关于x 的方程3x2一2.x十7m=0的一个根， 所以3×(2m)2一2X2m+7m=0,即 12m2+3m=0,即3m(4m+1)=0,则 3m=0或4m+1=0,解得m1=0, 1 m2=-4 9.9 解析：因为单项式2， y-a+2与一2x2ya是同类项，所以 3a2-a+2=6a,即3a2-a=6a-2. 所以a(3a一1)=2(3a一1).移项，得 a(3a-1)-2(3a-1)=0,即(3a 1)(a-2)=0,则3a-1=0或a-2= 1 0,解得a1=3a,=2.又因为a为整 数，所以a=2.所以当a=2时，(a十 1)2=(2+1)2=9 1 10.2解析：因为关于x的一元二次 方程m.x2+5.x十m2-2m=0有一个 根为x=0,所以m2-2m=0且m≠ 0,解得m=2. 11.一3或4解析：由题意，得[(m+ 2)+(m-3)]-[(m+2)-(m第2章 一元二次方程 2.1一元二次 边基础进阶 1.(2025·杭州萧山段考)下列方程中，属于一 元二次方程的是 A.x+y=2024 B.3x2-5.x=2 C.x(x2+1)=0 n-=2 2.(2024·金华婺城期中)把一元二次方程 x(x十1)=3x十2化为一般形式，正确的结 果可以是 A.x2-2x-2=0B.x2-2x+2=0 C.x2-3x-1=0D.x2+4x+3=0 3.(2025·舟山期末)已知关于x的一元二次方 程x2十ax+2=0的一个根是x=一2，则a 的值为 () A.-1B.1C.2 D.3 4.(2025·宁波余姚期中)有x支球队参加篮球 比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛 场，则下列方程中，符合题意的是() A.x+1)-45kx-1D=45 C.x(x-1)=45D.x(x+1)=45 5.已知关于x的方程(m一1)x2-mx+5=0, 当m 时，该方程是一元二次方程，方 程的二次项系数为 ,一次项系数为 ,常数项为 6.*把下列方程化成一元二次方程的一般形式， 并写出它们的二次项系数、一次项系数和常 数项. (1)(x-√3)(x+√3)+(2x-1)2=0. 18 方程和它的解 “答案与解析”见P6 (2)4(x-3)2=9(x+1)2. 幻素能攀升 7.易错题若方程(k一3)xk1-1一x一2=0是关 于x的一元二次方程，则不等式kx一2k十 6≤0的解集是 A.x≤0 B.x≤-1 C.x≥4 D.x≤0或x≥4 8.已知m是方程2x2一5x一8=0的一个根， 则一4m2+10m+9的值为 ( A.-16 B.16 C.-7 D.7 9.(2025·杭州期中)如图所示为某地下停车场 的平面示意图，停车场的长为40m,宽为 22m.若停车场内车道的宽都相等，停车位 (涂色部分)的占地面积为520m,求车道的 宽度.设停车场内车道的宽度为xm,根据题 意所列方程为 () 40m 入口 停回 22m 车道 宽度 停车包 出口 (第9题) A.(40-2x)(22-x)=520 B.(40-x)(22-x)=520 C.(40-x)(22-2x)=520 D.(40-x)(22+x)=520 10.若关于x的一元二次方程m(x一1)2= 一3x2十x的二次项系数与一次项系数互为 相反数，则m的值为 11.若2y-b一3y2+b+8=0是关于y的一元 二次方程，则a十b的值为 12.已知关于x的一元二次方程ax2+bx十c= 0(a≠0)的一个根是x=1,且a,b满足b= √a-2+√2一a-1,求此一元二次方程. 13.新情境·日常生活王叔叔从市场上买了一块 长80cm、宽70cm的长方形铁皮，准备用它 制作一个工具箱.如图，他将长方形铁皮的 四个角各剪掉一个相同边长的正方形后，剩 余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm 的无盖长方体工具箱，求被剪掉的正方形的 边长.若设被剪掉的正方形的边长为xcm, 请根据题意列出方程，并将其化为一般形 式，再判断该方程是否为一元二次方程， (第13题) 第2章一元二次方程 思维拓展 4.定义：若关于x的方程a1x2十b1x十c1=0 (a1≠0，a1,b1,c1是常数)与a2x2+b2x十 c2=0(a2≠0，a2,b2,c2是常数)中的二次项 系数、一次项系数、常数项分别满足a1十 a2=0,b1=b2,c1十c2=0,则这两个方程互 为“对称方程” (1)写出方程x2一4x+3=0的“对称方 程”： (2)若关于x的方程5.x2+(m一1)x一n= 0与-5x2一x=1互为“对称方程”，求(m十 n)2的值 5.整体思想已知实数a是一元二次 方程x2-2026x+1=0的一个 根，求代数式a2-2025a+2026 a2+1 的值 19