2.1一元二次方程和它的解 自主学习同步练习题 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

2025-2026学年浙教版八年级数学下册《2.1一元二次方程和它的解》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化成一般形式后，其一次项系数是（    ） A．－4 B．2 C．－2 D．4 3．将方程化成的形式，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．关于x的一元二次方程的一个根是，则的值是（    ） A．2024 B．2026 C．2025 D．2023 5．已知关于x的一元二次方程，其中一次项系数被图迹污染了，若这个方程的一个根为，则一次项系数为（   ） A．2 B． C． D． 6．若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（    ） A．6，3 B．6， C．3， D．6， 7．根据下面表格中列出来的数据，你猜想方程有一个根大约是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．请你写一个一元二次方程，使该方程有一根为1，则这个方程可以是 ． 9．一元二次方程二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 ． 10．若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 11．已知m是方程的一个根，则的值为 ． 12．已知：m、n是方程的两根，则 ． 13．已知关于的一元二次方程（，，为常数，）的解为，，则方程的解为 ． 14．探索一元二次方程的一个正数解的过程如下表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 从表中可以看出方程的一个正数解在相邻整数a和b之间，则整数a，b分别是 ． 三、解答题 15．已知关于x的方程． (1)m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)m为何值时，此方程是一元二次方程？ 16．判断，是不是方程的根． 17．将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4) 18．解答 (1)填表： (2)观察表格，一元二次方程的根有哪些？ 19．先化简，再求值：，其中m是方程的根． 20．请阅读下列材料：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根． 参考答案 1．解：一元二次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程． 选项A：含有分母，不是整式方程，所以A不符合题意； 选项B：中、、未指定为常数且可能为0，不一定是二次方程，所以B不符合题意； 选项C：含有两个未知数和，不是一元方程，所以C不符合题意； 选项D：可化为，只含一个未知数，且未知数的最高次数为2，又是整式方程，所以D符合题意． 故选：D． 2．解：∵原方程，移项得， ∴ 一次项系数为． 故选：A． 3．解：原方程为， 移项得， 与比较得，，． 故选：B． 4．解：由题意可得，是一元二次方程的根， 将代入方程可得，， 化简可得， 将代入可得， 原式， 故选：C． 5．解：设一元二次方程为， 将代入得，，解得，， ∴一次项系数为． 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，理解一元二次方程的根是解题的关键 根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是或， 故选：C． 7．C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的近似解．观察表格数据，可得当时，的值为负，当时，的值为正，从而得到方程根在和之间，即可求解． 【详解】解：∵ 当时，； 当时，； ∴ 方程根在和之间． 故选：C 8．（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 以0和1为根写一个一元二次方程即可． 【详解】解：是方程的一个根， ∴写一个一元二次方程，使该方程有一根为1，则这个方程可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 9． 2 5 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，在一元二次方程中，二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，据此可得答案． 【详解】解：一元二次方程二次项系数是；一次项系数是；常数项是． 故答案为：2；；5． 10． 【分析】本题考查了一元二次方程定义，熟练掌握一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程是解题的关键． 根据一元二次方程定义得出且，即可求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且， 解得：． 故答案为： 11． 【分析】本题考查方程的根的定义，整式的运算，熟练掌握方程的根的定义和整体代入思想是解题的关键，根据题意得到，，再化简，代入即可得到答案． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴ ∴，， ∴ ． 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；由题意易得，然后代入求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程看作是关于的方程，则关于的方程的解满足或，据此可得答案． 【详解】解：把方程看作是关于的方程， ∵关于的一元二次方程（，，为常数，）的解为，， ∴关于的方程的解满足或， 解得或， 故答案为：． 14．1、2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的估算，可求出当时，，当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∵方程的一个正数解在相邻整数a和b之间， ∴， 故答案为：1、2． 15．(1) (2) 【分析】（1）根据方程是一元一次方程二次项系数为0列式求解即可得到答案； （2）根据方程为一元二次方程保证二次项系数不为0列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， 解得； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得； 【点睛】本题考查一元二次方程的定义及一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握定义列等式或不等式． 16．不是方程的根，是方程的根 【分析】分别把，代入方程进行验证即可． 【详解】解：当时，， ∴不是方程的根； 当时，， ∴是方程的根． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟知方程的解即为能使方程两边相等的未知数的值是解题的关键． 17．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称． 【详解】（1）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是； （2）解：方程化为一般形式为，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是； （3）解：方程化为一般形式为，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是； （4）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号． 18．(1)见解析 (2)和 【分析】（1）将的值代入求得代数式的值即可； （2）找到的的值即可． 【详解】（1）解：填表： （2）观察表格，一元二次方程的根有和． 【点睛】考查了代数式求值及一元二次方程的解的知识，解题的关键是代人的值正确的求得的值． 19．； 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，再根据一元二次方程解的定义，得出，再整体代入计算，即可得解． 【详解】解： ， ∵m是方程的根， ∴，即 ； 【点睛】本题考查了分式的化简求值、一元二次方程的解，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．注意整体代入思想的运用． 20．(1) (2) (3)两个实数根分别是，4； 【分析】（1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （3）一元二次方程整理可得：，再与一元二次方程比较即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 化简，得， 则所求方程为； 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 化简，得， 则所求方程为； （3）解：一元二次方程整理可得：， 令，则， 则方程的两根比的两个实数根大1， ∴的两个实数根分别是，4； 学科网（北京）股份有限公司 $