专题07 四边形章末78道压轴题型专训（13大题型）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题07 四边形章末78道压轴题型专训（13大题型） 题型一 平行四边形中动点问题 题型二 平行四边形中翻折问题 题型三 平行四边形中最值问题 题型四 矩形中证明问题 题型五 矩形的翻折问题 题型六 菱形的翻折问题 题型七 菱形中动点问题 题型八 菱形中求线段面积最值问题 题型九 正方形折叠问题 题型十 正方形动点压轴 题型十一 坐标系中四边形综合 题型十二 中点四边形 题型十三 三角形中位线的实际应用 【经典例题一 平行四边形中动点问题】 1．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点B出发，以每秒的速度在上向点C运动，到C点后立即返回，动点Q从点A出发，在线段上，以每秒的速度向点D运动．点，分别从点，同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t秒．求当t为何值时，四边形是平行四边形． 2．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）（1）如图1，在四边形中， ，，，若动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿线段向点D运动；点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿方向运动，当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了x秒（x>0），求当x为多少秒时，四边形变为平行四边形． （2）如图2，若四边形变为平行四边形，，动点P从A点出发．以每秒1cm的速度沿线段向D点运动；动点Q从C点出发以每秒2cm的速度在间往返运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设P、Q两点同时出发．并运动了t秒（t>0）．求当t为多少秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形．    3．（24-25八年级下·河南省直辖县级单位·期中）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，AB＝8cm，BC＝26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动．设运动时间为ts， (1)当t＝6.5s时，试判断四边形ABQP的形状； (2)当t为何值时，PQ截四边形ABCD的两部分有一个平行四边形？ 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，动点P从点A出发，以每秒的速度沿的边逆时针匀速运动；动点Q同时从点A出发，以每秒的速度沿的边顺时针匀速运动；设点P的运动时间为t秒． (1)当点P在上运动时，______cm（用含t的代数式表示）； (2)当______秒时，P，Q两点相遇； (3)是否存在t的值，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 5．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）如图（1），在四边形中，，，，有动点从点出发，在线段上以的速度向点运动，有动点同时从点出发，在线段上以的速度向点运动，当其中一点到达时，另一点也随之停止运动．连接，若运动时间是秒． (1)四边形是平行四边形时，则 ； (2)如图（2），取中点，中点，连接，，请求出的时间； (3)在（2）中，继续连接，与相交于点，如图（3）当时，请写出一个与有关的结论，并证明这个结论． 6．（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图①，在中，．动点以每秒5个单位长度的速度从点出发沿运动，同时动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿运动，当点、点中有一点停止运动，另一点也同时停止运动．设点运动的时间为秒． (1)当点从向运动时，______，______； 当点从向运动时，______；（用含的代数式表示）． (2)当直线恰好平分的面积时，求的值． (3)如图②，点、分别为、的中点，当以、、、为顶点的四边形面积是面积的时，直接写出所有满足条件的的值． 【经典例题二 平行四边形中翻折问题】 7．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，已知在中，是边上一点，将沿所在直线翻折，点正好落在边上的点处．若的周长为，的周长为，求的长． 8．（24-25八年级下·山东烟台·期中）如图，平行四边形纸片中，折叠纸片使点落在上的点处，得折痕，再折叠纸片使点落在上的点，得折痕．    (1)请说明：； (2)请说明：． 9．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知，如图，在平行四边形中，，，点为边的中点，沿着向右折叠，点落在处，连接并延长交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求的长． 10．（24-25八年级下·山东泰安·期中）将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到处，折痕为EF． (1)求证：△ABE≌△； (2)连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论． 11．（2025·广东佛山·二模）如图，四边形是平行四边形． 【动手操作】 （1）将沿着过B点的某条直线翻折，使点C落在边上的点E处，请用尺规作图法作出点E及折痕；（不写作法，保留作图痕迹） 【计算应用】 （2）在（1）的条件下，，，连接．若平分，求的长． 12．（24-25八年级下·山西太原·月考）问题情境：为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每位同学完全相同的一张四边形纸片，如图． 探究实践1： 老师引导同学操作：把纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为，再将，分别沿折叠，此时点C，D落在上的同一点R处，如图．老师让同学们探究： （1）的度数是 ． 探究实践2： 完成探究实践1后，老师发给每位同学完全相同的一张平行四边形的纸片，如图，在探究实践1的启发下，让同学自己动手折叠，看有什么发现，能提出什么问题．经过折叠、思考和讨论，小虎和小倩分享了自己的发现： （2）小虎发现：“如图，将平行四边形沿着BF（F为的中点）所在直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交于点G，则与相等．” 请你判断小虎的结论是否正确，并说明理由． 【经典例题三 平行四边形中最值问题】 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，是对角线上的动点，连接．求的最小值． 14．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点E为射线上一动点，连接，将绕点B逆时针旋转得到，连接，，，求的最小值． 15．（24-25八年级下·全国·阶段练习）【教材原题改编】如图，的对角线和相交于点O，过点O且与边分别相交于点E和点F．求证：； 【结论应用】若，则四边形的面积为 ，的最小值为 ． 16．（24-25八年级下·广东中山·月考）如图，平行四边形的对角线、相交于点，直线过点与、相交于点、， (1)求证：． (2)若直线与、的延长线相交于、，请问结论是否还成立吗？如成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)若平行四边形的面积为，，，直线在绕点旋转的过程中，线段何时最短？并求出的最小值？ 17．（24-25八年级下·陕西西安·期末）问题探究： （1）如图1，平行四边形ABCD，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝5，M、N分别为AD、DC上的点，且DM+DN＝4，则四边形BMDN的面积最大值是 　 　． （2）如图2，∠ACB＝90°，且AC+BC＝4，连接AB，则△ABC的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 问题解决 （3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC交BD于O，已知∠AOB＝120°，且AC+BD＝10，则△AOD与△BOC的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值． 18．（24-25八年级下·陕西延安·期末）问题提出 （1）在平面内，已知线段，，则线段的最小值为______． 问题探究 （2）如图1，在平行四边形中，，，，P是边的中点，Q是边上一动点，将三角形沿所在直线翻折，得到三角形，连接，求的最小值． 问题解决 （3）如图2，平行四边形为某公园平面示意图，扇形为该公园的人口广场，已知，，，．为了提升游客体验感，工作人员准备在弧上找一点P，沿，修两条绿色通道，并在上方和右方区域种植花卉供游客观赏，其余地方修建其他设施，求其他设施区域面积的最小值．    【经典例题四 矩形中证明问题】 19．（24-25八年级下·江苏常州·月考）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图1，在中，，点是的中点．求证：．    下面是证明该问题时的一种添加辅助线的方法，请完成证明． 证明：如图2，延长到点，使得，连接、．    20．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和证明： (1)如图，在矩形中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． (2)利用所作图形补充完成以下证明过程，已知：矩形，点分别在上，经过对角线的中点，且． 求证：四边形是菱形． 证明：四边形是矩形， ．∴． …… 21．（24-25八年级下·江西上饶·期末）课本再现： 思考：我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明： （1）为了证明该定理，小乐同学画出了图形（如图①），并导出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，对角线和相等． 求证：是矩形； 知识应用： （2）如图②，的对角线交于点，点在上，且，．求证：四边形是矩形； 22．（2025·四川遂宁·模拟预测）康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理． (1)实践与操作    ①任意作两条相交的直线，交点记为O； ②以点为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段； ③顺次连结所得的四点得到四边形． 于是可以直接判定四边形是平行四边形，则该判定定理是：______． (2)猜想与证明 通过和同伴交流，他们一致认为四边形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程． 已知：如图，四边形是平行四边形，．求证：四边形是矩形．    23．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）课本再现 思考：我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小聪同学画出了图形（图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义出发完成证明过程． 已知：在平行四边形中，对角线，交点为O． 求证：四边形是矩形． 应用定理 （2）如图2，在中，O为的中点，延长交的延长线于点E，连接， ，．求证：四边形是矩形．（用“课本再现”中的矩形判定定理证明）． 24．（2025·山西晋城·一模）请阅读材料，并完成相应的任务． 阿波罗尼奥斯（约公元前262—190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德齐名．他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它可以说是代表了希腊几何的最高水平，自此以后，希腊几何便没有实质性的进步．直到17世纪的帕斯卡和笛卡尔才有新的突破．阿波罗尼奥斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系，即三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边一半的平方与该边中线平方和的2倍． 下面是该结论的部分证明过程． 已知：如图所示，在锐角中，为中线， 求证： 证明：过点作于点． 设，，． 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． (2)请利用阿波罗尼奥斯定理解决下面的问题：如图，已知为矩形内任一点，求证：． 【经典例题五 矩形的翻折问题】 25．（24-25八年级下·江西·期中）如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm． (1)求证：平行四边形ABCD是矩形； (2)求折痕AF长． 26．（2026·甘肃·模拟预测）【综合与实践】主题：探究特殊四边形的折叠问题 情境：在数学活动课上，老师发给每位同学一张矩形纸片，引导同学们进行折叠探究． 操作一：如图，点为边上一点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． （1）求证： 操作二：如图，将矩形纸片先沿对角线对折，再展开，折痕为．点为边上一点，将沿直线折叠，使点的对应点落在对角线上． （2）若，，当点为的三等分点时，求的长． 27．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）定义：有一个角为直角的平行四边形是矩形．    (1)如图1，在平行四边形中，，是它的两条对角线，．请用题中矩形定义证明：平行四边形是矩形； (2)如图2，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点．猜想线段与有何数量关系？并证明你的结论； (3)如图3，将（2）中的矩形改为平行四边形，其它条件不变，（2）中的结论是否仍然成立，请说明理由． 28．（24-25八年级下·山东济宁·期中）在某探究课《矩形的折叠》中，每个小组分到了相同大小的矩形纸张，，，各小组通过对该纸张的折叠探究了各种不同的折叠问题． 小组 探究内容 图形 第一小组 把沿折叠，与重叠部分记为． 第二小组 步骤1：把矩形沿折叠，使得与重合，点，分别为，上的点． 步骤2：为边上动点（与点B，C不重合），沿折叠得到．         根据以上各小组探究内容，求解下列问题． (1)根据第一小组探究内容，求证：是等腰三角形． (2)根据第二小组探究内容，当，，三点在同一直线上时，画出简单的示意图，求BP的长度． 29．（2025·江西吉安·三模）课本再现 矩形的定义  有一个角是直角的平行四边形是矩形． 定义应用 (1)如图，已知：在四边形中，， 用矩形的定义求证：四边形是矩形． (2)如图，在四边形中，，是的中点，连接，，且，求证：四边形是矩形． 拓展延伸 (3)如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若图中的四个三角形都相似，求的值． 30．（24-25八年级下·河南新乡·期中）【教材呈现】人教八年级下册数学教材第59页的部分内容． 如图1，把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么? (1)【问题解决】如图1，已知矩形纸片ABCD(AD>AB)，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边AD上，点B的对应点为F，折痕为AE，点E在BC上． 求证：四边形ABEF是正方形．(请完成以下填空) 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=90°， ∵折叠，∠AFE=∠B=90°， ∴四边形ABEF是矩形(    ) ∵折叠，∴AB＝(    )， ∴四边形ABEF是正方形(    ) (2)【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片ABCD(AD>AB)，将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边AD上，点B的对应点为F，折痕为AE，点E在边 BC上． ①求证：四边形ABEF是菱形． ②连结BF，若AE＝5，BF＝10，求菱形ABEF的面积． 【经典例题六 菱形的翻折问题】 31．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，在菱形中，，将菱形沿折叠，点B正好落在边上的点G处，且．若，求的长． 32．（2025·吉林长春·二模）如图，在矩形ABCD中，将△ABD沿着BD折叠，使点A与点E重合，过点E作EF∥CD交线段BD于点F，连结AF （1）求证：四边形ABEF是菱形 （2）若AB＝3，AD＝4，连接CE，则线段CE的长为 ． 33．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）（1）如图①，两张等宽的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分的形状是__________； （2）如图②，一张矩形纸条沿折叠后，展开重叠部分（阴影部分），则四边形是一个菱形吗？请说明理由． （3）如图③，矩形的宽，若，沿折叠后，重叠部分展开（阴影部分）后得到菱形，则菱形的面积为__________． 34．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图,将矩形沿折叠,使点落在边上的点处;再将矩形沿折叠,使点落在点处且过点． （1）求证:四边形是平行四边形; （2）当是多少度时,四边形为菱形?试说明理由． 35．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图1，把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？ (1)【问题解决】如图1，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上.求证：四边形是正方形. (2)【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片，将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在边上.连结，若，，求菱形的面积 36．（2025·吉林·一模）综合与实践：折纸中的数学 问题情境： 在矩形中，＝12，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且＝，将△沿折叠，点的对应点为点，将△沿折叠，点的对应点为点Q，且点、均落在矩形的内部（如图①）． 数学思考： （1）判断与是否平行，并说明理由； （2）当长度是多少时，存在点，使四边形是有一个内角为60°的菱形（如图②）？直接写出的长度及菱形的面积． 【经典例题七 菱形中动点问题】 37．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示 ． (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (3)只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点Q的运动速度应为多少？ 38．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在四边形中，，，，，动点P从点A出发，以的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形是平行四边形时，求t的值； (2)当________时，四边形是矩形；若且点Q的移动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是________； (3)在点P、Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度． 39．（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)当为何值时，四边形成为矩形？ (2)当为何值时，以点、与点、、、中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？ (3)四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 40．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图1，四边形中， ，，，，，动点在线段边上以每秒1个单位的速度由点向点运动，动点从点同时出发，以每秒3个单位的速度向点运动，设动点的运动时间为秒． (1)当为何值时，满足和？请说明理由． (2)如图2，若是上一点，，那么在线段上是否存在一点，使得四边形是菱形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 41．（24-25八年级下·四川自贡·期中）如图，矩形中，，，一动点P从A点出发沿对角线方向以每秒2个单位长度的速度向点C匀速运动，同时另一动点Q从C点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点D匀速运动，当其中一个点到这终点时，另一个点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒，过点P作于点E连接，． (1)求证：； (2)四边形能成为菱形吗？如果能，求出相应的t值：如果不能，说明理由 (3)若动点Q从C点出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，其它条件不变，当____时，有最小值． 42．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连接两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连接PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t≥0)． (1)当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的？ (2)是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； (3)是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度． 【经典例题八 菱形中求线段面积最值问题】 43．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在菱形中，，，点在对角线上（不与点，重合），，． (1)若是线段中点，则四边形的周长为 ，四边形的面积为 ； (2)点在线段上运动时，四边形的周长是否为定值，请说明理由． (3)设，求四边形的面积（用含的代数式表示），并说明为何值时，四边形面积有最大值． 44．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，线段的两个端点均在格点（正方形的顶点）上． (1)线段的长为__________； (2)若是直角三角形，则网格中满足条件的格点C共有__________个． (3)在网格中以为边所作格点菱形（菱形的四个顶，点都在格点上）的面积最小值为__________． 45．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）小明在学习完中心对称图形后，对课本上的几种图形展开探究，他尝试用两张长为9，宽为3的矩形纸片叠放在一起，得到如图所示的四边形，请你帮助．小明解答以下问题： (1)试说明四边形是菱形． (2)四边形面积的最小值为___________，最大值为___________． (3)请利用无刻度直尺和圆规，在给出的矩形中作一个面积最大的菱形． 46．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在边上的点处，折痕为．过点作交于，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)当点在边上移动时，折痕的端点、也随之移动． 当点与点重合时（如图），求菱形的边长； 若限定、分别在边、上移动，直接写出菱形的面积的最大值和最小值． 47．（2025·广东东莞·一模）综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动． 【动手操作】 如图1，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接． 【探究提炼】 （1）如图1，点是上任意一点，线段和线段存在什么关系？并说明理由； （2）如图2，连接，当恰好垂直于时，求线段的长度； 【类比迁移】 （3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且． ①求的度数； ②请问步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 48．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）问题探究： （1）如图（1），已知等边，边长为4，将绕点A逆时针旋转60°，使得点C落在点D处，与重合，连接，则的长为______． （2）如图（2），已知四边形，，，，，，则以对角线为边长的等边三角形面积是多少？ （3）如图（3），已知等边外存在一点M，，，连接，是否存在以为边的等边三角形其面积有最大值？若存在，求其面积最大值；若不存在请说明理由． 【经典例题九 正方形折叠问题】 49．（24-25八年级下·江苏南通·月考）下图是一张矩形纸片，按照下面步骤进行折叠： 第一步：如图①，将矩形纸片沿折叠，使得点的对应点落在上，连接，然后把纸片展开． 第二步：如图②，将四边形沿对折，使与重合．将纸片展开，得到折痕，然后连接． 第三步：如图③，折叠纸片使得落在上，折痕为，点的对应点为． (1)试判断四边形的形状并说明理由； (2)求图③中四边形的面积与四边形的面积的比值． 50．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图①，在矩形纸片中，，． 【实践操作】 第一步：如图②，将图①中的矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，然后把纸片展平； 第二步：如图③，将图②中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为，然后展平，隐去； 第三步：如图④，将图③中的矩形纸片沿折叠，得到，延长与交于点N，与交于点M． 【问题解决】 (1)在图②中证明四边形是正方形； (2)请在图④中判断与的数量关系，并加以证明； (3)请在图④中求的长度． 51．（2025·广东深圳·模拟预测）综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 (1)操作一： 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． 根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且① °；②线段，，之间的数量关系为 ． (2)【深入探究】 操作二： 如图2、将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接、． 同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． ①小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论，请证明该结论是否成立，并说明理由． ②【拓展应用】若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长． 52．（24-25八年级下·甘肃武威·月考）[模型建立] （1）如图①，在矩形纸片中，是边的中点，将沿折叠得到，点的对应点恰好落在边上，请你判断四边形的形状，并说明理由； [模型应用] （2）如图②，在矩形纸片中，是边的中点，将沿折叠得到，点的对应点在矩形纸片的内部，延长交于点，求证：； [模型迁移] （3）如图③，在正方形纸片中，是边的中点，将沿折叠得到，点的对应点落在正方形纸片内，延长交于点，若，求线段的长．    53．（24-25八年级下·江苏南通·月考）【教材呈现】人教八年级下册数学教材第59页的部分内容． 如图1，把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？ (1)【问题解决】如图1，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上． 求证：四边形是正方形．（请完成以下填空） 证明：四边形是矩形， ， 折叠，， 四边形是矩形（）． 折叠，， 四边形是正方形（） (2)【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片，将平行四边形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在边上． ①求证：四边形是菱形． ②连结，若，，求菱形的面积． 54．（24-25八年级下·河南南阳·月考）综合与实践 问题情境： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动，下面是同学们的折纸过程： 动手操作： 步骤一：将边长为的正方形纸片对折，使得点与点重合，折痕为，再将纸片展开，得到图1． 步骤二：将图中的纸片的右上角沿着折叠，使点落到点的位置，连接，，得到图． 步骤三：在图的基础上，延长与边交于点，得到图． 问题解决：    (1)在图中，连接．①求的度数．②求的值． (2)在图的基础上延长与边交于点，如图，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【经典例题十 正方形动点压轴】 55．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）已知：正方形ABCD的两条对角线相交于点O，E是线段OC上的一动点，过点A作AG⊥BE交G，交BD于F． (1)若动点E在线段OC上（不含端点），如图（1），求证：OF＝OE； (2)若动点E在线段OC的延长线上，如图（2），试判断△OEF的形状，并说明理由． 56．（2025八年级下·全国·专题练习）已知四边形是正方形，M、N分别是边，上的动点，正方形的边长为． (1)如图①，O是正方形对角线的交点，若，求四边形的面积； (2)如图②，若，求的周长． 57．（24-25八年级下·广东广州·期末）已知，如图①，在中，， ，点E为上的一动点，连接，过点C作于点H，以为腰作等腰直角连接．    (1)求证：四边形为正方形； (2)如图②，当D，H，G三点共线时，求的值； (3)求的最小值． 58．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，，，动点M从点A出发，以的速度向终点D运动，同时动点N从点C出发，以的速度向终点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形是平行四边形时，求t的值． (2)当______时，四边形是矩形． (3)若，且点N的运动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则M点的运动速度是______． (4)在点M，N运动过程中，四边形______（填“能”或“不能”）成为菱形． 59．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，正方形的边长为6，分别是边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到． (1)①求证：； ②当时，求的长． (2)类比迁移 若点分别为正方形两条边的延长线上的动点，三者之间还存在（1）中的关系吗？根据解决（1）中问题的经验加以探究． ①如图2，在正方形中，点分别是延长线上的动点，且、、之间的数量关系是什么？请借助图2加以分析，并写出详细的证明过程． ②如图3，在正方形中，点分别是延长线上的动点，且，则、之间的数量关系是______（直接写出关系式）． 60．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）【问题情境】 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形中，点为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以，为边作矩形． 【特例探究】 启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，当时，点与点重合，此时可以证明矩形是正方形． 【探究发现】 (1)博学小组发现，如图2，当时，点落在边上，此时，过点作于点，于点，通过证明，进而可以证明出矩形是正方形，请你帮助博学小组完成证明． (2)奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，当时，点落在的延长线上． ①此时矩形还是正方形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． ②当，且时，直接写出的长． 【经典例题十一 坐标系中四边形综合】 61．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． (1)若点D落在边上，画出旋转后的图形；并求出点D的坐标； (2)若旋转角为，直接写出点D的坐标_______，点E的坐标_______． 62．（24-25八年级下·吉林·期中）解答下列问题． (1)如图①，四边形是矩形，，，三点的坐标分别是，，，则点的坐标是_______________． (2)如图②，四边形是菱形，，两点的坐标分别是，，点，在坐标轴上，求，两点的坐标． (3)如图③，四边形是正方形，，两点的坐标分别是，，直接写出，两点的坐标．（用含的式子表示）． 63．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C，B，D的坐标分别是，，．点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为． (1)请直接写出A点的坐标； (2)当时，求t的值； (3)若以点A，D，M，N为顶点的四边形的面积是10，求点M的坐标． 64．（24-25八年级下·山东日照·期中）阅读材料： [阅读]在平面直角坐标系中，以任意两点、为端点的线段中点坐标为． [运用] (1)如图，矩形的对角线相交于点M，分别在x轴和y轴上，为坐标原点，点E的坐标为，则点M的坐标为______．    (2)已知，，三点，在平面直角坐标系中存在一点D，与点A、B、C构成平行四边形，求点D的坐标． 65．（24-25八年级下·天津滨海新区·期中）正方形的边长为6，O为平面直角坐标系的原点，D是的中点． (1)如图，点A的坐标为 ，点C的坐标 ，点D的坐标 ； (2)如图，点P在上， 且坐标为，若三角形的面积为12，求a的值； (3)在坐标轴上是否存在点Q，使三角形的面积是正方形面积的一半．若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 66．（24-25八年级下·广西河池·期中）材料阅读 小明偶然发现线段的端点的坐标为，端点的坐标为，则线段中点的坐标为，通过进一步的探究发现在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段中点坐标为． (1)知识运用： 如图，矩形的对角线相交于点分别在轴和轴上，为坐标原点，则的长为___________，点的坐标为___________． (2)能力拓展： 在直角坐标系中，有三点，另有一点与点构成平行四边形的顶点，求点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 【经典例题十二 中点四边形】 67．（25-26八年级下·全国·周测）如图，已知E，F，G，H分别是各边的中点，则四边形EFGH是什么四边形？若把条件中的依次改为矩形、菱形、正方形，其他条件不变，则四边形EFGH依次是什么四边形？试说明理由． 68．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，，，，分别是四边形各边的中点，顺次连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当四边形的对角线，满足______时，四边形是正方形． 69．（2025·江西南昌·一模）在中，，，E、F分别为边的中点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹） (1)在图中画一个以点A、点C为顶点的菱形． (2)在图中画一个以点B、点C为顶点的矩形． 70．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，四边形为菱形，点E、F、G、H分别为四边中点，我们把四边形称为菱形的“中点四边形”． (1)求证：四边形为矩形； (2)如图，矩形为某个菱形的中点四边形，请画出这个菱形并简单说明画法（不需要尺规作图）． 71．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）阅读下面材料： 在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形是平行四边形吗？ 小敏在思考问题时，有如下思路：连接． 结合小敏的思路作答： （1）若只改变图1中四边形的形状（如图2），则四边形还是平行四边形吗？请说明理由； 参考小敏思考问题的方法，解决以下问题： （2）如图2，在（1）的条件下，若连接，．当与满足什么关系时，四边形是正方形．直接写出结论． 72．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①________； ②________； 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果． 拓展应用： （4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 【经典例题十三 三角形中位线的实际应用】 73．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，E、F分别为AB、CD的中点（O、M、N不重合），仔细观察你会发现，无论四边形ABCD的形状如何变化，只要保持两条对角线的长度相等，则EF与两条对角线围成的△OMN总是等腰三角形，请说明理由． 74．（2025·吉林松原·一模）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中画的中位线，使点分别在边上； (2)在图②中画的高线． 75．（2025·江西九江·二模）如图，在由边长为1个单位长度的正方形组成的网格中，给出了格点（顶点为网格线的交点），请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)请在网格①中，作的中位线PQ，交AB于点P，交BC于点Q． (2)请在网格②中，作矩形ACMN，使 76．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中作△ABC的中位线EF，使点E、F分别在边AB、AC上． (2)在图②中作线段GH，使，，点G、H分别在边AB、AC上． 77．（2025八年级下·江苏·模拟预测）如图，由24个边长为1的小正方形组成的的网格中，的顶点都在格点（小正方形的顶点）上．请在所给的网格中分别画一条线段，并同时满足如下条件： ①点，分别在，边上． ②点，都是格点． ③图1中满足，图2中满足． 78．（25-26八年级下·全国·周测）某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 四边形章末78道压轴题型专训（13大题型） 题型一 平行四边形中动点问题 题型二 平行四边形中翻折问题 题型三 平行四边形中最值问题 题型四 矩形中证明问题 题型五 矩形的翻折问题 题型六 菱形的翻折问题 题型七 菱形中动点问题 题型八 菱形中求线段面积最值问题 题型九 正方形折叠问题 题型十 正方形动点压轴 题型十一 坐标系中四边形综合 题型十二 中点四边形 题型十三 三角形中位线的实际应用 【经典例题一 平行四边形中动点问题】 1．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点B出发，以每秒的速度在上向点C运动，到C点后立即返回，动点Q从点A出发，在线段上，以每秒的速度向点D运动．点，分别从点，同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t秒．求当t为何值时，四边形是平行四边形． 【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，一元一次方程的应用，若四边形是平行四边形，则．由题意知．再分两种情况：当点P从点B向点C运动，即时；当点P从点C向点B运动，即时；分别列出一元一次方程，解方程即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：若四边形是平行四边形，则． 由题意知． 当点P从点B向点C运动，即时， ，， ，． ， 解得． 当点P从点C向点B运动，即时， 则，， ， 解得． 综上，当或时，四边形是平行四边形． 2．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）（1）如图1，在四边形中， ，，，若动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿线段向点D运动；点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿方向运动，当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了x秒（x>0），求当x为多少秒时，四边形变为平行四边形． （2）如图2，若四边形变为平行四边形，，动点P从A点出发．以每秒1cm的速度沿线段向D点运动；动点Q从C点出发以每秒2cm的速度在间往返运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设P、Q两点同时出发．并运动了t秒（t>0）．求当t为多少秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形．    【答案】（1）时，四边形变为平行四边形；（2）时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形 【分析】（1）四边形为平行四边形时，则，列出方程即可求出答案． （2）由题意知，，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，，列出方程即可求出答案． 【详解】解：（1）当四边形为平行四边形时，则， ，解得， 时，四边形变为平行四边形； （2）由题意知，， ， 当以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，， 当时，， 解得舍去； 当时．， ，解得； 综上所述：时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握动点的运动轨迹是解题的关键． 3．（24-25八年级下·河南省直辖县级单位·期中）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，AB＝8cm，BC＝26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动．设运动时间为ts， (1)当t＝6.5s时，试判断四边形ABQP的形状； (2)当t为何值时，PQ截四边形ABCD的两部分有一个平行四边形？ 【答案】(1)四边形ABQP为平行四边形 (2)t＝6.5或6 【分析】（1）根据题意得到，根据平行四边形的判定定理得出结论； （2）分四边形为平行四边形、四边形 为平行四边形两种情况，根据平行四边形的性质定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， 则， 当时，，， ， ， 四边形为平行四边形； （2）解：由（1）可知：当时，四边形为平行四边形， 当时，四边形为平行四边形， 此时，， 解得：， 综上所述，当或时，截四边形的两部分有一个平行四边形． 【点睛】本题考查的是梯形、平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，动点P从点A出发，以每秒的速度沿的边逆时针匀速运动；动点Q同时从点A出发，以每秒的速度沿的边顺时针匀速运动；设点P的运动时间为t秒． (1)当点P在上运动时，______cm（用含t的代数式表示）； (2)当______秒时，P，Q两点相遇； (3)是否存在t的值，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【分析】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）结合题意利用距离速度时间的关系式解答即可； （2）利用的代数式表示出点，移动的距离，再利用两点移动的距离之和为平行四边形的周长列方程解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当为平行四边形时，利用平行四边形的对边相等的性质列出关于的方程解答即可；②当为平行四边形时，利用同样的方法解答即可． 【详解】（1）解：动点从点出发，以每秒的速度沿的边逆时针匀速运动， 点t秒运动的距离为， ， 当点在上运动时，， 故答案为：； （2）解：在中，，， 的周长为． 由题意得：点经过秒运动的距离为，点经过秒运动的距离为， ，两点相遇时，， ， ． 当秒时，，两点相遇． 故答案为：； （3）解：存在的值，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，的值为秒或秒．理由： ①当为平行四边形时，如图， 由题意得：，， 四边形为平行四边形， ， ， ． ②当为平行四边形时，如图， 由题意得：，， 四边形为平行四边形， ， ， ． 综上，存在的值，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，的值为秒或秒． 5．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）如图（1），在四边形中，，，，有动点从点出发，在线段上以的速度向点运动，有动点同时从点出发，在线段上以的速度向点运动，当其中一点到达时，另一点也随之停止运动．连接，若运动时间是秒． (1)四边形是平行四边形时，则 ； (2)如图（2），取中点，中点，连接，，请求出的时间； (3)在（2）中，继续连接，与相交于点，如图（3）当时，请写出一个与有关的结论，并证明这个结论． 【答案】(1)4 (2) (3)和互相平分，证明见解析 【分析】（1）依题意，，，根据平行四边形的对边相等，建立方程，解方程即可求解； （2）延长交延长线于，延长交延长线于，证明，得出，同理可得，当时，四边形为平行四边形，则，即，解方程即可求解． （3）连接，，由（）可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，， 当四边形为平行四边形时，则， ∴， 解得：， 故答案为：4； （2）解：延长交延长线于，延长交延长线于 ∵E、F分别是，的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 同理可得， 当时，则四边形为平行四边形， ∴，即， ∴， 解得：； （3）解：和互相平分，证明如下： 如图所示，连接，， 在（）中，四边形为平行四边形，则， ∵， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， 和互相平分． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 6．（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图①，在中，．动点以每秒5个单位长度的速度从点出发沿运动，同时动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿运动，当点、点中有一点停止运动，另一点也同时停止运动．设点运动的时间为秒． (1)当点从向运动时，______，______； 当点从向运动时，______；（用含的代数式表示）． (2)当直线恰好平分的面积时，求的值． (3)如图②，点、分别为、的中点，当以、、、为顶点的四边形面积是面积的时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1)，， (2)当秒或秒时，直线恰好平分的面积； (3)的值为或． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用． （1）根据题意列出代数式即可； （2）当直线经过的中心点时，恰好直线恰好平分的面积，则，分两种情况讨论，列式计算即可求解； （3）分五种情况讨论，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：当点从向运动时，，，，； 当点从向运动时， ；（用含的代数式表示）． 故答案为：，，； （2）解：当直线经过的中心点时，恰好直线恰好平分的面积， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：设平行四边形的高为，则平行四边形的面积为， 当时，，， 由题意得，，解得； 当时，，， 由题意得，，解得（舍去）； 当时，，， 由题意得，，解得（舍去）； 当时，，， 由题意得，，解得（舍去）； 当时，，， 由题意得，，解得； 综上，的值为或． 【经典例题二 平行四边形中翻折问题】 7．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，已知在中，是边上一点，将沿所在直线翻折，点正好落在边上的点处．若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质和平行四边形的性质，掌握利用折叠的边相等性质，将两个三角形的周长和转化为平行四边形的周长，再通过半周长与三角形周长的关系求边长是解题的关键． 利用折叠的性质得到对应边相等，再结合平行四边形的周长公式，通过两个三角形的周长和求出平行四边形的半周长，最后代入的周长计算的长度． 【详解】解：由折叠的性质可得， 的周长的周长的周长． 四边形为平行四边形， ， 的周长， ． 8．（24-25八年级下·山东烟台·期中）如图，平行四边形纸片中，折叠纸片使点落在上的点处，得折痕，再折叠纸片使点落在上的点，得折痕．    (1)请说明：； (2)请说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据折叠的性质得到，，根据平角的定义即可得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，求得，得到，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，推出四边形是平行四边形，于是得到结论． 【详解】（1）解：∵折叠纸片使点落在上的点处， ， 折叠纸片使点落在上的点， ， ， ， ． （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 由折叠的性质得，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 由折叠的性质的，， ， ． 【点睛】本题主要考查了翻折变换折叠问题、平行四边形的判定和性质等知识点，正确的识别图形是解题的关键． 9．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知，如图，在平行四边形中，，，点为边的中点，沿着向右折叠，点落在处，连接并延长交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，由折叠可得垂直平分，证明是的中位线，进而可以解决问题； （2）先证明是等腰三角形，过点作于点，根据等腰三角形的性质和含度角的直角三角形即可解决问题． 【详解】（1）如图，连接交于点， 由折叠可知：垂直平分， 是的中点， 点为边的中点， 是的中位线， ， ， 在平行四边形中，， ， 四边形是平行四边形； （2）四边形是平行四边形， ， ， ， ， 由翻折可知：， 是等腰三角形， ， ， 如图，过点作于点， ， ， ， ，点为边的中点， ， ，， ． 【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 10．（24-25八年级下·山东泰安·期中）将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到处，折痕为EF． (1)求证：△ABE≌△； (2)连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)平行四边形，证明见解析 【分析】（1）由折叠的性质得CD=，CE=AE，DF=，∠CEF=∠AEF，再由平行四边形的性质得，AD=BC，AB=CD，则AB=；由得到∠AFE=∠CEF，则∠AFE=∠AEF，所以AE=AF，AF=CE，DF=BE，得到BE=，最后利用“SSS”即可判定△ABE≌△； （2）证明AF=EC，再由即可求解． 【详解】（1）∵平行四边形纸片ABCD折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF， ∴CD=，CE=AE，DF=，∠CEF=∠AEF ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴，AD=BC，AB=CD， ∴AB=， ∵， ∴∠AFE=∠CEF， ∴∠AFE=∠AEF， ∴AE=AF， ∴AF=CE， 又AD=BC， ∴， ∴DF=BE， ∴BE=， 在△ABE和△中， ， ∴△ABE≌△（SSS）； （2）四边形AECF是平行四边形． 证明：由折叠可知：AE=EC，∠4=∠5． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴． ∴∠5=∠6． ∴∠4=∠6． ∴AF=AE． ∵AE=EC， ∴AF=EC． 又∵， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点睛】此题主要考查折叠的性质、全等三角形的判定、平行四边形的性质与判定，属于中档难度的几何证明题，难度不大．解题的关键是熟练运用折叠和平行四边形的性质． 11．（2025·广东佛山·二模）如图，四边形是平行四边形． 【动手操作】 （1）将沿着过B点的某条直线翻折，使点C落在边上的点E处，请用尺规作图法作出点E及折痕；（不写作法，保留作图痕迹） 【计算应用】 （2）在（1）的条件下，，，连接．若平分，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）3 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，角平分线的尺规作图，线段的尺规作图，折叠的性质等等： （1）以点B为圆心，的长为半径画弧交于E，作的角平分线交于F，则折痕和点E即为所求； （2）先由平行四边形的性质得到，进而根据平行线的性质和角平分线的定义推出，得到，则． 【详解】解：（1）如图所示，以点B为圆心，的长为半径画弧交于E，作的角平分线交于F，则折痕和点E即为所求； （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25八年级下·山西太原·月考）问题情境：为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每位同学完全相同的一张四边形纸片，如图． 探究实践1： 老师引导同学操作：把纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为，再将，分别沿折叠，此时点C，D落在上的同一点R处，如图．老师让同学们探究： （1）的度数是 ． 探究实践2： 完成探究实践1后，老师发给每位同学完全相同的一张平行四边形的纸片，如图，在探究实践1的启发下，让同学自己动手折叠，看有什么发现，能提出什么问题．经过折叠、思考和讨论，小虎和小倩分享了自己的发现： （2）小虎发现：“如图，将平行四边形沿着BF（F为的中点）所在直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交于点G，则与相等．” 请你判断小虎的结论是否正确，并说明理由． 【答案】（1）；（2）小虎的结论正确，见解析 【分析】本题主要考查折叠的性质，平行四边形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据折叠的性质得到，再由平角的定义即可求解； （2）根据折叠的性质得出，再由平行四边形的判定和性质得出四边形为平行四边形，，即可证明； 【详解】（1）解：由折叠得： ∴故答案为： （2）小虎的结论正确，理由如下： ∵将沿着所在直线折叠，点C的对应点为， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴． 【经典例题三 平行四边形中最值问题】 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，是对角线上的动点，连接．求的最小值． 【答案】 【分析】过点作于点，则．根据“垂线段最短”得当时，为最小，最小值是线段的长，在中，根据得，，进而得，，然后由三角形的面积公式得，由此可得出的最小值． 【详解】解：如图，过点作于点，则． ， ， ， ． ∵四边形是平行四边形， ， ， ． ∵点在对角线上运动，是锐角三角形， ∴当时，取得最小值． 由平行四边形的性质知，， ∴此时， ， 的最小值为． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，垂线段最短，灵活运用含有角的直角三角形的性质，勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 14．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点E为射线上一动点，连接，将绕点B逆时针旋转得到，连接，，，求的最小值． 【答案】 【分析】将顺时针旋转，作等边，根据手拉手模型可知，根据垂线段最短可知，当时，的值最小，利用勾股定理求解即可求解． 【详解】解：如图，以为边向下作等边，连接，在上取一点T使得， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ∵四边形时平行四边形 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则，， 在中， ∴， 解得， ∴ 即的最小值为 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论找到的最小值与最大值是解题的关键． 15．（24-25八年级下·全国·阶段练习）【教材原题改编】如图，的对角线和相交于点O，过点O且与边分别相交于点E和点F．求证：； 【结论应用】若，则四边形的面积为 ，的最小值为 ． 【答案】教材原题改编：见解析；结论应用：6， 【分析】本题考查平行四边形和三角形，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，垂线段性质，是解题的关键． 教材原题改编：由平行四边形性质 ，得到，因此，又，即可证明，得到． 结论应用：由勾股定理求出的长，求出的面积，由，得到四边形的面积的面积，当时，的值最小，由三角形面积公式即可求出的最小值为2.4． 【详解】教材原题改编：证明：∵中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 结论应用：解：∵， ∴， ∴的面积， ∵， ∴四边形的面积的面积， 当时，的值最小， ∵的面积， ∴， ∴， ∴的最小值为2.4． 故答案为：6，2.4． 16．（24-25八年级下·广东中山·月考）如图，平行四边形的对角线、相交于点，直线过点与、相交于点、， (1)求证：． (2)若直线与、的延长线相交于、，请问结论是否还成立吗？如成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)若平行四边形的面积为，，，直线在绕点旋转的过程中，线段何时最短？并求出的最小值？ 【答案】(1)见解析 (2)成立．见解析 (3)直线在绕点旋转的过程中，时，最短，的最小值为 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的面积公式，平行线间的距离最短． （1）由四边形是平行四边形，证得，即可得； （2）由四边形是平行四边形，证得，即可证得； （3）根据平行线间距离最短判断出时，最短，最后根据平行四边形的面积即可确定出结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：成立．理由： 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ； （3）解：①当直线在绕点旋转的过程中，直线与，相交时，时，最短， 平行四边形的面积为20，， ， ． 直线在绕点旋转的过程中，时，最短，的最小值为2． ②当直线在绕点旋转的过程中，直线与、的延长线相交时，时，最短， 同①的方法，得出最小值为， 即：直线在绕点旋转的过程中，时，最短，的最小值为2． 17．（24-25八年级下·陕西西安·期末）问题探究： （1）如图1，平行四边形ABCD，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝5，M、N分别为AD、DC上的点，且DM+DN＝4，则四边形BMDN的面积最大值是 　 　． （2）如图2，∠ACB＝90°，且AC+BC＝4，连接AB，则△ABC的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 问题解决 （3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC交BD于O，已知∠AOB＝120°，且AC+BD＝10，则△AOD与△BOC的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值． 【答案】（1）；（2）存在，4+2；（3）不是，周长之和的最小值为15 【分析】（1）先求出平行四边形的面积，利用面积和差关系可得四边形的面积，则当有最小值时，四边形的面积有最大值，即可求解； （2）在中，由勾股定理可求的长，由线段的和差关系可求解； （3）如图3，过点作，交的延长线于，过点作于，可证四边形是平行四边形，可，，则与的周长之和为，由直角三角形的性质可求的长，即可求解． 【详解】解：（1）过点作，交延长线于，过点作，交的延长线于， 四边形是平行四边形， ，，，， ，， ， ，， ，， 四边形的面积， ， ， ∴ 四边形的面积 ， 四边形的面积， 则当有最小值时，四边形的面积有最大值， ， ， ， ， ， 当时，四边形的面积， 故答案为； （2）存在， 设， ， ， ， 的周长， 当时，的周长的最小值为； （3）与的周长之和不是定值， 理由如下：如图3，过点作，交的延长线于，过点作于， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 与的周长之和不是定值， 当时，与的周长之和的最小值为15． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 18．（24-25八年级下·陕西延安·期末）问题提出 （1）在平面内，已知线段，，则线段的最小值为______． 问题探究 （2）如图1，在平行四边形中，，，，P是边的中点，Q是边上一动点，将三角形沿所在直线翻折，得到三角形，连接，求的最小值． 问题解决 （3）如图2，平行四边形为某公园平面示意图，扇形为该公园的人口广场，已知，，，．为了提升游客体验感，工作人员准备在弧上找一点P，沿，修两条绿色通道，并在上方和右方区域种植花卉供游客观赏，其余地方修建其他设施，求其他设施区域面积的最小值．    【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】（1）当在线段上时，最短，从而可得答案； （2）如图，过点作交延长线于点，连接． 证明，求解，．可得．由，从而可得答案； （3）如图，过点作于点，过点作于点．证明当最小时，最小．可得当最小时，最小．由，设，则，建立方程求解，可得，当在线段上时，取最小值．再求解面积即可． 【详解】解：（1）当在线段上时，最短， 此时． （2）如图，过点作交延长线于点，连接．    ∵四边形是平行四边形，，，， ∴，∴，． ∵是的中点，∴， ∴，． 在中，由勾股定理，得． 由折叠得， ∴， ∴点在线段上时，取最小值，即的最小值为． （3）如图，过点作于点，过点作于点．    ∵，为定值， ∴当最小时，最小． 又∵为定值，∴当最小时，最小． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， ∴，解得， ∴，． ∴， ∴， 当在线段上时，取最小值． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． ∴四边形面积的最小值为． 【点睛】本题考查的是三角形三边关系的应用，平行四边形的性质，勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，熟练的利用两点之间线段最短求解线段或面积的最值是解本题的关键． 【经典例题四 矩形中证明问题】 19．（24-25八年级下·江苏常州·月考）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图1，在中，，点是的中点．求证：．    下面是证明该问题时的一种添加辅助线的方法，请完成证明． 证明：如图2，延长到点，使得，连接、．    【答案】见详解 【分析】延长到点，使得，连接、，证明四边形是矩形，由矩形的性质可得，即可证明． 【详解】证明：如图2，延长到点，使得，连接、，    ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关判定和性质． 20．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和证明： (1)如图，在矩形中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． (2)利用所作图形补充完成以下证明过程，已知：矩形，点分别在上，经过对角线的中点，且． 求证：四边形是菱形． 证明：四边形是矩形， ．∴． …… 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规基本作图，过直线上一点作直线的垂线作法，作出图形； （2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）证明：四边形是矩形， ， ． 点是的中点， ． ， ． 又， ∴四边形是平行四边形． ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查尺规基本作图-过直线上一点作直线的垂线，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21．（24-25八年级下·江西上饶·期末）课本再现： 思考：我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明： （1）为了证明该定理，小乐同学画出了图形（如图①），并导出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，对角线和相等． 求证：是矩形； 知识应用： （2）如图②，的对角线交于点，点在上，且，．求证：四边形是矩形； 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质． （1）根据平行四边形的性质得：，，证明，得，再根据平行线的性质得，即可得证； （2）根据平行四边形的性质可得，，证得四边形为平行四边形，再根据，即可证明四边形为矩形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 22．（2025·四川遂宁·模拟预测）康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理． (1)实践与操作    ①任意作两条相交的直线，交点记为O； ②以点为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段； ③顺次连结所得的四点得到四边形． 于是可以直接判定四边形是平行四边形，则该判定定理是：______． (2)猜想与证明 通过和同伴交流，他们一致认为四边形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程． 已知：如图，四边形是平行四边形，．求证：四边形是矩形．    【答案】(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形 (2)证明见解析 【分析】（1）由作图结合对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案； （2）先证明，再证明，可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：由作图可得：，， ∴四边形是平行四边形， 该判定定理是：对角线互相平分的四边形是平行四边形； （2）∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形与矩形的判定方法是关键． 23．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）课本再现 思考：我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小聪同学画出了图形（图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义出发完成证明过程． 已知：在平行四边形中，对角线，交点为O． 求证：四边形是矩形． 应用定理 （2）如图2，在中，O为的中点，延长交的延长线于点E，连接， ，．求证：四边形是矩形．（用“课本再现”中的矩形判定定理证明）． 【答案】（1）证明见解析；（2）见解析 【详解】本题主要考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）证明，可得，再结合，可得，即可求证； （2）证明∴，可得，可得到四边形是平行四边形，再由，可得，即可求证． （1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形 （2）证明：∵O为的中点， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 24．（2025·山西晋城·一模）请阅读材料，并完成相应的任务． 阿波罗尼奥斯（约公元前262—190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德齐名．他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它可以说是代表了希腊几何的最高水平，自此以后，希腊几何便没有实质性的进步．直到17世纪的帕斯卡和笛卡尔才有新的突破．阿波罗尼奥斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系，即三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边一半的平方与该边中线平方和的2倍． 下面是该结论的部分证明过程． 已知：如图所示，在锐角中，为中线， 求证： 证明：过点作于点． 设，，． 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． (2)请利用阿波罗尼奥斯定理解决下面的问题：如图，已知为矩形内任一点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由勾股定理可得，即可得结论； （2）连接，交于点，连接，由阿波罗尼奥斯定理和矩形的性质，可得结论． 【详解】（1）证明：是中线， ， ，， ； （2）证明：如图，连接，交于点，连接， 四边形是矩形 ，， 根据阿波罗尼奥斯定理得：，， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，读懂题意并能运用是解题的关键． 【经典例题五 矩形的翻折问题】 25．（24-25八年级下·江西·期中）如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm． (1)求证：平行四边形ABCD是矩形； (2)求折痕AF长． 【答案】(1)见解析 (2)折痕AF长为cm． 【分析】（1）根据翻折变换的对称性可知AE=AB，在△ADE中，利用勾股定理逆定理证明三角形为直角三角形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； （2）设BF为x，分别表示出EF、EC、FC，然后在Rt△EFC中利用勾股定理列式进行计算求得BF的值，在Rt△ABF中，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上， ∴AE=AB=10，， 又∵， ∴， ∴△ADE是直角三角形，且∠D=90°， 又∵四边形ABCD为平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）； （2）解：设BF=x，则EF=BF=x，EC=CD-DE=10-6=4，FC=BC-BF=8-x， 在Rt△EFC中，， 即， 解得x=5， ∴BF=5cm， 在Rt△ABF中，由勾股定理得，， ∵AB=10cm，BF=5cm， ∴AF(cm)． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理，以及翻折变换前后的两个图形全等的性质，是综合题，但难度不大． 26．（2026·甘肃·模拟预测）【综合与实践】主题：探究特殊四边形的折叠问题 情境：在数学活动课上，老师发给每位同学一张矩形纸片，引导同学们进行折叠探究． 操作一：如图，点为边上一点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． （1）求证： 操作二：如图，将矩形纸片先沿对角线对折，再展开，折痕为．点为边上一点，将沿直线折叠，使点的对应点落在对角线上． （2）若，，当点为的三等分点时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）或 【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，掌握分类讨论思想是解题关键． （1）借助折叠的性质和矩形的直角特性，推导得出两组对应角相等，从而证明； （2）先求出矩形对角线的长度，再结合折叠后折痕垂直平分对应点连线的性质，构造相似三角形，然后针对为三等分点的两种位置情况，通过相似比建立方程，最终求出． 【详解】（1）证明：由折叠性质知，， ， 在矩形中，， ， ， 又， ． （2）解：如图，设与交于点． 已知在矩形中，，，则． 情形一：当点为靠近点的三等分点时，， 由折叠知，，， 垂直平分， ，， ， ， ， ， ， 则， 解得． 情形二：当点为靠近点的三等分点时，． 同理建立方程，，解得． 故的长为或． 答：或． 27．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）定义：有一个角为直角的平行四边形是矩形．    (1)如图1，在平行四边形中，，是它的两条对角线，．请用题中矩形定义证明：平行四边形是矩形； (2)如图2，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点．猜想线段与有何数量关系？并证明你的结论； (3)如图3，将（2）中的矩形改为平行四边形，其它条件不变，（2）中的结论是否仍然成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)（2）中的结论仍然成立，理由见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质，证明和全等，根据全等三角形对应角相等即可得证； （2）连接，根据点是的中点以及翻折的性质可以求出,然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等即可得证； （3）利用平行四边形的性质，首先得出， ，进而得出，再推出,即可得出结论． 【详解】（1）四边形是平行四边形， . 在和中， 平行四边形是矩形． （2）． 理由如下：如下图，连接，    ∵是的中点， ∴， ∵沿折叠后得到， ∴， ∴， ∵在矩形中， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； （3）（2）中的结论仍然成立． 证明：如下图，连接，    ∵是的中点， ∴， ∵将沿折叠后得到， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形为平行四边形， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 即（2）中的结论仍然成立． 【点睛】此题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及折叠的性质是解题的关键． 28．（24-25八年级下·山东济宁·期中）在某探究课《矩形的折叠》中，每个小组分到了相同大小的矩形纸张，，，各小组通过对该纸张的折叠探究了各种不同的折叠问题． 小组 探究内容 图形 第一小组 把沿折叠，与重叠部分记为． 第二小组 步骤1：把矩形沿折叠，使得与重合，点，分别为，上的点． 步骤2：为边上动点（与点B，C不重合），沿折叠得到．         根据以上各小组探究内容，求解下列问题． (1)根据第一小组探究内容，求证：是等腰三角形． (2)根据第二小组探究内容，当，，三点在同一直线上时，画出简单的示意图，求BP的长度． 【答案】(1)见解析 (2)或，图见解析 【分析】（1）首先根据矩形的性质得到，进而得到，然后根据折叠的性质得，即可证明出是等腰三角形； （2）根据题意画出图形，分两种情况讨论，分别根据折叠的性质得到，然后进一步得到，利用勾股定理得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵把沿折叠到， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：如图所示，当点P在线段上时， ∵把矩形沿折叠，使得与重合， ∴， 由题意可得，四边形是矩形， ∴， ∵沿折叠得到， ∴，， ∴， 由（1）可得，， ∴； 如图所示，当点P在线段上时， 同理可得，，，， ∴， 由（1）可得，， ∴； 综上所述，BP的长度为或． 【点睛】本题主要考查矩形的折叠问题，折叠的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，矩形的性质，勾股定理． 29．（2025·江西吉安·三模）课本再现 矩形的定义  有一个角是直角的平行四边形是矩形． 定义应用 (1)如图，已知：在四边形中，， 用矩形的定义求证：四边形是矩形． (2)如图，在四边形中，，是的中点，连接，，且，求证：四边形是矩形． 拓展延伸 (3)如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若图中的四个三角形都相似，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（）先证明四边形是平行四边形，再由，即可证明四边形是矩形； （）证明，根据性质得，证明四边形是平行四边形，再由，即可证明四边形是矩形； （）由折叠易知，，证明，然后分当时和时即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2）证明：∵E 是  的中点， ∴ ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （3）由折叠易知，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当时，， ∴，不符合题意， 综上所述，符合题意的． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 30．（24-25八年级下·河南新乡·期中）【教材呈现】人教八年级下册数学教材第59页的部分内容． 如图1，把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么? (1)【问题解决】如图1，已知矩形纸片ABCD(AD>AB)，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边AD上，点B的对应点为F，折痕为AE，点E在BC上． 求证：四边形ABEF是正方形．(请完成以下填空) 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=90°， ∵折叠，∠AFE=∠B=90°， ∴四边形ABEF是矩形(    ) ∵折叠，∴AB＝(    )， ∴四边形ABEF是正方形(    ) (2)【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片ABCD(AD>AB)，将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边AD上，点B的对应点为F，折痕为AE，点E在边 BC上． ①求证：四边形ABEF是菱形． ②连结BF，若AE＝5，BF＝10，求菱形ABEF的面积． 【答案】(1)有三个角是直角的四边形是矩形；AF；一组邻边相等的矩形是正方形． (2)①证明见详解；②菱形ABEF的面积为25 【分析】（1）由矩形的性质得∠BAD=∠B=90°，再由折叠的性质得：∠AFE=∠B=90°，AB=AF，则四边形ABEF是矩形，然后由AB=AF，即可得出结论； （2）①由平行四边形的性质得AD∥BC，则∠FAE=∠BEA，再证AB=BE，则AF=BE，得四边形ABEF是平行四边形，然后由AF=AB即可得出结论； ②由菱形面积公式得S菱形ABEF=AE•BF，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠B=90°， 由折叠的性质得：∠AFE=∠B=90°， ∴四边形ABEF是矩形 （有三个角是直角的四边形为矩形）， 由折叠的性质得：AB=AF， ∴四边形ABEF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）， 故答案为：有三个角是直角的四边形为矩形；AF；有一组邻边相等的矩形是正方形； （2）①证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠FAE=∠BEA， 由折叠的性质得：AF=AB，∠BAE=∠FAE， ∴∠BEA=∠BAE， ∴AB=BE， ∴AF=BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， 又∵AF=AB， ∴平行四边形ABEF是菱形； ②解：如图， ∵四边形ABEF是菱形，AE=5，BF=10， ∴S菱形ABEF=AE•BF=×5×10=25， 故菱形ABEF的面积为25． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、折叠的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握折叠的性质、矩形的判定与性质是解题的关键． 【经典例题六 菱形的翻折问题】 31．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，在菱形中，，将菱形沿折叠，点B正好落在边上的点G处，且．若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换、等边三角形的判定和性质，菱形的性质、勾股定理，含角的直角三角形中，矩形的判定与性质，解题的关键是证明线段FG是菱形的高． 设与交于点O，与交于点，过点作于点N． 先证明，是等边三角形与四边形是矩形，得到，继而证明是的中点，即，在中，利用勾股定理，求出，则，即可解答． 【详解】如图，设与交于点O，与交于点，过点作于点N． 四边形是菱形，， ，，． ，是等边三角形． ． ， ．由折叠，得， ． ． ． ，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ． 是等边三角形，， 是的中点，即． 在中，． ． 32．（2025·吉林长春·二模）如图，在矩形ABCD中，将△ABD沿着BD折叠，使点A与点E重合，过点E作EF∥CD交线段BD于点F，连结AF （1）求证：四边形ABEF是菱形 （2）若AB＝3，AD＝4，连接CE，则线段CE的长为 ． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． （2）利用面积法求出AM，再利用勾股定理求出BM，求出DF即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴ ∵ ∴ ∴ 由翻折性质可得：， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形ABEF是平行四边形 又∵ ∴四边形ABEF是菱形 （2）如图， ∵平行四边形ABEF是菱形． ∴AE⊥BD，BM=FM， ∵S△ABD=•BD•AM=•AB•AD， ∴5•AM=3×4， ∴AM=， ∴根据勾股定理得， ∴BF=2BM=， ∴DF=BD-BF=， ∵EF∥CD，EF=CD， ∴四边形EFCD是平行四边形， ∴CE=DF=． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 33．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）（1）如图①，两张等宽的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分的形状是__________； （2）如图②，一张矩形纸条沿折叠后，展开重叠部分（阴影部分），则四边形是一个菱形吗？请说明理由． （3）如图③，矩形的宽，若，沿折叠后，重叠部分展开（阴影部分）后得到菱形，则菱形的面积为__________． 【答案】（1）正确（2）正确，理由见解析（3）20 【分析】（1）过作，，垂足分别为，，由两个纸条是矩形可得．，得到四边形是平行四边形，根据两张矩形纸条宽度相同，证明，得到，即可证明平行四边形是菱形；； （2）由轴对称的性质可知，，根据，证明，即可证明，进而得到，从而证明平行四边形为菱形； （3）先求出，根据②得四边形为菱形，，设，则，在中，由勾股定理，得，求出解得，，即可求出菱形的面积为． 【详解】解：（1）四边形是一个菱形． 证明：如图①，过作，，垂足分别为，， ∴， 由两个纸条是矩形可得，．， 四边形是平行四边形， ， ∵两张矩形纸条宽度相同， ， 在和中， ， ， ， 平行四边形是菱形； （2）四边形是一个菱形． 证明：由四边形是矩形可得， 由轴对称的性质可知，， ∵， ， ， ， ∴ 平行四边形为菱形； （3）如图③，∵，， ， 由②得四边形为菱形， ， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， ， 菱形的面积． 【点睛】本题是四边形综合题，考查的是图形的翻折变换、矩形的性质、菱形的判定与性质，勾股定理等知识，熟知图形翻折变换的性质及菱形的判定与性质是解答此题的关键． 34．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图,将矩形沿折叠,使点落在边上的点处;再将矩形沿折叠,使点落在点处且过点． （1）求证:四边形是平行四边形; （2）当是多少度时,四边形为菱形?试说明理由． 【答案】（1）证明见解析;（2）当∠B1FE=60°时,四边形EFGB为菱形,理由见解析． 【详解】试题分析：（1）由题意,∠B1FE=∠FEB,结合∠B1FE=∠BFE,得BE=BF,同理可得FG=BF,即BE=FG,结合BE∥FG,得到四边形BEFG是平行四边形; （2）当∠B1FE=60°时,四边形EFGB为菱形,由∠B1FE=60°,得∠BFE=∠BEF=60°,得到△BEF为等边三角形,即BE=EF,结合四边形BEFG是平行四边形,即可证得． 试题解析：（1）∵A1D1∥B1C1, ∴∠B1FE=∠FEB． 又∵∠B1FE=∠BFE, ∴∠FEB=∠BFE． ∴BE=BF． 同理可得：FG=BF． ∴BE=FG, 又∵BE∥FG, ∴四边形BEFG是平行四边形; （2）当∠B1FE=60°时,四边形EFGB为菱形． 理由如下： ∵∠B1FE=60°, ∴∠BFE=∠BEF=60°, ∴△BEF为等边三角形,即BE=EF． ∵四边形BEFG是平行四边形,BE=EF． ∴四边形BEFG是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 考点：1.翻折变换（折叠问题）,2.平行四边形的判定,3.菱形的判定,4.矩形的性质． 35．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图1，把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？ (1)【问题解决】如图1，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上.求证：四边形是正方形. (2)【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片，将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在边上.连结，若，，求菱形的面积 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由矩形的性质得，再由折叠的性质得： ， 则四边形是矩形，然后由，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，则，再证，则，得四边形是平行四边形，然后由即可得出是菱形，由菱形面积公式得，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形, ， 由折叠的性质得： ∴四边形是矩形， 由折叠的性质得：， ∴四边形是正方形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； 如图， ∵ ， ． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、 正方形的判定、 菱形的判定与性质、 平行四边形的判定与性质、 等腰三角形的判定、折叠的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握折叠的性质、矩形的判定与性质是解题的关键. 36．（2025·吉林·一模）综合与实践：折纸中的数学 问题情境： 在矩形中，＝12，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且＝，将△沿折叠，点的对应点为点，将△沿折叠，点的对应点为点Q，且点、均落在矩形的内部（如图①）． 数学思考： （1）判断与是否平行，并说明理由； （2）当长度是多少时，存在点，使四边形是有一个内角为60°的菱形（如图②）？直接写出的长度及菱形的面积． 【答案】（1）平行，证明见解析；（2）AB= =6，菱形的面积= 【分析】（1）延长NQ交AD的延长线于H．首先证明△EAM≌△FCN，进一步得出∠AMP=∠QNC，从而可证明∠AMP=∠AHN，由此得出结论； （2）由折叠得到PM=6，由直角三角形的性质得AO、PO的长，再根据菱形的性质得PQ，MN的长，从而解决问题． 【详解】如图中，延长NQ交AD的延长线于H． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AD∥BC，∠A=∠C=90°， ∵点M，N分别是AD，BC的中点， ∴AM=NC， ∴PM=NQ， ∵AE=CF， ∴△EAM≌△FCN（SAS）， ∴∠AME=∠CNF， ∵∠AME=∠EMP，∠CNF=∠FNQ， ∴∠AMP=∠QNC， ∵AD∥BC， ∴∠AHN=∠CNH， ∴∠AMP=∠AHN， ∴PM∥NH，即PM//NQ； (2) 连接MN、PQ相交于点O，如图， ∵四边形ABCD是矩形，AD=12，点M是AD的中点， ∴AM=6， 由折叠得，PM=AM=6， ∵四边形PNQM是菱形，且∠MPN=60°， ∴∠MPO=30°，MN⊥PQ ∴MO=3，PO= ∴AB=MN=2MO=6，PQ=2PO=6 ∴菱形的面积=． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【经典例题七 菱形中动点问题】 37．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示 ． (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (3)只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点Q的运动速度应为多少？ 【答案】(1) (2)当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； (3)当Q点的速度为时，四边形为菱形． 【分析】本题考查了四边形的综合题，涉及到菱形的性质、平行四边形的判定及性质． （1）根据P点的速度以及时间结合的长表示即可； （2）只有Q点在上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形是平行四边形，②四边形是平行四边形，进行解答即可； （3）设Q的速度为，Q在边上，此时可为菱形，满足，建立方程解决即可． 【详解】（1）解：P从A点以向B点运动， 时，， ， ； 故答案为：； （2）解：作于点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， Q在上运动时间为， ， 运动时间最长为， 时，在边上， 此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况： ①四边形是平行四边形，如图所示： ∵即， 只需即可，由（1）知：， 以的速度沿折线向终点运动， 运动时间为时，， ， 解得：； ②四边形是平行四边形，如图所示： 同理， 只需，四边形是平行四边形， 由（1）知，， 则， ， 解得：， 综上所述：当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； （3）解：设Q的速度为，由（2）可知，Q在边上，此时四边形可为菱形， ， 只需满足即可， 由（1）知：， 由（2）知：，， ，， 解得：，， 当Q点的速度为时，四边形为菱形． 38．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在四边形中，，，，，动点P从点A出发，以的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形是平行四边形时，求t的值； (2)当________时，四边形是矩形；若且点Q的移动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是________； (3)在点P、Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度． 【答案】(1) (2)7；4 (3) 【分析】（1）根据平行四边形对边相等的性质得到关于t的方程即可得解； （2）根据矩形及正方形的性质列方程求解即可； （3）根据菱形的性质可以算得四边形成为菱形的t值，并算出、的值，再根据勾股定理可以得到的值． 【详解】（1）解：当四边形是平行四边形时，， ∴， 解得． （2）解：若四边形是矩形，则： ， ∴， 解得：； 若四边形是正方形，则： ， ∴, 解得：， 设P点运动速度为，则由可得： ， 解得：， ∴当要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是； 故答案为：7；4； （3）解：如图， 若四边形是菱形，则， ∴， 解得：， ∴，， ∵，， ∴， 在中， ． 【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的应用，勾股定理，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形有关边的性质、勾股定理的应用是解题关键． 39．（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)当为何值时，四边形成为矩形？ (2)当为何值时，以点、与点、、、中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？ (3)四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)时，四边形成为矩形 (2)或或 (3)四边形不能成为菱形，见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键； （1）由，，由矩形的判定可知当时，四边形成为矩形； （2）由（1）可求得点、与点、为顶点的四边形为平行四边形；然后由当时，是平行四边形，求得t的值； （3）假设能成为菱形由，得出：，当时，，在中，，，勾股定理求得，即可得出结论 【详解】（1）∵，， ∴当时，四边形成为矩形， 由运动知，，， ∴， ∴， 解得． ∴当时，四边形成为矩形； 当时，四边形成为矩形； （2）当时，， 此时，四边形是平行四边形； 当时，， 此时，四边形是平行四边形时； 当时，， 此时，四边形为平行四边形； 综上所述，当或或时，以点、与点、、、中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． （3）四边形不能成为菱形．理由如下： ，当时，四边形能成为菱形． 由，得，解得：， 当时，，，． 在中，，， 根据勾股定理得，， 四边形不能成为菱形． 40．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图1，四边形中， ，，，，，动点在线段边上以每秒1个单位的速度由点向点运动，动点从点同时出发，以每秒3个单位的速度向点运动，设动点的运动时间为秒． (1)当为何值时，满足和？请说明理由． (2)如图2，若是上一点，，那么在线段上是否存在一点，使得四边形是菱形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，理由见解析； 【分析】本题考查了动点问题，涉及到了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，勾股定理，解题关键是能正确建立方程． （1）要满足和，即四边形为平行四边形，已有，故需要，由此可以得到关于的方程，解方程即可求解； （2）利用菱形的判定，由一组邻边相等的平行四边形是菱形，得到，再利用勾股定理建立方程求解即可； 【详解】（1）解： 连接，如图所示， 若满足和，则四边形为平行四边形， ， 设动点的运动时间为秒， 则，， ， ， 解得：，符合题意， 当，满足和； （2）解：假设在线段上存在一点，使得四边形是菱形，连接，， 设动点的运动时间为秒，则， ，要使得四边形是菱形，则需要， ，， ， 在中，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， 此时，， 当时，在线段上存在一点，使得四边形是菱形． 41．（24-25八年级下·四川自贡·期中）如图，矩形中，，，一动点P从A点出发沿对角线方向以每秒2个单位长度的速度向点C匀速运动，同时另一动点Q从C点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点D匀速运动，当其中一个点到这终点时，另一个点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒，过点P作于点E连接，． (1)求证：； (2)四边形能成为菱形吗？如果能，求出相应的t值：如果不能，说明理由 (3)若动点Q从C点出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，其它条件不变，当____时，有最小值． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形能够成为菱形； (3) 【分析】（1）由矩形的性质可得，由直角三角形的性质可得； （2）先证四边形是平行四边形，则当时，平行四边形是菱形，可得等式，即可求解； （3）根据对称性，可得时有最小值，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，，， ， ，， 由题意可得：，， ，， ， ； （2）解：四边形能够成为菱形，理由如下： ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 当时，平行四边形是菱形， ， 当时，四边形能够成为菱形； （3）解：如图1，过点P作于点F，作关于的对称点，连接，作关于的对称点，连接， 四边形是矩形， ， ， 当三点共线时,最小， 由题意可知，，，，则，（）， ， ， ， ， 当时，最小， 为的中点，为的中点 ，，， ， ， 此时， ， 解得， 当时，PQ+EQ有最小值． 故答案是：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了含30度直角三角形的性质、勾股定理、矩形的性质以及菱形的判定与性质，熟练掌握性质是解本题的关键． 42．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连接两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连接PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t≥0)． (1)当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的？ (2)是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； (3)是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度． 【答案】（1）；（2）存在，；（3）不存在；当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ是菱形． 【分析】(1)首先表示出四边形面积以及求出三角形面积，列方程求解即可； (2)由BQ//DP，可得当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，由此可得关于t的方程，解方程即可得； (3)利用(2)中所求，即可求得此时DP与BD的长，由DP≠BD，可判定平行四边形PDBQ不能为菱形，然后设点Q的速度为每秒v个单位长度，由要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，列方程求解即可． 【详解】(1)∵直线PD⊥AC， ∴∠APD=90°， 又∵∠C=90°， ∴∠C=∠APD， ∴PD∥BC， 在Rt△APD中，AD=，AP=t， ∴PD=，PC=AC-AP=6-t， ∵CQ=2t，BC=8， ∴BQ=8-2t， ∴四边形BQPD的面积为：(BQ+DP)×PC=(8-2t+t)(6-t)， △ABC的面积为：AC•BC=×6×8=24， ∴四边形BQPD的面积为△ABC面积的时，×24=(8-2t+t)(6-t)， 解得：， ∵当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动， ∴t≤4， ∴不合题意，舍去， ∴当t为时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的； (2)存在， ∵PD∥BC， ∴BQ∥DP， ∴当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形， 即8-2t=，解得：t=， ∴存在，t=时，四边形PDBQ为平行四边形； (3)不存在，理由如下： 当时，， ∴DP≠BD， ∴平行四边形PDBQ不能为菱形； 设点Q的速度为每秒v个单位长度， 则BQ=8-vt，PD=，BD=10-， 要使四边形PDBQ成为菱形，则PD=BD=BQ， 当PD=BD时，即，解得：t=， 当PD=BQ，t=时，即，解得：v=， 所以当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，综合性较强，有一定的难度，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 【经典例题八 菱形中求线段面积最值问题】 43．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在菱形中，，，点在对角线上（不与点，重合），，． (1)若是线段中点，则四边形的周长为 ，四边形的面积为 ； (2)点在线段上运动时，四边形的周长是否为定值，请说明理由． (3)设，求四边形的面积（用含的代数式表示），并说明为何值时，四边形面积有最大值． 【答案】(1)，； (2)四边形的周长是定值，理由见解析； (3)当时，四边形面积的最大值为． 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定，勾股定理等知识点，理清题意，合理构造辅助线，灵活运用是解题的关键． （1）由菱形的性质可得，，，，可证四边形是平行四边形，可得，，即可求解； （）易证四边形是平行四边形，可得，，由平行线的性质和菱形的性质可证，，即可求解； （）过点作于，由直角三角形的性质可求，，由平行四边形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形，，， ∴，，，， ∴，， ∴四边形的周长， ∵是线段中点， ∴点与点重合，如图， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：，； （2）解：四边形的周长是定值，理由如下， ∵，， ∴四边形是平行四边形，，， ∴，，，， ∴，， ∴四边形的周长； （3）解：如图，过点作于， ∵，， ∴四边形是平行四边形，，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴四边形面积， ∴当时，四边形面积的最大值为． 44．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，线段的两个端点均在格点（正方形的顶点）上． (1)线段的长为__________； (2)若是直角三角形，则网格中满足条件的格点C共有__________个． (3)在网格中以为边所作格点菱形（菱形的四个顶，点都在格点上）的面积最小值为__________． 【答案】(1) (2)6 (3)3 【分析】（1）构造直角三角形，勾股定理可求得． （2）△ABC是直角三角形，可知图中画出6个点． （3）分别求出三个菱形面积，比较大小． 【详解】（1） 勾股定理得 AB= 故答案为： （2）如图所示共有6个 故答案为：6 （3） 第一个菱形面积33-214=5 第二个菱形面积：24=4 第三个菱形面积：33-214-2=3 故答案为：3 【点睛】此题考查了网格中作图，解题关键是构造直角三角形和能求面积的规则图形． 45．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）小明在学习完中心对称图形后，对课本上的几种图形展开探究，他尝试用两张长为9，宽为3的矩形纸片叠放在一起，得到如图所示的四边形，请你帮助．小明解答以下问题： (1)试说明四边形是菱形． (2)四边形面积的最小值为___________，最大值为___________． (3)请利用无刻度直尺和圆规，在给出的矩形中作一个面积最大的菱形． 【答案】(1)见解析 (2)9，15 (3)见解析 【分析】（1）由，可得四边形是平行四边形．然后分别过点A、B作于F，于E．又由两张矩形纸片的宽度相等，即可得，又由面积问题，可得，即可得四边形为菱形； （2）结合题意知，菱形的面积为，当取最小值时，，所以，面积的最小值为9，当旋转至如图位置时，取得最大值，设，在中，利用勾股定理列方程，即可求解； （3）结合（2）可知，在矩形中所作的面积最大的菱形的较长得对角线与该矩形的对角线重合，再作对角线的垂直平分线即可； 【详解】（1）证明：如图，分别过点A、B作于F，于E． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵两张矩形纸片的宽度相等， ∴， 又∵， ∴， ∴是菱形； （2）解：∵是菱形， ∴， ∴， 当越小时，越小，菱形的面积越小， ∴时，取最小值3，菱形的面积最小值为9， 当越大时，越大，菱形的面积越大， ∴旋转如图位置时，如图，此时取最大值， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时菱形的面积取得最大值为15， 故答案为：9，15； （3）如图所示，四边形即为所求． 【点睛】本题考查了尺规作图——作垂直平分线，菱形的判定与性质，还考查了矩形的性质，勾股定理，方程思想，动态条件下的面积最值问题，将面积的最值问题转化成线段的最值问题，是解决本题的关键． 46．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在边上的点处，折痕为．过点作交于，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)当点在边上移动时，折痕的端点、也随之移动． 当点与点重合时（如图），求菱形的边长； 若限定、分别在边、上移动，直接写出菱形的面积的最大值和最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)菱形的边长为；菱形面积的最大值是，最小值是． 【分析】（）由折叠的性质得出，，，由平行线的性质得出，证出，得出，因此，即可得出结论； （）根据矩形的性质和勾股定理求得的长，再在中求得，即菱形的边长； 当点与点重合时，点离点最近，由知，此时；当点与点重合时，点离点最远，此时四边形为正方形，，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵折叠纸片使点落在边上的点处，折痕为， ∴点与点关于对称， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点与点关于对称， ∴， 在中，， ∴； 在中，，， ∴， ∴， 解得：， ∴菱形的边长为； 如图，当点与点重合时，点离点最近，菱形的面积最小， 由知，此时，， ∴菱形的面积的最小值为， 当点与点重合时，点离点最远，菱形的面积最大，此时四边形为正方形， 由折叠性质可知：， ∴菱形的面积的最小值为， ∴菱形面积的最大值是，最小值是． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，菱形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，正方形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 47．（2025·广东东莞·一模）综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动． 【动手操作】 如图1，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接． 【探究提炼】 （1）如图1，点是上任意一点，线段和线段存在什么关系？并说明理由； （2）如图2，连接，当恰好垂直于时，求线段的长度； 【类比迁移】 （3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且． ①求的度数； ②请问步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1），，理由见解析；（2）；（3）①；②存在， 【分析】（1）根据折叠的性质得到垂直平分，可得线段和线段的数量关系，由折叠的性质得到由折叠可知， 设，由角度关系得到，由此即可求解； （2）根据正方形的性质得到，，由折叠的性质得到，是垂直平分线，根据角的和差关系得到，，，由此即可求解； （3）①如图；过点作，垂足为，过点作，垂足为，由四边形的内角和定理得到，证明，得，则，由此即可求解； ②过点作于点，设，则，根据勾股定理，含30度角的直角三角形的性质得到，则，当时，面积最小，由菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质得到，，由此代入计算即可求解． 【详解】解：（1），，理由： 由折叠可知：垂直平分， ∴； 连接， 由折叠可知， 设，则， ∴ ， ∴； （2）由折叠可知：， 在正方形中， ，， ∵， ∴， ∴， 如图，设交于点， ∵，即是垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）①如图；过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∵在菱形中，是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过点作于点，设， 则， ∵，即， 解得：， 则， ∴当最小时，面积最小， ∴当时，面积最小， 如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴的面积存在最小值为． 【点睛】本题主要考查正方形、菱形的性质，折叠的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识的综合运用，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 48．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）问题探究： （1）如图（1），已知等边，边长为4，将绕点A逆时针旋转60°，使得点C落在点D处，与重合，连接，则的长为______． （2）如图（2），已知四边形，，，，，，则以对角线为边长的等边三角形面积是多少？ （3）如图（3），已知等边外存在一点M，，，连接，是否存在以为边的等边三角形其面积有最大值？若存在，求其面积最大值；若不存在请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，． 【分析】（1）如图1，证明四边形ABCD是菱形，利用菱形的性质可得：，从而即可解决问题． （2）如图2，以AD为边向上作等边△ADM，连接．证明△MAC≌△DAB（SAS），推出CM=BD，由∠ADC=30°，∠ADM=60°，推出∠CDM=90°，再利用勾股定理证明：，求解 即可解决问题． （3）如图4，以CM为边向右作等边△CMH，连接AH．利用全等三角形的性质证明BM=AH，求出AH的最大值即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中，设AC交BD于O． 由题意AB=BC=AD=DC， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB=OD，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）如图2，以AD为边向上作等边△ADM，连接． ∵△ADM是等边三角形， ∴∠MAD=∠ADM=60°，AM=AD=DM， ∵AB=BC，∠ABC=60°， △为等边三角形， ∴∠MAD=∠BAC， ∴∠MAC=∠DAB， ∴△MAC≌△DAB（SAS）， ∴CM=BD， ∵∠ADC=30°，∠ADM=60°， ∴∠CDM=90°， ∴， ∵BD=CM，AD=DM， ∴， ∵， ∴， 如图3，以为边作等边三角形，过作于， 由 ∴以BD为边构成的等边三角形的面积为 （3）如图4，以CM为边向右作等边△CMH，连接AH． ∵△ABC，△CMH都是等边三角形， ∴CB=CA，CM=CH，∠BCA=∠MCH=60°， ∴∠BCM=∠ACH， ∴△BCM≌△ACH（SAS）， ∴BM=AH， ∵ ∴， ∴， ∴AH的最大值为， ∴BM的最大值为， 同理可得：以BM为边构成的等边三角形的面积的最大值为 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【经典例题九 正方形折叠问题】 49．（24-25八年级下·江苏南通·月考）下图是一张矩形纸片，按照下面步骤进行折叠： 第一步：如图①，将矩形纸片沿折叠，使得点的对应点落在上，连接，然后把纸片展开． 第二步：如图②，将四边形沿对折，使与重合．将纸片展开，得到折痕，然后连接． 第三步：如图③，折叠纸片使得落在上，折痕为，点的对应点为． (1)试判断四边形的形状并说明理由； (2)求图③中四边形的面积与四边形的面积的比值． 【答案】(1)四边形是正方形，理由见解析 (2) 【分析】（1）先证明，再证明，，从而可得结论； （2）设，可得，求解，证明四边形是菱形，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下： ∵矩形纸片， ∴， 由对折可得：，， ∴四边形是正方形； （2）解：∵四边形是正方形； ∴设，， ∴， 由对折可得：， ∴， 由对折可得：，，， ∵矩形纸片， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， 四边形的面积与四边形的面积的比为． 【点睛】本题考查的是折叠的性质，矩形的性质与判定，正方形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理的应用，理解折叠的性质是解本题的关键． 50．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图①，在矩形纸片中，，． 【实践操作】 第一步：如图②，将图①中的矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，然后把纸片展平； 第二步：如图③，将图②中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为，然后展平，隐去； 第三步：如图④，将图③中的矩形纸片沿折叠，得到，延长与交于点N，与交于点M． 【问题解决】 (1)在图②中证明四边形是正方形； (2)请在图④中判断与的数量关系，并加以证明； (3)请在图④中求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，熟知矩形与折叠的性质，正方形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质和折叠的性质可得，，据此可证明结论； （2）连接，只需要证明即可得到； （3）设，则，由折叠的性质可得，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； （2）解；，证明如下： 如图所示，连接， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴ ， ∴； （3）解：∵四边形是正方形， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 51．（2025·广东深圳·模拟预测）综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 (1)操作一： 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． 根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且① °；②线段，，之间的数量关系为 ． (2)【深入探究】 操作二： 如图2、将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接、． 同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． ①小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论，请证明该结论是否成立，并说明理由． ②【拓展应用】若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长． 【答案】(1)①45；② (2)①成立，见解析；② 【分析】（1）①由正方形的性质得出，由折叠的性质可得：，，即可求解； ②由折叠的性质即可求解； （2）①根据正方形的性质和折叠的性质得到是等腰直角三角形，再根据全等三角形的判定和性质求解即可； ②证明是等腰直角三角形，求出，再由含角的性质以及勾股定理求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴，即； ②由折叠的性质可得：，， ∵， ∴； （2）①结论：成立，理由如下： 将沿所在直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵点落在折痕上， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 52．（24-25八年级下·甘肃武威·月考）[模型建立] （1）如图①，在矩形纸片中，是边的中点，将沿折叠得到，点的对应点恰好落在边上，请你判断四边形的形状，并说明理由； [模型应用] （2）如图②，在矩形纸片中，是边的中点，将沿折叠得到，点的对应点在矩形纸片的内部，延长交于点，求证：； [模型迁移] （3）如图③，在正方形纸片中，是边的中点，将沿折叠得到，点的对应点落在正方形纸片内，延长交于点，若，求线段的长．    【答案】（1）正方形，见解析；（2）见解析；（3）1 【分析】（1）由矩形的性质得，再由折叠的性质得，，则四边形是矩形，即可得出结论； （2）连接，由折叠的性质可知，，，再证，即可得出结论； （3）由（2）得，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下： 四边形是矩形， ， 由折叠的性质得：，， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形； （2）证明：如图，连接，    由折叠的性质可知，，， ， 点是的中点， ， ， 又， ， ； （3）解：四边形是正方形， ，， 由折叠可得， 由（2）得：， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ． 【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识，运用方程思想是解决问题的关键． 53．（24-25八年级下·江苏南通·月考）【教材呈现】人教八年级下册数学教材第59页的部分内容． 如图1，把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？ (1)【问题解决】如图1，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上． 求证：四边形是正方形．（请完成以下填空） 证明：四边形是矩形， ， 折叠，， 四边形是矩形（）． 折叠，， 四边形是正方形（） (2)【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片，将平行四边形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在边上． ①求证：四边形是菱形． ②连结，若，，求菱形的面积． 【答案】(1)有三个角是直角的四边形为矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形 (2)①见详解；②25 【分析】（1）由矩形的性质得，再由折叠的性质得：，则四边形是矩形，然后由，即可得出结论； （2）①由平行四边形的性质得，则，再证，则，得四边形是平行四边形，然后由即可得出结论； ②由菱形面积公式得，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， 由折叠的性质得：， ∴四边形是矩形（有三个角是直角的四边形为矩形）， 由折叠的性质得：， ∴四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）， 故答案为：有三个角是直角的四边形为矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形； （2）①证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； ②解：如图2，∵四边形是菱形，， ∴， 故答案为：25．    【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、折叠的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握折叠的性质、矩形的判定与性质是解题的关键． 54．（24-25八年级下·河南南阳·月考）综合与实践 问题情境： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动，下面是同学们的折纸过程： 动手操作： 步骤一：将边长为的正方形纸片对折，使得点与点重合，折痕为，再将纸片展开，得到图1． 步骤二：将图中的纸片的右上角沿着折叠，使点落到点的位置，连接，，得到图． 步骤三：在图的基础上，延长与边交于点，得到图． 问题解决：    (1)在图中，连接．①求的度数．②求的值． (2)在图的基础上延长与边交于点，如图，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 【分析】（1）由翻折性质可知，，，，推出，证明，推出，，进而得出，设则，，利用勾股定理求出的值即可； （2）结论：，证明，推出，设则，在中，由勾股定理求出的值即可． 【详解】（1）解：如图中， 四边形为正方形， ，， 由翻折性质可知，，，，， ， ，， ， ，， ， 四边形的边长为，则， 设则，， 在中， ， ， 解得：， ，， ， 故答案为：，； （2）结论：， 理由：如图，连接，    由折叠可知，，， ， ，， ， ， 设则， 在中， ， ， ， 解得：， ，， 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，翻转变换的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及方程思想是解题的关键． 【经典例题十 正方形动点压轴】 55．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）已知：正方形ABCD的两条对角线相交于点O，E是线段OC上的一动点，过点A作AG⊥BE交G，交BD于F． (1)若动点E在线段OC上（不含端点），如图（1），求证：OF＝OE； (2)若动点E在线段OC的延长线上，如图（2），试判断△OEF的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)△OEF是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据题目已知条件证明AOF≌BOE即可得出答案； （2）连接EF，同（1）中证明△AOF≌△BOE可得出结论． 【详解】（1）解：证明：四边形ABCD为正方形， ∴OA=OB ，AOB=BOC=90° ∵AG⊥BE交于点G， ∴∠AGE=90° ∴GAE+AEG=OBE+BEO=90°, ∴GAE=OBE 在△AOF和△BOE中 , ∴AOF≌BOE(ASA) ， ∴OF=OE； （2）△OEF是等腰直角三角形， 理由如下：如图，连接EF， 与（1）同理可证明△AOF≌△BOE（ASA） ∴OF=OE， 又∠BOC＝90°， △OEF是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质定理以及全等三角形的判定与性质定理是解本题的关键． 56．（2025八年级下·全国·专题练习）已知四边形是正方形，M、N分别是边，上的动点，正方形的边长为． (1)如图①，O是正方形对角线的交点，若，求四边形的面积； (2)如图②，若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正方形性质得出，，，求出，得证，得出四边形的面积等于的面积，根据正方形的面积求出即可； （2）延长到Q，使，连接，得证，求出，，求出，得证，推出，根据三角形的周长得出的周长等于，代入求出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴ 故四边形的面积是． （2）解：延长到Q，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵在和中， ∴， ∴， ∴的周长是：． 【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是考查学生的推理能力，题目具有一定的代表性，是一道综合性比较强的题目，有一定的难度． 57．（24-25八年级下·广东广州·期末）已知，如图①，在中，， ，点E为上的一动点，连接，过点C作于点H，以为腰作等腰直角连接．    (1)求证：四边形为正方形； (2)如图②，当D，H，G三点共线时，求的值； (3)求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)160 (3) 【分析】（1）先证四边形是矩形，再证四边形是正方形； （2）形式联想到勾股定理，证明三角形是直角三角形即可； （3）D，H两点一定一动，由联想到隐圆． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． （2）解：连接 在中，    （3）解：∵， ∴点H在以的中点O为圆心，以为半径的圆上运动． ∴ ∴的最小值    【点睛】本题考查了正方形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、隐圆等知识点．综合性较强，需要学生具备丰富的几何知识以及严密的逻辑推理能力． 58．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，，，动点M从点A出发，以的速度向终点D运动，同时动点N从点C出发，以的速度向终点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形是平行四边形时，求t的值． (2)当______时，四边形是矩形． (3)若，且点N的运动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则M点的运动速度是______． (4)在点M，N运动过程中，四边形______（填“能”或“不能”）成为菱形． 【答案】(1) (2) (3) (4)不能 【分析】（1）根据题意，则，；根据四边形是平行四边形，则，即可； （2）根据矩形的性质，则，即可； （3）根据正方形的性质，则，设的运动速度为：，则，解出，即可； （4）根据菱形的性质，直角三角形的三边的关系，进行解答即可． 【详解】（1）∵设运动时间为t秒，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度向终点运动， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． （2）由（1）得，； ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴ ∴ ∴． 故答案为：； （3）∵四边形是正方形， ∴， 设的运动速度为： ∴， 解得：， ∴当点是运动速度为时，四边形是正方形． 故答案为：； （4）四边形不能成为菱形，理由如下： 连接，，， ∵四边形中，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，， 假设四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴是直角三角形的斜边，且直角边大于斜边，即， ∴假设不成立， ∴四边形不能成为菱形． 故答案为：不能． 【点睛】本题考查平行四边形，矩形，正方形，菱形的知识，解题的关键是掌握平行四边形，矩形，正方形，菱形的性质，根据动点的运动轨迹和运动速度，进行解答即可． 59．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，正方形的边长为6，分别是边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到． (1)①求证：； ②当时，求的长． (2)类比迁移 若点分别为正方形两条边的延长线上的动点，三者之间还存在（1）中的关系吗？根据解决（1）中问题的经验加以探究． ①如图2，在正方形中，点分别是延长线上的动点，且、、之间的数量关系是什么？请借助图2加以分析，并写出详细的证明过程． ②如图3，在正方形中，点分别是延长线上的动点，且，则、之间的数量关系是______（直接写出关系式）． 【答案】(1)①见解析②5 (2)①，证明见解析② 【分析】（1）①由旋转可得为直角，可得出，由，得到，可得出，再由，利用可得出，由全等三角形的对应边相等可得出；②旋转得到，正方形的边长为6，用求出的长，再由求出的长，设，可得出，在中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为的长． （2）①将绕点A顺时针旋转至根据可证明，可得，即可得结论； ②将绕点A逆时针旋转至，证明，可得出，即可得结论． 【详解】（1）（1）证明：∵逆时针旋转得到，四边形是正方形， ∴， ∴F、C、M三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②设， 由旋转可得：， ∵正方形的边长为6， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， 则． （2）解：①． 证明：如图2，将绕点A顺时针旋转至， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图3，将绕点A逆时针旋转至， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 即． 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 60．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）【问题情境】 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形中，点为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以，为边作矩形． 【特例探究】 启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，当时，点与点重合，此时可以证明矩形是正方形． 【探究发现】 (1)博学小组发现，如图2，当时，点落在边上，此时，过点作于点，于点，通过证明，进而可以证明出矩形是正方形，请你帮助博学小组完成证明． (2)奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，当时，点落在的延长线上． ①此时矩形还是正方形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． ②当，且时，直接写出的长． 【答案】(1)见解析； (2)①矩形还是正方形，理由见解析；② 【分析】本题考查了正方形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握正方形性质与判定是解题关键． （1）利用正方形性质得出，，证明，得出，由正方形判定定理解答即可； （2）①过点作，，垂足分别为，利用（1）中方法解答即可； ②求出，过点作于点，由勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解： 四边形是正方形， ，平分， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形； （2）①矩形还是正方形，理由如下： 如图，过点作，，垂足分别为， ， 四边形是正方形， ，平分， ，， ， ， ， 矩形是正方形． ②四边形是正方形， ， ， ， 过点作于点，则是等腰直角三角形 ， ，， ， ， ． 【经典例题十一 坐标系中四边形综合】 61．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． (1)若点D落在边上，画出旋转后的图形；并求出点D的坐标； (2)若旋转角为，直接写出点D的坐标_______，点E的坐标_______． 【答案】(1)图见解析，点D的坐标为， (2) 【分析】本题考查了作图-旋转变换，矩形的性质，勾股定理.解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意作出图形；根据矩形的性质得到，根据旋转的性质得到，由勾股定理即可得到结论； （2）作轴于点H，作于点M，结合旋转求出，进而求出即可求出点D坐标；求出，即可求出，进而求出结论． 【详解】（1）解：如图所示，矩形即为所求， ∵点，点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形是由矩形旋转得到， ∴， 在中，， ∴， ∴． （2）解：作轴于点H，作于点M， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点横坐标为 ， ， 故答案为：． 62．（24-25八年级下·吉林·期中）解答下列问题． (1)如图①，四边形是矩形，，，三点的坐标分别是，，，则点的坐标是_______________． (2)如图②，四边形是菱形，，两点的坐标分别是，，点，在坐标轴上，求，两点的坐标． (3)如图③，四边形是正方形，，两点的坐标分别是，，直接写出，两点的坐标．（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查了矩形，菱形，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）利用矩形的性质求出，即可． （2）利用菱形的性质求出，即可． （3）利用正方形的性质求出，，即可． 【详解】（1）解：如图1中，，， ，， 四边形是矩形， ，，， ， 故答案为：； （2）解：如图2中，四边形是菱形， ，， ，， ．， ，； （3）解：如图3中，四边形是正方形， ，， ， ， ， ，． 63．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C，B，D的坐标分别是，，．点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为． (1)请直接写出A点的坐标； (2)当时，求t的值； (3)若以点A，D，M，N为顶点的四边形的面积是10，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)2 (3)或 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，坐标与图形，四边形的面积，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想解决问题． （1）直接根据点B和D的坐标可得结论； （2）先得，，证明四边形是平行四边形，则，列方程可解答； （3）分两种情况：①当时，②当时，根据梯形的面积公式列方程可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （3）解：分两种情况： ①当时，点N在边上，四边形是梯形， ∵， ∴点A，D，M，N为顶点的四边形的面积， ∴， ∴， ∴； ②当时，点N在的延长线上， ∴点A，D，M，N为顶点的四边形的面积， ∴， ∴， ∴， 综上，点M的坐标为或． 64．（24-25八年级下·山东日照·期中）阅读材料： [阅读]在平面直角坐标系中，以任意两点、为端点的线段中点坐标为． [运用] (1)如图，矩形的对角线相交于点M，分别在x轴和y轴上，为坐标原点，点E的坐标为，则点M的坐标为______．    (2)已知，，三点，在平面直角坐标系中存在一点D，与点A、B、C构成平行四边形，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，平行四边形和矩形的性质，熟练掌握矩形和平行四边形对角线互相平分是解题的关键． （1）根据中点坐标公式计算，即可求解； （2）根据平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， ∵点的坐标为，点O的坐标为， ∴点M的坐标为，即， 故答案为：； （2）解：设点D的坐标为， 若以为对角线，此时 ，解得：， ∴点D的坐标为； 若以为对角线，此时 ，解得：， ∴点D的坐标为； 若以为对角线，此时 ，解得：， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 65．（24-25八年级下·天津滨海新区·期中）正方形的边长为6，O为平面直角坐标系的原点，D是的中点． (1)如图，点A的坐标为 ，点C的坐标 ，点D的坐标 ； (2)如图，点P在上， 且坐标为，若三角形的面积为12，求a的值； (3)在坐标轴上是否存在点Q，使三角形的面积是正方形面积的一半．若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)4 (3)或或或 【分析】本题坐标与图形，一元一次方程的应用，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）根据坐标与图形写出坐标即可； （2）根据求解即可； （3）分两种情况讨论：当点Q在轴上时；当点Q在轴上时，设点Q的坐标，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：正方形的边长为6， ，， ，，， D是的中点， ， 故答案为：，，； （2）解：点P在上， 且坐标为， ， 若三角形的面积为12， 则 ， ； （3）解：正方形的面积为， 当点Q在轴上时， 设，则， ， 解得：， 点Q的坐标为或； 当点Q在轴上时， 设，则， ， 解得：， 点Q的坐标为或； 综上可知，点Q的坐标为或或或． 66．（24-25八年级下·广西河池·期中）材料阅读 小明偶然发现线段的端点的坐标为，端点的坐标为，则线段中点的坐标为，通过进一步的探究发现在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段中点坐标为． (1)知识运用： 如图，矩形的对角线相交于点分别在轴和轴上，为坐标原点，则的长为___________，点的坐标为___________． (2)能力拓展： 在直角坐标系中，有三点，另有一点与点构成平行四边形的顶点，求点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 【答案】(1)5； (2)点的坐标为或或 【分析】本题考查坐标系内中点坐标公式，勾股定理，平行四边形的性质，注意分情况讨论是解题的关键． （1）由勾股定理可求的长，由矩形的性质得出点M为的中点，利用中点公式可得点M的坐标； （2）由平行四边形的性质可知，两条对角线中点重合，分，，为对角线三种情况，根据中点坐标公式求解即可． 【详解】（1）解：为坐标原点，， 的长为， 矩形的对角线相交于点， 点M为的中点， 点M的坐标为，即， 故答案为：5，； （2）解：设点D的坐标为， 如图，分三种情况： 当为对角线时，与的中点重合， ， 解得， 点D的坐标为； 当为对角线时，与的中点重合， ， 解得， 点D的坐标为； ③当为对角线时，与的中点重合， ， 解得， 点D的坐标为； 综上可知，点的坐标为或或． 【经典例题十二 中点四边形】 67．（25-26八年级下·全国·周测）如图，已知E，F，G，H分别是各边的中点，则四边形EFGH是什么四边形？若把条件中的依次改为矩形、菱形、正方形，其他条件不变，则四边形EFGH依次是什么四边形？试说明理由． 【答案】四边形EFGH是平行四边形；当四边形ABCD为矩形时，四边形EFGH是菱形；当四边形ABCD为菱形时，四边形EFGH是矩形．当四边形ABCD为正方形时，四边形EFGH是正方形；理由见解析 【分析】连接，，由三角形中位线定理可得，，，，，，根据菱形、矩形、正方形的性质定理和判定解答即可． 【详解】解：如图，连接，． ，分别为，的中点， ∴，． 同理可得，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵，分别为，的中点， ∴，． 当四边形为矩形时，， ∴， ∴四边形是菱形． 当四边形为菱形时，， ∴， ∴四边形是矩形． 当四边形为正方形时，，， ∴，， ∴四边形是正方形． 【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，解题关键是掌握三角形中位线定理． 68．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，，，，分别是四边形各边的中点，顺次连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当四边形的对角线，满足______时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行四边形和正方形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接，首先根据三角形中位线的性质得到，且，，且，进而得到，且，即可证明出四边形是平行四边形； （2）连接，，同理可得，，，进而得到当时，，证明出平行四边形是菱形，然后由推理得到，进而证明出菱形是正方形． 【详解】（1）解：如图所示，连接 ∵点是的中点，点是的中点， ∴，且， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，且， ∴，且 ∴四边形是平行四边形； （2）解：当，且时，四边形是正方形． 理由如下： 如图所示，连接， ∵由（1）得， 同理可得，， ∴当时， ∴平行四边形是菱形 当时， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴菱形是正方形． 69．（2025·江西南昌·一模）在中，，，E、F分别为边的中点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹） (1)在图中画一个以点A、点C为顶点的菱形． (2)在图中画一个以点B、点C为顶点的矩形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查菱形的判断： （1）连接，则四边形是菱形； （2）根据菱形的中点四边形是矩形，画出图形即可． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所求． （2）解：如图，矩形即为所求． 70．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，四边形为菱形，点E、F、G、H分别为四边中点，我们把四边形称为菱形的“中点四边形”． (1)求证：四边形为矩形； (2)如图，矩形为某个菱形的中点四边形，请画出这个菱形并简单说明画法（不需要尺规作图）． 【答案】(1)证明见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了菱形和矩形的判定和性质，三角形中位线定理： （1）连接，根据菱形的性质可得，再由三角形中位线定理可得，从而得到四边形是平行四边形，即可求证； （2）连接，分别过M、P作平行线，过N、Q做平行线，两组平行线围成的四边形即为所求． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵四边形是菱形， ． 分别为四边中点， ， ， ∴四边形是平行四边形， 又， ， 为矩形； （2）解：连接，分别过M、P做平行线，过N、Q做平行线，两组平行线围成的四边形即为所求． 由作法得：， ∴四边形、、均是平行四边形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 71．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）阅读下面材料： 在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形是平行四边形吗？ 小敏在思考问题时，有如下思路：连接． 结合小敏的思路作答： （1）若只改变图1中四边形的形状（如图2），则四边形还是平行四边形吗？请说明理由； 参考小敏思考问题的方法，解决以下问题： （2）如图2，在（1）的条件下，若连接，．当与满足什么关系时，四边形是正方形．直接写出结论． 【答案】（1）是，理由见解析；（2）且 【分析】本题考查了中点四边形，涉及了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）结论：四边形还是平行四边形．连接．根据中位线定理证明，即可； （2）利用（1）的结论，可知需要满足而且，由此可知当与满足且即可． 【详解】解：（1）结论：四边形还是平行四边形． 理由：如图2，连接． 、分别是、中点 ，， 同理：，， ，， 四边形是平行四边形． （2）结论：当且时，四边形是正方形． 理由：如图3中，由（1）四边形是平行四边形 、是、中点 同理： 平行四边形是菱形． ，， ， ， ， ， 四边形是正方形． 72．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①________； ②________； 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果． 拓展应用： （4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D；（2）①，②；（3），；（4），理由见解析 【分析】（1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案； （2）由中位线的性质可得，结合正方形的性质可得结论； （3）取四边形边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出四边形是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （4）设的中点分别为E、F，并顺次连接，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直， 所以其中点四边形是正方形； 故选：D； （2）①，②；理由如下： 如图1，∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∵E、F、G、H分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图，取四边形边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的位置关系为，数量关系为； （4），理由如下： 如图，设的中点分别为E、F，并顺次连接， ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵F，N分别是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 【经典例题十三 三角形中位线的实际应用】 73．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，E、F分别为AB、CD的中点（O、M、N不重合），仔细观察你会发现，无论四边形ABCD的形状如何变化，只要保持两条对角线的长度相等，则EF与两条对角线围成的△OMN总是等腰三角形，请说明理由． 【答案】见解析 【分析】取AD的中点Q，连接EQ、FQ，根据三角形的中位线定理得出EQ∥AC，EQ=BD，FQ=AC，FQ∥AC，根据平行线得出∠QEF=∠OMN，∠QFE=∠ONM，求出QE=QF，推出∠QEF=∠QFE，求出∠OMN=∠ONM即可． 【详解】解：取AD的中点Q，连接EQ、FQ ∵E，F分别为AB，CD的中点 ∴EQ∥BD，EQ＝BD，FQ∥AC， FQ＝AC ∴∠QEF＝∠OMN，∠QFE＝∠ONM ∵AC＝BD ∴QE＝QF ∴∠QEF＝∠QFE ∴∠OMN＝∠ONM ∴OM＝ON 即△OMN是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线定理等知识点，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键． 74．（2025·吉林松原·一模）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中画的中位线，使点分别在边上； (2)在图②中画的高线． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）根据网格线的特点、矩形性质，先找到的中点，再连接即可； （2）根据网格线的特点，利用全等三角形性质构造过点的斜边等于的直角三角形即可． 【详解】（1）解：如下图所示： 线段即为所求； （2）解：如下图所示： 线段即为所求． 【点睛】本题考查作图的应用和设计，掌握网格线的特点和三角的中位线、高线的定义是解题的关键． 75．（2025·江西九江·二模）如图，在由边长为1个单位长度的正方形组成的网格中，给出了格点（顶点为网格线的交点），请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)请在网格①中，作的中位线PQ，交AB于点P，交BC于点Q． (2)请在网格②中，作矩形ACMN，使 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）通过构造直角三角形ABM、直角三角形APN、直角三角形CEB、直角三角形CFQ，可得点P为AB中点，点Q为BC中点，即PQ为的中位线； （2）分别过点C、A作，垂足分别为M、N，根据PQ为的中位线，可得，即可得点B到AC的距离是点C到PQ的距离2倍，由面积公式即可求得，作图即可． 【详解】（1）通过构造直角三角形ABM、直角三角形APN、直角三角形CEB、直角三角形CFQ， ， ， ， 可得点P为AB中点， 同理可得，点Q为BC中点， 即PQ为的中位线， PQ即为所求． （2）PQ为的中位线， ， 分别过点C、A作，垂足分别为M、N， ， 四边形ACMN为矩形， 点C、点B到PQ的距离相等， 即点B到AC的距离是点C到PQ的距离2倍， ， ， 矩形ACMN即为所求． 【点睛】本题考查了三角形的中位线、矩形的判定及几何作图，熟练掌握知识点是解题的关键． 76．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中作△ABC的中位线EF，使点E、F分别在边AB、AC上． (2)在图②中作线段GH，使，，点G、H分别在边AB、AC上． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）作出AB的中点E，AC的中点F，连接EF，线段EF即为所求； （2）在AB上找一点G，使得，在AC上找一点H，使得，连接GH，线段GH即为所求． 【详解】（1）解：如图①中，线段EF即为所求； （2）如图②中，线段GH即为所求． 【点睛】本题考查作图，应用与设计作图，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型． 77．（2025八年级下·江苏·模拟预测）如图，由24个边长为1的小正方形组成的的网格中，的顶点都在格点（小正方形的顶点）上．请在所给的网格中分别画一条线段，并同时满足如下条件： ①点，分别在，边上． ②点，都是格点． ③图1中满足，图2中满足． 【答案】见解析 【分析】直接利用网格结合三角形中位线性质以及结合勾股定理得出符合题意的答案． 【详解】解：图1中满足，图2中满足． 【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，正确结合网格分析是解题关键． 78．（25-26八年级下·全国·周测）某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 【答案】(1)中位线，160 (2)三角形的中位线定理 (3)，过程见解析 【分析】本题考查了中位线定理，熟练掌握相关定理是解题的关键； （1）根据已知思路写出需要填补的空缺； （2）根据方案一的思路判断依据； （3）从方案二或方案三选择一种方案求出AB长． 【详解】（1）解：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的中位线． ， 160． （2）解：三角形的中位线定理 （3）解：选择方案二：， ， ． 或选择方案三：，， 为直角三角形． ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $