专题05 分式70道计算题专项训练（10大题型）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升讲练（苏科版2024）

第05讲 分式70道计算题专项训练（10大题型） 题型一 分式的求值 题型二 分式的加减法 题型三 分式的乘除法 题型四 分式的四则混合运算 题型五 分式的求整问题 题型六 分式方程的解法 题型七 分式方程解的情况求参数 题型八 分式方程的增根无解问题 题型九 分式的规律计算问题 题型十 分式的新定义计算 【经典计算题一 分式的求值】 1．（25-26八年级上·北京·期末）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据题意可得，再把所求式子的分子和分母都分解因式，再约分，最后利用整体法求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ， ． 2．（24-25八年级下·江西九江·月考）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质以及分式的求值，解题关键是熟练运用分式的运算法则对等式进行变形，整体代入求值． 将变形为，然后代入求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ ． 3．（24-25八年级下·江苏泰州·课后作业）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的求值，正确得到是解题的关键． （1）先求出，再把所求分式中的x用替换，再约分即可得到答案； （2）先求出，再把所求分式中的x用替换，再约分即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴ ． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）若，则的值为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的求值，先求出，再由进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 5．（25-26八年级下·江苏泰州·周测）（1）已知，且，求分式的值． （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）-3（2）3 【分析】本题考查了分式的值，通过将分式的分子、分母分别分解因式，以及掌握整体代入思想是解题的关键． （1）由得，将其整体代入分式的分子和分母，化简即可； （2）先将分式的分子、分母分别分解因式，约分化为最简结果，然后代入求值即可． 【详解】解：（1），且， ，且， ． （2）， ， ． 6．（2025八年级下·江苏镇江·专题练习）阅读理解： 例题：已知实数满足，求分式的值． 解：． 的倒数 ∴ (1)已知实数满足，求分式的值． (2)已知实数满足，求分式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）先求出，再根据求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ， ∴． 7．（24-25八年级下·河南周口·月考）阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． (1)若将分式拆分成（为整数），则______，______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 【答案】(1)3；4 (2) (3)3或 【分析】本题考查分式的化简求值； （1）根据求解即可； （2）参考材料中的过程求解即可； （3）参考材料中的过程得到，再根据分式的值为负整数，得到是整数，推出或，最后分情况讨论求值即可． 【详解】（1）∵， ∴若将分式拆分成（为整数），则，， 故答案为：3；4． （2）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． （3）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． ∵分式的值为负整数， ∴是整数， ∴或， 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 综上所述，分式的值为负整数，满足条件的整数的值为3或． 【经典计算题二 分式的加减法】 8．（2025八年级下·江苏泰州·专题练习）化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减混和运算，根据分式的加减混和运算法则计算即可． 【详解】解： ． 9．（2025八年级下·江苏泰州·专题练习）已知，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：， 原式． 10．（24-25八年级下·江苏泰州·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式． （2）原式 11．（24-25八年级下·江苏泰州·课堂例题）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键； （1）先根据分式的性质进行变形，然后再利用分式的加减运算可进行求解； （2）根据分式的加法运算可进行求解 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 12．（2025·浙江杭州·二模）某同学化简分式：出现了错误，解答过程如下： 解： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学的解答过程是从第_________步开始出错． (2)请写出此题的正确解答过程． 【答案】(1)二 (2) 【分析】（1）根据分式的加减运算法则可作出判定； （2）根据分式的加减运算法则进行化简即可． 【详解】（1）解：第二步开始出错，因为丢掉了分式的分母， 故答案为：二； （2）解： ． 【点睛】本题考查分式的加减，熟练掌握分式的加减运算法则并正确求解是解答的关键． 13．（2025·河南洛阳·三模）下面是小林同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 任务一：填空： ①从上面的化简步骤，第______步是进行分式的通分，通分的依据是____________． ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是____________． 任务二：请写出这道题正确的化简过程． 【答案】任务一：①三，分式的基本性质或分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②五，括号前是“一”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：见解析 【分析】任务一：①根据分式的基本性质解答即可；②根据去括号法则解答即可； 任务二：根据分式的加减运算法则计算即可得到答案． 【详解】解：任务一：①第三步进行分式的通分，通分的依据是：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变． ②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是：括号前是“一”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号． 任务二： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 【点睛】本题考查的是分式的运算法则，掌握其法则是解决此题关键． 14．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）小明和小红在学习分式时，老师布置一道题“计算：，” 小明的解法： 解： =①     ②     ③ ④ 小红的解法： 解： ① ② ③ ④ (1)老师批改时，发现两位同学都出错了，请你分别指出他们从哪一步出现错误（填写序号）． (2)请你写出正确的计算过程． 【答案】(1)小明从第①步出错，小红从第②步出错 (2)，正确计算过程见解析 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据两位同学的解题步骤进行判断即可； （2）将原式通分并计算后再约分即可． 【详解】（1）解：由题干中的解题步骤可得小明第①步出错，小红第②步出错； （2）解： ． 【经典计算题三 分式的乘除法】 15．（24-25八年级上·吉林·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除法，利用分式的乘除法则计算即可，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 16．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除运算，因式分解，掌握运算法则是解决问题的关键． （1）将除法转化为乘法后约分即可； （2）先将除法转化为乘法，再将分母因式分解后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（24-25八年级下·江苏泰州·课后作业）已知，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了分式的求值，完全平方公式，首先利用分式的乘除运算将分式进行化简，再利用完全平方公式将变形为，求出a，b的值，再代入求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴原式． 18．（24-25八年级上·山东聊城·期中）分式乘除运算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的乘除运算，熟练掌握运算规则是解题关键； （1）直接利用分式的乘法运算法则计算即可； （2）先将除法变成乘法，再利用分式的乘法运算法则计算即可； （3）先对各分式的分子分母进行因式分解，再利用分式的乘法运算法则计算即可； （4）先将除法变成乘法，同时对各分式的分子分母进行因式分解，再利用分式的乘法运算法则计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 19．（24-25八年级上·内蒙古锡林郭勒·期中）（1）先化简，再求值： ，其中x=5 （2） 【答案】（1），；（2）-1． 【分析】（1）首先根据分式的除法运算法则化简，然后将x=5代入求解即可． （2）根据分式的乘除运算法则化简分式求解即可． 【详解】解：（1） 将x=5代入，得：原式＝； （2） 【点睛】此题考查了分式的乘除运算以及化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的乘除运算法则． 20．（25-26八年级上·山东德州·月考）（1）先化简，再求值：，其中． （2）化简：，然后选取一个你喜欢的的值代入求值． 【答案】（1），（2），当时，原式 【分析】本题考查分式的化简求值： （1）除法变乘法，约分化简后，利用整体代入法进行计算即可； （2）除法变乘法，约分化简后，代入一个使分式有意义的值，进行计算即可． 【详解】解：（1）原式； ∵， ∴原式； （2）原式， ∵， ∴， ∴当时，原式． 21．（24-25八年级下·山东枣庄·月考）化简： (1)； (2)，并从的范围内选取一个合适的的整数值代入求值． 【答案】(1) (2)，当时，原式；当时，原式 【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据分式的乘除法法则计算； （2）根据分式的加减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的添加确定x的值，代入计算得到答案． 【详解】（1）    ； （2）    ，  ，，  当时，原式；  当时，原式．； 【经典计算题四 分式的四则混合运算】 22．（2026·陕西咸阳·模拟预测）化简：． 【答案】 【分析】先算括号里面的加法，再算除法，即可求解． 【详解】解： ． 23．（2025八年级下·江苏泰州·专题练习）计算：． 【答案】 【详解】本题主要考查分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先计算左边括号内减法，再利用乘法分配律计算，再进行加减计算． 解： ． 24．（25-26八年级上·山东泰安·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． （1）先计算除法，再计算减法； （2）先计算括号内减法，再计算除法． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ． 25．（25-26八年级下·上海奉贤·期末）求被遮住部分的代数式，并将其化简． （      ） 【答案】 【分析】设被遮住的部分代数式为A，根据题干给出的等量关系列出算式，再按照分式的运算法则化简即可得到结果． 【详解】解：设被遮住部分的代数式为A，则， ∴， 即被手遮住部分的代数式为． 26．（25-26八年级下·江苏泰州·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式混合运算，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． （1）先根据分式加减运算法则，计算括号里面的，再根据分式除法运算法则，进行计算即可； （2）根据分式混合运算法则，进行计算即可； （3）根据分式混合运算法则，进行计算即可； （4）根据平方差公式，结合分式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 27．（2025八年级上·湖南怀化·模拟预测）先化简，再求值：，再从中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】；当时，原式的值为 【分析】本题考查分式的化简求值；对于分式化简，需要运用分式的运算法则，如除法变乘法(除以一个分式等于乘以它的倒数)，通分等；化简后再根据分式有意义的条件选择合适的：值代入求值． 【详解】解： 要使分式有意义， 分母不能为，即， ∴； 从中选择代入， ∴， 故：当时，原式的值为． 28．（25-26八年级上·山东泰安·月考）化简： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 【分析】（1）根据分式的乘法，直接约分即可； （2）将除法变为乘法，再计算即可； （3）根据同分母分式减法法则计算即可； （4）根据分式乘除混合运算法则计算即可； （5）先计算括号内的，再将除法变成乘法计算； （6）先计算括号内的，再将除法变为乘法计算； （7）先计算括号内的，再将除法变为乘法计算； （8）先计算括号内的，再将除法变为乘法计算； （9）先计算括号内的，再将除法变为乘法计算． 【详解】（1）解：． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． （6）解： ． （7）解： ． （8）解： ． （9）解： ． 【经典计算题五 分式的求整问题】 29．（2025·四川南充·一模）取一个整数，使代数式的值也是整数． 【答案】，取，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了分式的化简求值；先将除法转化为乘法，然后进行化简求值即可，根据题意取一个整数，使得分式的值也是整数，即可求解． 【详解】原式 取，原式． 其他可能情况： 取，原式．取，原式．取，原式． 取，原式．取，原式．取，原式． 30．（2025·宁夏银川·二模）先化简代数式的值．选取一个合适的整数作为的值代入求值，，取整数 【答案】，当时， 分式的值为 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 由，取整数，得到，，，0， 当，，0时，原式没有意义，舍去， 当时，原式． 31．（24-25八年级下·陕西西安·月考）已知，． (1)当时，比较与0的大小，并说明理由； (2)设，若m为整数，求整数y的值． 【答案】(1)，详见解析 (2)整数y为：4或3或0或1 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的性质； （1）计算，得出，即可求解； （2）先化简，根据题意可得为整数，进而即可求解． 【详解】（1）解：．理由如下： ， ∵， ∴，， ∴， 即． （2）， 要使y为整数，则或， ∴整数y为：4或3或0或1． 32．（24-25八年级上·湖南岳阳·月考）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是“和谐分式”． (1)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：化简，并求x取什么整数时，该分式的值为整数． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）将分子配凑成常数的常数的形式即可； （2）利用分式的混合运算法则化简后，再将分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：原式 ∵ ∴当时，该分式的值为整数 此时，的值为 ∵， ∴且且且， 综上所述：的值为 【点睛】本题是以分式为背景的新定义题型，注意准确把握题意，对分子进行正确的变形． 33．（24-25八年级上·江西赣州·期末）一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)如果分式的值为整数，求整数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了分式的性质，分式的加减运算； （1）参照范例进行解答即可； （2）先参照范例把分式化成一个整式与一个分式的和的形式，再结合原分式和的值都为整数这个条件进行分析解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ， ∵原分式的值为整数，且为整数， ∴， ∴或． 34．（24-25八年级下·河南·月考）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”． (1)下列式子：①；②；③；④其中，属于“和谐分式”的是___________．（填序号） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：___________+__________； (3)请求出当取什么整数时，式子的值也为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解． （1）根据“和谐分式”的定义对各式变形即可得； （2）由原式，再整理可得； （3）根据和谐分式的定义整理为，再讨论得出答案． 【详解】（1）解：①，是和谐分式； ②不是分式，不是和谐分式； ③，是和谐分式； ④，是和谐分式. 故答案为：①③④； （2）解：， 故答案为：，； （3）解： ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又∵分式有意义时、1、、， ∴． 35．（24-25八年级下·江苏泰州·课后作业）[核心素养] 阅读材料： 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解：由分母为，可设（b为整数）， 则． ∵对于任意x，上述等式均成立， ∴解得 ∴ ． 这样，分式就被拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解决问题：将分式，分别拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 【答案】， 【分析】本题考查了多项式乘多项式、同分母分式加减法，掌握同分母分式加减法是解题的关键． 根据所给的材料，将分式拆成，再运算化简即可作答．将分式拆成，再运算化简即可作答． 【详解】解：由的分母为， 可设（n为整数）， 则 ∵对于任意x，上述等式均成立， ∴ 解得 ∴ 由的分母为， 可设（d为整数）， 则． ∵对于任意x，上述等式均成立， ∴ 解得 ∴． 【经典计算题六 分式方程的解法】 36．（25-26八年级下·浙江金华·月考）解分式方程． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， 检验，当时，， 所以是原方程的解． 37．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】（1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】（1）解： 去分母得， 解得 检验：将代入， ∴原方程的解为； （2）解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程无解． 38．（25-26八年级上·山东聊城·期末）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． 【详解】（1）解：∵； 方程两边都乘，得， 整理，得， 解方程，得， 检验：当时，， ∴原方程的解是， （2）解： 方程两边都乘，得   整理，得， 解方程，得， 检验：当时，， ∴原方程的解是． 39．（25-26八年级下·上海闵行·期末）先化简，再回答下列问题 (1)当时，求代数式的值． (2)原代数式的值能等于吗？如果能，请求出此时x的值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查分式的化简，因式分解，分式无意义的条件，解分式方程； （1）根据分式的基本性质化简后，将代入计算即可； （2）令化简后的式子等于，求出x的值，代入原式检验即可． 【详解】（1）解： 当时，即， ； （2）解：不能，理由如下， 当时，即， 解得， 经检验当时，除数，导致原表达式除以零无意义； ∴原代数式的值不能等于． 40．（25-26八年级上·天津·期末）计算 (1)解方程：； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了解分式方程，分式的化简求值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）先计算分式的除法，再计算减法，结果化为最简分式，然后将代入计算即可． 【详解】（1）解： 方程两边乘，得： 解得：． 检验：当时， 所以，原分式方程的解为； （2）解： 当时，原式． 41．（24-25八年级下·河南开封·月考）对于两个不为0的数m，n，我们规定“*”运算：．请解方程：． 【答案】 【分析】根据定义将方程变形为分式方程，求解并验根即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程即为， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并，得， 解得：， 经检验，时，，是方程的解， ∴方程的解是． 42．（25-26八年级上·江西赣州·期末）下面是某位同学解分式方程的过程： 解：方程两边同乘以，得：，① 去括号，得：，② 移项，得：，③ 解得：，④ 检验：当时，，⑤ 所以，原分式方程的解为． (1)填空：第___________步开始出现了错误（只填序号）； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】（）根据去括号法则判断即可求解； （）按照解分式方程的步骤解答即可求解； 本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：该同学的做法从第②步去括号未变号，出现了错误， 故答案为：②； （2）解：方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 【经典计算题七 分式方程解的情况求参数】 43．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）关于x的方程的解大于，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程，先化简分式方程，得出用含的代数式表示，再结合关于x的方程的解大于，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∵关于x的方程的解大于， ∴， 解得， ∵ ∴ 解得 ∴m的取值范围为且． 44．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）已知关于x的方程的解为负数，求a的取值范围． 【答案】且 【分析】此题考查了解分式方程，表示出分式方程的解，由分式方程的解为负数结合分式有意义的条件，列出关于的不等式，解不等式即可确定出的范围，解分式方程注意要检验． 【详解】解：， 移项得， 两边同乘最简公分母去分母得： 整理得：， 解得 ∵方程的解为负数，因此，即：，解得 ∵分式方程分母不能为0，因此且； 若，则，解得，此时方程产生增根，无解，因此 综上，的取值范围是且． 45．（24-25八年级下·河南南阳·月考）若数使关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为非负数，确定出a的范围即可． 【详解】解： 去分母得：， 即， 解得：， 关于的分式方程的解为非负数， 且， 解得：且． 46．（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）若关于x的分式方程的解比方程的解大5，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解法及根据方程解的关系求参数，解题的关键是先求出已知分式方程的解，再根据“解大5”的条件得到目标分式方程的解，最后将此解代入目标方程求解参数． 先解分式方程，得到其解；再根据题意计算出目标分式方程的解；然后将目标分式方程化为整式方程，把求得的解代入整式方程，求解的值即可． 【详解】解：先解方程， 方程两边同乘，得，，． 经检验，是原方程的解． 由题意，得分式方程的解为． 方程两边同乘，得，，． 把代入，得，，，． 经检验，符合题意． 故的值为． 47．（24-25八年级下·福建泉州·月考）关于的分式方程的解为正数，求的取值范围是什么？ 【答案】且 【分析】本题考查分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．根据分式方程的解法求出的表达式，然后利用题意列出关于的不等式即可求出答案． 【详解】解：， ， ， 且， 解得：且． 48．（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知方程． (1)若是方程的解，求m的值； (2)若，解方程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式方程的解，解分式方程， 对于（1），将方程的解代入原方程，求出m的值即可； 对于（2），将m的值代入原方程，再根据解分式方程的步骤求出解，然后检验． 【详解】（1）解：∵是方程的解， ∴， 解得； （2）解：当时，， 去分母，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． 经检验，.是原方程的根． 49．（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期末）定义：如果一个关于分式方程的解是，我们就说这个方程是和解方程．比如就是一个和解方程．如果关于的分式方程是一个和解方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解． 根据和解方程的定义，方程的解应为，代入原方程求解． 【详解】解：∵方程是和解方程 ∴解为， 将代入原方程： ， ， ， ． 【经典计算题八 分式方程的增根无解问题】 50．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）若关于的方程有增根，试求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程增根的知识，解题的关键是理解增根的概念，即分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，通过增根求出相关字母的值． 先确定增根，再将分式方程化为整式方程，最后把增根代入整式方程求出的值． 【详解】解：分式方程，其分母分别为和． 因为分式方程的增根是使分母为0的根，，解得， 所以该分式方程的增根为． 将分式方程化为整式方程： 得到：， 把增根代入整式方程中，即． 化简可得，解得． 综上，的值为． 51．（2025八年级下·江苏泰州·专题练习）当为何值时，关于的方程会产生增根？ 【答案】 【分析】本题考查了分式方程增根问题，①化分式方程为整式方程，求出表示的代数式；②把增根代入的代数式，即可求得相关字母的值． 【详解】解：方程两边同乘以得：， 解得：， 将代入上式，得， 答：当时，方程产生增根． 52．（2025八年级下·江苏扬州·专题练习）已知关于x的分式方程． (1)若分式方程有增根，求a的值； (2)若分式方程的解为非负数，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，表示出x，再根据分式方程有增根时分母为0，从而求出x的值，再列出关于a的方程，解方程即可； （2）根据分式方程的解是非负数和分式的分母不能为0，列出关于a的不等式组，解不等式组，求出答案即可． 本题主要考查了分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的一般步骤． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ∵分式方程有增根， ∴， 解得：， ∴， ， ， ； （2）解：∵分式方程的解为非负数， ∴， 由①得：， ， ， 由②得：， ， ， ∴a的取值范围是：且． 53．（25-26八年级上·重庆开州·期末）先化简，再求值：，其中使得关于的方程无解． 【答案】，0 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式方程无解的问题，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则以及解分式方程的步骤． 先解分式方程，确定分式方程无解时的的值，然后进行分式的混合运算，再代入求值即可． 【详解】解： ， 解得， 当，即时方程无解； 当时，方程无解，则此时，解得， ∴当或时方程无解， ∵时，中分母为0无意义，舍； ∴当时，原式 54．（25-26八年级下·江苏徐州·课后作业）已知关于x的分式方程，回答下列问题： (1)原分式方程去分母后，整理成关于x的整式方程，得________________． (2)若原分式方程无解，求a的值． 【答案】(1) (2)a的值为1或 【分析】（1）方程两边同乘以最简公分母，切记不要漏乘即可； （2）分式方程无解有两种情况：一是其化简成的整式方程（设为 ）本身无解，即 且 ；二是整式方程的解是原分式方程的增根． 【详解】（1）解：方程两边同乘以最简公分母得， 整理得：． 故答案为：． （2）解：当， 即时，原分式方程无解； 当时，由原分式方程无解， 得， 解得． 把代入， 解得． 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了已知含参分式方程的解的情况，求参数值，掌握分式方程无解的两种情况是解题的关键． 55．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）小珍解方程过程如下： 解：去分母，得……第一步 去括号，得 ……第二步 合并同类项，得……第三步 解得 ……第四步 检验：当时， 不是分式方程的根，原分式方程无解．……第五步 (1)你认为小珍从第______步出现错误； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)第一步 (2)，过程见解析 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键．注意：解分式方程，最后需要检验，避免出现增根． （1）根据解题过程逐步判断解答； （2）根据解分式方程的步骤写出正确的解答过程即可． 【详解】（1）解：小珍从第一步出现错误，去分母时，方程右边没有乘以公分母， 故答案为：第一步 （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 56．（24-25八年级下·河南南阳·期末）（1）化简：； （2）小丁和小迪分别解方程的过程如下： 小丁： 解：去分母，得 ， 去括号，得， 合并同类项，得， 解得， ∴原方程的解是． 小迪： 解：去分母，得， 去括号得， 合并同类项得， 解得， 经检验，是方程的增根， 原方程无解． 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在他们的名字后的横线上打“”；若错误，请在他们的名字后的横线上打“”，并写出你的解答过程． 小丁：__________；小迪：__________． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据分式的性质，乘法公式的运用对分式进行化简即可； （2）根据分式的混合运算，运用解分式方程的方法即可求解． 【详解】解：（1） ； （2），， 解： 去分母得，， 去括号得，， 移项得， 合并同类项得，， 检验：把代入， ∴是原方程的解． 【点睛】本题主要考查分式的化简，解分式方程，掌握分式的性质，分式有意义的条件，解分式方程的方法是解题的关键． 【经典计算题九 分式的规律计算问题】 57．（24-25八年级下·山东青岛·月考）观察下列各式： ，，， (1)由此推测________ (2)请你用含字母m的等式表示一般规律（m表示整数） (3)请直接用（2）的规律计算的值． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】本题考查数字的变化类以及分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律，求出所求式子的值． （1）根据题目中的例子的计算方法可以解答本题； （2）根据（1）中的例子可以写出含m的等式； （3）根据（2）中的规律进行分式的混合运算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：由（）可得 ； （3）解： ． 58．（24-25八年级上·贵州铜仁·月考）观察下列等式： (1)猜想并写出： (2)利用规律计算： (3)利用规律计算 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据前面几个分数的乘法得到裂项的结果，再归纳可得规律； （2）根据规律把进行裂项，再计算即可； （3）根据规律把进行裂项，再通分进行计算即可； 【详解】（1）解：∵， 归纳可得：； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查的是分式的运算规律的探究，分式的加减运算，熟练的利用规律进行裂项是解本题的关键． 59．（24-25八年级下·安徽六安·期中）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： (1)请你按照上述等式规律写出第4个等式为_____________． (2)根据上述等式规律写出第n个等式，并验证你所写的等式的正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了运算的变化规律探究，根据已知得出数据中变与不变的量，从而得出规律是解题关键． （1）根据已知得出数据的分子与分母的变化规律，进而得出答案即可； （2）先归纳得到第n个等式，再分别从左边和右边计算规律式，即可得到证明； 【详解】（1）解：∵第1个等式： 第2个等式： 第3个等式：， 第4个等式：； （2）由（1）归纳可得： 第个等式为； 理由如下： ∵， ， ∴． 60．（2025八年级下·江苏泰州·专题练习）观察发现：；；根据你发现的规律，回答下列问题： (1)利用你发现的规律计算：． (2)灵活利用规律解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解分式方程，关键是根据算式的特点，把分式拆分成两个分式的差； （1）根据规律即可完成； （2）根据规律进行拆分，最后解分式方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：． ∴ ． （2）解：∵，，…，， ∴ ． ∴． ∴或． 经检验，当时，；当时，． ∴是的解． 61．（24-25八年级下·广东惠州·月考）.观察下列式子： ，，，...... 用你发现的规律解答下列问题 (1)第4个式子是：____________，第n个式子是：____________. (2)用这个规律计算： (3)探索并计算： 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据所给的等式的形式进行分析即可求解； （2）利用所给的式子的形式，把所求的式子进行拆项，即可求解； （3）仿照（2）的解答方式，把所求的数进行拆项，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 第个式子为：， 第个式子为：， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律并灵活运用． 62．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）观察下列各式： ，，，，， (1)由此可推导出____________； (2)请猜想能表示（1）的特点的一般规律，用含字母m的等式表示出来，并证明（m表示整数）； (3)请直接用（2）中的规律计算：的结果． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)0 【分析】本题考查了分式的加减，关键是观察已知条件中的分式的特点，总结规律是解题的关键． （1）根据例子可以得到42可以分解成两个相邻的整数6和7的乘积，即可写出； （2）分母是两个相邻的整数的积，因而是，分子是1，根据（1）即可写出最后的结果； （3）第一个和第二个分式符和（2）的特点，可以验证，代入即可得到结果． 【详解】（1） 故答案为：， （2）一般规律为： 证明：右边 左边， 左边右边， 猜想成立； （3）原式 ． 63．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）下面是一些方程和它们的解． 的解为，； 的解为，； 的解为，； …… 根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题： (1)的解为_______； (2)关于x的方程的解为_______； (3)关于x的方程的解为_______． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，． 【分析】本题考查了解分式方程． （1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果； （2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果； （3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可； 【详解】（1）解：猜想关于x的方程的解是； 故答案为：； （2）解：猜想关于x的方程的解是，； 故答案为：，； （3）解：方程变形得：， ∴， 可得或， 解得：，． 【经典计算题十 分式的新定义计算】 64．（24-25八年级上·湖南湘潭·期末）对于两个非零有理数x，y，定义一种新运算：，例如：． (1)求的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1)1 (2)a的值为 【分析】本题考查有理数的混合运算，解分式方程等知识，理解定义的运算是解题的关键． （1）运用定义运算代入计算即可； （2）运用定义运算代入得到一个分式方程，求解这个分式方程即可，注意检验． 【详解】（1）解：； （2）， 去分母得：， 解得：， 经检验：是方程的解， ⸫a的值为． 65．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）定义一种新运算：，例：．根据这种运算法则，完成下列各题： (1)计算：； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，分式的加减混合运算，掌握分式的加减混合运算的运算顺序是解本题的关键； （1）根据新定义列式再通分计算即可； （2）根据新定义列式再通分计算即可； （3）根据新定义列式再通分计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 66．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）对于任意的实数a，b，规定新运算：． (1)计算：； (2)若，求m的值．(要求写出解方程过程) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的化简和分式方程的解法，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）利用所给算式运算即可， （2）利用（1）的结果，将原方程化为分式方程，再求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）由（1）可知：， ， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是原方程的解， 的值为． 67．（25-26八年级上·广东广州·期末）对于任意有理数，定义一种新运算例如，先化简，再求值，其中满足方程． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． 先根据新定义得到，然后化简，再解方程，将求出的值代入化简后的代数式求解即可． 【详解】解：由题意得， ， ， 解得 ∴原式 68．（24-25八年级下·福建三明·期中）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”． (1)试说明是的“关联分式”； (2)小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：设的“关联分式”为，则，所以以，所以．请你仿照小聪的方法，求分式的“关联分式”． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是分式的混合运算，新定义运算的含义，理解新定义运算的含义是解本题的关键； （1）根据新定义运算的含义列式计算证明即可； （2）设的关联分式是，由新定义可得，再进一步计算即可． 【详解】（1）解： ， 又， 是的关联分式． （2）设的关联分式是，则． ． ∴, ． 69．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是 ；（填序号） ①；②；③． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)先化简：，若该式的值为整数，求整数x的所有值． 【答案】(1)②③ (2) (3)， 【分析】本题主要考查分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解． （1）由“和谐分式”的定义对①②③变形即可得； （2）由原式可得； （3）将原式变形为，据此得出或，即或或1或，又、1、、，据此可得答案． 【详解】（1）①，不是和谐分式； ②，是和谐分式； ③，是和谐分式； 故答案为：②③ （2）， （3）原式 ， 当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又分式有意义时、1、、， ． 70．（24-25八年级上·北京东城·期末）已知繁分式的定义为：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像，这样的分式称为繁分式．繁分式化简为最简分式的常见方法有两种： 例如化简，方法一：需把原式写成后化简，化简的结果为；方法二：繁分式的分子分母同乘进行化简，化简的结果为． 请根据以上方法，回答下面的问题： (1)繁分式化为最简分式后的形式为_______；要使得繁分式有意义，的取值范围是_______； (2)若实数，满足，． ①_______（用含的式子表示）； ②求证：不论取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 【答案】(1)；且； (2)①；② 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分式的除法运算，化简求值，掌握运算法则是解本题的关键； （1）根据分式的基本性质化简繁分式即可，根据分母不为0求解分式有意义的条件时，字母的取值范围即可； （2）①先代入，再列式计算分式的除法运算即可； ②先化简分式，代入，约分后可得答案． 【详解】（1）解：； ∵繁分式有意义， ∴且， ∴的取值范围是且； （2）①∵，． ∴ ； ②∵， ∴， ； 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 分式70道计算题专项训练（10大题型） 题型一 分式的求值 题型二 分式的加减法 题型三 分式的乘除法 题型四 分式的四则混合运算 题型五 分式的求整问题 题型六 分式方程的解法 题型七 分式方程解的情况求参数 题型八 分式方程的增根无解问题 题型九 分式的规律计算问题 题型十 分式的新定义计算 【经典计算题一 分式的求值】 1．（25-26八年级上·北京·期末）已知，求代数式的值． 2．（24-25八年级下·江西九江·月考）已知，求的值． 3．（24-25八年级下·江苏泰州·课后作业）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）若，则的值为多少？ 5．（25-26八年级下·江苏泰州·周测）（1）已知，且，求分式的值． （2）已知，求代数式的值． 6．（2025八年级下·江苏镇江·专题练习）阅读理解： 例题：已知实数满足，求分式的值． 解：． 的倒数 ∴ (1)已知实数满足，求分式的值． (2)已知实数满足，求分式的值． 7．（24-25八年级下·河南周口·月考）阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． (1)若将分式拆分成（为整数），则______，______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 【经典计算题二 分式的加减法】 8．（2025八年级下·江苏泰州·专题练习）化简：． 9．（2025八年级下·江苏泰州·专题练习）已知，求的值． 10．（24-25八年级下·江苏泰州·假期作业）计算： (1)； (2)． 11．（24-25八年级下·江苏泰州·课堂例题）计算： (1)． (2)． 12．（2025·浙江杭州·二模）某同学化简分式：出现了错误，解答过程如下： 解： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学的解答过程是从第_________步开始出错． (2)请写出此题的正确解答过程． 13．（2025·河南洛阳·三模）下面是小林同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 任务一：填空： ①从上面的化简步骤，第______步是进行分式的通分，通分的依据是____________． ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是____________． 任务二：请写出这道题正确的化简过程． 14．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）小明和小红在学习分式时，老师布置一道题“计算：，” 小明的解法： 解： =①     ②     ③ ④ 小红的解法： 解： ① ② ③ ④ (1)老师批改时，发现两位同学都出错了，请你分别指出他们从哪一步出现错误（填写序号）． (2)请你写出正确的计算过程． 【经典计算题三 分式的乘除法】 15． （24-25八年级上·吉林·期末）计算：． 16．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算下列各式： (1) (2) 17．（24-25八年级下·江苏泰州·课后作业）已知，求的值． 18．（24-25八年级上·山东聊城·期中）分式乘除运算： (1) (2) (3) (4) 19．（24-25八年级上·内蒙古锡林郭勒·期中）（1）先化简，再求值： ，其中x=5 （2） 20．（25-26八年级上·山东德州·月考）（1）先化简，再求值：，其中． （2）化简：，然后选取一个你喜欢的的值代入求值． 21．（24-25八年级下·山东枣庄·月考）化简： (1)； (2)，并从的范围内选取一个合适的的整数值代入求值． 【经典计算题四 分式的四则混合运算】 22．（2026·陕西咸阳·模拟预测）化简：． 23．（2025八年级下·江苏泰州·专题练习）计算：． 24．（25-26八年级上·山东泰安·期末）计算 (1)； (2)． 25．（25-26八年级下·上海奉贤·期末）求被遮住部分的代数式，并将其化简． （      ） 26．（25-26八年级下·江苏泰州·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 27．（2025八年级上·湖南怀化·模拟预测）先化简，再求值：，再从中选一个合适的数作为的值代入求值． 28．（25-26八年级上·山东泰安·月考）化简： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9) 【经典计算题五 分式的求整问题】 29．（2025·四川南充·一模）取一个整数，使代数式的值也是整数． 30．（2025·宁夏银川·二模）先化简代数式的值．选取一个合适的整数作为的值代入求值，，取整数 31．（24-25八年级下·陕西西安·月考）已知，． (1)当时，比较与0的大小，并说明理由； (2)设，若m为整数，求整数y的值． 32．（24-25八年级上·湖南岳阳·月考）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是“和谐分式”． (1)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：化简，并求x取什么整数时，该分式的值为整数． 33．（24-25八年级上·江西赣州·期末）一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)如果分式的值为整数，求整数的值． 34．（24-25八年级下·河南·月考）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”． (1)下列式子：①；②；③；④其中，属于“和谐分式”的是___________．（填序号） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：___________+__________； (3)请求出当取什么整数时，式子的值也为整数． 35．（24-25八年级下·江苏泰州·课后作业）[核心素养] 阅读材料： 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解：由分母为，可设（b为整数）， 则． ∵对于任意x，上述等式均成立， ∴解得 ∴ ． 这样，分式就被拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解决问题：将分式，分别拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 【经典计算题六 分式方程的解法】 36．（25-26八年级下·浙江金华·月考）解分式方程． 37．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）解方程： (1) (2) 38．（25-26八年级上·山东聊城·期末）解分式方程： (1)； (2)． 39．（25-26八年级下·上海闵行·期末）先化简，再回答下列问题 (1)当时，求代数式的值． (2)原代数式的值能等于吗？如果能，请求出此时x的值；如果不能，请说明理由． 40．（25-26八年级上·天津·期末）计算 (1)解方程：； (2)先化简，再求值：，其中． 41．（24-25八年级下·河南开封·月考）对于两个不为0的数m，n，我们规定“*”运算：．请解方程：． 42．（25-26八年级上·江西赣州·期末）下面是某位同学解分式方程的过程： 解：方程两边同乘以，得：，① 去括号，得：，② 移项，得：，③ 解得：，④ 检验：当时，，⑤ 所以，原分式方程的解为． (1)填空：第___________步开始出现了错误（只填序号）； (2)请写出正确的解题过程． 【经典计算题七 分式方程解的情况求参数】 43．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）关于x的方程的解大于，求m的取值范围． 44．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）已知关于x的方程的解为负数，求a的取值范围． 45．（24-25八年级下·河南南阳·月考）若数使关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围． 46．（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）若关于x的分式方程的解比方程的解大5，求m的值． 47．（24-25八年级下·福建泉州·月考）关于的分式方程的解为正数，求的取值范围是什么？ 48．（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知方程． (1)若是方程的解，求m的值； (2)若，解方程． 49．（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期末）定义：如果一个关于分式方程的解是，我们就说这个方程是和解方程．比如就是一个和解方程．如果关于的分式方程是一个和解方程，求的值． 【经典计算题八 分式方程的增根无解问题】 50．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）若关于的方程有增根，试求的值． 51．（2025八年级下·江苏泰州·专题练习）当为何值时，关于的方程会产生增根？ 52．（2025八年级下·江苏扬州·专题练习）已知关于x的分式方程． (1)若分式方程有增根，求a的值； (2)若分式方程的解为非负数，求a的取值范围． 53．（25-26八年级上·重庆开州·期末）先化简，再求值：，其中使得关于的方程无解． 54．（25-26八年级下·江苏徐州·课后作业）已知关于x的分式方程，回答下列问题： (1)原分式方程去分母后，整理成关于x的整式方程，得________________． (2)若原分式方程无解，求a的值． 55．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）小珍解方程过程如下： 解：去分母，得……第一步 去括号，得 ……第二步 合并同类项，得……第三步 解得 ……第四步 检验：当时， 不是分式方程的根，原分式方程无解．……第五步 (1)你认为小珍从第______步出现错误； (2)写出正确的解答过程． 56．（24-25八年级下·河南南阳·期末）（1）化简：； （2）小丁和小迪分别解方程的过程如下： 小丁： 解：去分母，得 ， 去括号，得， 合并同类项，得， 解得， ∴原方程的解是． 小迪： 解：去分母，得， 去括号得， 合并同类项得， 解得， 经检验，是方程的增根， 原方程无解． 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在他们的名字后的横线上打“”；若错误，请在他们的名字后的横线上打“”，并写出你的解答过程． 小丁：__________；小迪：__________． 【经典计算题九 分式的规律计算问题】 57．（24-25八年级下·山东青岛·月考）观察下列各式： ，，， (1)由此推测________ (2)请你用含字母m的等式表示一般规律（m表示整数） (3)请直接用（2）的规律计算的值． 58．（24-25八年级上·贵州铜仁·月考）观察下列等式： (1)猜想并写出： (2)利用规律计算： (3)利用规律计算 59．（24-25八年级下·安徽六安·期中）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： (1)请你按照上述等式规律写出第4个等式为_____________． (2)根据上述等式规律写出第n个等式，并验证你所写的等式的正确性． 60．（2025八年级下·江苏泰州·专题练习）观察发现：；；根据你发现的规律，回答下列问题： (1)利用你发现的规律计算：． (2)灵活利用规律解方程：． 61．（24-25八年级下·广东惠州·月考）.观察下列式子： ，，，...... 用你发现的规律解答下列问题 (1)第4个式子是：____________，第n个式子是：____________. (2)用这个规律计算： (3)探索并计算： 62．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）观察下列各式： ，，，，， (1)由此可推导出____________； (2)请猜想能表示（1）的特点的一般规律，用含字母m的等式表示出来，并证明（m表示整数）； (3)请直接用（2）中的规律计算：的结果． 63．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）下面是一些方程和它们的解． 的解为，； 的解为，； 的解为，； …… 根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题： (1)的解为_______； (2)关于x的方程的解为_______； (3)关于x的方程的解为_______． 【经典计算题十 分式的新定义计算】 64．（24-25八年级上·湖南湘潭·期末）对于两个非零有理数x，y，定义一种新运算：，例如：． (1)求的值； (2)若，求a的值． 65．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）定义一种新运算：，例：．根据这种运算法则，完成下列各题： (1)计算：； (2)计算：； (3)计算：． 66．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）对于任意的实数a，b，规定新运算：． (1)计算：； (2)若，求m的值．(要求写出解方程过程) 67．（25-26八年级上·广东广州·期末）对于任意有理数，定义一种新运算例如，先化简，再求值，其中满足方程． 68．（24-25八年级下·福建三明·期中）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”． (1)试说明是的“关联分式”； (2)小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：设的“关联分式”为，则，所以以，所以．请你仿照小聪的方法，求分式的“关联分式”． 69．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是 ；（填序号） ①；②；③． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)先化简：，若该式的值为整数，求整数x的所有值． 70．（24-25八年级上·北京东城·期末）已知繁分式的定义为：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像，这样的分式称为繁分式．繁分式化简为最简分式的常见方法有两种： 例如化简，方法一：需把原式写成后化简，化简的结果为；方法二：繁分式的分子分母同乘进行化简，化简的结果为． 请根据以上方法，回答下面的问题： (1)繁分式化为最简分式后的形式为_______；要使得繁分式有意义，的取值范围是_______； (2)若实数，满足，． ①_______（用含的式子表示）； ②求证：不论取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 学科网（北京）股份有限公司 $