专题04 因式分解49道计算题专项训练（7大题型）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升讲练（苏科版）

第04讲 因式分解49道计算题专项训练（7大题型） 题型一 提公因式法分解因式 题型二 平方差公式分解因式 题型三 完全平方公式分解因式 题型四 综合运用公式法分解因式 题型五 综合提公因式和公式法分解因式 题型六 十字相乘法 题型七 分组分解法 【经典计算题一 提公因式法分解因式】 1．（25-26八年级下·江苏常州·月考）因式分解： (1) (2) 2．（25-26八年级下·江苏扬州·月考）分解因式． (1) (2) 3．（25-26八年级下·江苏无锡·周测）先因式分解，再求值． (1)，其中，． (2)，其中． 4．（24-25八年级下·江苏无锡·课后作业）利用因式分解进行计算： (1)； (2)． 5．（25-26八年级下·江苏南京·课后作业）先因式分解，再计算求值： (1)，其中，． (2)，其中，，． 6．（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）长方形的长为，宽为，在长方形内部挖去一个边长为的正方形，求剩余部分的面积（用含的代数式表示，并因式分解）． 7．（24-25八年级下·江苏无锡·课后作业）学了提公因式后，王老师出了这样一道题：分解因式：，小刚同学是这样做的： 解： ． 王老师说他做错了，你认为小刚的解法错在哪里？请写出你的正确答案． 【经典计算题二 平方差公式分解因式】 8．（25-26八年级上·广东广州·期末）分解因式： (1)； (2)． 9．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）因式分解： (1) (2) 10．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）如果，且，求的值． 11．（25-26八年级下·江苏南京·月考）先化简，再求值： ，其中，． 12．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）利用因式分解简便计算： (1) (2) 13．（24-25八年级下·江苏无锡·课后作业）分解因式：． 解：． 以上分解过程是否正确？若不正确，请指出错在哪里，并给出正确的解题过程． 14．（25-26八年级上·陕西延安·月考）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学分解因式的过程如下： 甲： （分成两组） （直接运用公式）． 乙： （分成两组） （提公因式）． 请在他们解法的启发下，分解因式： (1)； (2)． 【经典计算题三 完全平方公式分解因式】 15．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）计算：． 16．（25-26八年级下·江苏南京·阶段练习）因式分解 (1) (2) 17．（24-25八年级下·江苏无锡·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 18．（2026八年级下·江苏无锡·专题练习）把写成一个多项式的平方的形式． 19．（2026八年级下·江苏无锡·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 20．（25-26八年级上·河南周口·月考）阅读材料：我们知道 所以形如 的式子可以用完全平方公式因式分解． 类似地，对于 我们可以通过配方实现因式分解： 请根据材料，解决下列问题： (1)因式分解： (2)因式分解： 21．（25-26八年级上·河南漯河·期末）“整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了． 例如：分解因式． 解：将看成一个整体，令，则原式___________，将还原得，原式． 请根据上述材料回答下列问题： (1)请补全横线上的步骤：___________； (2)分解因式：． 【经典计算题四 综合运用公式法分解因式】 22．（25-26八年级下·上海奉贤·期末）分解因式：． 23．（25-26八年级上·河南周口·月考）分解因式： (1) (2) 24．（24-25八年级下·四川·期中）已知，把多项式因式分解． 25．（24-25八年级上·山东东营·月考）（一）因式分解 （1）    （2） （二）用简便方法计算 （1） （2） ． 26．（24-25八年级上·重庆渝北·月考）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下： 甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ． 请在他们解法的启发下，解答下列各题： (1) (2)； 27．（2025八年级下·浙江·专题练习）请看下面的问题：把分解因式． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 人们为了纪念苏菲热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲热门的做法，将下列各式因式分解． (1)； (2)． 28．（25-26八年级上·山东烟台·期中）【阅读材料】我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： ． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)请在①、②处填空： ①_____②______ (2)将下列各式因式分解： ①_______； ②______； ③______． 【经典计算题五 综合提公因式和公式法分解因式】 29．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 30．（25-26八年级上·福建·期中）把下列多项式分解因式： (1)； (2)． 31．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 32．（25-26八年级上·湖北黄石·月考）分解因式： (1) (2) (3) 33．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）已知，，求的值． 34．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）先因式分解，再求值： (1)，其中． (2)已知，，求的值． 35．（25-26八年级上·河北承德·期末）下面是嘉琪同学对多项式进行因式分解的过程，请认真阅读并解答相关问题． 解：原式………………第一步 ………………第二步 ………………………………………………第三步 ………………………………………………第四步 ．…………………………………………第五步 (1)第三步到第四步运用了因式分解中的（    ） A．提取公因式                          B．两数的平方差公式   C．两数和的完全平方公式                D．两数差的完全平方公式 (2)除了嘉琪的解题方法，你还有没有其他的解题方法？请写出你的解题方法． 【经典计算题六 十字相乘法】 36．（25-26八年级下·上海浦东新·期末）因式分解：． 37．（2026八年级下·江苏·专题练习）因式分解： (1) (2) 38．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）因式分解： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ． 39．（24-25八年级下·陕西西安·月考）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 40．（25-26八年级上·山东济宁·开学考试）在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 仿照上述方法进行因式分解． (1)； (2)． 41．（24-25八年级下·河北唐山·期末）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“A”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法．结合材料1和材料2，完成下面小题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 42．（24-25八年级上·北京东城·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把中看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数．分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如：将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 【经典计算题七 分组分解法】 43．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）将下列各式分解因式． (1)； (2)． 44．（24-25八年级下·江苏无锡·周测）请灵活运用分组分解的方法对下列多项式进行因式分解： (1)； (2)． 45．（24-25八年级下·江西吉安·期末）有一种因式分解的方法叫分组分解法．具体做法如下：把分解因式得 解：原式 请阅读理解上面解法后，把下列多项式因式分解： 46．（25-26八年级上·重庆合川·期末）阅读下列材料：分解因式：． 方法一：原式； 方法二：原式． 对多项式进行因式分解，当不能提取公因式，也不能直接用公式法时，可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法分解因式． 请尝试利用材料中的方法分解因式： (1)； (2)． 47．（24-25八年级上·山东滨州·期末）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ， 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求式子的值． 48．（24-25八年级上·山东淄博·期中）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如 ，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：   这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式： (1) ； (2) ． 49．（24-25八年级下·陕西西安·月考）阅读下面的材料，然后解决问题： 苏菲·热门，19世纪法国数学家，他在数学研究上造诣颇深．下面是他写的数学著作中的一个问题：因式分解时，因为该式只有两项，而且属于平方和的形式，即，所以要使用公式就必须添加一项，同时减去，即．人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”．请你依照苏菲·热门的做法，将下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 因式分解49道计算题专项训练（7大题型） 题型一 提公因式法分解因式 题型二 平方差公式分解因式 题型三 完全平方公式分解因式 题型四 综合运用公式法分解因式 题型五 综合提公因式和公式法分解因式 题型六 十字相乘法 题型七 分组分解法 【经典计算题一 提公因式法分解因式】 1．（25-26八年级下·江苏常州·月考）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用提公因式法，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）运用提公因式法进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26八年级下·江苏扬州·月考）分解因式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，熟练找出公因式是解题的关键． （1）提取公因式进行分解即可； （2）提取公因式进行分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 3．（25-26八年级下·江苏无锡·周测）先因式分解，再求值． (1)，其中，． (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）提取公因式，将多项式因式分解后，代入和的值计算； （2）先将变形为，再提取公因式，因式分解后代入的值计算． 【详解】（1）解： 代入，： ． （2）解： 代入： ． 【点睛】本题考查了因式分解的提取公因式法及代数式求值，解题关键是通过提取公因式简化代数式，再代入已知值计算，避免复杂的直接运算． 4．（24-25八年级下·江苏无锡·课后作业）利用因式分解进行计算： (1)； (2)． 【答案】(1)260 (2)2009 【分析】本题主要考查了运用提取公因式法分解因式、有理数乘法运算律等知识点，灵活运用提取公因式是解题的关键． （1）先把39分解成，然后提取公因式13，再进行计算求值即可； （2）先提取公因式，然后再运用有理数乘法运算律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 5．（25-26八年级下·江苏南京·课后作业）先因式分解，再计算求值： (1)，其中，． (2)，其中，，． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，代数式求值，掌握先提取公因式化简代数式，再代入数值计算，简化运算过程是解题的关键． （1）观察两项的公因式，提取公因式后化简代数式，再代入数值计算 （2）先将变形为，使两项出现公因式，提取公因式后化简，再代入数值计算． 【详解】（1）解：原式 ． 当，时， 原式． （2）解：原式 ． 当，，时， 原式 ． 6．（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）长方形的长为，宽为，在长方形内部挖去一个边长为的正方形，求剩余部分的面积（用含的代数式表示，并因式分解）． 【答案】 【分析】本题考查因式分解：用长方形面积减去正方形面积，利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：长方形面积：， 挖去的正方形面积：， 剩余面积：． 7．（24-25八年级下·江苏无锡·课后作业）学了提公因式后，王老师出了这样一道题：分解因式：，小刚同学是这样做的： 解： ． 王老师说他做错了，你认为小刚的解法错在哪里？请写出你的正确答案． 【答案】错在分解不彻底，括号里还有公因数3．正确答案为 【分析】本题主要考查了分解因式，正确找到公因式是解题关键． 先观察式子中的各项，判断过程是否正确；再找出公因式为； 然后提取公因式分解因式即可． 【详解】解：错在分解不彻底，括号里还有公因数3． 正确的解题过程如下： ． 【经典计算题二 平方差公式分解因式】 8．（25-26八年级上·广东广州·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键： （1）利用平方差公式法进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 9．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先把原式变形为，再提取公因式，最后利用平方差公式分解因式即可； （2）利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）如果，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，以及提取公因式，使用平方差公式化简是解决本题的关键． 根据平方差公式化简，再提取公因式即可求解． 【详解】解：，且，即， ， 即， 整理可得 ， ， ． 11．（25-26八年级下·江苏南京·月考）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查根据平方差公式进行因式分解． 【详解】解：原式， 当，时，原式． 12．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）利用因式分解简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式的因式分解，代数式的变形与约分，利用平方差公式进行因式分解简化运算是解题关键． （1）直接用平方差公式进行因式分解，再计算得到结果； （2）把每一项都看作，用平方差公式分解为，将所有分解后的式子连乘，通过相邻项交叉约分消去中间项，最后只剩下首末两项相乘即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 13．（24-25八年级下·江苏无锡·课后作业）分解因式：． 解：． 以上分解过程是否正确？若不正确，请指出错在哪里，并给出正确的解题过程． 【答案】不正确．没有将项化为平方的形式而直接用平方差公式，正确的解题过程见解析 【分析】本题考查了平方差公式的应用及因式分解的相关知识，先判断原分解过程是否正确，若不正确则指出错误原因，再运用平方差公式进行正确分解． 【详解】解：不正确．没有将项化为平方的形式而直接用平方差公式． 正确的解题过程如下： 原式． 14．（25-26八年级上·陕西延安·月考）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学分解因式的过程如下： 甲： （分成两组） （直接运用公式）． 乙： （分成两组） （提公因式）． 请在他们解法的启发下，分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用完全平方公式、平方差公式因式分解即可； （2）利用分组分解，然后利用乘法公式，因式分解即可． 【详解】（1）原式 （2） 【经典计算题三 完全平方公式分解因式】 15．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先把分子分母进行因式分解，然后再进行分式的乘法运算即可． 【详解】解：原式 ． 16．（25-26八年级下·江苏南京·阶段练习）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法并灵活选择是解题的关键． （1）先根据平方差公式，再根据完全平方公式进行因式分解，即可作答． （2）运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（24-25八年级下·江苏无锡·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解的应用； （1）先提取，再利用完全平方公式进行因式分解运算即可； （2）直接利用完全平方公式进行因式分解运算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 18．（2026八年级下·江苏无锡·专题练习）把写成一个多项式的平方的形式． 【答案】 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解，多项式乘以多项式的运算，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则以及因式分解的方法． 先计算多项式乘以多项式，然后合并同类项，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解： 所以原式可以写成． 19．（2026八年级下·江苏无锡·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）直接利用完全平方公式分解因式即可； （2）直接利用完全平方公式分解因式即可； （3）直接利用完全平方公式分解因式即可； （4）直接利用完全平方公式分解因式即可； （5）直接利用完全平方公式分解因式即可； （6）直接利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 20．（25-26八年级上·河南周口·月考）阅读材料：我们知道 所以形如 的式子可以用完全平方公式因式分解． 类似地，对于 我们可以通过配方实现因式分解： 请根据材料，解决下列问题： (1)因式分解： (2)因式分解： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可； （2）先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．（25-26八年级上·河南漯河·期末）“整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了． 例如：分解因式． 解：将看成一个整体，令，则原式___________，将还原得，原式． 请根据上述材料回答下列问题： (1)请补全横线上的步骤：___________； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘法和因式分解，素材的理解，正确理解整体思想是解题的关键． （1）根据完全平方公式因式分解即可； （2）仿照题目素材，令，原式，去括号再因式分解，最后代回即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：令， 则原式 将还原， 得原式． 【经典计算题四 综合运用公式法分解因式】 22．（25-26八年级下·上海奉贤·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】先利用平方差公式初步分解，再使用完全平方公式进行分解即可． 【详解】解：． 23．（25-26八年级上·河南周口·月考）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）提取公因式进行因式分解即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．（24-25八年级下·四川·期中）已知，把多项式因式分解． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，非负数的性质，先由题意得到，再由非负数的性质可得，即，则所求式子为，去括号后利用乘法公式因式分解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 25．（24-25八年级上·山东东营·月考）（一）因式分解 （1）    （2） （二）用简便方法计算 （1） （2） ． 【答案】（一）（1）；（2）；（二）（1）；（2） 【分析】（一）（1）根据提取公因式的方法分解即可； （2）首先运用平方差公式分解，然后运用完全平方公式继续分解； （二）（1）运用平方差公式解答便可； （2）根据平方差公式计算即可． 【详解】（一）（1）原式； （2）原式， ， ； （二）（1）原式， ， ， ； （2）原式， ， ． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解以及平方差公式的应用，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，熟记公式是解答本题的关键． 26．（24-25八年级上·重庆渝北·月考）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下： 甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ． 请在他们解法的启发下，解答下列各题： (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先利用完全平方公式因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可； （2）先利用平方差公式因式分解，然后利用提公因式法因式分解即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 27．（2025八年级下·浙江·专题练习）请看下面的问题：把分解因式． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 人们为了纪念苏菲热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲热门的做法，将下列各式因式分解． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解配方法，以及分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可； （2）原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 28．（25-26八年级上·山东烟台·期中）【阅读材料】我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： ． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)请在①、②处填空： ①_____②______ (2)将下列各式因式分解： ①_______； ②______； ③______． 【答案】(1)， (2)①；②；③ 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）仿照阅读材料，运用配方法（加上一次项系数一半的平方，再减去该值）将二次三项式转化为完全平方式与常数的差，再利用平方差公式因式分解． （2）①仿照阅读材料，运用配方法给加上4再减去4，将转化为与1的差，再利用平方差公式因式分解． ②仿照阅读材料，运用配方法将转化为，再利用平方差公式因式分解． ③仿照阅读材料，运用配方法将转化为与的差，再利用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解： 故答案为：①，②； （2）解：① ； 故答案为：． ② 故答案为：． ③ ； 故答案为：． 【经典计算题五 综合提公因式和公式法分解因式】 29．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）提出公因式即可求得结果； （）提出公因式，再利用完全平方公式分解即可得到最终结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 30．（25-26八年级上·福建·期中）把下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式，再用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 31．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）利用完全平方公式，平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 32．（25-26八年级上·湖北黄石·月考）分解因式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得； （2）将看作一个整体，先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可得； （3）利用分组分解法分解因式即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 33．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）已知，，求的值． 【答案】， 【分析】先提出公因式，再根据完全平方公式因式分解，即可． 【详解】解：原式． 当，时，原式． 34．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）先因式分解，再求值： (1)，其中． (2)已知，，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了因式分解和整体代入的思想，掌握先因式分解简化式子，再利用已知条件求中间量，最后整体代入求值是解题的关键． （1）先提取公因式，再对括号内的式子化简并因式分解，最后代入数值计算； （2）先提取公因式，再利用已知条件求出的值，整体代入化简后的式子计算． 【详解】（1）解：原式 ． 当，时， 原式 （2）解：， ． ， ，解得． 当，时， ． 35．（25-26八年级上·河北承德·期末）下面是嘉琪同学对多项式进行因式分解的过程，请认真阅读并解答相关问题． 解：原式………………第一步 ………………第二步 ………………………………………………第三步 ………………………………………………第四步 ．…………………………………………第五步 (1)第三步到第四步运用了因式分解中的（    ） A．提取公因式                          B．两数的平方差公式   C．两数和的完全平方公式                D．两数差的完全平方公式 (2)除了嘉琪的解题方法，你还有没有其他的解题方法？请写出你的解题方法． 【答案】(1)A (2)见解析 【分析】‘ 本题主要考查了因式分解的应用，准确计算是解题的关键． （1）根据提公因式法判断即可； （2）根据平方差公式和提公因式法计算即可； 【详解】（1）解：利用了提公因式法； 故选． （2）解：有其他解法，解法如下： 原式 ． 【经典计算题六 十字相乘法】 36．（25-26八年级下·上海浦东新·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法． 连续两次运用十字相乘法因式分解即可． 【详解】解： 37．（2026八年级下·江苏·专题练习）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解： （1）利用十字相乘法解答即可； （2）先根据多项式乘以多项式计算，再利用十字相乘法解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 38．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）因式分解： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握十字相乘法进行因式分解． （1）利用十字相乘法进行因式分解； （2）利用十字相乘法进行因式分解； （3）利用十字相乘法进行因式分解； （4）利用十字相乘法进行因式分解； （5）利用十字相乘法进行因式分解； （6）利用十字相乘法进行因式分解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 39．（24-25八年级下·陕西西安·月考）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）①利用十字相乘法分解因式即可； ②利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1） ； （2）① ； ② ． 40．（25-26八年级上·山东济宁·开学考试）在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 仿照上述方法进行因式分解． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是理解十字相乘法中 “常数项为两数之积，一次项系数为两数之和” 的核心关系，并能找出符合条件的因数对． (1)用十字相乘法分解因式； (2)用十字相乘法分解因式． 【详解】（1）解：， 多项式的二次项系数是，常数项是，一次项系数是， 如图所示， （2）解：， 多项式的二次项系数是，常数项是，一次项系数是， 如图所示， ． 41．（24-25八年级下·河北唐山·期末）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“A”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法．结合材料1和材料2，完成下面小题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查因式分解，将某多项式重新设定未知数，分解因式， （1）令，仿照例题解答即可； （2）令，先计算乘法，再因式分解即可． 【详解】（1）解：令， 则原式， ∴； （2）令， 则原式， ∴原式． 42．（24-25八年级上·北京东城·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把中看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数．分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如：将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． （1）利用十字相乘法进行求解即可； （2）利用十字相乘法进行求解即可； （3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ； （3）解： ， ． 【经典计算题七 分组分解法】 43．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）将下列各式分解因式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解； （2）根据分组分解法进行因式分解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 44．（24-25八年级下·江苏无锡·周测）请灵活运用分组分解的方法对下列多项式进行因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分组分解法，提公因式分解因式． （1）先提取公因式，再分组分解，后利用提公因式即可求解； （2）先分组，再提取公因式，再次分组分解，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： 45．（24-25八年级下·江西吉安·期末）有一种因式分解的方法叫分组分解法．具体做法如下：把分解因式得 解：原式 请阅读理解上面解法后，把下列多项式因式分解： 【答案】 【分析】此题考查利用分组分解法分解因式，解题关键是首先把多项式正确的分组，然后利用公式法即可解决问题，注意分解因式要彻底，后三项一组符合完全平方公式特征，再用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 46．（25-26八年级上·重庆合川·期末）阅读下列材料：分解因式：． 方法一：原式； 方法二：原式． 对多项式进行因式分解，当不能提取公因式，也不能直接用公式法时，可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法分解因式． 请尝试利用材料中的方法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，掌握分组分解法是解题的关键． （）利用分组分解法解答即可； （）利用分组分解法解答即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 47．（24-25八年级上·山东滨州·期末）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ， 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求式子的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，巧妙的运用分组分解因式解答问题． （1）可先利用完全平方公式计算，再利用平方差公式因式分解； （2）的公因式是，再次提公因式后代入数值计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵， ∴， ∴ 48．（24-25八年级上·山东淄博·期中）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如 ，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：   这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． （1）用分组分解法分解即可； （2）用分组分解法分解即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 49．（24-25八年级下·陕西西安·月考）阅读下面的材料，然后解决问题： 苏菲·热门，19世纪法国数学家，他在数学研究上造诣颇深．下面是他写的数学著作中的一个问题：因式分解时，因为该式只有两项，而且属于平方和的形式，即，所以要使用公式就必须添加一项，同时减去，即．人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”．请你依照苏菲·热门的做法，将下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解，掌握添项构造完全平方公式是解题的关键． （1）原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解可得； （2）原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解可得； （3）原式变形为，再利用完全平方公式和提取公因式分解可得． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $