专题01 分式的概念重难点题型专训（2个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升讲练（苏科版2024）

本初中数学讲义聚焦分式概念核心知识点，系统梳理分式定义（A/B，B含字母）、最简分式，以及分式有意义（B≠0）、无意义（B=0）、值为0（A=0且B≠0）的条件，构建从概念理解到应用的学习支架。 资料以7大题型（判断、构造、求值等）分层训练结合2个拓展（规律、新定义），通过经典例题与即时训练，培养抽象能力（数学眼光）和推理意识（数学思维），融入行程、价格等实际情境问题提升模型意识（数学语言），课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

专题01分式的概念重难点题型专训 （2个知识点+7大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 分式的判断 题型二 按要求构造分式 题型三 分式有（无）意义的条件 题型四 分式值为零的条件 题型五 分式的求值 题型六 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型七 求使分式值为整数时未知数的整数值 拓展训练一 分式的规律性问题 拓展训练二 分式的新定义问题 知识点一：分式相关概念 1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 【即时训练】 1．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中分式的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）下列各式：①；②；③；④；⑤，是分式的有______________．（只填序号） 知识点二：分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·山东淄博·期中）关于和的值如下表： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 0 ※ ※ 无意义 ※ ．．． 则代表的分式是 A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）若式子有意义，则的取值范围是______． 【经典例题一 分式的判断】 【例1】（24-25八年级下·山东济南·期中）在，，，，中，分式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】（25-26八年级下·江苏无锡·周测）有下列代数式：①；②；③；④；⑤．其中是分式的是____________（填序号）． 1．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，甲、乙、丙、丁四人手中各有一张正方形卡片，则卡片上的式子是分式的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川遂宁·月考）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是分式的有______个 3．（25-26八年级上·广西崇左·月考）下面是三位同学学完分式后所做的三道题，请判断他们的解答是否正确，若不正确，给予改正． 甲：a为何值时，分式有意义？ 解：∵原式＝， ∴当时，分式有意义． 乙：式子是分式还是整式？ 解：∵原式，故是整式． 丙：化简分式． 解：． 【经典例题二 按要求构造分式】 【例1】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·开学考试）甲、乙两地相距．小智原计划骑自行车从甲地到乙地，需用时；后因赶时间，改乘公交车前往，结果提前到达乙地．公交车的速度（单位：）是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）已知分式满足条件“只含有字母x，且当时无意义．”请写出一个这样的分式____________ 1．（2026八年级下·江苏无锡·专题练习）已知一款衣服的价格上涨后是a元，则这款衣服原来的价格是（　　） A．元 B．a元 C．元 D．元 2．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）《梦溪笔谈》中有一段关于行军运粮的记载，其大意为：在行军中，每个民夫最多可以携带斗（斗=升）粮食，一个士兵最多可以携带斗粮食，每个士兵和民夫平均每天各消耗升粮食．若每个士兵雇佣个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的粮食最多可以支持_______天的行军． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·课后作业）解答下列问题： (1)某项工程，甲队需t天完成，该队每天完成的工作量是多少？ (2)一段长的路，小明步行需，骑自行车所用的时间比步行所用时间的一半少．骑自行车的平均速度是多少？ (3)某商品降价后的售价为a元，该商品的原价是多少元？ 【经典例题三 分式有（无）意义的条件】 【例1】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）已知分式满足下列表格中的信息，则分式有可能是（   ） 的值 1 2 的值 无意义 0 A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·江苏无锡·周测）请你写出一个分式，同时满足以下三个条件：①当时，分式无意义；②当时，分式的值为0；③当时，分式的值为4．这个分式可以是____________． 1．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）已知分式满足下列表格中的信息，则分式有可能是（    ） 的值 的值 无意义 A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·北京石景山·期末）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为_________． x的值 1 分式的值 不存在 0 3．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息． x的取值 1 分式的值 无意义 0 1 (1) ， ； (2)求出c的值； (3)当分式的值为正时，直接写出x的取值范围． 【经典例题四 分式值为零的条件】 【例1】（25-26八年级上·贵州安顺·期末）若分式的值为，则求的值时应建立的式子是（   ） A． B．且 C． D．且 【例2】（24-25八年级下·江苏无锡·课后作业）若代数式的值为0，则__________；若代数式的值为0，则__________；若代数式的值为0，则__________． 1．（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数． 结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0； 结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 2．（2025·上海·模拟预测）已知有意义的分式：，请你写出一个含的二次分式，当它有意义时，使它可能大于0，可能小于0，不可能等于0：__________ 3．（25-26八年级上·河北沧州·月考）已知分式满足表格中的信息，其中，，均为常数． 的取值 分式的值 无意义 (1)原分式中的值是　　　； (2)求出，的值． 【经典例题五 分式的求值】 【例1】（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知a是实数，并且，则代数式的值是（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【例2】（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知，则分式的值为______． 1．（25-26八年级上·内蒙古通辽·月考）如表描述了分式的部分信息：其中，则下列说法正确的是（    ） 的值 … 0 … 的值 … 无意义 … A． B． C． D． 2．（2025八年级下·浙江宁波·模拟预测）已知，代数式的值为_______． 3．（25-26八年级上·云南大理·期末）阅读下面的解题过程． 已知，求的值 解：由，知； 即， ． 说明：该题的解法叫做“倒数法” 请你利用“倒数法”解下面题目： 已知， (1)求的值； (2)求的值 【经典例题六 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围】 【例1】（24-25八年级上·山东日照·期末）已知分式的值是正数，那么x的取值范围是（   ） A．x＞0 B．x＞-4 C．x≠0 D．x＞-4且x≠0 【例2】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）已知分式的值为正数，写出一个符合条件的的正整数值：_____． 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）若分式表示的数是负数，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（24-25八年级下·上海静安·期末）若分式的值大于零，则x的取值范围是 ______． 3．（24-25八年级下·河南南阳·月考）仔细阅读下面例题，解答问题． 例题：当x取何值时，分式的值为正？ 解：依题意，得． 则有（1）或（2） 解不等式组（1），得； 解不等式组（2），得不等式组无解． ∴不等式的解集是． ∴当时，分式的值为正． 问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式的值为负？ 【经典例题七 求使分式值为整数时未知数的整数值】 【例1】（25-26八年级上·广西崇左·月考）是有理数，则的值不能是（　　） A．1 B． C．0 D． 【例2】（25-26八年级下·上海松江·期末）若分式的值为整数，则所有符合条件的正整数x的值为_______． 1．（24-25八年级下·河南南阳·月考）如图，若x为正整数，则表示分式的值落在（　 ） A．线①处 B．线②处 C．线③处 D．线④处 2．（25-26八年级上·广东汕头·月考）解决分式问题时，常常采用逆向思维的方法，如：在讨论分式时，若将其转化为，则该分式值的变化只与分母有关．已知，设．若均为非零整数，则的值为_____． 3．（25-26八年级上·河北承德·期末）阅读资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：． (1)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式分别化为带分式； (3)如果分式的值为整数，求所有符合条件的负整数的值． 【拓展训练一 分式的规律性问题】 【例1】（25-26八年级上·北京延庆·期末）一组按照规律排列的分式：，，，（，），则第个分式是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·江西·期末）已知，则的值________； 1．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组织一系列新的数，依次记作，由图可知若，则（   ） A．25 B．26 C．27 D．28 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）对于正数x，规定．例如：利用以上的规律计算：_______． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）观察下列各式： (1)求的值． (2)化简．其中，且n为整数． 【拓展训练二 分式的新定义问题】 【例1】（2025·浙江宁波·模拟预测）定义一种新运算：对于任意的非零实数．若，则的值为___________． 【例2】（25-26八年级下·上海奉贤·期末）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2．已知分式是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是为整数，且“雅中式”的值也为整数，则所有符合条件的的值为_______． 1．（24-25八年级下·河南南阳·月考）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． ，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：； 解决下列问题： (1)分式 是________________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为整式与真分式的和的形式： =____________； (3)若假分式的值为正整数，则整数的值为________________； (4)将假分式化为带分式（写出完整过程）． 3．（24-25八年级下·江西鹰潭·月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ A基础训练 1．（25-26八年级上·湖南永州·期中）下列各式： 中，是分式的共有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·月考）根据下列表格信息，y可能是（　　） x … 0 1 2 … y … * 无意义 * * 0 … A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河北保定·月考）某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 5．（25-26八年级上·重庆忠县·期末）对于一列非零数，，，…，设，，且从第三个数起，以后每一个数都等于前面两个数的商，如：，，…，以此类推．以下结论：①；②若，则；③若，则；④若的值为整数，则整数x有6个不同值．其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 B 提高训练 6．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）式子，，，，中，分式有_________个 7．（2025八年级下·江苏无锡·专题练习）（1）＝，括号内应填入_____； （2）＝，括号内应填入_____． 8．（25-26八年级上·山东淄博·月考）若，则_____ ． 9．（24-25八年级下·河南南阳·月考）已知分式，当时，该分式没有意义；当时，该分式的值为0，则_____． 10．（2025八年级下·江苏无锡·专题练习）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是“和谐分式”．若分式的值为整数，则整数的值为_______． C 培优训练 11．（25-26八年级上·河北邢台·期中）已知分式，请解决以下问题． (1)当x取何值时，该分式无意义？ (2)当x为何值时，该分式的值为1？ 12．（25-26八年级上·山东济宁·月考）假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式和的形式，例如：； 根据以上思路，解决问题：若分式的值为整数，求的整数值． 13．（24-25八年级上·北京·期末）已知，，，，，， 当为大于的奇数时，； 当为大于的偶数时，； (1)求；（用含的式子表示） (2)_____；（用含的式子表示） (3)计算． 14．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，：当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”，例如：，．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如： ； ； (1)请根据以上信息，任写一个真分式； (2)将分式化为整式与真分式的和的形式； (3)如果分式的值为整数，求的整数值． 15．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）【教材呈现】 a，b，c，d都不为0，，，若，则．如下证明这个结论的正确性，设，则，，所以，同理，，所以． 【类比分析】 （1）若，且…，求证． 【学以致用】 （2）若x，y，z都不为0，且，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01分式的概念重难点题型专训 （2个知识点+7大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 分式的判断 题型二 按要求构造分式 题型三 分式有（无）意义的条件 题型四 分式值为零的条件 题型五 分式的求值 题型六 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型七 求使分式值为整数时未知数的整数值 拓展训练一 分式的规律性问题 拓展训练二 分式的新定义问题 知识点一：分式相关概念 1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 【即时训练】 1．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中分式的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的判断，根据分式的定义，分母中含有字母的式子称为分式，逐一检查各分母是否含字母即可． 【详解】解：∵分式的定义是分母中含有字母， ∴，分母为，含字母，是分式； ，分母为2，不含字母，不是分式； ，分母为，不含字母，不是分式； ，分母为，是常数，不含字母，不是分式； ，分母为，含字母，是分式， ∴ 分式有2个， 故选：B． 2．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）下列各式：①；②；③；④；⑤，是分式的有______________．（只填序号） 【答案】①④ 【分析】本题考查了分式的定义，解题的关键是紧扣分式定义中“分母含有字母"这一核心特征（注意是常数，不属于字母）．明确分式定义（分母含字母）；逐个分析式子分母是否含字母（排除等常数）；确定符合分式定义的序号． 【详解】分式的定义是形如 （、 是整式， 中含有字母且 ）的式子， ① ：分母含有字母，是分式； ② ：分母是常数，不是字母，不是分式； ③ ：是整式的和，不是分式； ④ ：分母 含有字母，是分式； ⑤ ：是单项式，不是分式． 故答案为：①④． 知识点二：分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·山东淄博·期中）关于和的值如下表： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 0 ※ ※ 无意义 ※ ．．． 则代表的分式是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件及分式的值为的条件解答即可，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 【详解】解：由表格可知，当时，分式无意义， ∴不符合题意； ∵当时，分式的值为， ∴不符合题意，符合题意， 故选：． 2．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）若式子有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0求解即可． 【详解】解：要使式子有意义，则分母，即， 故答案为：． 【经典例题一 分式的判断】 【例1】（24-25八年级下·山东济南·期中）在，，，，中，分式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】分式的定义：如果A、B（B不等于零）是两个整式，且B中含有字母，那么就叫做分式，据此判断即可． 【详解】解：在，，，，中，属于分式的是， ，故分式的个数是2． 【例2】（25-26八年级下·江苏无锡·周测）有下列代数式：①；②；③；④；⑤．其中是分式的是____________（填序号）． 【答案】④⑤ 【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键． 分式的定义是分母中含有字母的代数式，因此需要检查每个代数式的分母是否含有字母． 【详解】解：①分母为常数，不含字母，不是分式； ②分母为常数，不含字母，不是分式； ③分母为常数，不含字母，不是分式； ④分母为，含有字母，是分式； ⑤分母为，含有字母，是分式． 故答案为：④⑤． 1．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，甲、乙、丙、丁四人手中各有一张正方形卡片，则卡片上的式子是分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题的关键． 根据分式的定义“形如，A、B都是整式且中含有字母的式子叫分式”逐项判断即可求解． 【详解】解：选项A：，分母中没有未知数，故不是分式，不符合题意； 选项B：，分母为，是常数，故分母中没有未知数，故不是分式，不符合题意； 选项C：，分母中含有未知数，故是分式，符合题意； 选项D：，分母中没有未知数，故不是分式，不符合题意； 故选C． 2．（24-25八年级下·四川遂宁·月考）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是分式的有______个 【答案】4 【分析】本题考查了分式的定义：式子（A、B是整式，B中含有字母）叫分式．根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：分式有；；，，共4个， 故答案为：4． 3．（25-26八年级上·广西崇左·月考）下面是三位同学学完分式后所做的三道题，请判断他们的解答是否正确，若不正确，给予改正． 甲：a为何值时，分式有意义？ 解：∵原式＝， ∴当时，分式有意义． 乙：式子是分式还是整式？ 解：∵原式，故是整式． 丙：化简分式． 解：． 【答案】甲、乙、丙三位同学回答错误，过程见解析 【分析】本题考查了分式的定义和分式有意义的条件，准确分析判断是解题的关键． 分式的分母表示除数，由于除数不能为，所以分式的分母不能为，即当时，分式才有意义，当时，分式无意义，即可得解； 【详解】为何值时，分式有意义？ 根据题意，得， 解得且， 即当且时，分式有意义，所以甲同学的解答错误； 式子是分式，所以乙同学的解答错误； 化简分式， 原式，所以丙同学的解答错误． 【经典例题二 按要求构造分式】 【例1】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·开学考试）甲、乙两地相距．小智原计划骑自行车从甲地到乙地，需用时；后因赶时间，改乘公交车前往，结果提前到达乙地．公交车的速度（单位：）是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出公交车的实际行驶时间，再利用速度=路程÷时间列代数式即可 【详解】∵甲、乙两地相距，原计划用时，公交车提前到达， ∴公交车实际用时为， ∵速度=路程÷时间， ∴公交车的速度为， 【例2】（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）已知分式满足条件“只含有字母x，且当时无意义．”请写出一个这样的分式____________ 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据分式无意义的条件，确定分母需含使时为0的因式，再构造只含字母x的分式． 【详解】解：当时，分母的值为0，分式无意义． 据此可写出满足条件的分式，如（答案不唯一）． 1．（2026八年级下·江苏无锡·专题练习）已知一款衣服的价格上涨后是a元，则这款衣服原来的价格是（　　） A．元 B．a元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】本题考查了分式的应用，根据涨价后的售价与原价的数量关系列式即可． 【详解】解：∵一款衣服的价格上涨后是a元， ∴这款衣服原来的价格是． 故选：D． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）《梦溪笔谈》中有一段关于行军运粮的记载，其大意为：在行军中，每个民夫最多可以携带斗（斗=升）粮食，一个士兵最多可以携带斗粮食，每个士兵和民夫平均每天各消耗升粮食．若每个士兵雇佣个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的粮食最多可以支持_______天的行军． 【答案】 【分析】将斗换算为升，计算出个民夫和个士兵携带的总粮食为升，再结合总人数得出每天消耗升，最后用总粮食除以日消耗量，约分后可得到行军天数． 【详解】解：据题可知， 每个士兵与个民夫共可携带粮食升， 每天消耗的粮食为升， 则背负的粮食最多可以支持天． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·课后作业）解答下列问题： (1)某项工程，甲队需t天完成，该队每天完成的工作量是多少？ (2)一段长的路，小明步行需，骑自行车所用的时间比步行所用时间的一半少．骑自行车的平均速度是多少？ (3)某商品降价后的售价为a元，该商品的原价是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】本题主要考查了列分式，正确理解题意是解题的关键． （1）把工作总量看做单位“1”，根据工作效率等于工作总量除以工作时间即可得到答案； （2）由题意得骑自行车需要的时间为，再根据速度等于路程除以时间即可得到答案； （3）根据题意可得现价是原价的，据此列式求解即可． 【详解】（1）解：∵某项工程，甲队需t天完成， ∴该队每天完成的工作量是； （2）解：由题意得，骑自行车的平均速度是； （3）解：∵某商品降价后的售价为a元， ∴该商品的原价是元． 【经典例题三 分式有（无）意义的条件】 【例1】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）已知分式满足下列表格中的信息，则分式有可能是（   ） 的值 1 2 的值 无意义 0 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式无意义及分式的值为0的条件，分式无意义时分母为0，分式的值为0时分子为0且分母不为0，根据这两个条件分析选项即可． 【详解】∵当时，分式无意义 ∴分式的分母在时的值为0 ∵当时，分式值为0 ∴分式的分子在时的值为0，且此时分母不为0 A．当时，分母，分式无意义 当时，分子，分母，分式的值为0，符合条件，故本选项符合题意； B．当时，分母，分式有意义，不符合条件，故本选项不符合题意； C．当时，分子，分式的值不为0，不符合条件，故本选项不符合题意； D．当时，分母，分式有意义；时，分子，分式的值不为0，不符合条件，故本选项不符合题意； 故选：A． 【例2】（25-26八年级下·江苏无锡·周测）请你写出一个分式，同时满足以下三个条件：①当时，分式无意义；②当时，分式的值为0；③当时，分式的值为4．这个分式可以是____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了最简分式，分式值为零的条件，分子为分式的值为，分母为分式无意义． 根据条件①，分式在时无意义，故分母包含因式 ；根据条件②，分式在时值为 0，故分子包含因式 ，且分母在时不为零；根据条件③，分式在时值为 4，代入分式方程求解系数． 【详解】解：设分式为 ， 由条件③，当时，， 解得 ， 取 ，则 ，故分式为 ， 验证满足所有条件， 故答案为：（答案不唯一）． 1．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）已知分式满足下列表格中的信息，则分式有可能是（    ） 的值 的值 无意义 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，根据当时分式无意义，可知当时，分母为． 【详解】解：A选项：分式的分母为，当时，分式有意义，故A选项不符合题意； B选项：分式的分母为，当时，分式无意义， 当时，， 当时，， 当时，， 故B选项符合题意； C选项：分式的分母为，当时，分式有意义，故C选项不符合题意； D选项：分式的分母为，当时，分式有意义，故D选项不符合题意． 故选：B． 2．（25-26八年级上·北京石景山·期末）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为_________． x的值 1 分式的值 不存在 0 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件及分式的值为零的条件，根据分式无意义的条件（分母为零）和分式值为零的条件（分子为零且分母不为零），分别求出和的值，再计算． 【详解】解：当时，分式无意义，则，即，解得． 当时，分式的值为0，则分子，即，解得． 所以． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息． x的取值 1 分式的值 无意义 0 1 (1) ， ； (2)求出c的值； (3)当分式的值为正时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) ， (2) (3) 或 【分析】（1）根据分式无意义的条件即可得到值，再根据，根据方程求解即可； （2）先把（1）中算出来，的值代入式子，再根据分式的值为1，求出的值，即可得出答案； （3）根据分式不等式解方程即可求解． 本题考查了分式的值、分式有意义和无意义的条件，根据分式的值求出字母的值及分式有意义是解题关键． 【详解】（1）解：时，分式无意义， ， 当时，得 ， 故答案为：，． （2）解： 将（1）中求的,代入分式得 由题可得：当时候，, 解得, 经检验，当时，原方程有解， 则， 故答案为：． （3）解：, ∴或 解得：或． 故答案为：或． 【经典例题四 分式值为零的条件】 【例1】（25-26八年级上·贵州安顺·期末）若分式的值为，则求的值时应建立的式子是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查分式的值为的条件，注意分子为，但分母不能为是解题关键． 分式的值为，需满足分子为且分母不为，据此进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为， ∴分子且分母， 即应建立的式子是且． 故选：． 【例2】（24-25八年级下·江苏无锡·课后作业）若代数式的值为0，则__________；若代数式的值为0，则__________；若代数式的值为0，则__________． 【答案】 2 或2/2或 2 【分析】本题考查了分式有意义的条件以及分式值为零的条件，两个整式乘积为0的条件，根据分式有意义⇔分母不为零；分式值为零⇔分子为零且分母不为零．以及两个整式乘积为0的条件一一计算即可． 【详解】解：若的值为0，即，即． 若代数式的值为0，则或，解得：或． 若代数式的值为0，则或，又使得分式有意义即，故只有当时，代数式的值为0， 故答案为：2；2或；2 1．（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数． 结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0； 结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的化简及性质，掌握最简公分母不为零是解题的关键． 由分式的性质可知，，从而可得结论Ⅰ不对，由的值为整数且为整数，则，即可得出结论Ⅱ正确． 【详解】解：， 由化简过程可知，，， ， ； 由题意可知，若使的值为整数且为整数，则， ， 综上所述，． 所以，Ⅰ不对Ⅱ对． 故选：C． 2．（2025·上海·模拟预测）已知有意义的分式：，请你写出一个含的二次分式，当它有意义时，使它可能大于0，可能小于0，不可能等于0：__________ 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件及分式不为零的条件，由有意义时，即可得到答案，熟记分式有意义的条件及分式不为零的条件是解决问题的关键． 【详解】解：有意义， ，即， 解得，且， ，则是一个含的二次分式，当它有意义时，可能大于0，可能小于0，不可能等于0， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·河北沧州·月考）已知分式满足表格中的信息，其中，，均为常数． 的取值 分式的值 无意义 (1)原分式中的值是　　　； (2)求出，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查分式的值和分式无意义的条件，解题的关键是根据分式的值求出字母的值及分式有意义的条件． （1）根据分式无意义的条件求解即可； （2）先根据时分式的值为0求出a的值，再根据分式的值为3求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵时分式无意义，即， ∴， 故答案为：1． （2）解：当时，分式的值为0， ， 解得， ∴原分式为 ， 当分式的值为3时，即， 解得, 经检验，是该分式方程的解， ∴． 【经典例题五 分式的求值】 【例1】（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知a是实数，并且，则代数式的值是（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查分式的求值，先根据，得到，，再利用整体代入法，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵当时，，等式不成立， ∴， ∴， ∴ ∴ ； 故选C． 【例2】（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知，则分式的值为______． 【答案】 【分析】先根据已知等式得到a与b的数量关系，再通过代入消元将分式转化为只含单一字母的式子，最后依据分式的基本性质约分求值． 【详解】解：∵ ∴，且（若，则，与矛盾） 将代入，得 故答案为：． 1．（25-26八年级上·内蒙古通辽·月考）如表描述了分式的部分信息：其中，则下列说法正确的是（    ） 的值 … 0 … 的值 … 无意义 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式无意义的条件，分式的值． 通过分式无意义的条件确定的符号，再根据时分式值为负确定m和异号，结合的符号得出的符号． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴， 即， ∵， ∴， ∵当时，分式值， ∴， ∴和异号， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．（2025八年级下·浙江宁波·模拟预测）已知，代数式的值为_______． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握设法． 设，则得到，，，将三个式子相加得，再分类讨论求解． 【详解】解：由题意得， 设， ∴， ∴， ， ， 将三个式子相加得：， 当时，由得， 解得 ∴； 当时，则， ∴， 解得， ∴， 综上：代数式的值为或， 故答案为：或． 3．（25-26八年级上·云南大理·期末）阅读下面的解题过程． 已知，求的值 解：由，知； 即， ． 说明：该题的解法叫做“倒数法” 请你利用“倒数法”解下面题目： 已知， (1)求的值； (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的性质与完全平方公式的应用，核心方法为“倒数法”，即通过对已知分式和目标分式取倒数，结合代数变形求解． 【详解】（1）解：由，知， ∴， ∴； （2）解：对取倒数，得． ∵， ∴， ∴． 【经典例题六 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围】 【例1】（24-25八年级上·山东日照·期末）已知分式的值是正数，那么x的取值范围是（   ） A．x＞0 B．x＞-4 C．x≠0 D．x＞-4且x≠0 【答案】D 【分析】若的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即x＋4＞0，且x≠0，因而能求出x的取值范围． 【详解】解：∵＞0， ∴x＋4＞0，x≠0， ∴x＞−4且x≠0． 故选：D． 【点睛】本题考查分式值的正负性问题，若对于分式（b≠0）＞0时，说明分子分母同号；分式（b≠0）＜0时，分子分母异号，也考查了解一元一次不等式． 【例2】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）已知分式的值为正数，写出一个符合条件的的正整数值：_____． 【答案】4（答案不唯一，填写1，2，3，4四个数中的任何一个都对） 【分析】本题主要考查了分式的值，根据除法的符号法则可知分子与分母同号，又分子，故分母， 从而求出的取值范围，熟练掌握分子与分母同号，分式的值大于0，分子与分母异号，分式的值小于0是解决此题的关键． 【详解】解：∵分式的值为正数， ， 又 ， ， ， 故当时，分式的值为正数， ∴的正整数值可为4（答案不唯一，填写1，2，3，4四个数中的任何一个都对）， 故答案为：4（答案不唯一，填写1，2，3，4四个数中的任何一个都对）． 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）若分式表示的数是负数，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了分式的值，不等式的解集在数轴上表示，根据分式表示的数是负数，得，转化为不等式问题求解即可． 【详解】根据题意，得， 解得， x的取值范围在数轴上表示如下：      故选：C． 2．（24-25八年级下·上海静安·期末）若分式的值大于零，则x的取值范围是 ______． 【答案】且 【分析】由已知可得分子x+2＞0，再由分式的分母不等于零，得到x﹣1≠0，进而求出x的取值． 【详解】解：∵分式的值大于零， ∴x+2＞0， ∴x＞﹣2， ∵x﹣1≠0， ∴x≠1， 故答案为x＞﹣2且x≠1． 【点睛】本题考查分式的值；熟练掌握分式求值的特点，特别注意分式的分母不等于零这个隐含条件是解题的关键． 3．（24-25八年级下·河南南阳·月考）仔细阅读下面例题，解答问题． 例题：当x取何值时，分式的值为正？ 解：依题意，得． 则有（1）或（2） 解不等式组（1），得； 解不等式组（2），得不等式组无解． ∴不等式的解集是． ∴当时，分式的值为正． 问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式的值为负？ 【答案】当时，分式的值为负． 【分析】本题主要考查分式的值为负的条件和解一元一次不等式组的知识点，根据题列出不等式组是解题的关键．由题意分式的值为负，此时要分两种情况讨论，然后再根据求不等式的口诀，分别解出不等式组的解集． 【详解】解：依题意，得， 则有①或 ② 解不等式组①得：； 解不等式组②得：不等式组无解， ∴不等式的解集是：， ∴当时，分式的值为负． 【经典例题七 求使分式值为整数时未知数的整数值】 【例1】（25-26八年级上·广西崇左·月考）是有理数，则的值不能是（　　） A．1 B． C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值，掌握分式的值为零的条件是解题的关键．根据分式值为零的条件是分子为，分母不为，因为分式的分子不为，所以分式的值不能为，即可解答． 【详解】解：A、当时，，故选项不符合题意； B、当时，，故选项不符合题意； C、因为分式的分子，所以分式值不可能为，故选项符合题意； D、当时，，故选项不符合题意； 故选：C． 【例2】（25-26八年级下·上海松江·期末）若分式的值为整数，则所有符合条件的正整数x的值为_______． 【答案】2或3/3或2 【分析】本题考查了分式的值，掌握相关知识是解题的关键． 分式化简为，值为整数时，是的约数，结合为正整数且分母不为零，求解即可． 【详解】解：分式， 要使分式的值为整数，则为整数，即是的约数， 的约数为和， 所以或或或， 解得或或或， 由于为正整数，且（分母）， 所以符合条件的为2或3． 故答案为：2或3． 1．（24-25八年级下·河南南阳·月考）如图，若x为正整数，则表示分式的值落在（　 ） A．线①处 B．线②处 C．线③处 D．线④处 【答案】B 【分析】逆用同分母分式的加减法法则，把分式进行化简，判断分式的值的取值范围，计算即可，本题考查了同分母分数加减法法则的应用，不等式的基本性质，熟练掌握法则是解题的关键． 【详解】∵ ， ∵x为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 2．（25-26八年级上·广东汕头·月考）解决分式问题时，常常采用逆向思维的方法，如：在讨论分式时，若将其转化为，则该分式值的变化只与分母有关．已知，设．若均为非零整数，则的值为_____． 【答案】或27 【分析】本题考查了代数式求值，求使分式值为整数时未知数的整数值,掌握知识点是解题的关键． 化简得，根据均为非零整数进行分类讨论，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 均为非零整数， 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 故答案为：或． 3．（25-26八年级上·河北承德·期末）阅读资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：． (1)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式分别化为带分式； (3)如果分式的值为整数，求所有符合条件的负整数的值． 【答案】(1)假分式 (2)， (3) 【分析】本题考查分式的化简，分式的求值，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义进行判断即可； （2）根据题干给定的方法，进行求解即可； （3）先将假分式化为带分式，再根据分式的值为整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，分式是假分式； （2）解：； ． （3）解：， 若使原分式的值为整数，则的值为整数， 或， ∴， ∴符合条件的负整数的值为． 【拓展训练一 分式的规律性问题】 【例1】（25-26八年级上·北京延庆·期末）一组按照规律排列的分式：，，，（，），则第个分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数式类规律探索，解答本题的关键是发现每一项的变化特点，求出相应的项．观察分式的规律：符号交替为负、正、负、正，的指数为奇数序列，，，，，的指数为，，，，，归纳出第项公式，再代入计算即可． 【详解】解：第个分式的符号为，的指数为，的指数为， 第个分式为， 当时，第个分式为． 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·江西·期末）已知，则的值________； 【答案】 【分析】本题主要考查了数字规律探究、数列的周期性及有理数的运算，熟练掌握通过计算前几项寻找数列周期，再利用周期解决问题的方法是解题的关键．通过计算序列的前几项，发现序列具有周期性，周期为，即每项重复一次：，，．计算除以的余数，余数为，对应周期中的第一项，因此． 【详解】解：计算序列的前几项： ， ， ， ， ， ， 由此可知序列周期为，即． ， 因此， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组织一系列新的数，依次记作，由图可知若，则（   ） A．25 B．26 C．27 D．28 【答案】B 【分析】本题考查数字类规律，找出正确的规律是解决本题的关键． 根据，推出，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选B． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）对于正数x，规定．例如：利用以上的规律计算：_______． 【答案】​​​​​​​ 【分析】本题考查分式化简求值及规律，根据，得到，即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ， 故答案为：； 3．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）观察下列各式： (1)求的值． (2)化简．其中，且n为整数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字类规律探究，并根据规律进行求解；能够根据已知找出规律进行计算是解题的关键． （1）根据已知等式进行拆项，进行消项运算，即可求解； （2）根据已知等式进行拆项，进行消项运算，即可求解； 【详解】（1）解： （2）解： 【拓展训练二 分式的新定义问题】 【例1】（2025·浙江宁波·模拟预测）定义一种新运算：对于任意的非零实数．若，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查分式，根据题设得出，再对进行计算即可． 【详解】由题可知， ∴， 故答案为：1． 【例2】（25-26八年级下·上海奉贤·期末）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2．已知分式是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是为整数，且“雅中式”的值也为整数，则所有符合条件的的值为_______． 【答案】0、2、3 【分析】由定义可得：，整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是的约数，从而可得答案． 【详解】解：根据“雅中式”的定义，可得， 即， 因式分解得，对等式左边通分得： ， 因此， 展开计算得： ， 因此， 分式有意义，则，即，约分可得， 因为为整数，的值为整数，所以是的约数，即， 解得或或或， 又因为分式有意义需满足，，即且， 故舍去， 因此所有符合条件的的值为0、2、3． 1．（24-25八年级下·河南南阳·月考）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 【答案】(1)真 (2) (3)． 【分析】本题主要考查了分式的定义，分式的值，分式的运算，本题是阅读型题目，连接题干中的新定义并熟练应用是解题的关键． （1）利用真分式和假分式的定义解答即可； （2）利用题干中的方法化简运算即可； （3）利用整数和整除的意义讨论解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：分式是真分式， 故答案为：真； （2）解： ； （3）解：； ∵分式的值为整数，x为整数． ∴或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴整数的值是． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． ，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：； 解决下列问题： (1)分式 是________________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为整式与真分式的和的形式： =____________； (3)若假分式的值为正整数，则整数的值为________________； (4)将假分式化为带分式（写出完整过程）． 【答案】(1)真分式 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据定义进行化简即可得到答案； （3）根据题意列出方程即可求出的值； （4）先化为，在计算即可． 【详解】（1）解：由题意得： 分式 是真分式， 故答案为：真分式； （2）解：根据题意可得： ， 故答案为：； （3）解：由（2）可得：， 当为正整数时， 或， ， 故答案为：； （4）解：根据题意可得： ． 【点睛】本题主要考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． 3．（24-25八年级下·江西鹰潭·月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 【答案】(1)①③④是“和谐分式” (2) (3)的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数 【分析】本题主要考查分式的新定义； （1）根据和谐分式的定义逐一判断即可； （2）根据和谐分式的定义计算求解即可； （3）根据题意得到当为整数时，的值也要为整数，得到当或时，分式的值为整数，计算求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④， ①③④是“和谐分式”． 故答案为：①③④． （2）解： ， ． 故答案为：． （3）解：的值为整数， 当为整数时，的值也要为整数， 当或时，分式的值为整数， 或或或， 即当的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数． A基础训练 1．（25-26八年级上·湖南永州·期中）下列各式： 中，是分式的共有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式是分式；逐一检查每个表达式的分母是否含有字母即可. 【详解】解： ∵分式的定义是分母中含有字母， ∴检查每个表达式： ：分母是3，是数字，不是分式； ：分母是，是字母，是分式； ：分母是2，是数字，不是分式； ：分母是，是常数，不是字母，不是分式； ：分母是2，是数字，不是分式； ：分母是，含有字母，是分式； ∴ 是分式的有2个； 故选：A. 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的化简变形，解题时要能熟练掌握并理解．依据题意，由，再结合为正整数，为非负整数，进而可以得解． 【详解】解：由题意，，且为正整数，为非负整数， 必为正整数． 为的正因数，可能为，，，， 为非负整数， 可能为，，． 又为正整数， 或或均符合题意，共种可能． 故选：A． 3．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·月考）根据下列表格信息，y可能是（　　） x … 0 1 2 … y … * 无意义 * * 0 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式无意义（分母为0）和分式值为0（分子为0且分母不为0）的性质，结合表格数据筛选选项． 【详解】解：A．当时，分母，不合题意； B．当时，分母，当时，分子，符合题意； C．当时，分子，不合题意； D．当时，分母，不合题意； 故选：B． 4．（24-25八年级下·河北保定·月考）某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【答案】B 【分析】根据题意，总人数为，但宋老师自己除外，因此实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 本题考查了列代数式，分式的应用，熟练掌握列代数式的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 故选：B． 5．（25-26八年级上·重庆忠县·期末）对于一列非零数，，，…，设，，且从第三个数起，以后每一个数都等于前面两个数的商，如：，，…，以此类推．以下结论：①；②若，则；③若，则；④若的值为整数，则整数x有6个不同值．其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查分式中的规律探究，分式的求值，正确的地找到规律，是解题的关键 先求出前几个数，得到这列数6个数为一个周期，循环出现，再逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这列数6个数为一个周期，循环出现， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵ 周期乘积， ， ∴， ∴，故③错误； ∵，， ∴，， ∴， ∵的值为整数， ∴，，，， ∴满足条件的整数共有8个． 又，，即，，， 故满足条件的整数共有6个．故④正确， 故选：B． B 提高训练 6．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）式子，，，，中，分式有_________个 【答案】3 【分析】根据分母中是否含有字母为标准判断即可． 【详解】∵ ，中，分母不含字母， ∴不是分式； ∵中，分母中含有字母a,b， ∴是分式； ∵中，分母中含有字母y， ∴是分式； ∵中，分母中含有字母x， ∴是分式； 共有3个， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了分式的识别，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 7．（2025八年级下·江苏无锡·专题练习）（1）＝，括号内应填入_____； （2）＝，括号内应填入_____． 【答案】 【分析】（1）分式的分子和分母同时除以； （2）分式的分子和分母同时乘以． 【详解】解：（1）； （2）； 故答案为：，． 【点睛】此题考查了分式的基本性质，解题的关键熟知并会应用分式的基本性质． 8．（25-26八年级上·山东淄博·月考）若，则_____ ． 【答案】 【分析】本题考查了求分式的值；将，代入分式，进而化简，即可求解． 【详解】解： 原式 ． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·河南南阳·月考）已知分式，当时，该分式没有意义；当时，该分式的值为0，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义以及分式值为零的条件； 根据分式没有意义，分母为零；分式值为零，分子为零，分母不为零列式求出，，然后计算即可． 【详解】解：∵当时，该分式没有意义， ∴， ∴， ∵当时，该分式的值为0， ∴，此时， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2025八年级下·江苏无锡·专题练习）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是“和谐分式”．若分式的值为整数，则整数的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查求使分式值为整数时未知数的整数值． 首先将原分式化简为，然后将其表示为整数与分式的和形式，根据值为整数的条件，确定需为1的约数，并排除分母为零的情况． 【详解】解： ， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∴的值为整数， ∵为整数， ∴为整数， 要使的值为整数，则为分子1的约数， ∴或， 解得或 ， 当 时原分式分母为零，无意义， ∴舍去， 当时，此时原分式分母均不为零，且值为整数， 验证：当 时，，为整数，满足题意， ∴整数的值为． 故答案为：． C 培优训练 11．（25-26八年级上·河北邢台·期中）已知分式，请解决以下问题． (1)当x取何值时，该分式无意义？ (2)当x为何值时，该分式的值为1？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的值，熟练掌握分式无意义的条件，分式值为1的条件是解题关键． （1）根据分式无意义的条件，分母为0求解即可； （2）根据分式值为1的条件可得，解出分式方程，由此求解即可． 【详解】（1）解：当时，分式无意义， 所以时，分式无意义； （2）由题意得， 解得， 经检验，是原方程的根， 即当时，分式的值为1． 12．（25-26八年级上·山东济宁·月考）假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式和的形式，例如：； 根据以上思路，解决问题：若分式的值为整数，求的整数值． 【答案】的整数值为，，， 【分析】本题考查了分式的变形（将分式化为整式与分式的和）以及整数的性质（整数的约数特征）；解题的关键是通过凑分母倍数的方式将分式拆分为整式与简单分式的和，再根据“整式与分式的和为整数，则该分式必为整数”确定分母的取值． 先将分式的分子凑成分母的倍数，即，进而拆分为；因分式的值为整数，且是整数，故需为整数，即是的整数因数（，）；分别求解对应的值，得到的整数值（注意，避免分母为0）． 【详解】解： ∵分式的值为整数，且是整数， ∴必须为整数，即是的整数约数． 的整数约数为，，分情况讨论： 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得. 综上，的整数值为，，，， 答：的整数值为，，，. 13．（24-25八年级上·北京·期末）已知，，，，，， 当为大于的奇数时，； 当为大于的偶数时，； (1)求；（用含的式子表示） (2)_____；（用含的式子表示） (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出的值，每个一循环是解题的关键． （1）根据，即可求解； （2）根据题意可得规律：每个一循环，即可求解； （3）求出，由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 每个一循环， ， ， 故答案为：； （3） ， ． 14．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，：当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”，例如：，．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如： ； ； (1)请根据以上信息，任写一个真分式； (2)将分式化为整式与真分式的和的形式； (3)如果分式的值为整数，求的整数值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)或或或 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据假分式可以化为整式与真分式的和的形式来进行计算即可； （3）先化为带分式，然后根据题意列出方程，即可求出x的值． 本题考查了分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算． 【详解】（1）解：∵当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式” ∴分式是真分式， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解： ； （3）解： = ∵分式的值为整数，x为整数， ∴或， 解得或或或， ∴当或或或时，分式的值为整数． 【点睛】 15．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）【教材呈现】 a，b，c，d都不为0，，，若，则．如下证明这个结论的正确性，设，则，，所以，同理，，所以． 【类比分析】 （1）若，且…，求证． 【学以致用】 （2）若x，y，z都不为0，且，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】本题考查了分式的求值，设参数求解是解答的关键． （1）设，则，，…，，所以，然后进行分式的化简即可得到结论； （2）设，则，，，然后把它们分别代入所求的代数式中，再进行分式的化简计算即可． 【详解】（1）证明：设，则，，…，， …， ， ； （2）解：设，则，，， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $