精品解析：宁夏银川市第九中学2025-2026学年度第二学期月考一高二年级数学试卷

银川九中2025-2026学年度第二学期月考一 高二年级数学试卷 （本试卷满分150分） 命题人：马子润 审核人：马惠林 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分． 1. 在复平面内，复数z对应点的坐标是，则z的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 设，为两个事件，若，，则（ ） A. B. C. D. 3. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中偶数的个数为（ ） A 48 B. 60 C. 72 D. 120 4. 现有5个女生和10个男生要排成一排，要求女生都站在一起，则不同的排法数为（ ） A. B. C. D. 5. 有4位学生和3位老师站在一排拍照，任何两位老师不站在一起的不同排法共有（ ） A. 种 B. 种 C. ·种 D. ·种 6. 已知在上递增，则实数范围是（ ） A. B. C. D. 7. 动点M位于数轴上的原点处，M每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动1个单位或者2个单位的距离，且每次至少跳动1个单位的距离.经过3次跳动后，M在数轴上可能位置的个数为（　　） A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 8. 甲、乙、丙三人玩掷硬币游戏，依次连续抛掷一枚质地均匀的硬币1次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，两种结果等可能，而且各次抛掷相互独立.记事件表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件表示“3次结果中没有正面向上”，则（ ） A. 事件与事件互斥 B. C. 记的对立事件为，则 D. 事件与事件相互独立 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分．每题给出的选项中有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）定义在上的可导函数的导函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的最大值为 C. 1是函数的极小值点 D. 3是函数的极小值点 10. 在的展开式中，下列说法正确的是（　　） A. 一共有5项 B. 第3项为 C. 所有项的系数和为0 D. 所有项的二项式系数和为32 11. 现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（ ） A. 共有种不同放法 B. 恰有两个盒子不放球，共有360种放法 C. 每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有18种 D. 将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有120种 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分 12. 已知随机变量服从两点分布，，则________. 13. 已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中各项的系数和为64，则正数的值为______. 14. 用种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有______种不同的书写方案． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）在的展开式中，求： ①第4项的二项式系数； ②含的项的系数． （2）求展开式中的常数项． 16. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加数学竞赛． （1）如果选出的4人中男生、女生各2人，那么有多少种选法？ （2）如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，那么有多少种选法？ （3）如果被选出的4人是甲、乙、丙、丁，将这4人派往2个考点，每个考点至少1人，那么有多少种派送方式？ 17. 设函数. （1）若在点处的切线为，求，的值； （2）求的解集. 18. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者最多有两次答题机会，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响． （1）求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； （2）设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列． 19. 某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中.A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题.参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答. （1）若甲同学选择A箱，求甲第一次抽到代数题且第二次抽到几何题概率； （2）若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目. ①求乙从A箱中抽出2道代数题的概率； ②求丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川九中2025-2026学年度第二学期月考一 高二年级数学试卷 （本试卷满分150分） 命题人：马子润 审核人：马惠林 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分． 1. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数几何意义得，再利用共轭复数定义即可得解. 【详解】根据题意，则. 故选：D. 2. 设，为两个事件，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率公式计算求解. 【详解】． 故选：C. 3. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中偶数的个数为（ ） A. 48 B. 60 C. 72 D. 120 【答案】A 【解析】 【分析】若四位数为偶数，则个位数为2或4，其余位数不重复即可，结合组合数运算求解即可. 【详解】若四位数为偶数，则个位数为2或4，其余位数不重复即可， 所以偶数的个数为. 故选：A. 4. 现有5个女生和10个男生要排成一排，要求女生都站在一起，则不同的排法数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将5个女生捆绑当作一个元素，与10个男生进行全排列，即可得出结论. 【详解】先把5名女生捆绑在一起，看成一个整体，内部有种排法， 再把这个整体与另外10名男生进行排列，有种排法， 所以不同的排法数为． 故选：B 5. 有4位学生和3位老师站在一排拍照，任何两位老师不站在一起的不同排法共有（ ） A. 种 B. 种 C. ·种 D. ·种 【答案】D 【解析】 【分析】任何两位老师不站在一起，采用插空法，先排4位学生，再使三位教师在学生形成的五个空上排列，由分步乘法计数原理即得． 【详解】要求任何两位老师不站在一起，可以采用插空法， 即先排4位学生，有种方法，再使三位教师在学生形成的五个空上排列，有种方法， 根据分步乘法计数原理，共有不同排法种. 故选：D． 6. 已知在上递增，则实数的范围是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数单调性得出导函数恒大于0，再结合最值计算求参. 【详解】根据题意，在上恒成立，即恒成立， 当时，， 所以，使得恒成立，则. 故选：D. 7. 动点M位于数轴上的原点处，M每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动1个单位或者2个单位的距离，且每次至少跳动1个单位的距离.经过3次跳动后，M在数轴上可能位置的个数为（　　） A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分为动点M①向左跳三次，②向右跳三次，③向左跳2次，向右跳1次，④向左跳1次，向右跳2次，四种情况进行讨论，得到相应的位置，从而得到答案. 【详解】根据题意，分4种情况讨论： ①，动点M向左跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有﹣6，﹣5，﹣4，﹣3， ②，动点M向右跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有6，5，4，3， ③，动点M向左跳2次，向右跳1次，故有﹣3，﹣2，﹣1，0， ④，动点M向左跳1次，向右跳2次，故有0，1，2，3， 故M在数轴上可能位置的个数为﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6共有13个， 故选：D. 【点睛】本题考查分类计数原理，考查了分类讨论的思想，属于中档题. 8. 甲、乙、丙三人玩掷硬币游戏，依次连续抛掷一枚质地均匀的硬币1次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，两种结果等可能，而且各次抛掷相互独立.记事件表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件表示“3次结果中没有正面向上”，则（ ） A. 事件与事件互斥 B. C. 记的对立事件为，则 D. 事件与事件相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】利用列举法将三人抛掷硬币的结果一一列举，再结合古典概型、独立事件、互斥事件、对立事件及条件概率公式一一判定选项即可. 【详解】由题意可知三人抛掷硬币可能的结果有（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）. 则事件的可能结果有（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），共6种情况. 事件的可能结果有（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反），共4种情况. 事件的可能结果有（反，反，反），共1种情况. 对于A，事件与事件都有（反，反，反）这种情况，故事件与事件不互斥，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，，所以，故C错误； 对于D，，，所以，故事件与事件相互独立，故D正确. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分．每题给出的选项中有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）定义在上的可导函数的导函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的最大值为 C. 1是函数的极小值点 D. 3是函数的极小值点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据图像的符号确定函数的单调性，根据单调性比较大小，判断极值、最值即可逐项判断． 详解】由图可知，当时，， 所以函数在上单调递增， ，故A正确； 由函数在上单调递增，， 则不是函数的最大值，故B错误； 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以1是函数的极小值点，故C正确； 由图可知的左右两侧， 所以3不是函数的极值点，故D错误． 故选：AC． 10. 在的展开式中，下列说法正确的是（　　） A. 一共有5项 B. 第3项为 C. 所有项的系数和为0 D. 所有项的二项式系数和为32 【答案】CD 【解析】 【分析】利用展开式的通项公式和赋值法可求解. 【详解】因为的展开式共有6项，所以A不正确； 通项公式为，令可得第三项为，B不正确； 令可得所有项的系数和为0，C正确； 所有项的二项式系数和为，D正确. 故选：CD 11. 现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（ ） A. 共有种不同的放法 B. 恰有两个盒子不放球，共有360种放法 C. 每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有18种 D. 将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有120种 【答案】BC 【解析】 【分析】A应用分步乘法判断；B、C、D应用分步分类计数原理及排列组合数判断； 【详解】A：由题意，每个球都有5种放法，故共有种不同的放法，错； B：恰有两个盒子不放球，则任选3个盒子放球有种，将4个球分成3组有种， 最后把3组球放进所选的3个盒子中有种，故共有种，对； C：从四个编号中选2个放同编号的球有种， 若另2个盒子放余下2个球有1种放法，若余下2球一个放在5号盒子有2种放法， 所以，共有种，对； D：4个相同的球放到5个不同的盒子，恰有一个空盒有种放法，错. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分 12. 已知随机变量服从两点分布，，则________. 【答案】0.44## 【解析】 【分析】利用两点分布的概率性质易得. 【详解】因随机变量服从两点分布，故. 故答案为：0.44. 13. 已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中各项的系数和为64，则正数的值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意得到展开式的总项数为7项，求得，再令得展开公式中各项的系数和，解方程即可求解. 【详解】因为的展开式中只有第4项的二项式系数最大， 所以展开式一共有项，即，令，得展开式中所有项的系数和为， 所以或（舍去），所以正数的值为3. 故答案为：3. 14. 用种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有______种不同的书写方案． 【答案】 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理进行求解即可. 【详解】完成工作可分四步： 第一步，“英语角”用的粉笔颜色有种不同的选法； 第二步，“语文学苑”用的粉笔颜色不能与“英语角”用的粉笔颜色相同，有种不同的选法； 第三步，“理综世界”用的粉笔颜色与“英语角”和“语文学苑”用的粉笔颜色都不相同，有种不同的选法； 第四步，“数学天地”用的粉笔颜色只要与“理综世界”用的粉笔颜色不同即可，有种不同的选法． 由分步乘法计数原理知，该板报共有种不同的书写方案． 故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）在的展开式中，求： ①第4项的二项式系数； ②含的项的系数． （2）求展开式中的常数项． 【答案】（1）①35，②280；（2）-405 【解析】 【分析】（1）通过二项式系数概念，二项展开式的通项求解； （2）通过多项式乘法求解. 【详解】（1）①第4项的二项式系数： ； ②二项式的通项为，令， 则含的系数为：； （2）当因式取时，因式取含的项，此时常数项为， 当因式取时，因式取含的项，此时常数项为， 所以当时，展开式中的常数项为. 16. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加数学竞赛． （1）如果选出的4人中男生、女生各2人，那么有多少种选法？ （2）如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，那么有多少种选法？ （3）如果被选出的4人是甲、乙、丙、丁，将这4人派往2个考点，每个考点至少1人，那么有多少种派送方式？ 【答案】（1）60 （2）91 （3）14 【解析】 【分析】（1）用组合知识直接求解；（2）先求出若小王和小红均未入选时的选法，从而求出如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选时的选法；（3）分两种情况进行求解，再使用分类加法计数原理进行求解. 【小问1详解】 从5名男生中选2名，4名女生中选2人，属于组合问题，，故有60种选法； 【小问2详解】 若小王和小红均未入选，则有种选法，故男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，则有种选法； 【小问3详解】 若2个考点派送人数均为2人，则有种派送方式， 若1个考点派送1人，另1个考点派送3人，则有种派送方式，故一共有8+6=14种派送方式. 17. 设函数. （1）若在点处的切线为，求，的值； （2）求的解集. 【答案】（1），. （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数几何意义计算即可； （2）含参讨论的正负解不等式即可. 【小问1详解】 易知的定义域为， 因为， 因为在点处的切线为， 所以，所以，所以， 把点代入得：. 即，的值为：，. 【小问2详解】 . ①当时，在上恒成立，所以的解集为； ②当时，令，解得：. 综上所述：当时，的解集为； 当时，的解集为. 18. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者最多有两次答题机会，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响． （1）求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； （2）设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列． 【答案】（1） （2）的分布列为： 2 3 4 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件概率公式直接计算可得结果； （2）判断随机变量的可能取值为2，3，4，分别计算出对应概率可得分布列. 【小问1详解】 设事件为“甲通过面试”，事件为“乙通过面试”， ，， 所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率： . 【小问2详解】 随机变量的可能取值为2，3，4. ，，. 所以的分布列为： 2 3 4 19. 某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中.A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题.参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答. （1）若甲同学选择A箱，求甲第一次抽到代数题且第二次抽到几何题的概率； （2）若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目. ①求乙从A箱中抽出2道代数题的概率； ②求丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率. 【答案】（1） （2）①； ② 【解析】 【分析】（1）设事件表示“甲第一次从A箱中抽到代数题”，事件表示“甲第二次从A箱中抽到几何题”，根据可得结果； （2）①设事件为“乙从A箱中取出2道代数题”，根据古典概型即可求解； ②针对乙同学在A箱中选择的题目进行分类，结合全概率公式计算可得结果. 【小问1详解】 设事件表示“甲第一次从A箱中抽到代数题”，事件表示“甲第二次从A箱中抽到几何题”，则. 在发生的条件下，A箱中还剩下3道代数题和2道几何题，所以. 故. 【小问2详解】 ①设事件为“乙从A箱中取出2道代数题”， 设. 乙从A箱中抽出2道代数题的概率为. ②设事件为“丙从B箱中抽取的2道题中至少有一道代数题”， 事件为“乙从A箱中取出2道代数题”， 事件为“乙从A箱中取出1道代数题和1道几何题”， 事件为“乙从A箱中取出2道几何题”， 则. 当发生时，B箱中有5道代数题和3道几何题，； 当发生时，B箱中有4道代数题和4道几何题，； 当发生时，B箱中有3道代数题和5道几何题，. 由全概率公式可得. 【点睛】本题综合考查条件概率乘法公式与全概率公式，全概率公式解题的关键是确定试验结果的样本空间的一个划分，然后求出实验结果有关的事件的概率，再利用全概率公式即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $