精品解析：河北沧州市泊头市第一中学2025-2026学年高一下学期调研考试一数学试卷

河北沧州市泊头市第一中学2025-2026学年高一下学期调研考试一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则复数的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 2. 若复数满足（i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形 4. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则（ ） A. B. C. 3 D. 2 6. 猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知锐角的面积为，则边的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，为复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若，则 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与同向的单位向量为 C. 在上的投影向量为 D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 11. 在斜三角形中，，则（ ） A. 角B为钝角 B. C. 若，则 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的最大值为_____． 13. 已知为直线外一点，且，则__________. 14. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数（R），为实数. （1）求； （2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值. 16. 已知向量与的夹角为，且，，若，. （1）当时，求实数的值； （2）求的最小值. 17. ①，②，③ 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答. 问题：已知的三边，，所对的角分别为，，，若，，______，求 （1）； （2）的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中，，.设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道，且两边是两个关于走道对称的三角形（和）.现考虑绿地最大化原则，要求点与点，均不重合，落在边上且不与端点，重合. （1）设，若，求此时公共绿地的面积； （2）为方便小区居民的行走，设计时要求，的长度最短，求此时绿地公共走道的长度. 19. 在中，内角所对的边分别为，已知 （1）求角； （2）若为边上一点(不包含端点)，且满足， (i) 若，求的长； (ii) 求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北沧州市泊头市第一中学2025-2026学年高一下学期调研考试一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则复数的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用复数除法运算求出，再根据虚部概念得解． 【详解】由于，则，则复数的虚部为． 故选：B. 2. 若复数满足（i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法求出，再求模长即可. 【详解】， 所以． 故选：D. 3. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】用正、余弦定理进行边角互化解题即可. 【详解】解：，可得， 由余弦定理可得，整理可得：，即， 所以或，即或 ∴的形状是等腰或直角三角形. 故选：C 4. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底表示即可求出. 【详解】因为，所以， 则， 因为，所以，即， 则. 故选：C 5. 已知向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】将的两边同时平方得，根据在上的投影向量为单位向量得到一个关于的方程，解方程即可. 【详解】将的两边同时平方得，展开得， 整理得， 由在上的投影向量为单位向量，可知其模长为1，即， 即，解得． 故选：A. 6. 猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件先求出中的两边，再利用余弦定理求即可. 【详解】由题意，可得， 且，在中，可得， 在中，可得， 在中，由余弦定理得： 所以． 故选：D． 7. 已知锐角的面积为，则边的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由为锐角三角形，得到，利用三角形面积公式以及正弦定理化简可得：，由，求出的范围，从而得到结果. 【详解】设锐角的三个内角，，所对的边分别为，，， 因为在锐角中，，则， ，则， 由正弦定理可得：，则， 所以，即 因为，所以 所以， 因为，则，则，即， 所以，所以，即， 故选：C 8. 在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据向量的线性运算及数量积可得，结合得到范围即可． 【详解】设，因为四边形是菱形， 所以， 由点是的中点，得， 由题意得，， 所以 ， 因为，所以的取值范围是． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，为复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A可直接利用复数的性质进行判断；对于C，通过取模运算即可判定；对于选项B和D，取特殊复数即可判定. 【详解】对于选项A，若，则和互为共轭复数，所以，故选项A正确； 对于选项B，取，此时，，满足， 但，故选项B错误； 对于选项C，若，则，所以或，可得或，故选项C正确； 对于选项D，取，，可得，故选项D错误. 故选：AC. 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与同向的单位向量为 C. 在上的投影向量为 D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用向量的模的坐标公式计算即得；对于B，利用单位向量的定义计算可判断；对于C，利用向量投影向量的坐标公式求解判断；对于D，利用两向量夹角为锐角的充要条件列方程组求解可判断． 【详解】对于，故A正确； 对于B，与共线的单位向量，同向为，故B正确； 对于在上的投影向量为，故C错误； 对于D，因，则， 由与的夹角为锐角，可得：，解得且，故D错误． 故选：AB. 11. 在斜三角形中，，则（ ） A. 角B为钝角 B. C. 若，则 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用诱导公式结合正弦函数的图象推得或，分析即得；对于B，根据两函数值的符号即可判断；对于C，利用正弦定理即可判断；对于D，将待求式中的角都用角的三角函数式表示，利用三角恒等变换、换元将其化成二次函数，结合二次函数的图象性质即得. 【详解】对于A，由可得， 因，则，则，或， 即或， 因为斜三角形，故，即角B为钝角，故A正确； 对于B，由A项已得角B为钝角，则，因，故，即B错误； 对于C，由正弦定理，，又， 代入解得，故C正确； 对于D，由上分析可得：，, 故 ，设， 又,则，则， 则，且， 则， 故当时，的最大值为,故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数模的几何意义将问题转化为圆上点到原点的距离最值问题，通过原点到圆心的距离加半径得到结果. 【详解】复数在复平面对应的点满足，几何意义为：复平面内动点的轨迹是以为圆心，半径的圆； 的几何意义是动点到原点的距离。 计算原点到圆心的距离：， 因此圆上点到原点的最大距离为，即的最大值为. 【点睛】本题考查复数模的几何意义，核心方法是数形结合，将复数问题转化为复平面内的几何问题求解. 13. 已知为直线外一点，且，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由条件得到，即可求解. 【详解】由， 得， 得， 所以， 故答案为：2 14. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用三角形面积相等，推得，再利用“乘1”法和基本不等式即可求得的最小值. 【详解】 如图，因，则可得， 即，化简得， 因，则， 当且仅当时，即时，取等号， 故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数（R），为实数. （1）求； （2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数为实数求出，代入化简后求复数模即可； （2）由复数是实系数方程的根代入求出，再结合所在象限舍去不合适的值. 【小问1详解】 由，为实数，则为实数， 所以，即，， 所以. 【小问2详解】 由在复平面内对应的点在第四象限， 所以， 又为实系数方程的根， 则， 所以，， 又，所以. 16. 已知向量与的夹角为，且，，若，. （1）当时，求实数的值； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，结合向量数量积的定义及运算律即可求解； （2）由，平方得到，通过配方法即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，即， 所以， 因为向量与的夹角为，且，， 所以， 所以，所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 由（1）知，且，， 所以， 则， 故当时，最小为. 17. ①，②，③ 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答. 问题：已知的三边，，所对的角分别为，，，若，，______，求 （1）； （2）的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】选①根据二倍角公式以及辅助角公式化简整理，可得；选②利用正弦定理边角互化，整理可得；选③利用余弦定理可知；由根据正弦定理可求得或，分情况求得三角形面积. 【小问1详解】 选①：由得， 即，因为，所以． 选②：由正弦定理得得，因为， 所以． 因为，所以．因为，所以． 选③：由题意得，得． 因为，所以． 【小问2详解】 因为，所以． 由，所以或． 当时，，又因为，所以，． 则面积． 当时，，所以．又因为，所以． 则面积． 综上所述，的面积为或． 18. 如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中，，.设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道，且两边是两个关于走道对称的三角形（和）.现考虑绿地最大化原则，要求点与点，均不重合，落在边上且不与端点，重合. （1）设，若，求此时公共绿地的面积； （2）为方便小区居民的行走，设计时要求，的长度最短，求此时绿地公共走道的长度. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据大三角形直角边的比例关系，可得三角形，结合，可求得各边的长度以及三角形的面积 （2）在中，由正弦定理求出的表达式，可化简为关于的三角函数形式，根据角的范围求出三角函数的最值，从而求出的最值 【详解】（1）由题意得：与全等， 在中，， 又， ，， 又，，， ，为等边三角形， 公共绿地的面积 （2）由图得：且 在中，由正弦定理得： ， 令 又由得， ， 当即时取最大值，即最短， 此时是等边三角形，. 19. 在中，内角所对的边分别为，已知 （1）求角； （2）若为边上一点(不包含端点)，且满足， (i) 若，求的长； (ii) 求的取值范围. 【答案】（1） （2）(i) (ii) 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简等式，即可解得. （2）(i)由得，结合题意得，即可得到，由边角关系求得，即求得. (ii)由条件得到边的关系，以及角的取值范围.然后由正弦定理求得，然后由角的取值范围求得结果. 【小问1详解】 ∵， 由正弦定理可得， ∵，∴，∴， ∴，即，即， ∵，∴. 【小问2详解】 (i)∵，∴， ∴，∴，∴. ∴， ∴ ∴. (ii) ∵，∴，∴， ∵，∴， 由∵点在边上且不包含端点， ∴， 在中，， 在中由正弦定理可得，又∵， ∴， ∵，则，∴， ∴的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $