考向四、五 运用分式方程解决实际问题 根据二次根式的性质求值-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（苏科版·新教材）

拔尖特训·数学（苏科版）八年级下 考向四运用分式 1.《九章算术》是我国古代重要的数学专著之 一，其中记录的一道题大意如下：把一份文件 用慢马送到900里外的城市，需要的时间比 规定时间多1天；如果用快马送，那么需要的 时间比规定时间少3天.已知快马的速度是 慢马的2倍，根据影意列方程为×2 3其中x表示 900 ( A.快马的速度 B.慢马的速度 C.规定的时间 D.以上都不对 2.为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划 在荒坡上种植480棵树.由于青年志愿者的 加入，每日比原计划多种？，结果提前4天完 成任务.设志愿者加入后每天种树x棵，则所 列方程为 () A.480_480=4B.480-480=4 4 4 3x C.480480=4D.480_480=4 3 4 3.小刚在某路口的斑马线路段A-BC横穿双 向车道（如图），其中，AB=2BC=10米.在 人行横道信号灯绿灯亮时，小刚共用时10秒 通过AC,其中通过BC的速度是通过AB的 速度的1.3倍，求小刚通过AB的速度.设小 刚通过AB的速度为x米/秒，则根据题意可 列方程为 ( B (第3题) A.10+5 x 1.3x =10 B.5+10 x十1.3x =10 C20+10 x1.3x =10 D10+20 x 1.3x =10 130 方程解决实际问题◆“答案与解析”见P65 4.学校需采购部分课桌，现有A,B两个商家供 货，A商家每张课桌的售价比B商家优惠 30元.若该校花费1800元采购款在A商家 购买课桌的数量与花费2250元采购款在 B商家购买课桌的数量一样多，则A商家每 张课桌的售价为 A.90元 B.120元 C.150元 D.180元 5.某店在开学初用880元购进若干个 学生专用科学计算器，按每个50元 出售，很快就销售一空.据了解学生 还急需3倍数量的这种计算器，于是该店又 用2580元购进所需计算器，由于量大每个进 价比上次优惠1元，该店仍按每个50元出 售，最后剩下4个按九折卖出.通过这笔生意 该店共盈利 A.508元 B.520元 C.528元 D.560元 6.有一道路改造工程，由甲、乙两个工程队合作 30天可完成，若单独施工，甲工程队所用天 数是乙工程队所用天数的2倍，则甲工程队 单独完成此项工程需要 天 7.新情境·现实生活小明读到关于某城际铁 路的新闻报道后，搜集该线路的相关信息如 下表： 区间段（线 区间近似 区间设计最高相应所用 路的一部分) 里程/km 速度/(km/h) 时间/h A-B 48 t B-C 88 1.1w 12 表中AB区间段以最高速度运行时相应 所用的时间比BC区间段约少0.1h,那 么AB区间段的区间设计最高速度约为 km/h. 8.有一项工作需要在规定时间内完成，若甲单 独做，则刚好按时完成；若乙单独做，则要超 过规定时间3天.现在由甲、乙两人一起做 2天，剩下的工作由乙单独做，刚好按时完 成，则规定时间是天。 9.中秋节前夕，某超市购入甲、乙两种月饼礼盒 共25盒，总共花费4800元.超市购入甲、乙 两种月饼礼盒的价格分别为180元/盒、 200元/盒. (1)甲、乙两种月饼礼盒各购入多少盒？ (2)该超市将这批月饼礼盒加价后进行出 售.若每盒甲种月饼礼盒的售价比乙种月饼 礼盒的售价少40元，消费者用2000元购入 甲种月饼礼盒的数量是用1920元购入乙种 月饼礼盒数量的二倍，则这批月饼全部售出 后，该超市能获利多少元？ 10.新考法·探究题为改善城市生态环境，某市 政府积极推进增绿、补绿、复绿工程，计划对 面积为1000m的荒地进行绿化，经过招 标，决定由甲、乙两支工程队共同完成，已知 甲工程队每天完成绿化的面积是乙工程队 每天完成绿化的面积的2倍，并且在独立完 成面积为480m的区域的绿化时，甲工程 队比乙工程队少用6天 (1)甲、乙两支工程队每天完成绿化的面积 分别是多少？ (2)若安排甲工程队工作一天需支付0.5万 元，安排乙工程队工作一天需支付0.4万 期末压轴题特训 元，要使这次的绿化总费用不超过7万元， 至少应安排甲工程队工作多少天？ 1.某校在商场购买A,B两种品牌的 篮球，购买A品牌篮球花费了 2500元，购买B品牌篮球花费了 2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买 B品牌篮球数量的2倍，已知购买1个B品 牌篮球比购买1个A品牌篮球多花30元. (1)购买1个A品牌篮球、1个B品牌篮球 各需多少元？ (2)该校决定再次购买A,B两种品牌的篮 球共50个，恰逢商场对这两种品牌的篮球 的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次 购买时提高了8%，B品牌篮球按第一次购 买时售价的九折出售.如果该校此次购买 A,B两种品牌的篮球的总费用不超过 3060元，那么该校此次最多可购买多少个 B品牌篮球？ 131 拔尖特训·数学（苏科版）八年级下 考向五根据二次 1.若a<b,且ab≠0，则化简二次根式√/一ab 的结果是 A.-a√-ab B.-a√ab C.a√ab D.a√-ab 2当m<0时，化简织品的结果是 ( A.n√mn B.-n√Jmn C.i D./w 3.若ab<0,则代数式√ab3可化简为() A.ab B.ab√-b C.-abb D.-ab√-b 4.当x<0,y<0时，在下列各式的计算中，正 确的是 ( A.√Jx2y5=xy2√xy B.√Jx5y3=-x2yxy C.W4x3y=2x√J-xy D.√-9xy=-3x2√y 5.若x2+y2=1,则√x2一4x十4+ √xy-3x+y-3的值为( A.0 B.1 C.2 D.3 6.化简：（√x-2)2+√(1-x)2= 7.化简Jx2-6x+9一（√x-5)的结果是 8.若/4一x=4一x2,则x的值是 9.已知√2x+y-3+√x-2y-4= √a+b-2024·√2024-a-b.求： (1)a+b的值. 132 根式的性质求值◆“答案与解析”见P66 (2)4x+y224的值. 10.新考法·阅读理解题【阅读材料】 小明在学习二次根式时，发现一些含根号的 式子可以化成另一个式子的平方，如： 5+2√6=(2+3)+2√2X3=(√2)2+ (3)2+2X√2×√3=（√2+√3）2； 8+27=(1+7)+21X7=1+(√7)2+ 2X1X√7=(1+√7)2. 【类比归纳】 (1)请你仿照小明的方法将9+2√14化成 另一个式子的平方， (2)化简：√8-215. 【变式探究】 (3)若a+22I=(√m十√n)2,且a,m,n 均为正整数，求a的值，:.900u=906+9c-9d,即 99 100(a-b)十c一d为整数.·.易得 11 a-b+c-d是11的倍数.，a+ 2b=3c+4d,.a+2b+3c+4d= 2a+4b..a+2b+3c+4d是个完 全平方数，∴.2a+4b是一个完全平 方数，且这个完全平方数是偶数.当 2a十4b=4,即a+2b=2时，自然数 解为a=2,b=0.:b≠0，∴.a十2b= 2无自然数解.当2a+4b=16,即a+ 2b=8时，自然数解为a=8,b=0或 a=6,b=1或a=4,b=2或a=2, b=3.此时3c+4d=8的自然数解为 c=0,d=2..b≠0且a-b+c-d 是11的倍数，.a=4,b=2,c=0, d=2.∴.M=4202.当2a+4b=36, 即a+2b=18时，自然数解为a=8, b=5或a=6,b=6或a=4,b=7或 a=2,b=8.此时3c+4d=18的自然 数解为c=2,d=3或c=6,d=0. ,a-b十c-d是11的倍数，.a 2,b=8,c=6,d=0..'.M=2860. ,.满足条件的M为4202和2860， 其和为4202+2860=7062. 14.(1)原式=(m+n)(m-n) 4(m-n)=(m-n)(n+n-4). (2)原式=(a+3)2一4b2=(a+3+ 2b)(a+3-2b). (3)△ABC是等边三角形. 理由：.·a2+2b2+c2=2ab+2bc, ∴.a2+2b2+c2-2ab-2bc=0. ∴.a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0. ∴.(a-b)2+(b-c)2=0. .·(a-b)2≥0，(bc)2≥0， .a-b=0且b-c=0. ..a=b,b=c. .a=b=c. .△ABC是等边三角形 15.(1)(a+b)2=a2+2ab+b2. (2)(a+b)(a+3b). (3)由题意，可知图形的总面积为 a2+ab十b2,空白部分可看作两个三 角形，三角形的面积分别为？b(a十 1 26)=2ab+b,2a(a+b)= .S涂色=a2+ab十b2- ab-62 1 1 -2ab=2a2=32. ∴.a=8(负值舍去). 3号纸片的面积为24， ∴.ab=24. .b=3. 16.(1)②.解析：①设a+b=m, a一b=n(a,b为非负整数)，则a2 b2=m2=8.8=1×8=2×4, a十b=8, a+b=4, 或 解得 a-b=1 a-b=2, a=4.5, a=3, (不合题意，舍去)或 b=3.5 b=1. .8=32一12..8是“2次幂差数” ②设a十b=s,a-b=t(a,b为非负 整数)，则a2-b2=st=6.6=1× a十b=6,a十b=3, 6=2X3,. 或 a-b=1 a-b=2, a=3.5, 解得 (不合题意，舍去)或 b=2.5 a=2.5, (不合题意，舍去)..6不 b=0.5 是“2次幂差数” (2)·b,a是两个连续的正整数， .a=b+1. ∴.p=a2-b2=(a+b)(a-b)= (b+1+b)(b+1-b)=2b+1. b是正整数， ∴.2b+1为奇数. p为奇数。 (3),b=k-3,p=-2k+71,p= a2-b2, '.-2k+71=a2-(k-3)2. 65 ∴.-2k+71=a2-k2+6k-9. .a2=k2-8k+80=(k-4)2+64. .(k一4)2≥0 .a2≥64. 'a为非负整数， '.a≥8. ∴.a的最小值为8. 考向四运用分式方程 解决实际问题 1.C2.D 3.A解析：.AB=2BC=10米， .BC=5米.小刚通过AB的速 度为x米/秒，通过BC的速度是通过 AB的速度的1.3倍，∴.小刚通过BC 的速度为1.3x米/秒.又，小刚共用 时10秒通过AC+=10. x 4.B解析：设A商家每张课桌的售 价为x元，则B商家每张课桌的售价 为(x+30)元.根据题意，得1800 0解得x120.经检验，x120 是所列分式方程的解，且符合题意 ∴.A商家每张课桌的售价为120元. 5.B解析：设第一次购进计算器 x个，则第二次购进计算器3x个.根 据题意，得80=2580+1，解得x 3.x 20.经检验，x=20是所列分式方程的 解，且符合题意.∴.3x=60.∴.第一 次购进计算器20个，第二次购进计算 器60个..这笔生意该店共盈利 L50×(20+60-4)+4×50×90%] (880+2580)=520(元) 6.90解析：设乙工程队单独完成此 项工程需要x天，则甲工程队单独完 成此项工程需要2x天.依题意，得 30+30=1,解得x=45.经检验，x= 2x x 45是所列分式方程的解，且符合题 意.∴.2x=90.∴.甲工程队单独完成 此项工程需要90天 7.320解析：由题意，得1 88 48=0.1,解得0=320.经检验，0= 320是所列分式方程的解，且符合题 意.'.A-B区间段的区间设计最高速 度约为320km/h. 8.6解析：设规定时间是x天.由题 意，得子十千=1，解得x=6经检 验，x=6是原分式方程的解，且符合 题意.∴.规定时间是6天 9.(1)设甲种月饼礼盒购人x盒，乙 种月饼礼盒购人y盒。 根据题意，得 x十y=25, (x=10, 解得 (180x+200y=4800, y=15. .甲种月饼礼盒购人10盒，乙种月 饼礼盒购人15盒. (2)设每盒甲种月饼礼盒的售价为 m元，则每盒乙种月饼礼盒的售价为 (m+40)元. 根据题感，得0平0×宁解 得m=200. 经检验，m=200是所列分式方程的 解，且符合题意. ,.m+40=200+40=240. .(200一180)×10+(240-200)× 15=800(元). ·这批月饼全部售出后，该超市能获 利800元. 10.(1)设乙工程队每天完成绿化的 面积为xm,则甲工程队每天完成绿 化的面积为2.xm. 根据题意，得480 _480=6,解得 x=40. 经检验，x=40是所列分式方程的解， 且符合题意 .2x=80. '.甲工程队每天完成绿化的面积为 80m,乙工程队每天完成绿化的面积 为40m2 (2)设安排甲工程队工作y天，则安 排乙工程队工作10080y=(25 40 2y)天 根据题意，得0.5y十0.4(25一2y) 7,解得y≥10 ∴.至少应安排甲工程队工作10天 11.(1)设购买1个A品牌篮球需 x元，则购买1个B品牌篮球需(x十 30)元. 由题意，得2500=2×2000 2+30,解得 x=50. 经检验，.x=50是所列分式方程的解 且符合题意。 ∴.x+30=80. '.购买1个A品牌篮球需50元，购 买1个B品牌篮球需80元. (2)设该校此次可购买a个B品牌篮 球，则可购买(50一a)个A品牌篮球， 由题意，得50×(1十8%)(50-a)+ 80×0.9a3060,解得a20. ∴.该校此次最多可购买20个B品牌 篮球。 考向五根据二次根式的 性质求值 1.A解析：.√一a3b有意义， ab≠0，.-a3b>0...a3b<0.又 .ab,∴.a<0,b>0. ,'.√/-a3b=-a√-ab. 2.D 3.C解析：.二次根式√ab有意 义，∴.a2b3≥0..b≥0..ab<0, .'.a<0,b>0..√a2b3=ab· √b=-ab6. 4.B 5.D解析：根据题意，得xy一3x十 y-3≥0，即(x+1)(y-3)≥0 x+1≥0， x+10, 或 解得 y-3≥0 y-30, 66 x≥-1， x一1， y≥3 或≤3 .x2+y2= 1,.易得x=-1,y=0..当x= -1,y=0时，原式=√(x-2)2+ √/(x+1)(y-3)=|x-2|+0= |-1-2=3. 6.2x-3解析：x-2≥0，∴.x≥ 2..原式=x一2十1一x=x一2+ x-1=2x-3. 7.2 8.土2或士√5解析：4一x2的算 术平方根等于它的立方根，.4 x2=0或1.当4-x2=0时，x=士2： 当4-x2=1时，x=土√5.综上所述， x的值是士2或士√5. a+b-2024≥0， 9.(1)由题意，得 2024-a-b≥0， ∴.a+b=2024. (2)由(1)，易得a+b-2024· √2024-a-b=0, ∴.√2x+y-3+√x-2y-4=0. 2x+y-3=0, {x=2, 解得 x-2y-4=0, y=-1. ∴.4x十y224=4X2+(-1)2024=8+ 1=9. 10.(1)9+2√14=7+2+ 2√7X2=(7)2+(W2)2+2X√7X √2=(W7+2)2, (2).:8-2/15=5+3-2√/5X3= (W5)2+(W5)2-2X5X3=(5 √5)2， .√8-215=√5-5)2= 5-5. (3)a+2W2I=(m+√n)2,a, m,n均为正整数， ∴.a+2√3X7=(√m+√m)2或 a十2√21XI=(√m+√n)2. '.a=3+7=10或a=21+1=22.