第11章 二次根式 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（苏科版·新教材）

第11章二次根式 第11章整合拔尖 ●“答案与解析”见P58 壁]知识体系构建 概念 二次根式。一般地，我们把形如√a(a≥0)的式子叫作二次根式 最简二次根式 被开方数中不含分母 分母中不含有根号 被开方数写成乘积形式时，不含能开得尽方的因数，且因式的次数等于1 同类二次根式，经过化简后，被开方数相同的二次根式 双重非负性 a≥0(a≥0) 二次根式 性质 (a)2≥0(a≥0) a=ala(a≥0)， -a(a<0) 积的算术平方根的性质√ab=√a·√b(a≥0，b≥0) 商的算术平方根的性质 a_la W6=万(a≥0，b>0) 运算 乘除运算 a·√b=ab(a≥0，b≥0) 答=厚a0.b0 加减运算 二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式 混合运算 顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减 注意 适当运用运算律和乘法公式 如果有括号，要先算括号里面的（或先去掉括号） S高频考点突破 考点一二次根式有意义的条件 考点二二次根式的性质 典例1 如果二次根式 1 x+3 有意义，那么x 典例2若a+|a|=0,则化简√(a-1)+ √a的结果为 () 的取值范围是 A.1-2aB.2a-1C.-1 D.1 A.x>-3 B.x>3 提示 C.x<-3 D.x<3 由a十a=0,可得a=-a,故a为非正数， [变式](2025·徐州模拟)已知y=√4一x+ 然后根据二次根式的性质进行运算即可. √x-4+3,则义的值为 ( [变式]若a<0,则化简|a一3一√a的结果为 c () A.3-2aB.3C.-3 D.2a-3 121 拔尖特训·数学（苏科版）八年级下 考点三二次根式的乘除 [变式]计算： 典例3下列运算中，正确的是 w丽-2)-（g-5 A.√2X√6=12 C.(wW-3)2=-3 nE得-3 [变式]下列计算中，正确的是 A.18÷√2=√6 B.(4√2)2=8 (26s-0+4,）÷配. C.√(-3)2=3 D.23X2√2=2√6 考点四二次根式的运算 典例4计算： 山2+6层-wa-4得】 (3)(5+2)×(5-2)+(W2+2√3)2. 考点五二次根式的化简求值 典例5 先化简，再求值：（一x-y)÷二y+ (2)(2√5+32)2-(25-3√2)2. 2一2a+y2其中x=2y=6. x2-y2 (3)(√7-22)2023X(W7+2√2)2024. [变式]先化简，再求值：9】瓜2a a+l a2-a 1,其中a=2-尽. 122 第11章二次根式 综合素能提升 1晏使式子写有意义，则：的取值范围是 8 /a- =a· (a,b为正整数)，则a十 ( b= A.x>1 B.x>-1 10.计算： C.x≥1 D.x≥-1 (1)√20-√6+5-√24-√45. 2.(2025·安徽)下列计算中，正确的是() A.(-a)=-aB.(-a)=-a C.a3·(-a)2=asD.(-a2)3=a 3.化简（√3-a)+√(a-3)的结果是(） 2慢×后+后 A.0 B.-2a+6 C.2a-6 D.2a+6 4.已知点P(x,y)在第二象限内，则化简√xy 的结果是 ( (3)(5+5-√7)2-(5-√5+√7)2. A.-xy B.ay C.-x√-y D.x√-y 5如果+b三4ab,0>6>0,那么8的 值为 ( ) 11..1<5<√4，即1<√5<2， A.√3 B.3 C.-5D.-3 ∴.√3的整数部分为1，小数部分为 6若周 √3一1.类比以上推理解答下列 有意义，则x的取值范围是 问题： (1)已知√6的整数部分为m,小数部分为 7.若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则 n,求m,n的值. 化简/(a-1)+√(a-2)2的结果是 (2)若x,y分别是8一√11的整数部分与小 数部分，求(x+√1I)y的值 (第7题) 8计算后5+得） 3)设x三2“是x的小数部分，6 是-x的小数部分.求a2+b+2ab的值 9小明做效学时，发现1-： 3 W10 4-=4× 4 √7….按此规律，若 123∴x-y=-46..原式=3(x y)2=3×(-4√6)2=288. 7.x=1-√2，y=1+2, ∴x-y=-2W2,xy=-1. .原式=(x-y)2+xy-2(x一y)= (-2√2)2+(-1)-2×(-2W2)= 7+4√2. 8:u，+16E 2+1 √2-1， ∴.a+b=2√2，a-b=2,ab=2 1=1. (1)ab-a+b=ab-(a-b)=1- 2=-1. (2)a2+b2+ab=(a+b)2-ab= (2√2)2-1=8-1=7. 9..√11-x2+√2+x2=5, ∴.（√11-x2+√2+x2)2=25. ∴.√11-x7·√2+x=6. ∴.(11-x2)·√2+x2+(2+x2)· √/11-x=(W11-x+√2+x7)· √2+x·√11-x=5X6=30. 10.B 解析：当x=2十3，y=2 √3时，x+y=4,xy=(2+√3)×(2 5)=1.义+工=x+y Ty (x十y》-2=16-2=14. Ty 11.B 解析：·x=√2024十 √2025，.x-√2025=√2024. .x2-2√2025x+2024=x2 2√/2025x+(√2025)2-1=(x- √2025)2-1=2024-1=2023. 12.A解析：原式=ab-(a-b) 1=√5-(25-1)-1=-√5. 13.+名-6 ab (a+b)2-2ab ab a= 5+2 √5-2(W5-2)×(W5+2) √5+2，b= 1 5+2 √5-2 =√5-2， (W5+2)×(W5-2) ∴.ab=(√5+2)×(W5-2)=5-4= 1,a+b=√5+2+5-2=25. 原式=2w5-2X1-18 √a 14. ·a-√aba+√6a-6 =a+a6 √ab一b a+1b a-b a-b atb a-b a=2+5,b=2-√5， ∴.a+b=(2+5)+(2-3)=4, a-b=(2+5)-(2-√5)=2√5. ·原式=4=23 253 15.D解析：a=√2-1，b=2+ 1,∴.ab=(W2-1)X(2+1)=2 1=1,a+b=√2-1+√2+1=2√2， a-b=√2-1-(W2+1)=2-1 2-1=-2..a3b-ab3=ab(a2 b2)=ab(a+b)(a-b)=1×2√2× (-2)=-4√2】 2 16.a511+5, ∴.a-1=5. ∴.(a-1)2=3,即a2-2a+1=3. .a2-2a=2,a2=2a+2. '.a2-6=2a-4,a2+a-2=3a. 原式-=2a3-(a2+a-2》 2-3u=2aa2-6 1 2a(2a 4)=a2-2a=2. 58 方法归纳 根据恒等变形解决代数式 化简求值问题 解决代数式化简求值问题时， 常常会出现字母的值等于二次根 式与有理数的和或差，在解答时 常常将其恒等变形，转化为字母与 有理数的和或差，再对其整体平 方，将其转化为含有字母的二次三 项式，最后对所求代数式进行整体 变形求得结果。 17.x=5-2, .x+2=5. ∴.(x+2)2=(5)2,即x+4x+ 4=5. .x2+4x=1. .x2+4x-10=1-10=-9. 第11章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1A [变式]C解析：由题意，得4-x≥ 0,x-4≥0，解得x=4.∴.y=3. 义=3 典例2A解析：由a十la|=0, 得|a|=一a.∴.a为非正数. .√(a-1)z=1-a,√a=-a. .原式=1-a-a=1-2a. [变式]B解析：a<0,.a 3<0.∴.a-3|-√a=3-a (-a)=3-a+a=3. 典例3D [变式]C 典例4（①原式+2后- 后-）-+26-26+ 45-5 5 (2)原式=[(2√5+3√2)+(25 32)]×[(25+3√2)-(25 3√2)]=4V5×6√2=246. (3)原式=(W7-2√2)223X(√7十 2√2)2脑X(7+2√2)=[(7 2√2)×（√7+2√2）]223X(7+ 2√2)=(-1)2023X(√7+2√2)= -(W7+22)=-√7-22 [变式](1)原式=32-25 9+551g3 4 (2)原式=(9√2-√2+22)÷ 4√2=10√2÷4W2=2.5. (3)原式=5-4+2+4√6+12=15+ 46 典例5原式=一(x十y)· (x+y)(x-y) (x+y)(x-y) (x-y)2 x-yzyxy x=2,y=√6， 原式 3+3 √2-√6 2 [变式]a=2-√5， .a-1=1-√3<0. .原式=（a十1)(a-1) a+1 a-1-1=a-1- -(a-1) a(a-1)a a(a-1) 1 a =a-1. 当a=2-√5时，原式=2-√5-1 1-5. [综合素能提升] 1.C2.B 3.B解析：由题意，得3-a≥0，解 得a≤3.∴.原式=3-a+3-a= -2a+6. 4.A 5.C解析：a2+b2=4ab, .(a-b)2=2ab.. (a+b)2_a2+b2+2ab (a-b) 2ab 4ab+2ab 2ab =3.a>b>0,.a+b> 0,b-a<0..+b<0. b-a 6.x1且x≠-2 7.1解析：根据数轴可知，1<a<2. ∴.a-1>0,a-2<0. .√(a-1)z+√(a-2)=(a 1)+(2-a)=a-1+2-a=1. 1 8.2 解析：原式=2 5+) 3.65-3 5 55 5 652 9.73解析：根据题中的规律，得 n =√n2十1 (n为正整 ,a= 8,b=82+1=65...a+b=8+ 65=73. 10.(1)原式=25-√6+√5- 2W6-3V5=-36 2,原式（停）×（受）= 111 23=6 (3)原式=(5+5-√7+√5-√5 7)×(5+5-√7-5+5 7)=25×(2√5-2√7)=415 4√2I. 11.(1)√4<6<， ∴.2<6<3 ∴.m=2,n=√6-2 (2).√9<√11/16， .3<√Π<4. 59 .-4<-√i<-3. ∴.4<8-√T<5. .x=4,y=4-√1Π. ..(x+/11)y=(4+/11)(4- √T)=16-11=5. (3):x=2-1 =√2+1， .-x=-√/2-1. <2<4, .1<√2<2. ∴.2<√2+1<3，即2<x<3. ∴.-3<-x<-2. ∴.a=2+1-2=√2-1，b= (-√2-1)-(-3)=2-√2， ∴.a2+b2+2ab=(a+b)2=(√2 1+2-√2)2=1. 期末压轴题特训 考向一特殊四边形 与平面直角坐标系 1.A解析：如图，当△ABC平移得 到△A'B'C'时，点C'在直线y=2x 4上，连接CC.点A,B的坐标 分别为(1,0)，(6,0)，∴.AB=5. ∠CAB=90°，BC=13,∴.AC= √132-5=12..A'C'=12.点 C在直线y=2x-4上，.2x-4 12,解得x=8,即OA'=8.∴.易得 CC=AA'=OA'-OA=8-1=7. :易知四边形BCC'B为平行四边 形，.So℃=7X12=84,即线段 BC扫过的面积为84. y=2x-4 OA BA B'x N (第1题) 2.C解析：过点P(1,-2)的直