第10章 专题特训九、十 分式求值的方法与技巧 分式方程中的参数问题-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（苏科版·新教材）

拔尖特训·数学（苏科版）八年级下 专题特训九分式 类型一化简后直接代入求值 1.已知a=3则代数式1-。÷。”的值 为 2.(2025·南京江宁模拟)先化简，再求值： (1-m2):m+9,其中m=5 m-1 m2-1 3.先化简，再求值： 2x-y_2-2y十y): x+y x2-y 年其中=分)'w=(-202s州 类型二变形后求值 4若x2-5x=-5,则x十 x-1 5已知1+1=-3 x y x+y 则义+工= 6若a6 a+b bc=3, =2,6十c ac=1,则 ++c abc ab+bc +ac 类型三整体代入求值 7如果x和y互为倒数，那么(x+)· (2y-1)的值是 A.1B.2 C.3 D.4 98 求值的方法与技巧，“答案与解析”见P48 8.已知a-a-2025=0,则代数式a-1 。·名的值为 9已知x-2v=6=0,求代数式x-2v 2x一4y的值. x2-4xy+4y 类型四根据条件求值 10光化简得求位：。0m+2 训》，英中mm满足(m一1)十云十 6m+9=0. 1先化简：（岩再从-2。 1,2中选一个恰当的数作为x的值代入 求值 专题特训十分式 类型一利用分式方程解的定义求参数的值 1.已知x=3是关于x的方程= 一的解， xx十 则m的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 2若关于x的方程-1=的解为整 数，则满足条件的所有整数a的和是() A.6 B.0 C.1 D.9 3若关于x的分式方程有正整数 解，则整数m的值为 4已知关于x的方程红+1 2 -=1的解 x-1 1一 是整数，且k使关于y的不等式组 y+1>5, 的解集是y>4,则满足条件 y-(k-1)>2 的有整数k的值之和是 5已知关千：的分式方程异-公与是 二的解相同，求m2一2m的值 第10章分式 方程中的参数问题>“答案与解析”见P49 类型二利用分式方程有解求参数的取值范围 6,已知关于x的分式方程二3十”。 mx ,写的解是非正数，则m取值范围是(） A.m≥3且m≠10B.m>3且m≠10 C.m≤3且m≠-4D.m<3且m≠-4 7卫知关于x的分式方#，g十2-2有 解，则m应满足的条件是 () A.m≠1且m≠2B.m≠2 C.m=1或m=2D.m≠1或m≠2 8芳关干x你分式方器：十42 x十2m的解大于1，则m的取值范围是 x2-4 9若关于x的方程，二4一3=二的解不小于 2,求a的取值范围. 类型三利用分式方程有增根求参数的值 10指关于的分式方程导号升2一5有描 a 根，则a的值为 () A.-3B.-2C.1 D.5 1.若关于x的分式方程红+1 3 x2-x x-1 =0有 增根，则k的值为 99 拔尖特训·数学（苏科版）八年级下 12.(2024·西安期末)已知关于x的分式方程 4 x+1十xx-1 (1)若方程有增根，求k的值 (2)若方程的解为负数，求k的取值范围. 13.小华想复习分式方程的知识，由于不小心， 方程222十3=巾有个数被墨水污 染了（用“？”表示），看不清楚， (1)他把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这 个分式方程 (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是方 程的增根是x=2,原分式方程无解.”请你 求出原分式方程中“？”代表的数： 100 类型四利用分式方程无解求参数的值 14已知关于x的分式方程工十=1无解，则 x+2 实数a的值为 () A.6 B.3 C.0 D.-3 15.若关于x的分式方程+g-7 x-3 x 1无解，则a的值是 A.4 B.0或-3 C.-3或4 D.0或-3或4 16.分类讨论思塑若关于x的分式方程2 2+1无解，求m的值①当m一1=0时，方程无解 ②当m-1≠0，即m≠1时，x= 4m-6 2 m-,即x=4m气 x,y,m均为整数， .m-1=1,2,-1,-2,即m=2,3, 0,-1. 又，m为正整数， .m的值为2或3. 第3课时用分式方程解决问题 1.A2.C3.284.15 5.设模型A每小时能处理xGB数 据，则模型B每小时能处理(x十 10)GB数据， 根据题意，得。一，解得 x+10 x=20. 经检验，x一20是所列方程的解，且符 合题意 '.模型A每小时能处理20GB数据. 6.C解析：设甲厂单独完成这项任 务需x天，则乙厂单独完成这项任务 需位十天由题意，得十产 1,解得x=20.经检验，x=20是所列 分式方程的解，且符合题意..x十 5=25..方案①需要的费用为1.5× 20=30(万元)：方案②需要的费用为 1.1×25=27.5(万元)，但乙厂单独完 成这项任务超过了工期，不能选；方案 ③需要的费用为1.5×4十1.1×20 28(万元).：30>28，∴.在不耽误工 期的前提下，方案③最节省费用： 7.C解析：设原计划每间教室的改 造费用是x万元，则实际每间教室的 改造费用为(1+20%)x万元.根据题 80十40-80=5，解得x= 意，得1十20%)zx 4.经检验，x=4是所列方程的解，且 符合题意..(1十20%)x=1.2×4 4.8..实际每间教室的改造费用是 4.8万元. 8.2解析：设该旅游景点在设施改 造后平均每天用水x吨，则在改造前 平均每天用水2x吨.根据题意，得 2020 x 2x =5,解得x=2.经检验，x=2 是原分式方程的解，且符合题意. ,'.该旅游景点在设施改造后平均每 天用水2吨 9.(1)设小刚步行的平均速度是 xm/mim,则小刚骑自行车的平均速 度是2.5.xm/min. 由题意，得120-}200=9，解得 2.5x x=80. 经检验，x=80是所列分式方程的解， 且符合题意 ∴.小刚步行的平均速度是80m/min. 1200 (2).十)5×80 十2= 80 23(min),2325, ∴.小刚能在电影放映前赶到电影院 10.240解析：设这批货物共x吨 甲车每次运a吨，乙车每次运3a吨， 丙车每次运b吨.根据题意，得 f120_x-120 b x-120_x-180 180x一180 120 60 3a b 解得x=240.∴.这批货物共240吨. 11.(1)设每千克“樱珠”的进价是 x元，则每千克“樱桃”的进价是(x一 8)元 根据题意，得1134一630 x 8解得 x=18. 经检验，x=18是所列方程的解，且符 合题意. .x-8=10. ∴.每千克“樱珠”的进价是18元，每 千克“樱桃”的进价是10元， (2)设购进a千克“樱珠”，则购进 (60一a)千克“樱桃”. 根据题意，得18a十10(60一a)≤ 1000,解得a50. 48 设总利润为心元。 根据题意，得=(30-18)a十(18- 10)(60-a)=4a+480. 4>0, ∴.e随a的增大而增大. .当a=50时，w有最大值，w最大= 4×50+480=680,此时，60-a=10. ∴.该水果商城应购进50千克“樱珠” 和10千克“樱桃”，使得第二批的“樱 珠”和“樱桃”售完后获得的利润最大， 最大利润是680元. 专题特训九分式求值的 方法与技巧 1.2 2.原式-（ 名)小 m2-1=m-3 m2-6m+9m-1 (m+1)(m-1)_m+1 (m-3)9 n-3 当加=5时原式}8 3.原式= 号-) x-V “=(2) =2y=(-2025)°=1， 原式号2 4.4解析：x2-5.x=-5, x+ =x(x-1D+1 x-1 x-1 x2-x+1_x2-5x+4x+1 x-1 x-1 -5+4x+1_4x=4_4(x-1D=4, x-1 x-1x-1 5.-5 12 6解析：b2 a+b bc=3, bc 台@，”士=1@0+@+@得 ac +6+“=++1= ab bc ac 是2tc+a@- abc 61 abc 12 ab+x+ac正 7.B解析：x和y互为倒数， ÷w=1.(e+号)(2) 2y-1+2-1=2×1-1+2-1= Ty 2-1+2-1=2. 8.2025解析：原式=a2-2a十1， a2=a-12.a2 a-a‘a=i-a(a-1)= a2-a.a2-a-2025=0,.a2 a=2025.'.原式=2025. 9原式=1 2(x-2y) x-2v (x-2y)月 1 2 3 x-2y'x-2yx-2y x-2y-6=0, .x-2y=6. 原式音之 10原式=如千 (m2-4_n2-4) m2-n22 m-n m-2 m+n m-2 m-2 2 1 (m+n)(m-n)m+n m+n 1 m+n (m-1)2+n2+6n+9=0, ,.(m-1)2+(n+3)2=0. (m-1)2≥0，(n+3)2≥0， ∴.m-1=0,n十3=0，解得m=1, n=-3. 原式 x+20(x-2=+2--2= x+1 x+1x+1 4 x+1 :x-2≠0且x十2≠0且x+1≠0， .x≠士2且x≠一1. ·当x=1时，原式1十=2， 专题特训十分式方程 中的参数问题 1.C 2.D解析：方程两边同乘x十1，得 ar-1-2=3,解得x=。a10 由a为整数，分式方程有整数解且 x≠-1，得a-1=士1或士2或4，解 得a=2,0,3,一1,5.'.满足条件的所 有整数a的和是2+0+3+(-1)+ 5=9. 3.一1或0解析：解方程，得x= nm≠：m为整数，方程有 正整数解且x≠1，∴.1-m=2或1一 m=1,解得m=一1或m=0. 4解析：解分式方程，得x=1一 (k≠1)且x≠1.，方程的解是整数， k是整数，∴.1一k=士1或士2或 -4..=0,2,-1,3,5.解不等式 y>4, 组，得 :原不等式组的解 y>k+1. 集是y>4,.k+1≤4..k≤3. .k=0,2,-1,3.0+2-1+3= 4,∴满足条件的所有整数k的值之 和是4. 5方程2-十丙边同乘2x 1),得3(x一1)=2x,解得x=3. 检验：当x=3时，2x(x-1)=12≠0. .x=3是原分式方程的解 托=3代人异织得异 2 号解得m=号、 49 .m2-2m= (9)-2×号 48 491 21 6.B解析：解方程，得x=一 m-3 (m≠3).又：方程的解是非正数， -30,解得m≥3.m>3 由题意，得一 m-3≠3且- 21 21 -3,.∴.m≠一4且m≠10.∴.m3 且m≠10. 7.A解析：方程两边同乘x一2， 得1-(3-m.x)=2(x-2)..(2 m)x=2.分式方程有解，.m≠2， 2≠2.m≠2且m≠1 x一2-m 8.m>0且m≠1解析：解方程，得 x=m十1.由题意，得x≠2且x≠ -2,即m+1≠2且m+1≠-2， ∴.m≠1且m≠-3.：x=m十1是 原分式方程的解，∴.根据题意，可得 m+1>1..m>0.综上所述，m的取 值范围是m>0且m≠1. 9.方程两边同乘x一4，得x一3(x一 4)=a,解得x=12g 2 由题意，得x≠4，即a≠4. :关于x的方程兰一3=二的 解不小于2， 2≥8，解得a<8 ∴.a的取值范围是a≤8且a≠4. 10.A解析：方程两边同乘x十2，得 x-1=a一5(x十2).由分式方程有增 根，得x十2=0，即x=一2.把x= -2代人整式方程，得-2一1=a,解 得a=-3. 11.2解析：方程两边同乘x(x 1),得kx十1-3x=0.:分式方程有 增根，∴.x=0或x=1.把x=0代人 整式方程，无解；把x=1代人整式方 程，得k+1一3=0，解得k=2. 12.(1)方程两边同乘(x+1)(x一 1),得4(x-1)+3(x+1)=k,解得 分式方程有增根， .x2-1=0 .x=士1. 当x=1时，十=1，解得=6：当 7 =-1时，=-1，解得=-8 .k的值为6或-8 (2)·方程的解为负数， .x<0且x≠-1. 0且-1 .k<-1且k≠一8 ∴.k的取值范围是k<一1且k≠ -8. 13.（1)由题意，得52十3=2 方程两边同乘x一2，得5+3(x 2)=-1,解得x=0. 经检验，x=0是原分式方程的解. (2)设原分式方程中“？”代表的数是m. 方程两边同乘x一2，得m十3(x 2)=-1. 方程的增根是x=2, .把x=2代入整式方程，得m+3× (2-2)=-1,解得m=-1. .原分式方程中“？”代表的数是一1. 14.A解析：方程两边同乘x十2，得 3.x十a=x十2，整理，得2x=2-a. :关于：的分式方程号=1无 解，.x十2=0，解得x=一2.将 x=一2代入2x=2-a,得一4=2- a,解得a=6 15.C解析：方程两边同乘x(x 3),得x(x+a)-7(x-3)=x(x 3),整理，得(a-4)x=-21.分式 方程无解，∴.分情况讨论.若a一4= 0,即a=4,则整式方程无解，即原分 式方程无解.若a一4≠0，即a≠4，则 x=0或x=3.当x=0时，(a一4)· 0=-21无解：当x=3时，(a-4)· 3=一21，解得a=一3.综上所述，a 的值是一3或4. 16.方程两边同乘x-2,得m.x=4十 x-2. 整理，得(m一1)x=2. ”关于x的分式方程"2。 x-2x-2 1无解， ∴.当m-1≠0，即m≠1时，原分式 方程的解是增根，即x=2 1=2,解 得m=2;当m-1=0,即m=1时，整 式方程无解，即原分式方程无解 ..m的值为2或1. 第10章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1A [变式]A 典例2A解析：7m=11,11”= 7,∴.(7m)”=11”=7,即7m=7. .m=1. m+十十 7 m(n+1) n(m+1) (m+1)(+1)十(m+1)(m+1) mn十m+m+n_1+m+1+n (m+1)(n+1)m+m++1 2十m十”=1. 2+m十n [变式] 27 解析：m十 1=3, (m+) =9..m2+2+ 71 9.m2+ m=久.mm2+4 5m2 1=4X7一55 127 5=5 5m2 5 ·4m4-m2+427 典例3B解析.3m+3=m+1≠ 3 m+3,故A不符合题意：2×3m 3×3m 50 9m=3m,故B符合题意：31十3 3m+3 6n 2n n+1 ≠”十3，故C不符合题意： m十1≠m+3 3 1 、≠ 3m-nm广'改D不 合题意. [变式]A 典例4A 解析：原式= x一2 x(x-1)(x+1) =x(x+1) (x-2)2 x-2 2+.:x2+2x-2=0,2+ x-2 x十x-2=0.∴.x2十x=2-x..原 x-2 =-1. [变式]原式= y L(x+y)(x-y) x一y > (x+y)(x-y)」 x .凶= 1 (x+y)(x-y)xx+y .(x+2)2+|y-1|=0,(x+2)2≥ 0,|y-1川≥0， ∴.x+2=0,y-1=0. ∴.x=-2,y=1. 1 六原式=-2+-1 典例5A解析：根据题意，得 2十1=0，解得x=-1检验：当 3-x2x x=一1时，2x(3-x)=-8≠0. .x=一1是原分式方程的解.∴.x 的值为-1. [变式]x=号 典例6 2+4>2X1000 2400 x [变式](1)设A型机器人的单价为 x万元，则B型机器人的单价为(x一 3)万元. 根据题意，得2”3好得=9 经检验，x=9是所列方程的解，且符 合题意 '.x-3=9-3=6.