第11章 专题特训十一、十二 二次根式非负性的应用 整体思想在二次根式化简求值中的应用-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（苏科版·新教材）

拔尖特训·数学（苏科版）八年级下 专题特训十一二次 类型一根据二次根式的非负性化简 1化简-a厂的结果是 A.Ja B.-√a C.-√-a D.√-a 2.计算：（√4-x)2十√(x-5)= 3.解方程：x-3十√x-4=x. 类型二根据二次根式的非负性求值 4.已知非零实数a,b满足|2a一4|+|b+2+ √/(a-4)b+4=2a,则a十b= 5.若y·√/2x-2+√1-x=y+2,求√y+5x 的值 6.已知实数a,b满足a=公-9十9-B+6 b一3 求a-2b|-√12ab的值. 118 根式非负性的应用，“答案与解析见P56 7.已知|x-1000|+(√998-x)2=2000,y= √m+8+√m-1+√1-m,求y-x的平 方根 类型三运用二次根式的非负性解决综合题 8.已知6-3m+(n-5)2=3m-6 √(m-3)n2,求m-n的值. 9.易错题已知实数m,n,p满足等式 m-199+n·√199-m-n= √3m+5m-2-p+√2m+3m-p,求 力的值. 10.已知a,b,c满足等式|a一√7|+(c一4√2)2= √b-5+√5-b. (1)求a,b,c的值 (2)判断以a,b,c为三边长能否构成三角形. 若能，请求出此三角形的面积；若不能，请说明 理由. 第11章二次根式 专题特训十二整体思想在二次根式化简 求值中的应用 》“答案与解析”见P57 类型一先整体平方求值，再代入求值 7.已知x=1-√2，y=1+√2，求x2+y2- 1.已知a>b>0,a+6=6a而，则a+6的 xy-2x十2y的值. √a-√石 值为 ( ) A√2 C. √2 1 B.2 2 D.2 2若a+6=-4h=1,则层+径的值为 () A.4 B.-4C.16 D.4或-4 1一，b 1.求： 8.已知a万-62+1 3.若-是=2，则，x+是+14的值为 (1)ab-a+b的值 (2)a2+b2+ab的值. 4已知工y为实数，y5求工仪十yN 的值. 9.已知√/11-x2+√2+x2=5,求(11-x2)· √2+x2+(2十x)·√11-x的值. 类型二先局部整体求值，再代入求值 5.已知x= y,则+a十 2 y2的值为 ( 类型三先将代数式变形，再整体代入求值 A.2 B.4 C.5 D.75 10.已知x=2+3,y=2-√3，则代数式义y+买 6卫划：是 y ,则代数式 的值为 () 3.x2-6xy+3y2的值是 A.7B.14C.85D.43 119 拔尖特训·数学（苏科版）八年级下 11.已知x=√J2024+√2025，则x2-2√2025x+ 2024的值为 ( A.1 B.2023 C.2024 D.2025 12.已知a一b=25-1,ab=√5，则(a+1)· (b一1)的值为 () A.-√3 B.35 C.3√2-2 D.√5-1 1. 1求名+号的值 13.已知a=5-25+2 ,b= 14.整体思想已知a=2十√3，b=2一√3，求 a √b 一的值。 a-√aba+ 类型四先将条件变形，再整体代入求值 15.若a=√2-1，b=√2+1，则代数式a3b ab3的值是 () A.4√2 B.3 C.-3 D.-4√2 120 16*已知a=31,求2 2a3-a2 a+2的值 17.【问题解决】 已知x=√5+2，求代数式x2一4x一7 的值. 小敏的做法：由x=√5+2，得(x一2)2=5. .x2-4x+4=5,即x2-4x=1. ∴.x2-4x-7=1-7=-6. 【迁移应用】 已知x=5一2，求代数式x2+4x一10 的值.可)=+1-2 +=(六 )°=4.又1<x<2,0< <1点>1 可“六=2 11.7或13解析：(m+n√3)2 m2+2√51+3n2=(m2+3n2)十 2√5m.a+4√5=(m+n√5)2， 且a,m,n均为正整数， m2+3n2=a, .m=2.m, 23mm=43. n均为正整数，∴.m=1,n=2或m= 2,n=1.当m=1,n=2时，a=m2+ 32=12+3×2=1+12=13;当m= 2,n=1时，a=m2+3n2=22+3× 1=4+3=7.综上所述，a的值为7 或13. 12.(1)原式= 1 3+6×2 V6x8+5-2=5+5+45+ 3 V5-2=193 3 2 (2)原式=8-4×2 ×1=22 √2=2. (3)原式=5-3-(5+2√5+3)= 5-3-8-2√/15=-6-2√15！ (4)原式=(5-√2+5+√2)× (5-2-3-2)=25X (-22)=-46. (5)原式=(W5-√5)2-(2)2=8 2√15-2=6-2√15. 18原默=（十）小： (x+y)(x-y)_1 xy z+y (x+y(x=2+1· xy x一y z+y)x二2=，y++义 xy x"y 2x2 z2y xy 当x=√2+1，y=2-1时，原式= 2 4W2+10X2-)2-2. 14.(1):x=2-3,y=2+3, ∴.xy=(2-√5)×(2+3)=4-3= 1,y-x=2+5-(2-√5)=2+ √5-2+5=25. :zy2-z2y=zy(y-x)=1X 2√3=2√3」 (2):1<3<4, .1<5<2. .3<2+W5<4. ∴.2十√5的整数部分是3. ∴.b=3. 1<5<2, -2<-3<-1. ∴.0<2-3<1. .2一3的整数部分是0，小数部分 是2-√5-0=2-√5. .a=2-5 .ax+by=(2-√3)×(2-5)+ 3×(2+5)=7-4√3+6+3√5= 13-√3. 15.D解析：由题意，得5-2 3+√2 (W5-√2)X(3-√2) =5-2√6.设 (5+√2)×(5-√2) x=√6-35-√6+35.易知 √6-3√5<√6+33，∴.x<0. x2=(√/6-35-√6+35)2= 6-3√3+6+3W3-2× (6-35)X(6+3w3)=6,∴.x= -6,即√6-35-√6+35= 56 -6.:5-+63 √5+2 √/6+33=5-2√6-√6=5-3√6. 方法归纳 运用整体思想化简二次根式 解决这类二次根式的化简问 题，我们常常需要观察待求二次根 式的整体结构，运用整体思想对其 进行变形、化简，把复杂的问题简 单化.需要注意的是，对于平方后 求得的结果，还要考虑原代数式值 的正负性 16.(1):△ABC的周长为4+ 2√5，AB=4,BC=√5-3， .AC=4+25-4-(5-5)= 5+5. (2)△ABC是直角三角形 理由：AB2=16,BC2+AC=5- 2√15+3+5+2√/15+3=16， .AB2=BC2+AC2 .△ABC是直角三角形， 专题特训十一二次根式 非负性的应用 1,B解析：由题意，得一≥0且a≠ 0,.a>0.-a√a =-√a 2.9一2x解析：由题意，得4一x≥ 0,解得x4..x一5<0..原式= 4-x+5-x=9-2x 3.由题意，得x-4≥0，即x≥4. .x-3>0. .原方程可化简为x一3十 /x-4=x. ∴.√x-4=3,即x-4=9,解得 x=13. 4.2解析：.2a-4+b+21+ W(a-4)b+4=2a,∴.12a-4|+ |b+2|+√(a-4)b=2a-4. ∴.2a-4≥0.∴.2a-4+1b+2|+ √(a-4)b=2a-4.∴.1b+2|+ √(a-4)b=0..b+2=0,(a-4)· b2=0,解得b=-2,a=4.∴.a十b= 4-2=2. 2.x-2≥0， 5.由题意，得{ 解得x=1. 1-x≥0， 把x=1代人y·√2x-2十 √-x=y十2，得y=-2. ∴.√2+5x=√4+5=√5=3. 6.要使4=9士96+有 b-3 意义，则b2-9≥0且9-b2≥0且b 3≠0， .b=-3. a=0+0+6 -3-3 -1. ∴.|a-2b|-√12ab=|-1-2× (-3)1-√12×(-1)×(-3)= |-1+61-√36=5-6=-1. f998-x≥0， m十80， (.x≤998， 7.由题意，得 则 m-1≥0， m=1. 1-m≥0， ∴.y=3,x-1000|=1000-x. ..1000-x+(√998-x)2=2000, 解得x=一1. ∴.y-x=3-(-1)=4. 4的平方根是士2， .y-x的平方根是士2. 8.|6-3m|+(n-5)2=3m- 6-√(m-3)n2, .m-30. ∴.m≥3. .6-3m<0. ∴.6-3m=3m-6. 化简已知等式，得(n一5)2= -√(m-3)n2. .(n-5)2+√(m-3)n2=0. n-5=0, n=5 解得 (m-3)n2=0, m=3. .'.m-n=3-5=-2. m-199+n≥0， 9.由题意，得 199-m-n≥0， ,∴.m+n=199. ∴.原等式可化为√21-p+595+ √/n-p+398=0. 12-p+595=0, (n=-197, 解得 {1一b+398=0, p=201. ∴.p的值为201. 易错警示 未能灵活运用二次根式的 非负性导致错误 解决这类问题时，要灵活运用 二次根式的非负性.根据二次根式 的意义，可知形如√a+√一a的式 子中的a=0,同样根据二次根式的 非负性，可知形如√a十√b=0的等 式中的a=0,b=0,因此可以建立 关于问题中是未知数的字母的方 程组，从而解决问题」 10.(1).la-7|+(c-4√2)2= √-5+√5-b, b-5≥0， 5-b≥0. ∴.b=5. ∴.a-√7|+(c-4√2)2=0. ∴.a-√7=0，c-42=0. .a=√7，c=42. (2)能. :a=√7，b=5,c=4√2， .a+b=√7+5>42=c. ∴.以a,b,c为三边长能构成三角形 .a2十b2=7+25=32,c2= (42)2=32, .a2+b2=c2. ∴.此三角形是直角三角形 :此三角形的面积为子×，厅× 57 5 2 57 专题特训十二整体思想在 二次根式化简求值中的应用 1.A解析：由题意，可知(a √b)2=a-2√b+b=4b, (Wa+6)2=a+2√ab+b= 8v而.+-=2.：>6> (a-√b)2 0>6>0.+6-2. a-√B 2.A解析：a+b=一4，ab=1, a2+b2 +2=a+b)=-0=16. ab ab 1 3.45解析：：E-二 =2, (-)=+士=6 (+2)=+=3 ·√x2+号+14=3A+4=45」 4(g+F)=… 2xy+y2·工=xy+2.xy+xy= V 4xy. .当xy=5时，4xy=20. “(√任+月)=0 +=士26 5B解析：：x+y=51 2 51-5=5,1x51-1, 2 2 .原式=(x+y)2-xy=(W5)2 1=5-1=4. 628解析：x=月-2 5+2y 5十.x=5-26y=5+26 ∴x-y=-46..原式=3(x y)2=3×(-4√6)2=288. 7.x=1-√2，y=1+2, ∴x-y=-2W2,xy=-1. .原式=(x-y)2+xy-2(x一y)= (-2√2)2+(-1)-2×(-2W2)= 7+4√2. 8:u，+16E 2+1 √2-1， ∴.a+b=2√2，a-b=2,ab=2 1=1. (1)ab-a+b=ab-(a-b)=1- 2=-1. (2)a2+b2+ab=(a+b)2-ab= (2√2)2-1=8-1=7. 9..√11-x2+√2+x2=5, ∴.（√11-x2+√2+x2)2=25. ∴.√11-x7·√2+x=6. ∴.(11-x2)·√2+x2+(2+x2)· √/11-x=(W11-x+√2+x7)· √2+x·√11-x=5X6=30. 10.B 解析：当x=2十3，y=2 √3时，x+y=4,xy=(2+√3)×(2 5)=1.义+工=x+y Ty (x十y》-2=16-2=14. Ty 11.B 解析：·x=√2024十 √2025，.x-√2025=√2024. .x2-2√2025x+2024=x2 2√/2025x+(√2025)2-1=(x- √2025)2-1=2024-1=2023. 12.A解析：原式=ab-(a-b) 1=√5-(25-1)-1=-√5. 13.+名-6 ab (a+b)2-2ab ab a= 5+2 √5-2(W5-2)×(W5+2) √5+2，b= 1 5+2 √5-2 =√5-2， (W5+2)×(W5-2) ∴.ab=(√5+2)×(W5-2)=5-4= 1,a+b=√5+2+5-2=25. 原式=2w5-2X1-18 √a 14. ·a-√aba+√6a-6 =a+a6 √ab一b a+1b a-b a-b atb a-b a=2+5,b=2-√5， ∴.a+b=(2+5)+(2-3)=4, a-b=(2+5)-(2-√5)=2√5. ·原式=4=23 253 15.D解析：a=√2-1，b=2+ 1,∴.ab=(W2-1)X(2+1)=2 1=1,a+b=√2-1+√2+1=2√2， a-b=√2-1-(W2+1)=2-1 2-1=-2..a3b-ab3=ab(a2 b2)=ab(a+b)(a-b)=1×2√2× (-2)=-4√2】 2 16.a511+5, ∴.a-1=5. ∴.(a-1)2=3,即a2-2a+1=3. .a2-2a=2,a2=2a+2. '.a2-6=2a-4,a2+a-2=3a. 原式-=2a3-(a2+a-2》 2-3u=2aa2-6 1 2a(2a 4)=a2-2a=2. 58 方法归纳 根据恒等变形解决代数式 化简求值问题 解决代数式化简求值问题时， 常常会出现字母的值等于二次根 式与有理数的和或差，在解答时 常常将其恒等变形，转化为字母与 有理数的和或差，再对其整体平 方，将其转化为含有字母的二次三 项式，最后对所求代数式进行整体 变形求得结果。 17.x=5-2, .x+2=5. ∴.(x+2)2=(5)2,即x+4x+ 4=5. .x2+4x=1. .x2+4x-10=1-10=-9. 第11章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1A [变式]C解析：由题意，得4-x≥ 0,x-4≥0，解得x=4.∴.y=3. 义=3 典例2A解析：由a十la|=0, 得|a|=一a.∴.a为非正数. .√(a-1)z=1-a,√a=-a. .原式=1-a-a=1-2a. [变式]B解析：a<0,.a 3<0.∴.a-3|-√a=3-a (-a)=3-a+a=3. 典例3D [变式]C 典例4（①原式+2后- 后-）-+26-26+ 45-5 5 (2)原式=[(2√5+3√2)+(25 32)]×[(25+3√2)-(25