第10章 分式 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（苏科版·新教材）

第10章分式 第10章整合拔尖 ●“答案与解析”见P50 知识体系构建 分式的概念 分式有意义的条件。分母不等于0 分式无意义的条件 分母等于0 分式的值为0的条件 分子等于0，同时分母不等于0 AA×CA÷C 分式的基本性质 BBXC=B:C(C≠0) 约分公因式 系数。 取最大公因数 字母 取相同字母（或多项式） 次数 取最低次 通分 最简公分母 系数 取最小公倍数 金 字母 取所有不同字母 次数。取最高次 分式的运算 加减 同分母的分式相加减 ± 异分母的分式相加减 乘法 b.d bd c ac b.d b c bc 除法 ac-a'd-ad 混合运算。先乘除，后加减，如果有括号，先进行括号内的运算 分式方程 定义 等式两边是分式或整式，且分母中含有未知数的方程叫作分式方程 分式方程的解。使分式方程左、右两边相等的未知数的值 分式方程的解法。去分母化为整式方程。 解整式方程 如果由化简后的整式方程求得的解不是原分式方程的 分式方程的增根。 解，那么这样的解叫作原分式方程的增根 分式方程的应用审、设、列、解、验、答 一验是不是原方程的解 二验是否符合实际意义 91高频考点突破 考点一 分式有意义的条件 C.x≠3 D.x≥一3且x≠3 典别1若分式产有家义，则上的取值花 [变式](2025· 高邮期末)考分式9。 x+3 的值为 围是 ( 0,则x的值为 () A.x≠士3 B.x≠一3 A.3 B.3或-3 C.-3 D.0 101 拔尖特训·数学（苏科版）八年级下 考点二分式的值 考点五分式方程 典例2 nn的 若7”=11,11"=7，则m, +、n 典例5 已短代数式”，与士的值互为相反 值为 ( 数，则x的值为 () 3 A.-1 B.1 C.2 D.-2 A.1 B.2 C. 2 D.2 2 [变式]已知m十1 变式2025·长沙)分式方程，，)的 =3,则 5m2 m 4m4-m2+4 解为 考点六分式方程的应用 考点三分式的基本性质 典例6某校组织学生进行劳动实践活动，用 典例3若m,n的值均扩大到原来的3倍，则 1000元购买甲种劳动工具，用2400元购买乙 下列分式的值保持不变的是 ( 种劳动工具，已知乙种劳动工具的购买数量是甲 A.m十3 3 2n C.mn+3 D. 种的2倍，但单价贵了4元.设甲种劳动工具的 n+3 m-n 单价为x元，可列分式方程为 [变式]下列变形中，正确的是 ( [变式](2025·潍坊)某企业为提高生产效率， B a -a -b-c-b-c 采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人， C. x_x+2 D. -a2+2a-1a-1 购买A型机器人的总费用为90万元，购买B型 yy+2 a2-1 a+1 机器人的总费用为60万元，B型机器人的单价 考点四分式的运算与求值 比A型机器人的单价低3万元. (1)求A型、B型两种机器人的单价： 典例4已知x+2x-2=0,计算1-)片 (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择 x2一4x十4的结果是 10台配备到某生产线，要求A型、B型两种机器 x3-T 人至少各配备1台，且购买这10台机器人的总 A.-1B.1 费用不超过70万元.求出所有配备方案. C.3 D.-2 [变式](2025·眉山)先化简，再求值： (之十十片此中xy满足u十 2)2+1y-1|=0. 102 第10章分式 综合素能提升 1.若x,y的值均扩大为原来的5倍，则下列分 6 式中，值保持不变的是 8你方强2异之。 AB C. 3x x+y D. x+y 2.已知x2-3x一m=0,则代数式 的 2-x-m 值是 ( A.3 B.2 c 9.(2025·重庆)某厂生产甲、乙两种文创产品. 3若分式0 的值是负整数，则m的值可 每天生产的甲种文创产品的数量比每天生产 能为 ( 的乙种文创产品的数量多50个，3天生产的 A.-1B.-2 C.1D.2 甲种文创产品的数量比4天生产的乙种文创 4.已知实数a,b,c满足a+b+c=10 产品的数量多100个. 6+6+。则 且1+ (1)求该厂每天生产的甲、乙两种文创产品 的数量分别是多少个 a+b十C,的值是 (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程 b+cc+aa+b 进行了改进.改进后，每天生产的甲种文创产 A器 B号 1 C.2 D.17 品增加的数量是乙种文创产品每天增加数量 的2倍.若生产甲、乙两种文创产品各 5已知分式，么，当=一4时，该分式无意 1400个，且生产乙种文创产品比甲种文创产 义：当x=2时，该分式的值为0，则%)。 品多用10天，求每天生产的乙种文创产品增 加的数量 6*的值是 1 A星 R n 6在分式总合号串中是苗分 式有 个 7先化简：÷(2-2小再从12， 3中选择合适的数作为x的值代入求值 10312.(1)方程两边同乘(x+1)(x一 1),得4(x-1)+3(x+1)=k,解得 分式方程有增根， .x2-1=0 .x=士1. 当x=1时，十=1，解得=6：当 7 =-1时，=-1，解得=-8 .k的值为6或-8 (2)·方程的解为负数， .x<0且x≠-1. 0且-1 .k<-1且k≠一8 ∴.k的取值范围是k<一1且k≠ -8. 13.（1)由题意，得52十3=2 方程两边同乘x一2，得5+3(x 2)=-1,解得x=0. 经检验，x=0是原分式方程的解. (2)设原分式方程中“？”代表的数是m. 方程两边同乘x一2，得m十3(x 2)=-1. 方程的增根是x=2, .把x=2代入整式方程，得m+3× (2-2)=-1,解得m=-1. .原分式方程中“？”代表的数是一1. 14.A解析：方程两边同乘x十2，得 3.x十a=x十2，整理，得2x=2-a. :关于：的分式方程号=1无 解，.x十2=0，解得x=一2.将 x=一2代入2x=2-a,得一4=2- a,解得a=6 15.C解析：方程两边同乘x(x 3),得x(x+a)-7(x-3)=x(x 3),整理，得(a-4)x=-21.分式 方程无解，∴.分情况讨论.若a一4= 0,即a=4,则整式方程无解，即原分 式方程无解.若a一4≠0，即a≠4，则 x=0或x=3.当x=0时，(a一4)· 0=-21无解：当x=3时，(a-4)· 3=一21，解得a=一3.综上所述，a 的值是一3或4. 16.方程两边同乘x-2,得m.x=4十 x-2. 整理，得(m一1)x=2. ”关于x的分式方程"2。 x-2x-2 1无解， ∴.当m-1≠0，即m≠1时，原分式 方程的解是增根，即x=2 1=2,解 得m=2;当m-1=0,即m=1时，整 式方程无解，即原分式方程无解 ..m的值为2或1. 第10章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1A [变式]A 典例2A解析：7m=11,11”= 7,∴.(7m)”=11”=7,即7m=7. .m=1. m+十十 7 m(n+1) n(m+1) (m+1)(+1)十(m+1)(m+1) mn十m+m+n_1+m+1+n (m+1)(n+1)m+m++1 2十m十”=1. 2+m十n [变式] 27 解析：m十 1=3, (m+) =9..m2+2+ 71 9.m2+ m=久.mm2+4 5m2 1=4X7一55 127 5=5 5m2 5 ·4m4-m2+427 典例3B解析.3m+3=m+1≠ 3 m+3,故A不符合题意：2×3m 3×3m 50 9m=3m,故B符合题意：31十3 3m+3 6n 2n n+1 ≠”十3，故C不符合题意： m十1≠m+3 3 1 、≠ 3m-nm广'改D不 合题意. [变式]A 典例4A 解析：原式= x一2 x(x-1)(x+1) =x(x+1) (x-2)2 x-2 2+.:x2+2x-2=0,2+ x-2 x十x-2=0.∴.x2十x=2-x..原 x-2 =-1. [变式]原式= y L(x+y)(x-y) x一y > (x+y)(x-y)」 x .凶= 1 (x+y)(x-y)xx+y .(x+2)2+|y-1|=0,(x+2)2≥ 0,|y-1川≥0， ∴.x+2=0,y-1=0. ∴.x=-2,y=1. 1 六原式=-2+-1 典例5A解析：根据题意，得 2十1=0，解得x=-1检验：当 3-x2x x=一1时，2x(3-x)=-8≠0. .x=一1是原分式方程的解.∴.x 的值为-1. [变式]x=号 典例6 2+4>2X1000 2400 x [变式](1)设A型机器人的单价为 x万元，则B型机器人的单价为(x一 3)万元. 根据题意，得2”3好得=9 经检验，x=9是所列方程的解，且符 合题意 '.x-3=9-3=6. '.A型机器人的单价为9万元，B型 机器人的单价为6万元. (2)设配备A型机器人y台，则配备 B型机器人(10-y)台. 根据题意，得9y+6(10-y)≤70，解 得y<号 y≥1,10-y≥1， .1≤y≤9. 1K<号 又y为正整数， .y可以为1,2,3. .共有3种配备方案。 方案1：配备A型机器人1台，B型机 器人9台；方案2：配备A型机器人 2台，B型机器人8台：方案3：配备 A型机器人3台，B型机器人7台. [综合素能提升] 1.D 2.D解析：x2-3.x-m=0, x2-m=3x.2-x-m 3.x-x2x2 3.B解析：分式” m+1 (m十1D(m-D=m-1的值是负整 m+1 数，∴.m<1且m为整数.m十1≠ 0,.m≠一1..选项B中的数符合 题意，选项A,C,D中的数均不符合 题意 4.A解析：a十b十c=10,∴.a 10-(b+c),b=10-(a+c),c=10 (a+b).又 1 1 1 ab+b中c+c十a 14 10-(b+c)+10-(c+a2+ b+c c+a 10-(a+b)10 b+c110 a+b b+c b+cc+a c十a+10_a+b=10+10 X c+aa+b a+bb+cc+a 3=10×17 b_4a2.1a.4 4=62a-66·6 4a24a_4a2-4a(a-b) b2(a-b)b2 62(a-b) 4a2-4a2+4ab 4ab b2(a-b) b2(a-b) 6a-b”当x=-4时，分式 x一b无意义，当x=2时，此分式的 2.x+a 值为0，.一8+a=0,2一b=0,解得 4×8 a=8,b=2.·原式=2X(8-2) 3 6.3 7.原式=2x3》÷(5 x-2 x-2 x2-4)=2(x3÷9- x-2/ x-2x-2 2(x-3) x-2 x-2 ·-(x+3)(x-3) 2 x+3 :x-2≠0且9-x2≠0， x≠2且x≠士3. .取x=1. 六当x=1时，原武=子= 2 8.方程两边同乘(x十1)(x一1)，得 2(x一1)一3(x+1)=6,解得x= -11. 检验：当x=-11时，(x+1)(x-1)= 120≠0. .x=一11是原方程的解 9.(1)设该厂每天生产的甲种文创 产品的数量是x个，则每天生产的乙 种文创产品的数量是(x一50)个. 根据题意，得3.x-4(x一50)=100，解 得x=100. 51 '.x-50=100-50=50. .该厂每天生产的甲种文创产品的 数量是100个，每天生产的乙种文创 产品的数量是50个. (2)设每天生产的乙种文创产品增加 的数量是y个，则每天生产的甲种文 创产品增加的数量是2y个. 根期短意，两架动 =10, 解得y=20. 经检验，y=20是所列方程的解，且符 合题意 ∴.每天生产的乙种文创产品增加的 数量是20个. 第11章 二次根式 11.1二次根式的概念 第1课时二次根式 1.B2.B3.①④⑤⑥⑦ 4.(1)x≥1(2)x>-1 5.(1)x=-1(2)2025 6原式2-红2= x-2 x-2 当x=√2时，原式=（√2）2=2. 7.A8.C 9.B解析：当x=3时，√2x一a 无意义，∴.2×3一a<0,解得a>6. 当x=5时，√2x一a是二次根式， .2X5一a≥0，解得a10..6< a≤10.∴.a的值可能是8. 10.C解析：根据题意，得 fa2-1≥0， 1-a≥0，解得a=±1.∴.b=4. a+7≠0， ∴.a+b=3或5. 11.(1)x>-2且x≠0(2)x<2 .1 (3)x≥1且x≠2025(4)3.5≤ x<5 12.士√7解析：由题意，得b-c≥0 且c-b≥0，.b=c.∴.等式可变为