第10章 分式 拔尖测评-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（苏科版·新教材）

拔尖特训·数学（苏科版）八年级下 第10章拔尖测评 ◎满分：100分 ○时间：90分钟 姓名： 得分： 一、选择题（每小题3分，共24分） 1对于分式二，下列说法中，错误的是 A.当x<3时，分式的值为正数 B.当x=3时，分式无意义 C.当x=0时，分式的值为0 D.当x=时，分式的值为1 2若分式的值为0，则：的值为 A.-2或4 B.0 C.-2 D.4 3.计算2m-1一1 'm(m-1)m一的结果是 A.1 B.-1 C.I m 4.运动会上，八年级(3)班的啦啦队买了甲、乙两种雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费 30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根，乙种雪糕的价格是甲种雪糕价格的1.5倍.若设甲种雪糕的单价为 x元，根据题意可列方程为 () 40_30=20 A.1.5x a 取00-20 C3040 x1.5x=20 n000 5.有一段坡路，小明骑自行车上坡时的平均速度为v1km/h,下坡时的平均速度为v2km/h,则小明在这段 坡路上、下坡的平均速度是 () A.12 km/h 2 B.0102 km/h C 01十02 2v1v2 km/h D.(v+v2)km/h 1十)2 8若分式方程，千21千2的解为负数.侧。的承值范固是 A.a<-1且a≠-2 B.a<0且a≠-2 C.a<-2且a≠-3 D.a<-1且a≠-3 7.八年级(1)班在今年的植树节领到了平均每人植树6棵的任务，如果只由女同学完成，那么每人应植树 15棵.如果只由男同学完成，那么每人应植树的棵数为 () A.9 B.10 C.12 D.14 &已知a>1.P片Q,R=÷则PQR的大小关系是 A.R>P>Q B.P>Q>R C.R>Q>P D.P>R>Q 二、填空题（每小题3分，共24分） 9已知分式的值为5若x和)都变为原来的3倍，则分式的值变为 10.已知x2-i+1=0,则e-）°= 1若x2-3x+1=0,则2x2-5-2+的值为 12对于非零实数a,6规定a0=}名，等式右侧为通常的混合运算若2x-192=1,则x的值为 13.甲计划用若干个工作日完成某项工作，从第三个工作日起，乙加入此项工作，且甲、乙两人的工作效率 相同，结果提前4天完成任务，则甲计划完成此项工作的天数是 14.已知关于x的方程5十3+严=2无解，则m的值为 x-44-x 15如果m为整数，那么使分式十的值为整数的m的值为 16.对于代数式m,定义运算“⑧”n⑧m=m+”6,例如：4⑧2=42,5=0，.若（工-1)②（红十2）= mn 4×2 A+月2则A+2B= 三、解答题（共52分） 14分尼知分式 (1)当m为何值时，该分式无意义？ (2)当m为何整数值时，该分式的值为正整数？ 18.(16分)计算： (1)m十n (2)21 m-n'n-m x2-1·x+1 3 ” ④(a+2+)÷(a-): 19.(8分)解方程： 0号+=1 2有年+1 20.(6分)先化简：。：(a-2么。）-1，当a为整数时，该代数式的值也为整效.请求出所有a的值 218分已知分试A=a1-。3):二 a-1 (1)化简这个分式. (2)把(1)中的化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式B.当α>2时，分式B的值较原来分式 A的值变大了还是变小了？请作出判断并说明理由， (3)若A的值是整数，且a也为整数，求出所有符合条件的a的值. 22.(10分)根据以下素材，探索完成任务！ 如何设计奖品购买及兑换方案？ 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的 素材1 本数比用160元购买钢笔的支数多8. 某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购 素材2 买数量均不少于20件，且购买笔记本的本数是10的倍数. 学校花费400元后，文具店赠送m张(1< 素材3 m<5)兑换券（如右）用于商品兑换.兑换后， 兑换券 凭此券可兑换钢笔 10支或笔记本20本 笔记本与钢笔数量相同. 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价」 任务2 探究购买方案 探究购买钢笔和笔记本的所有方案. 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定一种符合条件的兑换方式 1416.①③④解析：①m+n= -1,.∴.n=-m-1.'.x2+m.+ n=x2+m.x-m-1=x2-1+m.x m=(x+1)(x-1)+m(x-1)= (x-1)(x+1+m).∴.二次三项式 x2+m.x+n一定含有因式x一1. .结论①正确.②.n=9,x2十 mx十n=(x+p)2,∴.x2+m.x十n= x2+6.x+9=(x+3)2或x2+mx+ n=x2-6x+9=(x-3)2..'.m=6 或m=一6.∴.结论②不正确. ③x2+m.x+n=（x-2)(x+ q)=x2+(g-2)x-2g,∴.m=q 2,n=-2g.∴.2m+n=2(q-2) 2q=2g-4-2g=-4.∴.结论③正 确国2十m十n=x2+mr十牙 ”-四=(x+受）+-四 41 :(+受)≥0当n>0, 即m2一4<0时，无论x取何实数， x2十m.x十n总是正数.∴.结论④正 确.综上所述，正确的是①③④， 三、17.(1)原式=-6xy(2x-1+ 3y). (2)原式=a3(a-b)-6a2(a-b)+ 9a(a-b)=a(a-b)(a2-6a+9)= a(a-b)(a-3)2. (3)原式=-2x(x2-4x+4)=-2x· (x-2)2 (4)原式=x2(3.x-2)-(3x-2) (3.x-2)(.x2-1)=(3x-2)(x+1)· (x-1). 18.(1)根据题意，设另一个因式为 x十b,则x2+6.x+a=(x+5)(x+ b). .x2+6.x+a=x2+(5+b)x+5b. 5+b=6,. a=5, 解得 5b=a, b=1. .另一个因式为x十1，a的值为5. (2)根据题意，设另一个因式为3x十 q,则6.x2-x-p=(3.x十g)(2x+3). ∴.6x2-x-p=6x2+(9+2g)· x+3g. 9+2g=-1, p=15, 解得 3g=一p, q=-5. .另一个因式为3x-5,p的值 为15. 19.(1)a2+b2+c2+2ab+2ac+ 2bc=(a+b+c)2. (2)示意图不唯一，如图所示：(2a十 b)(a+b) (3)(a1+a2)2=a号+2a1a2+a,共 有1+2=3（项）；(a1+a2+a3)2= a+a+a号+2a1a2+2a2a3+ 2a1a3,共有1十2十3=6（项）… ∴.将代数式(a1十a2十a3十…十an)2 展开、合并同类项后共有1十2十 3+…+20=1+20)X20 =210(项). 6 ab a b ab ab (第19题) 20.(1)7,24是“智慧数” 根据平方差公式可知，7=4一3： 24=72-52. (2)①②. (3)①假设存在正整数x,y,使得 x2一y2=4k+2(k为整数). x2-y2=(x+y)(x-y),x+y 与x一y同奇偶，其乘积必为奇数或4 的倍数，而4k+2不符合， ∴.被4除余2的正整数都不是“智 慧数”. ②设能被4整除的正整数为4k(k为 正整数且k≠1). x2-y2=(x+y)(x-y), x+y=2k, .不妨令 两式相加，得 x-y=2, (x+y)+(x-y)=2k+2. 75 ∴.2x=2k+2,解得x=k+1. ∴.y=k-1. 又，k为正整数且k≠1， .x,y为正整数. ∴.除4以外所有能被4整除的正整 数都是“智慧数”」 21.(1)(a2-M). (2).a+b=10,a-b=5, ∴.A比B多出的使用面积为(a2 M)-(b2-M)=a2-b2=(a+ b)(a一b)=10×5=50(平方米). 22.(1)±8. (2)x2+2y2-4x+12y+30=(x2- 4x+4)+2(y2+6y+9)+8=(x 2)2+2(y+3)2+8. (x-2)2≥0,2(y+3)2≥0， .(x-2)2+2(y+3)2+8≥8. .多项式x2+2y2-4x+12y十30 的最小值是8. (3)m2+n2-8m-4n+18=-2, .m2-8m+16+n2-42+4=0. ∴.(m-4)2+(n-2)2=0. .(m-4)2≥0，(1-2)2≥0， ∴.m-4=0,n-2=0,解得m=4, n=2. △ABC为等腰三角形， ∴.c=4或c=2. 由三角形的三边关系，得4一2<c< 4+2,即2<c<6, .c=4. .△ABC的周长为2+4十4=10. 第10章拔尖测评 -、1.A2.D3.C4.B 5.C解析：设这段坡路的路程为 skm.根据题意，得、一 三+三 U1 V2 2s0102 2sU102 201v2 sv2十s01s(1+v2)01+v2 .小明在这段坡路上、下坡的平均速 度是 2v1v2 km/h. U1+v2 6.D 7.B解析：设只由男同学完成，每人 应植树x棵。根据题意，得上+是 x15 日，解得x=10经检验=10是所 列方程的解，且符合题意.∴只由男 同学完成，每人应植树10棵. 8.D解析：由题意，得P>1,Q<1, R<1,:Q-R=a-1-a a= a2-1-a2-1 a(a+D)a(aFD0,Q<R. .P>R>Q. 5 =、9.310.211.-1 2 13.10解析：设甲计划完成此项工 作的天数是，依题意，得工二4十 x一4-2=1，解得x=10.经检验， x=10是原分式方程的解，且符合题 意.甲计划完成此项工作的天数 是10. 14.3或7 解析：方程两边同乘x 4,得5x-3-mx=2x-8.移项、合并 同类项，得(3-m)x=一5.方程无 解，'.分情况讨论.若3一m=0,即 m=3,则整式方程无解，即原分式方 程无解，符合题意.若3一m≠0，即 m≠3，则方程有增根，即x=4. 43-m)=-5m呈综上所 述m的值为3或早 15.-3或-2或0或1 解折：货骨-1 m十7原分式的 值为整数，∴.m+1=-2,一1,1,2. 由m+1=-2,得m=一3：由m+ 1=-1,得m=-2:由m+1=1,得 m=0:由m+1=2,得m=1.∴.m的 值为一3或-2或0或1. 16.5解析：(x-1)☒(x+2)= x-1+x+2-6 2.x-5 (.x-1)(x+2) = (x-1)(x+2)1 + A A(x+2) =(x-1)(x+2) B(z-1)(A+B)z+2A-B (x-1)(x+2) (x-1)(x+2) 2.x-5 ·(x-1)(x+2) (A+B)2ABA+B-2. (x-1)(.x+2) 2A-B=-5,解得A=-1,B=3. ∴.A+2B=-1+2×3=5. 3无意义， 三、17.(1)：分式1 .'.1十m=0,解得m=-1. 当m=-1时，分式无意义。 (2):分式m的值为正整数，且m 也为整数， ∴.1+m=1或1+m=3,解得m=0 或m=2. 3一的 “当m=0或m=2时，分式1中m 值为正整数. 18.(1)原式=m m-n m-n m一0=1. m-n 2 (2)原式=+1)x-D·(x+ 1) x-1 3m-1 (3)原式= m-1(m+1)(m-1D m(m十1)-(3m-1) (m+1)(m-1) m2-2m+1 (0m-1)2 (m+1)(m-1) (m+1)(m-1) m-1 m+1 4)原式=a+2a+1÷。-1 a (a+1)2 -a+1 (a+1)(a-1)a-1' 76 19.(1)x=3. 20.原式=a+D(a-1D: a2-2a+1-1=a+1)a-卫. a18-1 a+1-a+12 a-1 a-1 :当a为整数时，该代数式的值也为 整数， ∴.a一1=一2或-1或1或2. .a=-1或0或2或3. 又当a=0或1时，原分式无意义， ∴.a的值为-1或2或3. 21.1)A=Q2-4.a-1 a-1 (a-2)2= (a+2)(a-2),a-1_a+2 a-1 (a-2-a-2 (2)变小了. 理由：A号其分子与分孕同 时加上3后得到分式B, :B=a+5 a+1 A-B=a+2a+5 a-2a+1 (a+2)(a+1)-(a+5)(a-2)_ (a-2)(a+1) a2+3a+2-(a2+3a-10) (a-2)(a+1) 12 (a-2)(a+1) a>2, 12 a-2a+d>0. ∴.A-B>0 .A>B. .分式B的值较原来分式A的值变 小了. (3).A= 号-1+ a-2 a-2是整数，a 也是整数， .a-2=士1，士2，士4. .a=3,1,4,0,6,-2 ,当a=1时，原分式无意义，不符合 题意， .所有符合条件的a的值为0,3,4， 6,-2. 22.任务1：设笔记本的单价为x元， 则钢笔的单价为2x元 根据题意，得120=，60+8，解得 x 2.x x=5. 经检验，x=5是原分式方程的解，且 符合题意. .2x=10 ∴.笔记本的单价为5元，钢笔的单价 为10元. 任务2：设购买钢笔a支，笔记本 b本 根据题意，得10a+5b=400,化简，得 1 a=40-2b. .·a≥20，b≥20，且b是10的倍数， a=30,a=25,{a=20, 或 或 {b=20{b=30 b=40. ∴.可购买钢笔30支、笔记本20本或 购买钢笔25支、笔记本30本或购买 钢笔20支、笔记本40本】 任务3：答案不唯一，如当购买钢笔 30支、笔记本20本时，设用y张兑换 券兑换钢笔，则用(m一y)张兑换券兑 换笔记本， 根据题意，得30+10y=20+20(m v),整理，得y=2m-1 31 ,1<m<5,且m,y均为正整数， ∴.m=2,y=1,即文具店赠送2张兑 换券，其中1张兑换钢笔，1张兑换笔 记本 第11章拔尖测评 -、1.C2.B3.A4.C 5.B解析：原式=2+√10 3<√10<4，∴.5<2+√10<6. 6.A解析：a<0,∴.√一2a· √-8a=√16a=-4a. 7.D解析：当x=a时，x2十 2x+√n-2的值为-1，∴.a+2a+ √n-2=-1..(a+1)2+ √n-2=0..a=-1,n=2.∴.当 x=-a时，x2+2x+√m-2= (-a)2-2a+√n-2=1+2+0=3. 8.A解析：0<m<1,∴.√m< m+2+1 =9...m-2+ =5, ()》 =5.√m 元<0∴m- =-√5 m m 二、9.32 10.一1或-7解析：由题意，得 x2-9≥0， .x2=9..x=3或 9-x2≥0， -3,y=4.当x=3,y=4时，x一y= 3-4=-1;当x=-3,y=4时，x- y=一3-4=-7.综上所述，x-y的 值为-1或-7. 11.2解析：(x+1)2-6(x+1)+ 9=[(x+1)-3]2=(x-2)2.x 2=√2，∴.原式=(2)2=2. 12.-10+4√10 13.10解析：x2-2W2x-1=0, x≠0，g-2E-=0.52 =2E.(x-)=8,即x2- 2+-8+=8+2=10 1 77 14.25[解析]：（√x-2024 √x-2049)·(√x-2024+ √x-2049)=(√x-2024)2 (√x-2049)2=x-2024-x+ 2049=25,√/x-2024 √x-2049=1,∴.√x-2024+ √Jx-2049=25. 150解析将十2=之去分 母，得-m十2(x-1)=3,解得x= ”:关于：的分式方程”，十 2-名有正整数解盟50 2 m>-5.又：x≠1，.m5≠1， 2 即m≠一3.：√2-m有意义， ∴.2-m≥0.∴.m≤2..-5<m≤2 且m≠-3.：m是整数，m十5是正 2 整数，.m可以是一1或1，其和 是-1+1=0. 16.2√7或23解析：a十6√3= (m+n√3)2，.a+6√3=m2+ 2m√3+3n2(a,m,n均为正整数). ∴.a=m2+3n2,2mm=6..m2=3. ①当m=1,n=3时，a=28:②当 m=3,n=1时，a=12.∴.√a的值为 2√7或25. 三、17.由题图可知，-1<a<0,0< b<1, ∴.a-b<0. '.原式=a一b+a-b= -a-b+b-a=-2a, 18.根据题意，得3a一9≥0,3 a≥0， ∴.a=3. ∴.b-6=0. .b=6. 若腰长为3，底边长为6，则三边长为