第9章 因式分解 拔尖测评-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（苏科版·新教材）

拔尖特训·数学（苏科版）八年级下 第9章拔尖测评 ○满分：100分 ○时间：90分钟 姓名： 得分： 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.下列从左到右的变形中，属于因式分解的是 A.a(a+b)=a2+ab B.a2+2a+1=a(a+2)+1 C.(a+b)(a-b)=a2-b2 D.2a2-6ab=2a(a-3b) 2.分解因式a2b-b3的结果是 A.b(a2-b2) B.b(a-b)2 C.(ab+b)(a-b) D.b(a+b)(a-b) 3.下列分解因式中，正确的是 A.4x2-9=(4x+3)(4x-3) B.2.x(a-b)+y(b-a)=(2.x+y)(a-b) C.-x2+4xy-4y2=-(x+2y)2 D.a2+2a(b+c)+(b+c)2=(a+b+c)2 4.一个多项式因式分解后的一个因式为x一2，则这个多项式可能是 A.x2-4 B.x2-2 C.x2+2.x D.x2+4x+4 5.化简（一2）2025+（一2）2026的结果为 A.-2 B.0 C.-22025 D.22025 6.已知△ABC的三边长a,b,c满足aa十c|一bc一ab=0,则△ABC的形状为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C等腰三角形 D.等腰直角三角形 7.若k为任意整数，则(k十3)2一(k一2)2的值总能 A.被2整除 B.被3整除 C.被5整除 D.被7整除 8.已知x十2y=5,2y-x=3,则代数式x2-4y2十2x一4y的值为 A.9 B.-12 C.-21 D.2 二、填空题（每小题3分，共24分） 9.分解因式：8x2-2x= 10.多项式x2y十2xy与x2y-4y的公因式为 11.分解因式：16am2-8am十a= 12.已知ab=-3,a十b=2,则a3b十ab3的值为 13.若多项式m.x2-5.x十3有一个因式为x-1,则m= 14.已知代数式x2+x+5的值是6，则代数式x3+2x2+7的值是 15.已知(x-y)2-2x十2y+1=0,则x-y= 16.关于x的二次三项式x2十m.x十n(m,n是常数)，有下列结论：①若m十n=一1，则二次三项式x2十 m.x十n一定含有因式x-1;②若n=9,且x2十mx十n=(x十p)2,则m=6;③若x2十mx十n=(x 2)(x十g),则2m十n=一4；④若m2一4n<0,则无论x取何实数，x2十m.x十n总是正数.其中，正确的 是 (填序号). 11 三、解答题（共52分） 17.(12分)因式分解： (1)-12x2y+6.xy-18.xy2. (2)a3(a-b)+6a2(b-a)+9a(a-b). (3)-2x3十8x2-8.x. (4)x2(3x-2)+(2-3x). 18.(8分)先仔细阅读材料，再解答问题： 例题：已知二次三项式x2十x一21有一个因式为x一7，求另一个因式以及m的值. 解：设另一个因式为x十n,则x2十m.x一21=(x-7)(x十n). ∴.x2+m.x-21=x2+(n-7)x-7n. 7=m,解得m=4 -7n=-21, {n=3. ∴.另一个因式为x十3，m的值为一4. (1)已知二次三项式x2十6.x十a有一个因式为x+5,求另一个因式以及a的值. (2)已知二次三项式6.x2一x一p有一个因式为2x十3，求另一个因式以及p的值. 19.(8分)某同学在计算如图①所示的正方形ABCD的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作： 角度一：把它看成是由2个小矩形和2个小正方形组成的，则它的面积为a2十2ab十b2. 角度二：把它看成是1个大正方形，则它的面积为（α十b)2. 因此可得到等式a2十2ab十b2=(a十b)2 (1)类比该同学的方法，由图②中的大正方形可得等式： (2)试画出面积为2a2+3ab十b2的矩形的示意图（标注好a,b),由图形可知，多项式2a2+3ab十b可 分解因式为 (3)若将代数式(a1十a2十a3十…十a2o)2展开后合并同类项，得到多项式N,则多项式N一共有多 少项？ b ab a ① @ (第19题) 20.(8分)定义：如果一个正整数能表示成两个正整数x,y的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”.例如： 16=2×8=(5-3)×(5+3)=52-32,.16就是一个“智慧数”.我们可以利用x2-y2=(x十y)(x-y)进 行研究 (1)请判断7,24是否为“智慧数”.若是“智慧数”，请写成两个正整数的平方差的形式；若不是“智慧 数”，请说明理由 (2)现给出下列结论：①被4除余2的正整数都不是“智慧数”；②除4以外所有能被4整除的正整数 都是“智慧数”；③所有正奇数都是“智慧数”.其中，正确的是（填序号）. (3)请你对(2)中正确的结论进行证明. 12 21.(8分)如图，某校的劳动实践基地有两块边长分别为α米、b米的正方形秧田A,B,其中不能使用（涂色 部分)的面积为M平方米. (1)用含a,M的代数式表示A中能使用的面积： 平方米 (2)若a十b=10,a-b=5,求A比B多出的使用面积 b米 B a米 (第21题) 22.(8分)阅读材料： 运用完全平方公式法分解因式是把形如a2士2ab十b2的多项式分解为(a士b)2的形式.某些多项 式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关的运算或解题 例如：求二次三项式a2一4a十7的最小值. 解：原式=a2-4a十4+3=(a-2)2十3. .(a-2)2≥0， ∴.(a-2)2+3≥3. .a2-4a十7的最小值为3. 请根据上述材料，解决下列问题： (1)若代数式x2一bx十16是完全平方式，则常数b的值为 (2)求多项式x2十2y2-4x十12y十30的最小值 (3)已知等腰三角形ABC的三边长m,n,c都是正整数，且满足m2十n2一8m-4n+18=一2，求 △ABC的周长，28.(1)在正方形ABCD中， ∠BAD=∠D=∠ABE=90°」 如图①，将△ADF绕点A按顺时针 方向旋转，使AD与AB重合，得到 △ABF',则易得∠DAF=∠BAF', ∠D=∠ABF'=90,AF=AF', DE=BE'. .∠ABE+∠ABF'=180. 点F,B,E共线 ∠EAF=45, '.∠BAE+∠DAF=∠BAE+ ∠BAF'=∠EAF'=45°=∠EAF. 在△AEF和△AEF'中， (AF=AF', ∠EAF=∠EAF', AE=AE, ∴.△AEF≌△AEF'. .EF=EF', 又EF'=BE+BF', ∴.EF=BE+DF. (2)结论EF=BE+DF仍然成立. 如图②，将△ADF绕点A按顺时针 方向旋转，使AD与AB重合，得到 △ABF',则△ADF2△ABF ∴.∠BAF'=∠DAF,AF'=AF, BF'=DF,∠ABF=∠D. 又：'∠EAF= 2∠BAD, ∴.∠EAF=∠DAF+∠BAE= ∠BAE+∠BAF'=∠EAF'. 又.∠ABC+∠D=180°， .∠ABF'+∠ABE=180. F',B,E三点共线 在△AEF和△AEF'中， (AF-AF', ∠EAF=∠EAF', AE-AE, .△AEF≌△AEF' .EF=EF', 又：EF=BE+BF', .'EF=BE+DF. (3)结论发生变化 EF,BE,DF之间的关系是EF= BE-DF. ② (第28题) 第9章拔尖测评 -、1.D2.D 3.D解析：4z2-9=(2x十3)(2x 3),故选项A不符合题意：2x(a b)+y(b-a)=2x(a-b)-y(a- b)=(2x一y)(a一b),故选项B不符 合题意：-x2十4xy-4y2=-(x2 4xy十4y2)=-（x-2y)2,故选项C 不符合题意；a2+2a(b+c)+(b十 c)2=(a十b十c)2,故选项D符合 题意 4.A解析：x2-4=(x十2)(x-2), 故选项A符合题意；x2一2无法分解 因式，故选项B不符合题意；x2十 2x=x(x十2)，不含有因式x-2,故 选项C不符合题意：x2十4x十4= (x十2)2，不含有因式x一2，故选项D 不符合题意 5.D解析：原式=一225十226= 2225X(-1+2)=22025。 6.C解析：.a,b,c是△ABC的三 边长，∴.a+c>0.aa+c|-bc ab=0,,'.a(a+c）-bc-ab=0. .a2 +ac-bc-ab =0.(a2- ab)+(ac-bc)=0..a(a-b)+ c(a-b)=0.'.(a+c)(a-b)=0. 74 ∴.a-b=0.∴.a=b..△ABC是等 腰三角形 7.C解析：原式=(k十3十一2)· (k十3k+2)=5(2k+1).k为任 意整数，∴.2k十1为整数.∴.5(2k十 1)的值总能被5整除，即(k十3)2 (k-2)2的值总能被5整除. 8.C解析：x2-4y2+2x-4y= (x+2y)(x-2y)+2(x-2y)=(x 2y)(.x+2y+2).x+2y=5,2y x=3,.原式=(-3)×(5+2)= -21. 二、9.2x(4x-1) 10.y(x+2)解析：.x2y+2xy= xy(x+2),x2y-4y=y(x2-4)= y(x+2)(x-2),∴.多项式x2y+ 2xy与x2y-4y的公因式为y(x+2). 11.a(4m-1)2解析：16am2 8am+a=a(16m2-8m+1)= a(4m-1)2. 12.一30解析：a3b+ab3=ab(a2+ b2)=ab [(a+b)2-2ab].ab= -3,a十b=2,∴.原式=-3×(4+ 6)=-30. 13.2解析：设另一个因式为(x+ n),则(mx十n)(x-1)=m.x2+(n- m)x-n=m.x2-5.x+3, {n-m=-5,. m=2, 解得 -=3, n=-3. ∴.m=2. 14.8解析：：x2+x+5=6, .x2+x=1.x3+2x2+7= x(x2+x)+x2+7=x+x2+7=1十 7=8. 15.1解析：（x-y)2一2x+ 2y+1=(x-y)2-2(x-y)+1= (x-y-1)2=0,.x-y-1=0. .x-y=1. 16.①③④解析：①m+n= -1,.∴.n=-m-1.'.x2+m.+ n=x2+m.x-m-1=x2-1+m.x m=(x+1)(x-1)+m(x-1)= (x-1)(x+1+m).∴.二次三项式 x2+m.x+n一定含有因式x一1. .结论①正确.②.n=9,x2十 mx十n=(x+p)2,∴.x2+m.x十n= x2+6.x+9=(x+3)2或x2+mx+ n=x2-6x+9=(x-3)2..'.m=6 或m=一6.∴.结论②不正确. ③x2+m.x+n=（x-2)(x+ q)=x2+(g-2)x-2g,∴.m=q 2,n=-2g.∴.2m+n=2(q-2) 2q=2g-4-2g=-4.∴.结论③正 确国2十m十n=x2+mr十牙 ”-四=(x+受）+-四 41 :(+受)≥0当n>0, 即m2一4<0时，无论x取何实数， x2十m.x十n总是正数.∴.结论④正 确.综上所述，正确的是①③④， 三、17.(1)原式=-6xy(2x-1+ 3y). (2)原式=a3(a-b)-6a2(a-b)+ 9a(a-b)=a(a-b)(a2-6a+9)= a(a-b)(a-3)2. (3)原式=-2x(x2-4x+4)=-2x· (x-2)2 (4)原式=x2(3.x-2)-(3x-2) (3.x-2)(.x2-1)=(3x-2)(x+1)· (x-1). 18.(1)根据题意，设另一个因式为 x十b,则x2+6.x+a=(x+5)(x+ b). .x2+6.x+a=x2+(5+b)x+5b. 5+b=6,. a=5, 解得 5b=a, b=1. .另一个因式为x十1，a的值为5. (2)根据题意，设另一个因式为3x十 q,则6.x2-x-p=(3.x十g)(2x+3). ∴.6x2-x-p=6x2+(9+2g)· x+3g. 9+2g=-1, p=15, 解得 3g=一p, q=-5. .另一个因式为3x-5,p的值 为15. 19.(1)a2+b2+c2+2ab+2ac+ 2bc=(a+b+c)2. (2)示意图不唯一，如图所示：(2a十 b)(a+b) (3)(a1+a2)2=a号+2a1a2+a,共 有1+2=3（项）；(a1+a2+a3)2= a+a+a号+2a1a2+2a2a3+ 2a1a3,共有1十2十3=6（项）… ∴.将代数式(a1十a2十a3十…十an)2 展开、合并同类项后共有1十2十 3+…+20=1+20)X20 =210(项). 6 ab a b ab ab (第19题) 20.(1)7,24是“智慧数” 根据平方差公式可知，7=4一3： 24=72-52. (2)①②. (3)①假设存在正整数x,y,使得 x2一y2=4k+2(k为整数). x2-y2=(x+y)(x-y),x+y 与x一y同奇偶，其乘积必为奇数或4 的倍数，而4k+2不符合， ∴.被4除余2的正整数都不是“智 慧数”. ②设能被4整除的正整数为4k(k为 正整数且k≠1). x2-y2=(x+y)(x-y), x+y=2k, .不妨令 两式相加，得 x-y=2, (x+y)+(x-y)=2k+2. 75 ∴.2x=2k+2,解得x=k+1. ∴.y=k-1. 又，k为正整数且k≠1， .x,y为正整数. ∴.除4以外所有能被4整除的正整 数都是“智慧数”」 21.(1)(a2-M). (2).a+b=10,a-b=5, ∴.A比B多出的使用面积为(a2 M)-(b2-M)=a2-b2=(a+ b)(a一b)=10×5=50(平方米). 22.(1)±8. (2)x2+2y2-4x+12y+30=(x2- 4x+4)+2(y2+6y+9)+8=(x 2)2+2(y+3)2+8. (x-2)2≥0,2(y+3)2≥0， .(x-2)2+2(y+3)2+8≥8. .多项式x2+2y2-4x+12y十30 的最小值是8. (3)m2+n2-8m-4n+18=-2, .m2-8m+16+n2-42+4=0. ∴.(m-4)2+(n-2)2=0. .(m-4)2≥0，(1-2)2≥0， ∴.m-4=0,n-2=0,解得m=4, n=2. △ABC为等腰三角形， ∴.c=4或c=2. 由三角形的三边关系，得4一2<c< 4+2,即2<c<6, .c=4. .△ABC的周长为2+4十4=10. 第10章拔尖测评 -、1.A2.D3.C4.B 5.C解析：设这段坡路的路程为 skm.根据题意，得、一 三+三 U1 V2 2s0102 2sU102 201v2 sv2十s01s(1+v2)01+v2 .小明在这段坡路上、下坡的平均速 度是 2v1v2 km/h. U1+v2 6.D