第8章 专题特训六 构造三角形中位线探究中点问题-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（苏科版·新教材）

拔尖特训·数学（苏科版）八年级下 专题特训六构造三角形中位线探究中点问题，“答案与解析”见P28 类型一 构造三角形中位线探究与中点有关的 5.如图，在△ABC中，E,F分别为AC,BC的 角的关系 中点，D为BC上的一点，连接AD交EF于 1.如图，在四边形ABCD中，E,F分别是边 点G,AE=EG. AB,AD的中点，BC=10,CD=6,EF=4.若 (1)求证：∠CAD=∠BAD ∠AFE=52°，则∠ADC的度数为() (2)若DG=DF,∠B=32°，求∠C的度数. (第5题) (第1题) A.140°B.142° C.150°D.152 2.如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中 点，∠C=105°，将△ABC沿DE折叠，点A的 对应点是A',则∠AEA'的度数为 () (第2题) A.145°B.150°C.155°D.160° 3.如图，在四边形ABCD中，AB=CD,∠B+ 6.*如图①，在四边形ABCD中，AB=CD,E, ∠BCD=120°，E,F,G分别是AD,BC,AC F分别是BC,AD的中点，连接EF并延长， 的中点，则∠FEG的度数为 分别与BA,CD的延长线交于点M,N,则 D ∠BME=∠CNE(不需要证明). 温馨提示：在图①中，连接BD,取BD的中 点H,连接HE,HF,根据三角形中位线定 (第3题) 理，证明HE=HF,从而有∠2=∠1，再利用 4.如图，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，取 平行线的性质，可证得∠BME=∠CNE AC的中点O,BC的中点E,连接OD,OE, (1)如图②，在四边形ADBC中，AB与CD ∠CAD=∠CAB=20°，则∠DOE的度数为 相交于点O,AB=CD,E,F分别是BC,AD 的中点，连接EF,分别交CD,AB于点M, N,直接写出△OMN的形状（不需要证明）. (2)如图③，在△ABC中，AC>AB,点D在 AC上，AB=CD,E,F分别是BC,AD的中 B (第4题) 点，连接EF并延长，与BA的延长线交于 58 第8章四边形 点G,连接DG.若∠EFC=60°，判断△AGD9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6, 的形状，并给出证明. BC=8,N是边BC上一点，M为边AB上的 动点，D,E分别为CN,MN的中点，则DE 长的最小值是 I N ② (第6题) (第9题) 类型三构造三角形中位线探究与中点有关的 图形的周长或面积问题 10.如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC的 中点，G是EC的中点，连接DG并延长，交 BC的延长线于点F.若△GCF的面积为a, 则△ABC的面积为 () A.5a B.6a C.Ta D.8a (第10题) (第11题)》 11.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥ 类型二构造三角形中位线探究与中点有关的 BD,垂足为O,E,F,G,H分别为边AD, 边的关系 DC,CB,BA的中点.若AC=4,BD=3,则 7.如图，在△ABC中，AB=8,AD为 四边形EFGH的面积为 () △BAC的外角平分线，且AD⊥CD A.12B.7 C.6 D.3 于点D,E为BC的中点.若DE= 12.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D,E 10,则AC的长为 ( 分别是AB,BC的中点，点F在CA的延长 A.12B.14 C.16 D.18 线上，∠FDA=∠B,AC=6,AB=8,则四 边形AEDF的周长为 B B D (第7题) (第8题) 8.如图，在等边三角形ABC中，AB=6,AD山 (第12题) (第13题) BC于点D,BE⊥AC于点E,G,H分别为 13.如图，在四边形ABCD中，AD=BC, AD,BE的中点，连接GH,则GH的长为 ∠DAB=50°，∠CBA=70°，P,M,N分别 ( 是AB,AC,BD的中点.若BC=10,则 A.1B.1.5C.2 D.3 △PMN的周长是 59为AC,CD的中点，'.EF∥AD .∠FEC=∠DAC=90°-a. ∴.∠BEF=∠BEC+∠FEC= 180°-2a+90°-a=270°-3a. 10.(1)△MNH是直角三角形 理由：M,N,H分别是AD,BE, AB的中点， ∴.HM∥BD且HM=)BD,HN∥ AE且HN=AE. .∠AHM=∠ABC,∠BHN= ∠BAC. ∴.∠MHN=180°-（∠AHM+ ∠BHN)=180°-（∠ABC+ ∠BAC). ,∠ACB=90°， ∴.∠ABC+∠BAC=90°. ∴.∠MHN=180°-（∠ABC+ ∠BAC)=90°. ∴.△MNH是直角三角形. (2)·AE=4,BD=6, ·M=2BD=3,HN=AE=2 ,△MNH是直角三角形， ∴.MN2=MH2+NH=9+4=13. ∴.MN=√13. 11.(1)四边形DEFG是平行四边形 理由：E,F分别为线段OB,OC的 中点， EF-BC,EF//BC. 同理，可得DG=号C,G/BC. .EF=DG,EF∥DG. .四边形DEFG是平行四边形 (2)∠OBC和∠OCB互余，即 ∠OBC+∠OCB=90°， .∠BOC=90, 在Rt△EOF中， ,M为斜边EF的中点，OM=2, ∴.EF=2OM=4. .BC=2EF=8. 12.√5解析：如图，过点C作CH∥ AB,连接DN并延长，交CH于 点H,连接EH,过点C作CJ⊥EH 于点J.BD∥CH,.∠B= ∠NCH.N是BC的中点， '.BN=CN.又∠DNB= ∠HNC,'.△DNB≌△HNC .'BD=CH,DN =HN.BD= EC=2,'.CH=EC=2. '.∠CEH=∠CHE..AB∥CH, ∴.∠A+∠ACH=180°.又，∠A= 60°，∴.∠ECH=120°.∴.∠CEJ= 1 ×(180°-120)=30.又：CJ1 EH,.JC=1. JH=√5.∴.EH=2EJ=2√5. :DN=HN,.N是DH的中点. 又M是DE的中点，.MN= 2EH-. -,H (第12题) ·易错警示 未能灵活运用中点构造 三角形的中位线导致错误 解答此类题时，有的同学往往 束手无策，主要原因是未能灵活运 用图形中的中，点构造三角形的中 位线，将问题中分散的条件化归到 同一个三角形中，使所求问题得到 转化.本题中的N是BC的中点， 也可以连接DN,并延长至点H, 使得DN=NH,连接EH,CH,从 而将BD与CE化归到同一个三角 形中，且使MN成为△DEH的中位 线，只要求得EH的长即可解决问题 13.(1)FH=FC. 延长DF交AB于点G. 28 由题意知，∠EDF=∠ACB=90°， DE-DE .∠EDF+∠ACB=180. ∴.DGCB. 取AB的中点K,连接DK. D为AC的中点， ∴.DK∥BC 又.DGBC, ∴.点K,G重合，即DG为△ABC的 中位线！ .DXG-TBC. .AC=BC, ∴.DC=DG '.DC一DE=DG一DF,即EC= GF. :∠EDF=90°，FH⊥FC, .∠1+∠CFD=90°，∠2+ ∠CFD=90° ∴.∠1=∠2. .·△DEF与△ABC都是等腰直角 三角形， .∴.∠DEF=∠B=45」 DG//CB, '.∠AGD=∠B=45°」 ∴.∠CEF=∠FGH=135. ∴.△CEF≌△FGH. .CF=FH. (2)(1)中得出的结论不发生改变， 专题特训六构造三角形 中位线探究中点问题 1.B解析：如图，连接BD.E,F 分别是边AB,AD的中点，.EF是 △ABD的中位线.∴.BD=2EF= 2×4=8,EF∥BD.,∴.∠ADB= ∠AFE=52°..在△BDC中， BD2+CD2=82+62=100,BC2= 102=100,'.BD2+CD2=BC2. .∠BDC=90°.∴.∠ADC= ∠ADB+∠BDC=52°+90°=142°. A F D B (第1题) 2.B解析：·D,E分别是AB,AC 的中点，∴DE∥BC.∴.∠AED= ∠C=105.由折叠的性质，可知 ∠A'ED=∠AED=105°.∴.∠AEA'= 360°-105°-105°=150°. 3.30°解析：如图，连接FG.E, F,G分别是AD,BC,AC的中点， .EG是△ACD的中位线，FG是 △ACB的中位线.·EG=2CD, BG∥CD.FG=AB,FPG∥AB. AB =CD,.EG FG. ∴.∠FEG=∠EFG.EG∥CD, .∴.∠EGA=∠ACD..FG∥AB, ∴∠CFG=∠B.:∠AGF= ∠CFG+∠ACB=∠B+∠ACB, ∴.∠EGF=∠AGF+∠EGA= ∠B+∠ACB+∠ACD=∠B+ ∠BCD=120.∴.∠FEG=∠EFG= 号×(180°-120)=309. (第3题) 4.60°解析：在Rt△ACD中，：O 是AC的中点，∴.OD=AO. ∴.∠ADO=∠CAD=20°..∠DOC= 40°.E为BC的中点，O是AC的 中点，∴.OE∥AB..∠COE= ∠CAB=20°..∠DOE=∠DOC+ ∠C0E=60°. 5.(1)E,F分别为AC,BC的 中点， ∴.EF是△ABC的中位线. .EF∥AB .∴.∠EGA=∠BAD. .AE=EG. ∴.∠CAD=∠EGA. '.∠CAD=∠BAD (2):EF∥AB,∠B=32, ∴.∠DFG=∠B=32° .DG=DF, .∠DGF=∠DFG=32°. .∠GDF=180°-32°-32°=116°， ∠EGA=∠DGF=32° .AE=EG, ∴.∠EAG=∠EGA=32. ∴.∠C=∠GDF-∠EAG=116° 32°=84 6.(1)△OMN为等腰三角形， (2)△AGD是直角三角形. 如图，连接BD,取BD的中点H,连 接HF,HE. F是AD的中点，H是BD的中点， ·HFAB,HF=号AB. 2 同理，可得HECD,HE=2CD, .AB=CD, ∴.HF=HE. .∠EFC=60,HEAC, ∴.∠FEH=∠EFC=60, ∴.△EHF是等边三角形. .∴.∠HFE=60 HF//AB, ∴.∠AGF=∠HFE=60. :∠AFG=∠EFC=60°， ∴.∠GAF=60. ∴.△AGF是等边三角形. .AF=GF ,F是AD的中点，即AF=FD, .GF=FD. ∴.∠FGD=∠FDG=2∠AFG= 30° 29 '.∠AGD=∠AGF+∠FGD=90°， 即△AGD是直角三角形 (第6题) 一方法归纳 构建三角形中位线解决 与中点有关的问题 当问题条件中出现两个或两 个以上中点时，常常将它们分别看 成是三角形两边的中点构造第三 边或者构建具有公共边的两个三 角形，使其能构造两个三角形的中 位线，并转化为相等的两条边，从 而转化为等腰三角形，再利用图形 中隐含的等腰三角形解决问题 7.A解析：如图，延长BA,CD交于 点F.由题意，得AD平分∠CAF, .∠CAD=∠FAD.AD⊥CD, .∠ADC=∠ADF=90°.在△ADF ∠DAF=∠DAC, 和△ADC中，AD=AD ∠ADF=∠ADC, ∴.△ADF2△ADC.∴.DF=DC, AF=AC.又E是BC的中点， DE=10,∴.BF=2DE=20.∴.AF= BF-AB=12...AC=AF=12. F B C (第7题) 8.B解析：如图，取AB的中点F, 连接GF,HF.:△ABC为等边三角 形，∴.∠BAC=∠ABC=60°，AB= AC=BC..AB=AC,ADBC, BC=6,·.BD=2BC=3.同理，可 得AE=3.G,F分别为AD,AB 的中点，∴.GF是△ABD的中位线. &GF=2BD=1.5,GF/∥BD, ∴.∠AFG=∠ABC=60°.同理，可得 FH=1.5,∠BFH=∠BAC=60°. .GF=FH,∠GFH=60°..△GFH 为等边三角形.∴.GH=GF=1.5. B D (第8题) 9. 12 解析：连接CM.·D,E分别 为CN,MN的中点，DE=2CM 当CM⊥AB时，CM的长取得最小 值，此时DE的长也取得最小值. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB=√AC2+BC=√63+82=10. :Sac=2AB·CM=zAC, BC,.CM=AC·BC=6X8_24 AB 105 DB=CM=号.DE长的最 小值兔号 10.D解析：如图，连接CD.D,E 分别是△ABC的边AB,AC的中点， ∴.AE=EC,DE∥BF,BC=2DE. .∠F=∠EDG.G是EC的中 点，.EG=CG.又∠DGE= ∠FGC,.△DGE≌△FGC. ∴.S△Gr=S△Fx=S△xc=a,DE CF.∴.S△ADE=S△Dw=S△xr=2a, BC 2DE,.BC 2CF. ∴.S△x=2S△xr=4a..S△Ac= S△AE+S△DRc+S△mx=8a. D G B C (第10题) 11.D解析：·E,H分别为四边形 ABCD的边AD,AB的中点， :EH/BD,且EH=合BD=,同 理，可得EF∥AC∥GH,且EF= 1 GH=2AC=2..四边形EFGH是 平行四边形.又，AC⊥BD,.EH⊥ GH..四边形EFGH是矩形..四 边形EFGH的面积=EF·EH= 12.16解析：在Rt△ABC中， ,AC=6,AB=8,∴.BC= wWAC2+AB2=10..E是BC的中 点，·AE=BE=?BC=5. ∴.∠BAE=∠B.∠FDA=∠B, .∠FDA=∠BAE.,∴.DF∥AE. D,E分别是AB,BC的中点 DE/AC,DE=专AC=3.·.四边 形AEDF是平行四边形.，.四边形 AEDF的周长=2×(3+5)=16. 13.15解析：P,M分别是AB, AC的中点，.PM∥BC,且PM= 合BC=5·∠APM=∠CBA= 70°.同理，可得PN∥AD,PN= 2AD=ZBC=5.·∠BPN= ∠DAB=50°..PM=PN=5, ∠MPN=180°-50°-70°=60°. ∴.△PMN为等边三角形. .'.△PMN的周长为3×5=15. 专题特训七多姿的 中点四边形 1.C2.AC⊥BD 3.(1)平行四边形. (2)四边形EFGH为菱形. 理由：如图，连接AC,BD ,△AMD和△MCB为等边三角形， 30 '.AM=DM,∠AMD=∠CMB= 60°，CM=BM. ∴.∠AMC=∠DMB. 在△AMC和△DMB中， AM-DM, ∠AMC=∠DMB, CM=BM, ∴.△AMC≌△DMB. .AC=DB. .E,F,G,H分别为AB,BC,CD, AD的中点， '.EF是△ABC的中位线，GH是 △ACD的中位线，HE是△ABD的 中位线， 1 ∴EF∥AC,EF=2AC,GH∥AC, GH-ZAC,HE-7 DB. .EF//GH,EF=GH. ∴.四边形EFGH为平行四边形. AC=DB, .EF=HE. .四边形EFGH为菱形 H EM (第3题) 4.(1)中点四边形EFGH是菱形， 如图，连接AC,BD交于点O. ∠APB=∠CPD, ∴.∠APB+∠APD=∠CPD+ ∠APD,即∠BPD=∠APC. 在△APC和△BPD中， (AP=BP, ∠APC=∠BPD, PC=PD, '.△APC≌△BPD .AC=BD. E,F,G,H分别为AB,BC,CD, AD的中点，