第8章 专题特训四 正方形中的常见模型-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（苏科版·新教材）

如图④，当点D在点F,H之间时， 1 DF=(6-a). 如图⑤，当点H在点F,D之间时， m=√Fa+b ③ ⑤ (第12题) 专题特训四正方形中的 常见模型 1.6解析：如图，延长CB至点G,使 BG=DF,连接AG.·四边形ABCD 是正方形，.AB=AD,∠BAD= ∠ABC=∠D=∠C=90°. ∴.∠ABG=90°=∠D.在△ABG和 (AB=AD, △ADF中， ∠ABG=∠D, BG=DF, .'.△ABG≌△ADF..∴.AG=AF， ∠BAG=∠DAF.,∠EAF=45, ∴.∠EAG=∠BAE+∠BAG= ∠BAE+∠DAF=90°-∠EAF= 45°.∴.∠EAF=∠EAG.在△AEG (AG-AF, 和△AEF中，∠EAG=∠EAF, AE-AE, ∴.△AEG≌△AEF..GE=FE.设 正方形ABCD的边长为x,则DF= x-4,EC=x-3,EF=GE=BG+ BE=DF+BE=x一4+3=x一1.在 Rt△EFC中，由勾股定理，得EF2= EC2+CF2,即(x-1)2=(x-3)2+ 42,解得x=6.'.正方形ABCD的边 长为6. (第1题) 2.①②④解析：四边形ABCD 是正方形，∴.∠BAD=∠ABC= ∠ADC=90°，AB=AD=BC=CD. 如图①，把△ADF绕点A按顺时针 方向旋转90得到△ABH.由旋转的 性质，得BH=DF,AH=AF, ∠BAH=∠DAF,∠ABH= ∠ADF=90°.∴.∠ABC+∠ABH= 180°..H,B,E三点共线. :∠EAF=45,∴.∠DAF十 ∠BAE=90°-∠EAF=45.故①正 确..∠EAH=∠BAH十∠BAE= ∠DAF+∠BAE=45°=∠EAF.在 △AEH和△AEF中，：AH=AF, ∠EAH=∠EAF,AE=AE, ∴.△AEH≌△AEF.∴.EH=EF, ∠AEH=∠AEF.∴.∠AEB= ∠AEF.'.BE+DF=BE+BH= 23 EH=EF.故④正确.∠ANM= ∠ADB+∠DAN=45°+∠DAN, ∠AEB=90°-∠BAE=90°-(45°- ∠DAN)=45°+∠DAN, ∴.∠ANM=∠AEB=∠AEF.故② 正确.如图②，将△ADN绕点A按顺 时针方向旋转90°得到△ABG,连接 MG..DN=BG,∠DAN=∠BAG, AN=AG,∠ADN=∠ABG=45°.又 .∠ABD=45°，.∠DBG=90 ∴.GM=BG+BMP.∠DAN+ ∠BAE=45°，'.∠BAG+∠BAE 45°=∠EAF,即∠NAM=∠GAM. 又：'AM=AM,∴.△ANM≌ △AGM.∴.MN=GM..MN= GM=BG+BM=DN+BM.故 ③不正确.综上所述，正确的是 ①②④. E ① B E ② (第2题) 3.(1)如图，过点B作BF⊥BE,交 EC的延长线于点F,则∠EBF=90. ∠BEC=45°， .∠F=45°. ∴.∠F=∠BEC. ∴.BF=BE ·四边形ABCD是正方形， .AB=BC,∠ABC=90. ∴.∠ABC-∠CBE=∠EBF- ∠CBE,即∠ABE=∠CBF. 在△ABE和△CBF中， (BE=BF, ∠ABE=∠CBF, AB=CB, '.△ABE≌△CBF ∴.∠AEB=∠F=45° (2).△ABE2△CBF, .AE=CF」 在Rt△BEF中， .BE2+BF2=EF2,BE=BE, ∴√2BE=EF 又EF=CF+CE=AE+CE, ∴.AE+CE=2BE. (第3题) 4.(1)AF. (2)①当点E在边BC上时，如图①， 过点G作GM⊥AD于点M,延长 MG,交BC于点N. ∴.∠DMN=∠AMG=90. 四边形ABCD为正方形， .AD=CD,∠MDC=∠NCD=90° '.四边形CDMN是矩形 ..∠MNC=90°，MN=CD=AD. .∠GNE=180°-90°=90. :∠AMG=90, ∴.∠AMG=∠GNE,∠2+∠3=90°. ,EG⊥AF,∠EAF=45, .∠2+∠1=90°，△AEG为等腰直 角三角形 .∠3=∠1，AG=GE .'.△AMG≌△GNE. .AM-GN AM+MD=GN+MG, .'MD=MG. ∴.△MDG为等腰直角三角形 ..∠4=45. .∠GDC=45 ②当点E在边CD上时，如图②，过 点G作GN⊥DF,垂足为N,延长 NG,交BA的延长线于点M,则易得 四边形ADNM是矩形 .'AM=DN. 同①，可得△AMG≌△GNE. .AM=GN=DN. ∴.△NDG为等腰直角三角形. ∴.∠1=45. .'.∠GDC=180°-45°=135° 综上所述，∠GDC的度数为45 或135. ② (第4题) 5.如图，延长AE交DF于点G ,正方形ABCD的边长为5， ∴.AB=AD=CD=5,∠BAD= ∠ADC=90° AB=5,AE=3,BE=4, ∴.AB2=AE+BE2 ∴.△ABE是直角三角形，且 ∠AEB=90 在△ABE和△CDF中， (AB=CD, RAE=CE BE=DF, ∴.△ABE≌△CDF ∴.∠ABE=∠CDF, :∠ADG+∠CDF=90°，∠ABE+ ∠BAE=90°，∠BAE+∠DAG=90° '.∠ABE=∠DAG,∠BAE=∠ADG 在△AGD和△BEA中， ∠ADG=∠BAE, RAD-BA, ∠DAG=∠ABE ∴.△AGD≌△BEA. .AG=BE=4,DG=AE=3, ∠AGD=∠BEA=90° .'.EG=AG-AE=4-3=1,GF DF-DG=4-3=1,∠EGF=180° ∠AGD=90. 24 .EF=√+GF=√P+下=2. B (第5题) 6.(1)如图①，过点P作PG⊥BC于 点G,PH⊥DC于点H. ,四边形ABCD是正方形，PG⊥ BC,PH⊥DC, .∴.∠ACB=∠ACD=45°，∠PGB= ∠PGC=∠PHE=∠BCD=90° ∴.PG=PH,∠GPH=90°. PE⊥PB, ∴.∠BPE=90. ∴.∠BPG=9O°-∠GPE=∠EPH. 在△PGB和△PHE中， ∠PGB=∠PHE, PG=PH, ∠BPG=∠EPH, ∴.△PGB≌△PHE. .PB=PE. (2)PF的长不变 如图②，连接BD,交AC于点O. 四边形ABCD是正方形， ∴.∠BOP=90. PE⊥PB, ∴.∠BPE=90 ∴.∠PBO=90°-∠BPO=∠EPF EF⊥PC, .∠PFE=90. .∠BOP=∠PFE. 在△BOP和△PFE中， ∠BOP=∠PFE, ∠PBO=∠EPF, PB=EP, ∴.△BOP≌△PFE. ∴.BO=PF 正方形ABCD的边长为2， .易得OB=√2. ∴.PF=OB=√2. ∴.在点P的运动过程中，P℉的长不 变，为√2. A H E B A E B ② (第6题) 7.(1)如图，过点A作AM∥FG,交 BE于点N,交BC于点M. ,四边形ABCD为正方形， ∴.AD∥BC,AB=BC,∠ABC= ∠C=90°. FG⊥BE, .∠FOB=90°. .·AM∥FG, .∠ANB=∠FOB=90°. .'.∠ABN+∠BAM=90 .∠ABC=90, ..∠ABN+∠CBE=90°. ∴.∠BAM=∠CBE 在△ABM和△BCE中， ∠BAM=∠CBE, AB=BC, ∠ABM=∠C, ∴.△ABM≌△BCE. .'AM=BE. ·AD∥BC,AM∥FG, '.四边形AMGF为平行四边形 .'AM=FG. ∴.BE=FG. (2)如图，连接BF,EF. .·FG⊥BE,O是BE的中点， ∴.BF=EF. 在正方形ABCD中，AD=AB IDC=BC=8,∠BAD=∠D=90°. EC=3, .DE=5. 设AF=x,则DF=8-x 在Rt△ABF中，由勾股定理，得 BF2=AB2+AF2=82+x2: 在Rt△DEF中，由勾股定理，得 EF2=DE2+DF2=52+(8-x)2. BE=EE. ∴.BF2=EF2,即82+x2=5+(8 》解得x 25 AF的长为器 AF B MG (第7题) 8.(1)AE=EF. (2)(1)中的结论成立 理由：如图①，在AB上取一点G,使 AG=CE,连接EG. ,四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠B=∠BCD=90. .AG=CE, ∴.AB-AG=BC-CE,即BG=BE. ∴.△BGE是等腰直角三角形. ∴.∠BGE=∠BEG=45°. ∴.∠AGE=180°-45°=135°. :CF是正方形ABCD的外角平 分线， .∠DCF=45. ∴.∠EC℉=90°+45°=135°= ∠AGE AE⊥EF, ∴.∠AEB+∠FEC=90. :∠BAE+∠AEB=90, .'.∠FEC=∠BAE 在△GAE和△CEF中， ∠AGE=∠ECF, GA=CE, ∠GAE=∠CEF, .∴.△GAE≌△CEF. .∴.AE=EF (3)(1)中的结论仍然成立. 25 如图②，延长BA至点H,使AH= CE,连接HE :四边形ABCD是正方形， .AB=BC,∠B=∠BCD=90° AH=CE, .AH+AB=CE+BC,E BH=BE. ∴.∠H=∠BEH=45. ,CF是正方形ABCD的外角平分 线，∠DCE=180°-∠BCD=90°， .∠ECF=45. .∠H=∠ECF ∠AEF=90°，∠B=90°， ∠HAE=∠B+∠BEA,∠CEF= ∠AEF+∠BEA, ∴.∠HAE=∠CEF. 在△HAE和△CEF中， ∠HAE=∠CEF, RAH=EC. ∠H=∠ECF, ∴.△HAE≌△CEF. ∴.AE=EF. G外 B 0 C E ② (第8题) 专题特训五特殊平行 四边形中的折叠问题 1.C2.20 3.(1),将矩形ABCD沿对角线 AC折叠， ∴.AD=BC=CE,∠D=∠B= ∠E=90°. 在△DAF和△ECF中， ∠DFA=∠EFC, ∠D=∠E, AD=CE,拔尖特训·数学（苏科版）八年级下 专题特训四 正方 类型一与45°有关的模型 1.如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点 F在CD上，连接AE,AF,EF,∠EAF= 45°，BE=3,CF=4,则正方形ABCD的边长 为 B (第1题) (第2题) 2.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边 BC,CD上，且∠EAF=45°，AE与AF分别 交对角线BD于点M,N,连接EF.有下列结 论：①∠BAE+∠DAF=45°；②∠AEB= ∠AEF=∠ANM;③BM+DN=MN; ④BE十DF=EF.其中，正确的是 (填序号) 3.如图，E为正方形ABCD外一点，∠BEC= 45°，连接AE. (1)求∠AEB的度数 (2)求证：AE+CE=√2BE. (第3题) 52 形中的常见模型>“答案与解析”见P23 4.在正方形ABCD中，点E在边BC,CD上运 动（不与正方形的顶点重合）.作射线AE,将 射线AE绕，点A按逆时针方向旋转45°，交射 线CD于点F. (1)如图，点E在边BC上，BE=DF,则图 中与线段AE长度相等的线段是 (2)过点E作EG⊥AF,垂足为G,连接 DG,求∠GDC的度数. (第4题) 类型二“三垂直”模型 5.如图，正方形ABCD的边长为5，E, F是正方形ABCD内的两点，且 AE=FC=3,BE=DF=4,求EF答讲 的长 (第5题) 6.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，P是对角线AC上的一个动点 (点P与点A,C不重合)，过点P 作PE⊥PB,PE交DC于点E,过点E作 EF⊥AC,垂足为F. (1)求证：PB=PE. (2)在点P的运动过程中，PF的长是否发 生变化？若不变，请求出PF的长；若变化， 请说明理由. (第6题)》 类型三“十字架”模型 7.如图，在正方形ABCD中，点E,F,G分别在 CD,AD,BC上，且FG⊥BE,垂足为O. (1)求证：BE=FG (2)若O是BE的中点，且BC=8,EC=3, 求AF的长 (第7题) 第8章四边形 类型四“外角平分线”模型 8.新考法·探究题如图①，四边形ABCD是正 方形，E是边BC的中点，∠AEF=90°，且 EF交正方形的外角平分线CF于点F. (1)AE与EF之间的数量关系为 (2)如图②，若把条件“E是边BC的中点”改 为“E是边BC上的任意一点”，其余条件不 变，则(1)中的结论是否成立？请说明理由. (3)如图③，若把条件“E是边BC的中点"”改 为“E是边BC的延长线上的一点”，其余条 件仍不变，则(1)中的结论是否仍然成立？若 成立，请写出证明过程；若不成立，请说明 理由。 N 2 (第8题) 53