第8章 专题特训三 平行四边形中的折叠与动点问题-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（苏科版·新教材）

√AB2-AF=√42-2=√12！ 在△ADF和△ECF中， ∠DAF=∠CEF, AF=EF, ∠AFD=∠EFC, ∴.△ADF2△ECF ∴.S△ADF=S△Rp. ∴.SBARCD=S△AE= AE·BF= 1 2X4X2=2W2】 8.(1)若选择小智的方案： 如图①，连接BD. ,在□ABCD中，O是对角线AC的 中点， .AO=CO,BO=DO. E,F分别为AO,CO的中点， 0=号A0,m=00 .EO=FO ∴.四边形BEDF为平行四边形 若选择小慧的方案： ,四边形ABCD是平行四边形， .AD-BC,AD//CB '.∠EAD=∠FCB ,BE⊥AC,DF⊥AC, '.BE∥DF,∠CEB=∠AFD=90 在△CBE和△ADF中， ∠CEB=∠AFD, ∠BCE=∠DAF, BC=DA, .△CBE2△ADF」 .'BE=DF. BE∥DF, ∴.四边形BEDF为平行四边形 (2)如图②，在AC上取AE=CF,即 可得到四边形BEDF为平行四边形. ① ② (第8题) 专题特训三平行四边形 中的折叠与动点问题 1.D解析：·四边形ABCD是平 行四边形，∴.ABCD..∠ACD ∠BAC.由折叠的性质，得∠BAC ∠B'AC,'.∠BAC=∠ACD= ∠BAC=言1=20.：∠B 180°-∠2-∠BAC=180°-40°- 20°=120°. 2.D解析：：四边形ABCD是平 行四边形，.∠D=∠B=52°.由折 叠的性质，得∠D'=∠D=52, ∠EAD'=∠DAE=20°.∴.∠AEF= ∠D+∠DAE=52°+20°=72， ∠AED'=180°-∠EAD'-∠D'= 108.∴.∠FED'=∠AED'- ∠AEF=36. 3.C解析：四边形ABCD是平行 四边形，∴.AD∥BC..∠DEF= ∠BFE=6O.·将四边形EFCD沿EP 翻折，得到四边形EFCD',.∠GEF ∠DEF=6O°.∴.∠GEF=∠GFE= 60°.∴.△GEF是等边三角形. ,EF=6,∴.△GEF的周长=3X 6=18. 4.6解析：△BEF是由△BEA 翻折得到的，∴.EF=EA,BF=BA. ,四边形ABCD是平行四边形， .BC=AD=AE+DE=EF+DE, AB=BF=DC=DF十CF.由题意， 得CF+BC+BF=28,DE+EF+ DF=16,.CF+DE+EF+DF+ CF=28..2CF+16=28..CF=6. 5.4或12解析：如图①，当点D1在 线段AB上时，BD1=2,.AD,= 4一2=2.由折叠的性质知，DE= D1E.E是AD的中点，.AE= DE.∴.AE=DE.∠A=60°， ∴.△AD,E是等边三角形.∴.AE= D1E=AD1=2..DE=2..AD= 13 AE+DE=4.如图②，当点D1在线 段AB的延长线上时，：BD1=2, ∴.AD1=4+2=6.同理，可得AE= 6,DE=6...AD=AE+DE=12. 上所述，AD的长为4或12. D B B D. ① ② (第5题) 6.6解析：四边形ABCD是平行 四边形，∴.BC=AD=5.AB⊥ AC,∴.∠BAC=90°.∴.AC= √BC-AB2=√52-3=4.由折 叠的性质，得AF=AB=3,EF=BE. ∴.△CEF的周长=FC+EF+EC= AC-AF+BE+EC=AC-AF+ BC=4-3+5=6. 7.(1):四边形ABCD是平行四 边形， ∴.AB=CD,∠BAD=∠BCD, ∠B=∠D. 由折叠的性质，可得AB=CG,∠B= ∠G,∠BAD=∠GCE ∴.∠BCD=∠GCE,CD=CG, ∠D=∠G :∠ECD+∠BCE=∠BCD, ∠BCE+∠FCG=∠GCE, .∠ECD=∠FCG. ∴.△CED≌△CFG. (2)·四边形ABCD是平行四边形 ∴.ABCD,AD∥BC. :∠BCD=130°， .'.∠B=180°-∠BCD=50° ·AB=AC, ..∠ACB=∠B=50° AD//BC, ∴.∠DAC=∠ACB=50°. EF为折痕，点A与点C重合， .AC⊥EF ∴.∠AOE=90° ∴.∠AEF=180°-∠DAC ∠AOE=40°. 8.A解析：设点E到AB的距离为 m,点A到BE的距离为n.:四边形 ABCD和四边形BEFG都是平行四 边形，∴.SaAD=AB·m,S口BFG= 1 BE·.:S△AE=2AB·m= 1 BE·,六SaAD=2S△AE, SaEG=2S△AE,∴.SDB5FG= SeAD.∴.☐BEFG的面积始终 不变. 9.√4红解析：如图，作点A关于直 线BC的对称，点A',AA'交BC于点 H,连接A'D交直线BC于点M,连 接AM',A'M,则AH=A'H,AH⊥ BC,AM'=A'M',MA MA'. ∴.MA+MD=MA'+MD≥A'D.当 点M,M'重合时，MA+MD取得最 小值，最小值为A'D的长.：AB= 4,∠ABC=30,.AH=2AB=2 .AA'=2AH=4.:四边形ABCD 是平行四边形，∴.AD∥BC.:AH⊥ BC,∴.AA'⊥AD..AD=5,∴.A'D= √AA2+AD=V√4+5=√④红. ∴.MA+MD的最小值为√4红 M、HCM A北 (第9题) 10.(1).△ABC是等边三角形， .∠ABC=60°. :∠EFB=60, ∴.∠ABC=∠EFB. .EF//DC. EF=DC, ∴.四边形EFCD是平行四边形 (2).BF=EF,∠EFB=60°， '.△EFB是等边三角形 EB=EF,∠FBE=6O. DC=EF, .EB=DC :△ABC是等边三角形， ∴.∠ACB=60,AB=AC ∴.∠ABE=∠ACD. 在△AEB和△ADC中， EB=DC, ∠ABE=∠ACD, AB=AC, .'.△AEB≌△ADC .'AE=AD=6. 11.(1)四边形ABCD是平行四 边形， ∴.∠D=∠B,ADBC .∴.∠DPC=∠PCB :CP平分∠BCD, ∴.∠PCD=∠PCB .∠DPC=∠PCD ∴.DP=DC CD=CP, .CP=CD-PD. .△PDC是等边三角形 '.∠D=60 .∠B=60° (2)4.8或8或9.6.解析：四边 形ABCD是平行四边形，.AD= BC=6cm,AD∥BC,即PD∥BQ.要 使以P,D,Q,B为顶点的四边形是 平行四边形，则PD=BQ.根据题意， 可知AP=0.5tcm.①当0<t≤3 时，PD=(6-0.5t)cm,BQ=(6 2t)cm.∴.6-0.51=6-2t,解得1 0,不合题意，舍去.②当3<1≤6时， PD=(6-0.5t)cm,BQ=(2t 6)cm.'.6-0.5t=2t一6，解得t= 4.8.③当6<t≤9时，PD=(6- 0.5t)cm,BQ=(18-2t)cm.∴.6- 0.5t=18-2t,解得t=8.④当9< t≤12时，PD=(6-0.5t)cm,BQ= 14 (2t-18)cm..'.6-0.5t=21-18,解 得t=9.6.综上所述，当t=4.8或8 或9.6时，以P,D,Q,B为顶点的四 边形是平行四边形 (3)如图，延长AE,交CF于点H. ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD,ABCD. .CE平分∠ACF, .∠ACE=∠HCE. ,AE⊥CE, ∴.∠AEC=∠HEC=90°. 又CE=CE, ∴.△AEC≌△HEC. ∴.AE=HE,AC=HC AB//CD, ∴.∠ABE=∠HFE. 又：'∠AEB=∠HEF, ∴.△ABE≌△HFE. .'AB=HF. ·AB=CD, .HE=CD. .AC=CH=DH+CD=DH+ HF=DF=8. H (第11题) 8.2特殊的平行四边形 第1课时矩形的概念与性质 1.C2.B3.(4,3)4.3 5.四边形ABCD是矩形， '.AB=CD,∠EBC=∠FCB=90°. ·AE=DF ∴.AB-AE=CD-DF,即BE=CF 在△EBC和△FCB中， (BE=CF, {∠EBC=∠FCB, BC=CB, '.△EBC≌△FCB.拔尖特训·数学（苏科版）八年级下 专题特训三平行四边形中的折叠与动点问题 ◆“答案与解析”见P13 类型一 平行四边形中的折叠问题 6.如图，在□ABCD中，点E在边BC上，将 1.如图，将□ABCD沿对角线AC折叠，使点B △ABE沿AE折叠得到△AFE,点F落在 落在点B处.若∠1=∠2=40°，则∠B的度 对角线AC上.若AB⊥AC,AB=3,AD 数为 5,则△CEF的周长为 A.60° B.100 C.110° D.120° (第6题) D 7.如图，在□ABCD中，AB=AC,点E,F分别 B 在AD,BC上，EF与AC交于点O,沿EF (第1题) (第2题) 折叠平行四边形，使点A,C重合，点B落在 2.如图，在□ABCD中，E是边CD上一点，将 点G的位置 △ADE沿AE折叠至△AD'E处，AD'与 (1)求证：△CED≌△CFG. CE交于点F.若∠B=52°，∠DAE=20°，则 (2)若∠BCD=130°，求∠AEF的度数， ∠FED的度数为 A.50°B.45°C.40°D.36 3.如图，E,F分别是□ABCD的边AD,BC上 的点，EF=6,∠DEF=60°，将四边形EFCD G 沿EF翻折，得到四边形EFC'D',ED'交BC (第7题) 于点G,则△GEF的周长为 ( A.6 B.12 C.18 D.24 A C (第3题) (第4题) 4.如图，在□ABCD中，点E在边AD上，以 BE为折痕，将△ABE翻折，使点A恰好与 边CD上的点F重合.若△FDE的周长为 16,△FCB的周长为28，则CF的长为 5.在□ABCD中，∠A=60°，AB=4,E,F分别 为AD,BC的中点，沿EF折叠平行四边形， 类型二平行四边形中的动点问题 使线段CD落在直线AB上，点C的对应点 8.如图，E是□ABCD的边CD上一 为C1,点D的对应点为D.若BD1=2,则 动点，以BE为一条边作□BEFG AD的长为 使，点A始终在GF边上，在动点E 40 第8章四边形 从点C向点D运动的过程中，关于□BEFG11.已知在□ABCD中，动点P在AD边上，并 的面积，下列说法中正确的是 ( 以0.5cm/s的速度从点A向点D运动. (1)如图①，在运动过程中，若CP平分 ∠BCD,且满足CD=CP,求∠B的度数. (2)如图②，另一动点Q在边BC上，以 (第8题) 2cm/s的速度从点C出发，在点B,C间往 A.始终不变 B.逐渐减小 C.先减小再增大 D.变化情况不能确定 返运动，P,Q两点同时出发，当点P到达点 D时停止运动（同时点Q也停止运动）.设 9.(2024·广安)如图，在□ABCD中，AB=4, AD=5,∠ABC=30°，M为直线BC上一动 运动时间为ts(t>0).若AD=6cm,则当 t 点，则MA+MD的最小值为 时，以P,D,Q,B为顶点的四 边形是平行四边形 (3)如图③，连接BP并延长，与CD的延长 C 线交于点F,CE平分∠ACF,交BF于点 (第9题) 10.如图，△ABC是等边三角形，D,F分别是 E,连接AE,AC.当AE⊥CE,DF=8时， 线段BC,AB上的动点，∠EFB=60°， 求AC的长. A→P EF=DC,连接CF,DE (1)求证：四边形EFCD是平行四边形. (2)连接BE,AD,AE,若BF=EF,AD ① ② 6,求AE的长 (第10题) 回 (第11题) 41