第8章 专题特训二 平行四边形判定与性质的综合-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（苏科版·新教材）

拔尖特训·数学（苏科版）八年级下 专题特训二平行四边形判定与性质的综合 》“答案与解析”见P11 类型一 利用平行四边形的性质求解 类型三 利用平行四边形的判定进行证明 1.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于4.如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，点 点O,BD=2AD,E,G分别是OC,AB的中 F,D分别在AC,BC上，AF=CD,连接 点，连接BE,GE.若∠ABE=42°，则∠AEG BF,EF.求证： 的度数为 ( (1)BF=AD. A.42°B.45° C.46° D.48° (2)四边形BFED为平行四边形 D (第1题) (第2题) (第4题) 2.如图，点O是□ABCD的对称中心，AD> AB,E,F是AB边的三等分点，G,H是BC 边的三等分点.若S1,S2分别表示△EOF和 △GOH的面积，则S1与S2之间的大小关 系是 类型二利用平行四边形的性质进行证明 3.如图，在□ABCD中，E为BC边上一点，F 为对角线AC上一点，连接DE,BF,∠ADE 5.如图，在△AFC中，∠FAC=45°，FE⊥AC 与∠CBF的平分线DG,BG交于AC上一点 于点E,在EF上取一点B,连接AB,BC,使 G,连接EG.若AG=AB,∠DEG=∠BCD, 得AB=FC,过点A作AD⊥AF,且BC= 求证：AD=BF+DE. AD,连接CD.求证：四边形ABCD是平行四 边形 (第3题) D (第5题) 38 第8章四边形 类型四利用平行四边形的判定与性质求解 类型五利用平行四边形的判定与性质证明 6.(2025·金华模拟)如图，在□ABCD中，E, 8.新考法·探究题(2025·郑州期末 F是直线BD上的两点，DE=BF,连接AE, 如图，在口ABCD中，O是对角线 EC,CF,FA. AC的中点.某数学学习小组要在答案讲解 (1)求证：四边形AECF是平行四边形 AC上找两点E,F,使四边形BEDF为平行 (2)若AD⊥BD,AB=5,BC=3,且EF- 四边形.小智、小慧两名同学给出了两种不同 AF=2,求DE的长 的方案如下： 小智的方案：分别取AO,CO的中点E,F, 小慧的方案：过点B作BE⊥AC于点E,过 点D作DF⊥AC于点F. (第6题) 小智的方案 小慧的方案 你的方案 (第8题) (1)请你在两个方案中任选一个证明四边形 BEDF为平行四边形 (2)请你给出一种和他们不同的方案，用文 字表述你的方案，并在图中标记字母（不必 7.如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD 证明). 的平分线AE交CD于点F,交BC的延长线 于点E,连接AC,BF,DE (1)求证：BE=CD (2)若BF恰好平分∠ABE,求证：四边形 ACED是平行四边形， (3)若BF⊥AE,∠BEA=60°，AB=4,求 □ABCD的面积 (第7题) 39条件可以是①②④⑤. 6.B 7.BD=CF,BDCF解析：·AE EC,EF=DE,∴.四边形ADCF是平 行四边形.∴.ADCF.·DE∥BC, .四边形DBCF是平行四边形 ∴.BD=CF,BDCF. 8.不会解析：：四边形ABCD是 平行四边形，∴.OA=OC,OB=OD :点E从点A出发，沿AC以 1cm/s的速度向点C运动，同时点F 从点C出发，沿CA以2cm/s的速度 向点A运动，∴.2AE=CF.∴.易知 OE≠OF..点E与点F相遇前，四 边形DEBF不会成为平行四边形. 9.(1).'CF//BE, ∴.∠EBD=∠FCD. ,D是边BC的中点， .'BD=CD 又.∠EDB=∠FDC, ∴.△BDE≌△CDF, (2)四边形BECF是平行四边形 理由：△BDE≌△CDF, .'DE=DF. 又BD=CD, ∴.四边形BECF是平行四边形 10.(1).∠AEF=∠CFE, .AD∥BC. ·AD=BC, .四边形ABCD是平行四边形 ∴.AO=CO,即O是AC的中点. (2).AD∥BC .'.∠EAO=∠FCO 在△OAE和△OCF中， ∠EAO=∠FCO, AO-CO. ∠AOE=∠COF, ∴.△OAE≌△OCF. .'OE=OF. 又AO=CO, ∴.四边形AFCE是平行四边形 11.(6,4)或(-6,4)或(0，一4) 解析：A(一3,0)，B(3,0),C(0,4) .OA=OB=3,OC=4.∴.AB= OA+OB=6.如图，分三种情况讨论： ①当ABCD,AC∥BD时，点D的 坐标为(6,4)：②当ABCD',AD'∥ BC时，点D'的坐标为(-6,4)：③当 AD∥BC,AC∥BD"时，点D"的坐标 为(0，一4).综上所述，点D的坐标为 (6,4)或（一6,4）或(0，一4). YD" (第11题) 12.四边形EHFG是平行四边形. 理由：四边形ABCD是平行四 边形， .BO=DO,AO=CO,AB=CD, AB//CD ∴.∠ABE=∠CDF, ,AE⊥BD,CF⊥BD, .∠AEB=∠CFD=90° 在△ABE和△CDF中， I∠AEB=∠CFD, ∠ABE=∠CDF, AB-CD, ∴.△ABE≌△CDF. .'BE=DF. ∴.BO-BE=DO-DF,即EO=FO. 同理，可得GO=HO. ∴，四边形EHFG是平行四边形 专题特训二平行四边形 判定与性质的综合 1.D解析：：四边形ABCD是平 行四边形，.BC=AD,BD=2BO BD=2AD,∴.BC=BO..△BCO 是等腰三角形.E是OC的中点， ∴.BE⊥OC..△BEA是直角三角 11 形.G是AB的中点，∴.EG= 7AB=AG.·∠ABG=∠EAG :∠ABE=42°，∴.∠AEG= ∠EAG=90°-∠ABE=90°-42°= 48. 2.S1=S2解析：如图，连接AC, BD.'点O是□ABCD的对称中 心，AC和BD交于点O.OA= OC.∴.S△on=S△oB.·E,F是 AB边的三等分点，G,H是BC边的 1 三等分点，.S,=3Saam,S:= 7S20m..S,=S2 A Q BE-- G H 第2题) 3.如图，在AD上取一点M,使得 DM=DE,连接MG DG,BG分别是∠ADE,∠CBF的 平分线， ∴.∠MDG=∠EDG,∠FBG=∠GBC. 在△DMG和△DEG中， (DM=DE, ∠MDG=∠EDG, DG=DG, .∴.△DMG2△DEG. ∴.∠DMG=∠DEG. ,四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,∠BCD=∠BAD. 又∠DEG=∠BCD, ∴.∠DMG=∠BAD. ,.MG∥AB. ∴.∠BAF=∠AGM. AG=AB, ∴.∠AGB=∠ABG. :∠ABG=∠ABF+∠FBG, ∠AGB=∠GBC+∠BCG,∠FBG= ∠GBC, ∴.∠ABF=∠BCG. .AD∥BC, ∴.∠BCG=∠GAM. ∴.∠GAM=∠ABF. 在△AMG和△BFA中， ∠AGM=∠BAF, RGA-AB, ∠GAM=∠ABF, .∴.△AMG≌△BFA. ∴.AM=BF. .'AD-AM+MD=BF+DE. M B E (第3题) 4.(1).·△ABC为等边三角形， ∴.AB=CA,∠BAF=∠C=60 又AF=CD, '.△ABF2△CAD. .'BF=AD. (2)如图，设AC与DE相交于点H. 由(1)知，BF=AD. △ADE是等边三角形， ∴.AD=DE,∠AED=∠DAE=60°. .'BF=DE. .∠C=∠AED=60°，∠DHC= ∠AHE, .∠CDH=∠CAE. .△ABF≌△CAD, .∴.∠ABF=∠CAD. ,·△ABC为等边三角形， .∠ABC=60. ∴.∠CBF+∠ABF=∠CAE+ ∠CAD=60°. ∴.∠CBF=∠CAE. ∴.∠CBF=∠CDH. .BF∥DE 又BF=DE, .四边形BFED为平行四边形 E B D (第4题) 5.FE⊥AC, ∴.∠FEA=∠FEC=90°. :∠FAC=45°， .易得△AEF是等腰直角三角形 ∴.AE=FE,∠AFE=∠FAE=45. 在Rt△AEB和Rt△FEC中， (AB=FC, AE=FE, ∴.Rt△AEB≌Rt△FEC. .BE=CE :.∠CBE=∠BCE=2 (180° ∠BEC)=45° :AD⊥AF, .∠FAD=90° .∴.∠CAD=90°-45°=45. ∴.∠BCE=∠CAD. '.BC∥AD 又BC=AD, ∴.四边形ABCD是平行四边形 6.(1)四边形ABCD是平行四 边形， .AD∥BC,AD=BC '.∠ADB=∠CBD .∴.180°-∠ADB=180°-∠CBD,即 ∠ADE=∠CBF. 在△ADE和△CBF中， (AD=CB, ∠ADE=∠CBF, DE=BF. ∴.△ADE≌△CBF. ∴.AE=CF,∠AED=∠CFB. .AE//CF. ∴.四边形AECP是平行四边形 (2),AD⊥BD,AB=5,BC= AD=3, ∴.BD=√AB2-AD=√J-3=4 如图，连接AC交EF于点O. ,四边形ABCD是平行四边形， DO=OB=7BD=2. ,四边形AECF是平行四边形， 12 -0-EF. 设DE=BF=x. .DF=x+4,EF=2x+4. .EF-AF=2, .AF=2x+2. :在Rt△ADF中，AF2=AD+DF2, ∴.(2x+2)2=32+(x+4)2 x=√7（负值舍去）. ∴.DE的长为T (第6题) 7.(1)四边形ABCD是平行四 边形， .AD//BC,AB=CD. ∴.∠DAE=∠AEB. AE平分∠BAD, ∴.∠BAE=∠DAE. .∠BAE=∠AEB. .'BE=AB. .'BE=CD. (2)由(1)知，BE=AB. BF平分∠ABE, ∴.AF=EF, 在△ADF和△ECF中， ∠DAF=∠CEF, AF=EF, ∠AFD=∠EFC, ∴.△ADF≌△ECF. .DF=CF. 又AF=EF, ∴.四边形ACED是平行四边形. (3)由(1)知，BE=AB, 又：∠BEA=60, ∴.△ABE是等边三角形 .AB=AE=4. BF⊥AE, 六AF=EF=ZAE=2. 在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF= √AB2-AF=√42-2=√12！ 在△ADF和△ECF中， ∠DAF=∠CEF, AF=EF, ∠AFD=∠EFC, ∴.△ADF2△ECF ∴.S△ADF=S△Rp. ∴.SBARCD=S△AE= AE·BF= 1 2X4X2=2W2】 8.(1)若选择小智的方案： 如图①，连接BD. ,在□ABCD中，O是对角线AC的 中点， .AO=CO,BO=DO. E,F分别为AO,CO的中点， 0=号A0,m=00 .EO=FO ∴.四边形BEDF为平行四边形 若选择小慧的方案： ,四边形ABCD是平行四边形， .AD-BC,AD//CB '.∠EAD=∠FCB ,BE⊥AC,DF⊥AC, '.BE∥DF,∠CEB=∠AFD=90 在△CBE和△ADF中， ∠CEB=∠AFD, ∠BCE=∠DAF, BC=DA, .△CBE2△ADF」 .'BE=DF. BE∥DF, ∴.四边形BEDF为平行四边形 (2)如图②，在AC上取AE=CF,即 可得到四边形BEDF为平行四边形. ① ② (第8题) 专题特训三平行四边形 中的折叠与动点问题 1.D解析：·四边形ABCD是平 行四边形，∴.ABCD..∠ACD ∠BAC.由折叠的性质，得∠BAC ∠B'AC,'.∠BAC=∠ACD= ∠BAC=言1=20.：∠B 180°-∠2-∠BAC=180°-40°- 20°=120°. 2.D解析：：四边形ABCD是平 行四边形，.∠D=∠B=52°.由折 叠的性质，得∠D'=∠D=52, ∠EAD'=∠DAE=20°.∴.∠AEF= ∠D+∠DAE=52°+20°=72， ∠AED'=180°-∠EAD'-∠D'= 108.∴.∠FED'=∠AED'- ∠AEF=36. 3.C解析：四边形ABCD是平行 四边形，∴.AD∥BC..∠DEF= ∠BFE=6O.·将四边形EFCD沿EP 翻折，得到四边形EFCD',.∠GEF ∠DEF=6O°.∴.∠GEF=∠GFE= 60°.∴.△GEF是等边三角形. ,EF=6,∴.△GEF的周长=3X 6=18. 4.6解析：△BEF是由△BEA 翻折得到的，∴.EF=EA,BF=BA. ,四边形ABCD是平行四边形， .BC=AD=AE+DE=EF+DE, AB=BF=DC=DF十CF.由题意， 得CF+BC+BF=28,DE+EF+ DF=16,.CF+DE+EF+DF+ CF=28..2CF+16=28..CF=6. 5.4或12解析：如图①，当点D1在 线段AB上时，BD1=2,.AD,= 4一2=2.由折叠的性质知，DE= D1E.E是AD的中点，.AE= DE.∴.AE=DE.∠A=60°， ∴.△AD,E是等边三角形.∴.AE= D1E=AD1=2..DE=2..AD= 13 AE+DE=4.如图②，当点D1在线 段AB的延长线上时，：BD1=2, ∴.AD1=4+2=6.同理，可得AE= 6,DE=6...AD=AE+DE=12. 上所述，AD的长为4或12. D B B D. ① ② (第5题) 6.6解析：四边形ABCD是平行 四边形，∴.BC=AD=5.AB⊥ AC,∴.∠BAC=90°.∴.AC= √BC-AB2=√52-3=4.由折 叠的性质，得AF=AB=3,EF=BE. ∴.△CEF的周长=FC+EF+EC= AC-AF+BE+EC=AC-AF+ BC=4-3+5=6. 7.(1):四边形ABCD是平行四 边形， ∴.AB=CD,∠BAD=∠BCD, ∠B=∠D. 由折叠的性质，可得AB=CG,∠B= ∠G,∠BAD=∠GCE ∴.∠BCD=∠GCE,CD=CG, ∠D=∠G :∠ECD+∠BCE=∠BCD, ∠BCE+∠FCG=∠GCE, .∠ECD=∠FCG. ∴.△CED≌△CFG. (2)·四边形ABCD是平行四边形 ∴.ABCD,AD∥BC. :∠BCD=130°， .'.∠B=180°-∠BCD=50° ·AB=AC, ..∠ACB=∠B=50° AD//BC, ∴.∠DAC=∠ACB=50°. EF为折痕，点A与点C重合，