11.3 二次根式的加减-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（苏科版·新教材）

拔尖特训·数学（苏科版）八年级下 11.3 二次根式的加减 第1课时 二次根式的加减运算 >“答案与解析”见P54 ☑基础进阶 幻素能攀升 1在根式/压会福 中，与 6.若√/45+√a=b√5(b为整数)，则a的值可 以是 () √2是同类二次根式的有 ( A吉 B.27 C.24 D.20 A.1个B.2个 C.3个D.4个 2.下列计算中，正确的是 ) 7.一个等腰三角形的两边长分别是2√5,3√2， A.√8-√2=√2 B.√2十5=√5 则这个三角形的周长为 () C.43-45=1 D.3+2√2=5√2 A.2√5+62 3.若√/45与最简二次根式√m+1是同类二次根 B.4√5+32 式，则m的值为 C.45+6√2或2√5+6√2 4.若N-6=26,则N的值为 D.25+6√2或4√5+3√2 5.计算： 8.如果最简二次根式2√2024一2023m与最简 (1)37-57+47. 二次根式√2023-2024m能够合并为一项， 那么m的值为 9.(2025·北京海淀期中)若√18x+ =12,则x的值为 10.计算√20一|1一√5|+|√45一1|的结果 为 11.计算： /18 ③)72士40 +)-+m 114 第11章二次根式 (){2-a.5+3）-(/g-6 (3)2a3ab- 2a+3ah/a6>0. (s)-(a5--厘 份思维拓展 13.*已知3√元+4√y=16,m= 4√一3√y,则m的取值范围是 14.已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求 --4 导+月-(E-rE 的值. (6)1√2-51-|2-3|-1W3-1. 12.化简： 15.新情境·现实生活王师傅有一根长为20m 的钢材，他想将这根钢材锯断后焊成两个面 (1）x√8x-2x2 +3>0 积分别为3m,12m的正方形铁框（无损 耗)，则王师傅的钢材够用吗？请通过计算 说明理由. (2)32ma-6,g+3vaja>0, 115 拔尖特训·数学（苏科版）八年级下 第2课时二次根式的混合运算 “答案与解析”见P55 自基础进阶 7.计算3：（ 的结果是( 1.(2025·河北)计算（√10+√6）（√10一√6）的 B.3√6+6 结果是 A.3√6-6 A.2 B.4 C.6 D.8 C.-36+6 D.-3√6-6 8.已知x=1+√5，则代数式x2一2x一6的值是 2.计算27-8× 2 的结果是 ( () A.√3 B.23 C5D.5 A.-25-8 B.-10 C.-2 D.2√5 3.(1)计算(2-√3)(2+√5)+√12X√3的结果 9.已知a=4+2√6，b=4-2√6，则a2b 为 ab的值为 (2)计算(2√2-3)2024X(3+2√2)225的结 果为 10.已知1<x<2,十x=7,则与 4计后+】 的结果是 √x一1的值是 5.计算： 11.若a+43=(m十n√5)2，且a,m,n均为正 整数，则a的值为 1(2+0)÷2-6,月 12.计算： 话+6×5+)--2 23-)×+ 1 X(1-2)°. (3)(7+4V3)×(7-43)-(√3-1)2. (3)(W5+√5)×(5-√3)-(5+√5)2. 素能攀升 6.已知x=3+√2，y=3-√2，则x2+y2的 值为 () A.8 B.9 C.10D.11 116 第11章二次根式 (4)(3-√2)-(3+√2)2. 粉思维拓展 15.★“分母有理化”是我们常用的一种化简方 法，如2+5-2+3)X(2+5) =7十 2-5(2-√3)×(2+√3) 4√3.除此之外，我们也可以用平方之后再 (5)(5-3+2)X(5-√3-√2). 开方的方式来化简一些有特点的无理数，如 对于√3十5-√3-√5，设x=√3+5 √3-5.易知W3+5>√3-5，.x>0. :x2=(W3+5-√3-5)2=3+5+ 13.先化简，再求值： 3-5-2X√(3十5)X(3-5)=2, 其中x=√2+1，y=√2-1. ∴.x=√2，即√3十√5-√3-√5=√2.根据 以上方法，化简一2 √5+√2 +√6-33 √/6+3√5的结果为 () A5+36 B.5+√6 C.5-√6 D.5-3√6 16.新考法·探究题已知△ABC的周长为4十 25,其中AB=4,BC=5-√3. (1)求AC的长. (2)判断△ABC是否为直角三角形，并说 14.已知x=2-3,y=2十3. 明理由 (1)求xy2-x2y的值. (2)若x的小数部分是a,y的整数部分是 b,求ax+by的值. 117第3课时分母有理化 1B2.C3.)52) 2 6a 4.2(答案不唯一)5.√15，√30， v√a'+b 6.(1)原式=66. 2原式-吾5 (3)原式=令厄. (4)原式=-2√6. (5)原式=√48=45. (6)原式=√52=2√13. 7.B解析：：a<0,b<0, bl=-b,ab>0.小√6 √ab_ -6 8.B解析：由题意，得一1 -i>0, .x-1<0,即1-x>0..(x (1-x) 1)·√=-√ x-1 -√-x. 9.2解析：由题意，得3m-4≥0，解 得m≥手“m为整数，当m=2 时，√3m一4=√2是最简二次根式， 此时m的值最小 10.一6解析：由题意，可得 m+3=1, m=-2, 解得 2m-n+1=1, n=-4. ∴.m+n=-6. 11.(1)一√J一a-1解析：由题意， 知a≥0且a2>0,u+1≤0。 .a≤-1.u√-a2 √-a-1=--a-I. (2)√一m解析：由题意，得m<0, m√√m(万 m. 2.原式展=厘=25 (2)原式= 1 2W322 2 (3)原式=√3×8 2 工√0 W10=10 4)原式=.2a6 26 2a 所-@··沥 1 8ab 亚， 8ab 13.由题意，易得AC= √AB2-BC=√8-2=√6. :SAx=2AC,BC=2CD·AB, (m-CC-6X-即 AB 2√2 斜边AB上的高CD为 1 14.(1)由题意，得m= √25 5 n=√4=2， ∴.(25,4)的一对“对称数对”为 (号2)与(2，) (2)由题意，得m= 13 3 3n=. 数对(3，y)的一对“对称数对”的 两个数对相同 .m=2. y= 3 8)由题意，得宏-后6=35或 366-5. 1 a=3b=27或a=276=3. ab=9或b=g 1 54 15.<解析：a= 2022 V2023 ,b= 2023 2022、2024 V2024 b V2023^2023 /(2023-1)×(2023+1) 20232 20232-1 2023 1/ =1. 2023 V20232 16.(1)5√24 (2) n2-1 =”√n2-11 (3) Vn+-n n3-n十2 22-1 22-1 23 √n2-1=”√2-1 6 6 (4)答案不唯-，如√63污=6√35 11.3二次根式的加减 第1课时二次根式的 加减运算 1.A2.A3.44.54 5.(1)原式=2√7. (2)原式=30330 5 6 30 (8原式-6+3号 7 3925 7 10 ()原式=2×2w5-3x× 3 -2 √5-3-2=-2 6.D解析：√45十a=35+ √a=b5,b为整数，∴.结合选项可 知，当a=20时，a=25,b=5,符 合题意. 7.D解析：当底边长为2√5、腰长为 3√2时，三角形的周长为25+6√2： 当腰长为25、底边长为3√2时，三角 形的周长为4W5+3√2.综上所述，这 个三角形的周长为2√5+6√瓦或 45+3√2. 8.-1解析：由题意，得2024一 2023m=2023-2024m,解得m -1. 9.2解析：：V8x+2√ x =1232+√4x号 2是=23版+版+ 2√2z=12..6√2x=12,解得 x=2.经检验，x=2是所得方程的 解..x的值为2 10.45解析：原式=25一(5 1)+(3W5-1)=25-√5+1+ 3√5-1=4W5. 1.(1)原式=42+2- 2 35-72 -5. (2)原式=√6-(W6-√6)+26= 36. 8)原式=26-9+5-9+ 4 V6=46-32 4 4)原式= 4 -45-5+25 2 3 4W2=152_105 4 3 5)原式=(6x×号x3 3 -22 23+22=0, (6)原式=√5-√2-(2-√) (5-1)=3-2-2+√5-√5+ 1=√5-√2-1. 12.(1)原式=2.x√2x-x√2z+ 3x√2z=4x√2z (2)原式=4√3a-(2√3a+ 3√3a)=4√3a-5√3a=-√3a. (3)原式=2ab√3a- bva=号ahva 13.-12<m<4 解析：由 3√+45=16，得6=16-4E 3 .16-4√≥0，解得√≤4.又 √≥0，.0≤≤4..4E- 35=4×16-45-35 3 64-255,即m=64=255.当 3 3 √=0时，m= :当5=4时 m=-12.∴.m的取值范围是一12≤ 一方法归纳 根据二次根式的非负性确定 被开方式的取值范围 解决这类与字母取值范围有 关的问题时，往往先将含有二次根 式的等式进行适当变形，再运用二 次根式的非负性确定其中一个二 次根式的取值范围，进而求得待求 字母的取值范围， 14.原式=(2xE+√xy) (xE-5√y)=2xE+√xy x√E+5√x=xWE+6y. ,4x2+y2-4x-6y+10=0, .(2x-1)2+(y-3)2=0. ∴.2x-1=0,y-3=0. ·x=2y=3. +6× 原式×√ 15.王师傅的钢材不够用. 理由：，正方形的面积是3m2, .它的边长是m. 55 ∴.所耗费的钢材是43m. 正方形的面积是12m2, ∴.它的边长是2√5m. ,∴.所耗费的钢材是4×25=85(m). ∴.所耗费的钢材的总长度是4√十 8√3=12√3(m). (125)2=432,202=400,432>400, ∴.125>20. .王师傅的钢材不够用」 第2课时二次根式的混合运算 1.B2.C3.(1)7(2)3+22 4.2 5.(1)原式=(2√6+5√2)÷√2 2√5=2√5+5-2√5=5. (2)原式=3+5-√5-1=2. (3)原式=49-48-(4-25)=1- 4+2√5=-3+2W5. 6.C解析：x=5+2,y=3 2,.x+y=25,xy=1.x2十 y2=(x+y)2-2xy=(2W5)2-2X 1=10. 7.A解析：原式=5÷5+巨 √6 3X、6 =3√2X 5+② 5-2 (5+2)X(5-2) =3V6-6. 8.C解析：x=1十√5，.x一1= √5.∴.x2-2x-6=(.x-1)2-7= (5)2-7=5-7=-2. 9.-326解析：，a=4十26， b=4-26,∴.a-b=(4+2V6) (4-26)=4√6，ab=(4+2√6)X (4-2W6)=16-24=-8..a2b ab2=ab(a-b)=-8X4√6= -32W6. 10.2解析：（ 可)=+1-2 +=(六 )°=4.又1<x<2,0< <1点>1 可“六=2 11.7或13解析：(m+n√3)2 m2+2√51+3n2=(m2+3n2)十 2√5m.a+4√5=(m+n√5)2， 且a,m,n均为正整数， m2+3n2=a, .m=2.m, 23mm=43. n均为正整数，∴.m=1,n=2或m= 2,n=1.当m=1,n=2时，a=m2+ 32=12+3×2=1+12=13;当m= 2,n=1时，a=m2+3n2=22+3× 1=4+3=7.综上所述，a的值为7 或13. 12.(1)原式= 1 3+6×2 V6x8+5-2=5+5+45+ 3 V5-2=193 3 2 (2)原式=8-4×2 ×1=22 √2=2. (3)原式=5-3-(5+2√5+3)= 5-3-8-2√/15=-6-2√15！ (4)原式=(5-√2+5+√2)× (5-2-3-2)=25X (-22)=-46. (5)原式=(W5-√5)2-(2)2=8 2√15-2=6-2√15. 18原默=（十）小： (x+y)(x-y)_1 xy z+y (x+y(x=2+1· xy x一y z+y)x二2=，y++义 xy x"y 2x2 z2y xy 当x=√2+1，y=2-1时，原式= 2 4W2+10X2-)2-2. 14.(1):x=2-3,y=2+3, ∴.xy=(2-√5)×(2+3)=4-3= 1,y-x=2+5-(2-√5)=2+ √5-2+5=25. :zy2-z2y=zy(y-x)=1X 2√3=2√3」 (2):1<3<4, .1<5<2. .3<2+W5<4. ∴.2十√5的整数部分是3. ∴.b=3. 1<5<2, -2<-3<-1. ∴.0<2-3<1. .2一3的整数部分是0，小数部分 是2-√5-0=2-√5. .a=2-5 .ax+by=(2-√3)×(2-5)+ 3×(2+5)=7-4√3+6+3√5= 13-√3. 15.D解析：由题意，得5-2 3+√2 (W5-√2)X(3-√2) =5-2√6.设 (5+√2)×(5-√2) x=√6-35-√6+35.易知 √6-3√5<√6+33，∴.x<0. x2=(√/6-35-√6+35)2= 6-3√3+6+3W3-2× (6-35)X(6+3w3)=6,∴.x= -6,即√6-35-√6+35= 56 -6.:5-+63 √5+2 √/6+33=5-2√6-√6=5-3√6. 方法归纳 运用整体思想化简二次根式 解决这类二次根式的化简问 题，我们常常需要观察待求二次根 式的整体结构，运用整体思想对其 进行变形、化简，把复杂的问题简 单化.需要注意的是，对于平方后 求得的结果，还要考虑原代数式值 的正负性 16.(1):△ABC的周长为4+ 2√5，AB=4,BC=√5-3， .AC=4+25-4-(5-5)= 5+5. (2)△ABC是直角三角形 理由：AB2=16,BC2+AC=5- 2√15+3+5+2√/15+3=16， .AB2=BC2+AC2 .△ABC是直角三角形， 专题特训十一二次根式 非负性的应用 1,B解析：由题意，得一≥0且a≠ 0,.a>0.-a√a =-√a 2.9一2x解析：由题意，得4一x≥ 0,解得x4..x一5<0..原式= 4-x+5-x=9-2x 3.由题意，得x-4≥0，即x≥4. .x-3>0. .原方程可化简为x一3十 /x-4=x. ∴.√x-4=3,即x-4=9,解得 x=13. 4.2解析：.2a-4+b+21+ W(a-4)b+4=2a,∴.12a-4|+ |b+2|+√(a-4)b=2a-4. ∴.2a-4≥0.∴.2a-4+1b+2|+