11.1 二次根式的概念-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（苏科版·新教材）

第11章二次根式 11.1二次根式的概念 第1课时 二次根式 ●“答案与解析”见P51 白基础进阶 幻素能攀升 1.(2025·徐州)使x一I有意义的x的取值范 7.若代数式V3一五十x二有意义，则x的取值 围是 ( 范围在数轴上可以表示为 A.x≠1 B.x≥1 C.x>1 D.x≥0 101234 -101234 2.能使√/一3x有意义的实数x的值有( A B. A.0个B.1个 C.2个D.3个 101234 -101234 C D. 3有下列代数式：①活@5，@va+, ④√x+1;⑤√a+2a+2;⑥√-x(x≤ 8若式了写有意义侧6约取值范陌足 0);⑦√(m-3)严.其中，一定是二次根式的 A.a≥-1 B.a≠2 为 (填序号). C.a≥-1且a≠2D.a>-1 4.(1)(2025·北京)若3x-3在实数范围内 9.当x=3时，√2x一a无意义；当x=5时， 有意义，则实数x的取值范围是 √2x一a是二次根式，则a的值可能是() (2)(2025·绥化)若式子 1有意义，则x x+I A.4 B.8 C.12 D.16 的取值范围是 10.如果a,b为实数，且b=@1十-a十 a+7 5.(1)当x满足 时，√一(x十1)有 4,那么a十b的值为 意义 A.±1 B.4 (2)(2025·常州溧阳一模)计算（一√/2025）2 C.3或5 D.5 的结果为 6.(2024·长春)先化简，再求值： 2x2 1.(1)若式子+2 有意义，则x的取值范围 x-2x-21 是 其中x=√2. (2)若式子。1 有意义，则x的取值范 √/1-2x 围是 (3)(2025·淮安二模)若式子三 x一2025在 实数范围内有意义，则x的取值范围是 104 第11章二次根式 (4)若代数式√2x一7+√5一x有意义，则 (3)(√a+b)2-(Ja-2b)2(a+b≥0，a- 实数x的取值范围是 2b≥0). 12.已知a,b,c满足a+b-4+|a-c+2= √b-c+√c-b,则a+b+c的平方根是 13.已知关于x的代数式√4一x十√x一a一2有 16.在实数范围内将下列多项式进行因式分解： 意义，满足条件的所有整数x的和是9，则α (1)x2-7. 的取值范围是 14.当x是怎样的实数时，下列二次根式有 意义？ (1)√4-x. (2)-3x. (2)x4-12x2+36. (3) Vx+6 一2 (4)6 (3)x2-2√3x+3. (5)√-(3x-9)2.(6)√5-x+√2x-4. 思维拓展 17.*已知|2025-a|+Wa-2026= a,求a一20252的值. 15.计算或化简： (1)(W2)2-√16+√-5). 223)-61日+(-479 105 拔尖特训·数学（苏科版）八年级下 第2课时二次根式的性质 》“答案与解析”见P52 自基础进阶 (3)√/49x2(x<0). 1.若√(m一1)严=1一m,则m的取值范围是 ( ) A.m≥1 B.m=1 C.m≤1 D.m≠1 (4)(π-4)+√（π-3）. 2.(2025·宿迁宿城段考)已知ab<0,且 (a)2=5,wb=3,则a十b的结果是() A.8 B.2 C.-2D.-8 3.(1)如图，数轴上点A表示的数为a.化简： 幻素能攀升 a+√a2-4a+4= (2)已知a,b,c是△ABC三边的长，则化简 7.若实数x满足|x一3|+√x2+8x+16=7, √(a-b+c)+|lc一a-b的结果是 则化简2x十4一√(2x一6)的结果是() A A.4x+2 B.-4x-2 0 C.-2 D.2 (第3题) 4.已知x,y为实数，y<√x-1十√1一x+4, 8.已知x为实数，则化简√1一6x+9x2一 则化简y一4|一√y2-10y+25的结果为 (√3x一5)2的结果是 () A.6x-6 B.-6x+6 C.-4 D.4 5若a<0,则wa-a 9.(1)若实数x,y在数轴上的对应点的位置如 6.化简： 图①所示，则化简√(y-x)一√(x十y)的 (1)√(-13)2. 结果为 (2)实数a,b在数轴上的对应点的位置如 图②所示，化简：|a+1|一√(b-1)2+ √(a-b)平= (3)已知x=5,Wy7=4,x十y<0,则y (2)√x2+4x+4(x≥-2). -2-1012 ① ② (第9题) 10.已知y=x十5-√/(x-3),当x分别取1， 2,3,…,2024时，所对应的y值的和是 106 第11章二次根式 11.计算或化简： 的思维拓展 (1)√(1-6)2+√W6-3)2. 14.已知非零实数a,b满足 √a2-8a+16+1b-3+ √(a-5)(b2+1)+4=a,则a-1 的值为 (2)√(x-4)+√(x-1)(1<x<4). 15.新考法·阅读理解题阅读以下解题过程： 若代数式√(a-1)2+√J(a-3)的值是2， 求a的取值范围。 解：原式=|a-1+|a-3. 12.已知实数a,b满足√(1-a)7+b+3|= 当a<1时，原式=(1-a)+(3-a)=4 9-√(a十4)-b-1|,求a2+b的最 2a=2,解得a=1(不合题意，舍去). 大值 当1≤a≤3时，原式=(a-1)+(3-a)= 2,符合题意， 当a>3时，原式=(a-1)+(a-3)=2a 4=2,解得a=3(不合题意，舍去) 综上所述，a的取值范围是l≤a≤3. 13.老师给出这样一道题： 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法. 先化简，再求值：a +a2-2,其中 请你根据上述解法，解答下列问题： (1)当2≤a≤5时，化简：√(a-2)+ 1 a=5 √/(a-5)2= 甲、乙两人的解答不同. (2)若等式√(3-a)+√(a-7)严=4成立， 则a的取值范围是 (3)若√/(a+1)7+√(a-5)严=8，求a 的值 gaaa片 谁的解答是错误的？为什么？ 107'.A型机器人的单价为9万元，B型 机器人的单价为6万元. (2)设配备A型机器人y台，则配备 B型机器人(10-y)台. 根据题意，得9y+6(10-y)≤70，解 得y<号 y≥1,10-y≥1， .1≤y≤9. 1K<号 又y为正整数， .y可以为1,2,3. .共有3种配备方案。 方案1：配备A型机器人1台，B型机 器人9台；方案2：配备A型机器人 2台，B型机器人8台：方案3：配备 A型机器人3台，B型机器人7台. [综合素能提升] 1.D 2.D解析：x2-3.x-m=0, x2-m=3x.2-x-m 3.x-x2x2 3.B解析：分式” m+1 (m十1D(m-D=m-1的值是负整 m+1 数，∴.m<1且m为整数.m十1≠ 0,.m≠一1..选项B中的数符合 题意，选项A,C,D中的数均不符合 题意 4.A解析：a十b十c=10,∴.a 10-(b+c),b=10-(a+c),c=10 (a+b).又 1 1 1 ab+b中c+c十a 14 10-(b+c)+10-(c+a2+ b+c c+a 10-(a+b)10 b+c110 a+b b+c b+cc+a c十a+10_a+b=10+10 X c+aa+b a+bb+cc+a 3=10×17 b_4a2.1a.4 4=62a-66·6 4a24a_4a2-4a(a-b) b2(a-b)b2 62(a-b) 4a2-4a2+4ab 4ab b2(a-b) b2(a-b) 6a-b”当x=-4时，分式 x一b无意义，当x=2时，此分式的 2.x+a 值为0，.一8+a=0,2一b=0,解得 4×8 a=8,b=2.·原式=2X(8-2) 3 6.3 7.原式=2x3》÷(5 x-2 x-2 x2-4)=2(x3÷9- x-2/ x-2x-2 2(x-3) x-2 x-2 ·-(x+3)(x-3) 2 x+3 :x-2≠0且9-x2≠0， x≠2且x≠士3. .取x=1. 六当x=1时，原武=子= 2 8.方程两边同乘(x十1)(x一1)，得 2(x一1)一3(x+1)=6,解得x= -11. 检验：当x=-11时，(x+1)(x-1)= 120≠0. .x=一11是原方程的解 9.(1)设该厂每天生产的甲种文创 产品的数量是x个，则每天生产的乙 种文创产品的数量是(x一50)个. 根据题意，得3.x-4(x一50)=100，解 得x=100. 51 '.x-50=100-50=50. .该厂每天生产的甲种文创产品的 数量是100个，每天生产的乙种文创 产品的数量是50个. (2)设每天生产的乙种文创产品增加 的数量是y个，则每天生产的甲种文 创产品增加的数量是2y个. 根期短意，两架动 =10, 解得y=20. 经检验，y=20是所列方程的解，且符 合题意 ∴.每天生产的乙种文创产品增加的 数量是20个. 第11章 二次根式 11.1二次根式的概念 第1课时二次根式 1.B2.B3.①④⑤⑥⑦ 4.(1)x≥1(2)x>-1 5.(1)x=-1(2)2025 6原式2-红2= x-2 x-2 当x=√2时，原式=（√2）2=2. 7.A8.C 9.B解析：当x=3时，√2x一a 无意义，∴.2×3一a<0,解得a>6. 当x=5时，√2x一a是二次根式， .2X5一a≥0，解得a10..6< a≤10.∴.a的值可能是8. 10.C解析：根据题意，得 fa2-1≥0， 1-a≥0，解得a=±1.∴.b=4. a+7≠0， ∴.a+b=3或5. 11.(1)x>-2且x≠0(2)x<2 .1 (3)x≥1且x≠2025(4)3.5≤ x<5 12.士√7解析：由题意，得b-c≥0 且c-b≥0，.b=c.∴.等式可变为 √a+b-4+|a-b+2|=0.由非负 数的性质，得 a十b-4=0·解得 a-b+2=0, a=1, ..c=3..∴.a+b+c=1+3十 b=3. 3=7.∴.a十b十c的平方根是士√7. 13.-1<a≤0或-4<a≤-3 解析：关于x的代数式√4一x十 x一a-2有意义，.4一x≥0，x a-2≥0..a十2≤x≤4.，满足条 件的所有整数x的和是9，∴.x=4, 3,2或4,3,2,1,0，-1∴.1<a+2≤ 2或-2<a+2-1...-1<a0 或-4<a≤-3. 14.(1)由题意，得4-x≥0，解得 x≤4. (2)由题意，得-3x≥0，解得x≤0. 1 (3》由题意，得十6≥0解得 x+6≠0， x>-6. (4)由题意，得-2≥0，解得 x≥12. (5)由题意，得-(3.x一9)2≥0，解得 x=3. 5-x≥0， (6)由题意，得 解得2≤ {2x-4≥0， x≤5. 15.(1)原式=2-4+5=3. (2)原式=12-8+1=5. (3)原式=(a+b)-(a-2b)=a+ b-a+2b=36. 16.(1)原式=(x+√7)(x-√7). (2)原式=(x+√6)2(x-√6)2 (3)原式=(x一√5)2 17.由题意，得a-2026≥0， ,.a≥2026. ,.2025-a0. .2025-a+a-2026=a, .∴.a-2025+√a-2026=a. ∴.√a-2026=2025. .a-2026=20252. .a-20252=2026. 一方法归纳 运用二次根式有意义的 条件解题 解决问题时，往往先根据二次 根式有意义的条件，确定字母的取 值范围，再根据字母的取值范围对 其他部分进行化简，进而对所给等 式、代数式进行化简、变形，得到所 求问题的结果.这类问题的解答过 程中，往往还要运用整体思想. 第2课时二次根式的性质 1.C2.B3.(1)2(2)2a 4.-15.-2 6.(1)原式=13. (2)原式=x+2. (3)原式=一7x. (4)原式=1. 7.A解析：x一3+ √x2+8x+16=7,.|x-3|+ |x十4|=7..易知一4≤x≤3 ∴.2x+4|-√(2x-6)7=2(x+ 4)-2.x-6=2(x+4)-(6-2x)= 4x+2. 8.D解析：由题意，得3x一5≥ 0,.3.x≥5..1-3x0. ∴.√1-6.x+9x2-(√3x-5)2= √(1-3.x)z-(3.x-5)=3.x-1 3x+5=4. 9.(1)一2y解析：由数轴，可知 -1<y<0<1<x<2,.y-x<0, x+y>0..原式=y一x|一|x+ y|=-(y-x)-(x+y)=-y+x x-y=-2y (2)一2a解析：由数轴，可得-2< a<-1,1<b<2,..a+1<0,b-1> 0,a-b<0..a+1 √(b-1)2+√(a-b)=|a+ 52 1-1b-1|+|a-b1=-a-1 (b-1)+(-a+b)=-a-1-b+ 1-a+b=-2a. (3)9或1解析：：x=5,√y= 4,.x=±5，y=±4.x十y<0, .x=-5,y=4或x=-5,y=-4. .y-x=9或1. 10.16186解析：由题意，得y=x+ 5一x一3.当x3时，y=x+5+ x-3=2x+2:当x>3时，y=x+ 5-(x-3)=x十5-x+3=8..当 x分别取1,2,3，…，2024时，所对应 的y值的和为4+6+8十8+8+…十 8=4+6+8×2022=16186. 11.(1)原式=√6-1+3-6=2. (2)原式=4-x十x-1=3. 12.由条件，可知a-1+a+4|+ 1b+31+b-1=9. 又.a-1+1a+4|≥5，当且仅 当-4≤a≤1时取等号，|b+3|+ |b-1≥4，当且仅当-3≤b≤1时取 等号， ∴.a-1+a+4|=5,-4≤a≤1， 且b+3|+b-1=4,-3≤b≤1. ∴.当a=-4,b=-3时，a2+b2取得 最大值，为(-4)2+(-3)2=25. 13.乙的解答是错误的. 1 :a=5’ a-a>0. -a .乙的解答是错误的. 14.25解析：由题意，得(a 5)(b2+1)≥0.b2+1>0,∴.a≥ 5.∴.a2-8a+16=√(a-4)2= a-4=a-4.∴.√a2-8a+16+ b-3|+√(a-5)(b2+1)+4=a 4+|b-3+/(a-5)(b2+1)+4= a.∴.b-3|+√(a-5)(b2+1)= 0.又.1b-3≥0， √(a-5)(b2+1)≥0，∴.b-31=0, √(a-5)(62+1)=0.∴.b=3,a= 5.a6-1=52=25. 15.(1)3. (2)3a≤7. (3)原方程可化为a+1+|a 5=8. 当a一1时，原方程化为一a一1 (a-5)=8,解得a=-2,符合题意. 当-1<a<5时，原方程化为(a十 1)-(a-5)=8,此方程无解，不符合 题意 当a≥5时，原方程化为a十1+a- 5=8,解得a=6,符合题意。 综上所述，a的值为一2或6. 11.2二次根式的乘除 第1课时二次根式的乘法 1.B2.A3.(1)6(2)5 4.(1)2√14(2)145 (3)3ab3a(4)12√5a2 5.(1)原式=10. (2)原式=4a2. (3)原式=105√5」 (4)原式=4√6」 (5)原式=6xy2√3y. (6)原式=10√14. 6.A7.C8.C9.(1)3√2 (2)2ab√3b(3)153(4)18a2 10.一3x0解析：由题意，得 x3+3x2≥0， .x≥-3. x+3≥0， V√x3+3x=√x2(x+3)= |x√x+3=-x+3,∴.|x|= 一x..x≤0.x的取值范围是 -3≤x≤0. 11.17⑤ 解析：此三角形的面积为 3×x2m-15 4 12.(1)原式=3.xy2√2y. (2)原式=12. (3)原式=14√15. (4)原式=8.x√2xy. 13.(1)原式=-6√30. (2)原式=4√6a. (3)原式=4√5. ④原式=a（)· la'z? -2b2.a2=-2abr. b 14.(1)答案不唯一，如框出部分的数 为10,17,24，则√172-10×24= √289-240=√49=7. (2)设中间的数为n(8≤n≤24，n为 整数). √n2-(n-7)(n+7)= √n2-(n2-49)=√n2-n2+49= √49=7. 第2课时二次根式的除法 3 1.B2.D3.(1) (2)1 4.4√5 5.(1)原式=2. (2)原式=√5 3)原式= 4)原式=号 6B解析：原式=√18×x× √32=42 7.B解析：：ab>0,a十b<0, 亮故说√·√ 53 2,b==1.故②正确. a =ab·√a -=b|=一b.故③正确.综 上所述，正确的是②③. 8.B9.(1)12(2)√Π ab 1 10. 11.2/15 9-x」 解析：√-6 √9-x 9-x≥0， 解得6<x /x-6 x-6>0, 9.x为偶数，.x=8.(x十 /8-2 10-2 12.(1)原式=6u√2ab a-b /a-2by_a-26 (2)原式=√ab 13.(1)原式=6. 2原武-是 (3)原式=√5 14原式=一2 x3-2x x-2 ·入 √x-2 x-2 ·√x(c-2)=√x. x-2>0, x2-2x270, x ∴.x>2. .x可取任意大于2的数 x的取值不唯一，如当x=4时，原 式=√x=√4=2. 15.(1)这两名同学的解法都正确。 2):而=/ 70√70b a .√4.9= 49 49×10 W10 100 化（答案不唯一，